UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FRANCISCO MORAZÁN
CNC-383 FÍSICA MODERNA II
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Presentado por:
Catedrático:
Kenia Auristela Martínez
María Lourdes Monzón
Armando Euceda, Ph.D.
Julio del 2008
FUNCIÓN GAUSSIANA
Ψ(x)=
Ψ(x)
34.1% 34.1%
13.6 %
13.6%
x
Campana de Gauss ó una Gaussiana
2
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
Considere la distribución Gaussiana normalizada
donde A, a y λ son
constantes.
Debemos saber ¿Qué significa ρ(x)?
ψ(x): función de onda (estado)
Ψ*(x): complejo conjugado de ψ(x)
Por definición ρ(x) = ψ*(x) ψ(x) = ψ(x) ²
3
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
1.- Encuentre el valor de A
Sabemos que
Entonces tenemos
4
Kenia Martínez y Lourdes Monzón
Ahora calculamos la integral:
Recordemos que :
haciendo
ver normalización
de la función
u = x – a , du = dx
Por lo tanto
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Kenia Martínez y Lourdes Monzón
2.- Encontrar el valor esperado de x
², es decir ‹x²›
Por definición el “Valor esperado de x2 es

x
2


x  ( x ) dx
2

Por lo tanto
Haciendo cambio de variable u= (x – a)
du = dx
sea x= (u+a) por lo tanto x2 = ( u +a )2 = u2 +2au +a2
Cuando x es+∞, u también es + ∞ y cuando x es –∞
u también es – ∞
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Kenia Martínez y Lourdes Monzón
Por lo tanto al sustituir tenemos que:
Separando las integrales tenemos:
Tomando la primera Integral :
se resuelve utilizando el truco de Feynman
solución del truco de
Feynman
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Kenia Martínez y Lourdes Monzón
Tomando la segunda integral
es una función impar por lo tanto su integral es cero.
Sabemos que la solución de la integral:
ver normalización
de la función
siendo a constante es:
Además conocemos el valor de
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Kenia Martínez y Lourdes Monzón
Por lo tanto al resolver la integral aplicamos lo
Anterior:
0
Continuando con la solución de nuestra integral
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Kenia Martínez y Lourdes Monzón
Sustituyendo los valores de las integrales que
conocemos tenemos:
Por lo que el valor esperado para esta distribución
es:
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Kenia Martínez y Lourdes Monzón
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Presentado por : Kenia Auristela Martínez M.
María Lourdes Monzón.
Física Moderna II
Catedrático: Armando Euceda Ph. D.
Agosto del
2008
Para poder resolver la integral de la forma:

 u
2
e
u
2
d u

Sabemos la solución de la integral

e
 x
2

dx 


Se aplica el truco de Feynman, agregando a ambos lados
de la integral el siguiente operador:



Resolvemos encontrando la derivada parcial en
el lado derecho de la ecuación




e
x
2
dx  

 






 
1
1
2
  2

  
  
1




Al encontrar el diferencial en el lado derecho
de la expresión obtenemos:




e

 1 
dx       2
 2

3
 x
2




  1 
3 

2 

2
 

2 
3








e
x
2
dx 


1

2

3
1

2

Por lo tanto la solución de la integral es:



2
x e
x
2
dx 
1

2

GRACIAS
NORMALIZACIÓN DE UNA
FUNCIÓN GAUSSIANA
Presentado por : Kenia Auristela Martínez
María Lourdes Monzón
Física Moderna II
Catedrático: Armando Euceda Ph. D
Agosto del 2008
Dada la función Gaussiana 
1.- Normalizar la función
( x )  Ae
x
2

  ( x)
2
dx  1

2.- Encontrar el valor de A
Para esto debemos saber que:
 * ( x )   ( x )  Ae
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Kenia Martínez
x
2
 * ( x )  ( x )  A e
2

2
 A e
2
2 x
2


2
A e
 2 x
2
dx  1


e


21
Kenia Martínez
 2 x
2
dx 
1
A
2
2 x
2
Tomando una función genérica
Donde
  2
Consideramos dos integrales

I1 
Luego
e
 x
,

e
I2 
2
dx
 y
2
dy


 
I
2
 I1  I 2 
 e

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Kenia Martínez
 (x  y )
2
2
dxdy
Hacemos la conversión a coordenadas
Polares
y  rsen 
x  r cos 
y
r
2
 
1.5
 x  y
2
2
s
r
1
dr
0.5
-1.5
-1
-0.5
O
-0.5
s  r
ds
diferencial de área
r
dθ
θ
0.5
s
1
1.5
x
ds  rd 
da  ds  dr
da  d   rdr
-1
23
Kenia Martínez
-1.5
Para resolver la integral
 2
 
I


2
e

 (x  y )
2
2
dxdy 


e

 r
2
d  rdr
0 0
Sea
du   2  rdr
u  r
Luego:
 2
I
2

 e
0 0
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Kenia Martínez
u
dr
du
 2r
dr 
du
 2r
 2

 e
0
0
u
d  du
 2
I
2
 
I
I
2
25
2
1
 
2
 
Como
1

 e d  du  
u
0 0
u  r
Como
2
 2

1
2
e
u

0
2  1
  2
Kenia Martínez
2
0
2
1
2
2

 d  e
0
 

I 
2

 2

 0 e
I 


2
du
0
Entonces integramos hacia
1
u



-∞
e
0


Luego
e
 x
2

dx 


e
 2 x
2
dx 

Entonces


Al sustituir
A 
2
1



2

2
2

1
A
2
1
 2  4
A 

  

2
La función queda normalizada
1
 2  4   x 2
 (x)  
 e
  
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Kenia Martínez

  ( x)

2
dx  1
¡¡MUCHAS GRACIAS!!
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Kenia Martínez
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Ejercicio Densidad de Probabilidad