Tema 2: Modelado de
sistemas físicos.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
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Indice
1. Procedimiento de modelado
2. Principios de conservación
3. Ecuaciones constitutivas
3.1 Transporte
3.2 Reacción
3.3 Propiedades físicas
3.4 Otras relaciones/restricciones
4. Ejercicios y aplicaciones
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1. Procedimiento de modelado
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Definición del problema
Describir el proceso a modelar y el objetivo.
Especificar entradas y salidas
Especificar el grado de exactitud requerido y el ámbito de
aplicación
Especificar las características temporales
Especificar la distribución espacial.
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Identificar los factores y mecanismos
controlantes
Qué procesos físico-químicos y qué fenómenos suceden:
Reacción química
Difusión de masa
Conducción de calor
Transferencia de calor
por conveccion
Evaporación
Mezcla turbulenta
Transferencia de masa o
energía
Flujo de fluidos
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Ejemplo
Identificar los mecanismos controlantes en el siguiente sistema.
Flujo de líquido entrante y saliente
Flujo de aceite entrante y saliente a la camisa
Transferencia de calor entre la camisa y el tanque
Trabajo del agitador
Pérdidas de calor a través de la camisa
Pérdidas de calor a través de la superficie del líquido
Evaporación de líquido
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Evaluar
los datos
Evaluar los datos empíricos de que
disponemos y su exactitud.
Evaluar los parámetros de que
disponemos y su exactitud.
Si faltan datos o parámetros puede
ser que el problema haya que
redefinirlo.
Construir el
modelo
Desarrollar las ecuaciones del modelo.
Procedentes de principios de
conservación (serán ecuaciones
algebraicas/diferenciales)
Procedentes de ecuaciones constitutivas
(serán en general ecuaciones
algebraicas).
Verificar que el modelo está
correctamente especificado: Análisis de
los grados de libertad.
Verificar la consistencia del modelo:
chequeo de unidades y dimensiones.
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Subprocedimiento para construir el modelo
Establecer los volúmenes
donde se van a realizar los
balances de materia, energía y
momento.
Determinar qué variables
(total, componentes, molar o
másica,...) van a caracterizar el
sistema: entradas, salidas y
estados internos
Plantear los balances de
conservación: materia,
energía y momento.
Plantear las ecuaciones de
transporte de calor, masa y
momento entre los diferente
volúmenes.
Establecer las leyes
termodinámicas, como
ecuaciones de estado...
Relación entre
diferentes volúmenes
donde se aplican las
ecuaciones, por ejemplo
entre diferentes fases.
Definir las restricciones
del proceso, bien sean
por operación o por
control
Definir y aplicar las
suposiciones del
modelo.
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Grados de libertad (DOF)
Los grados de libertad se definen como:
DOF= Número de variables(incógnitas) – Número de ecuaciones
Indican el número de variables que se deben fijar para que el problema esté
bien formulado o completamente determinado. (DOF=0)
Si tras un análisis de DOF tenemos:
DOF>0
Sistema indeterminado, hay que especificar menos variables o bien añadir nuevas
Ecuaciones independientes que las contengan.
DOF<0
Sistema sobredeterminado. Las ecuaciones que sobran pueden ser:
Redundantes: No añaden información al sistema (no son independientes)
Inconsistentes: Son ecuaciones independientes que hacen el sistema
irresoluble.
Es importante hacer un análisis de los grados de libertad antes de resolver el modelo.
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Resolver el
modelo
Identificar la forma matemática del
modelo.(generalmente
AEs/ODEs/DAEs)
Escoger un procedimiento (método
numérico) de resolución.
Intentar evitar problemas
matemáticos (como “alto índice”)
que dificultan el uso de métodos
estándar de resolución.
Verificar la
Solución del
modelo
Verificar si el modelo se comporta
correctamente.
Verificar la correcta implementación
(código del programa) del modelo.
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Validar el modelo
Se chequea el modelo (los resultados de su simulación) con la realidad
modelada.
Posibilidades de validar el modelo:
Verificar las suposiciones de forma experimental.
Comparar el comportamiento del modelo y del proceso real.
Comparar el modelo con datos del proceso.
Realizar validaciones estadísticas: contraste de hipótesis, cálculo de medias,
distribuciones, varianzas,...
Corregir el modelo si los resultados de la validación no son de la exactitud
especificada al formular la definición del modelo.
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Resumen: Elementos de un modelo.
Suposiciones.
Características espaciales y temporales
Condiciones de flujo
Propiedades a ignorar: dinámicas, términos de flujo,...
Etc...
Ecuaciones y variables características.
Ecuaciones de balance (diferenciales) y constitutivas (algebraicas)
Variables: flujos, temperaturas, presiones, concentraciones, entalpías y
acumulaciones de masa, energía y momento.
Condiciones iniciales.
Condiciones iniciales para la resolución numérica (modelos dinámicos)
Condiciones de contorno (en el caso de modelos distribuidos).
Parámetros.
Procedencia, valor, unidades, validez y precisión de los parámetros empleados.
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EJEMPLO
MODELADO DE UN REACTOR CSTR
1.Definición:
Identify
Controlling
factors
-Agrupado/distribuido
-¿Dinámico?
Objetivo del modelo:
2.Mecanismos controlantes:
•Transferencia de masa
•Transferencia de calor
•Transferencia de Momento
Mezcla perfecta
2.
Adiabático
Construct
the model
Verify
the model
solution
Validate
the model
•Reacción química
1.
Evaluate
the problem
data
Solve
the model
-Control/diseño/...
Suposiciones:
Problem
Definition
Problem
Definition
Identify
Controlling
factors
Evaluate
the problem
data
Construct
the model
Solve
the model
Verify
the model
solution
Validate
the model
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Problem
Definition
3. Datos:
•Datos fisicoquímicos
•Datos de cinética química
Identify
Controlling
factors
Evaluate
the problem
data
Construct
the model
•Parámetros del equipo
Solve
the model
Verify
the model
solution
Validate
the model
•Datos fisicoquímicos: Cp, entalpías, densidades,...
•Datos de cinética química: k0,Ea,Hreac
•Parámetros del equipo: V
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Problem
Definition
4. Construcción del modelo:
Identify
Controlling
factors
Suposiciones.
Ecuaciones y variables características.
Ecuaciones de balance y constitutivas
Variables.
Condiciones iniciales.
Parámetros.
Evaluate
the problem
data
Construct
the model
Solve
the model
Verify
the model
solution
Suposiciones:
Validate
the model
1.
Mezcla perfecta
2.
Reacción de primer orden
3.
Adiabático
4.
Propiedades constantes (densidad,...)
5.
...
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Ecuaciones:
Condiciones iniciales:
CA(0)=CAi
T(0)=Ti
Ecuaciones de balance
•Balances de masa
•Global
•A componentes
•Balance de energía
Parámetros y entradas:
•V,k0,EA,Cp,....
•CAi,Ti,Fi
Ecuaciones constitutivas
•Ecuación de Arrhenius
- Ea
r = k0e
RT
•Ecuación de la entalpía
H = C p DT
•Relación concentración-masa
m A = C AV
CA
•...
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5. Resolución del modelo:
Problem
Definition
Identify
Controlling
factors
•Modelo dinámico: Ecuaciones
algebraido diferenciales (DAEs)
Evaluate
the problem
data
Construct
the model
6. Verificación del modelo
7. Validación del modelo
Solve
the model
Verify
the model
solution
Validate
the model
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2. Principios de conservación
Se basan en los principios físicos que indican que la masa, la energía y
el momento no pueden ser ni creados ni destruidos sino solo
transformados.
Se establecen sobre una región de interés (con un volumen y
una superficie asociada).
Esta región se suele denominar volumen de control.
Los volumenes de control muchas veces se establecen:
•Los volúmenes físicos de los equipos.
•Las diferentes fases presentes en un equipo.
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Ejemplos de volúmenes de control
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El balance dinámico sobre el sistema:
Cambio neto = Entra por - Sale por + Generación – Consumo
en el tiempo
la frontera la frontera neta
neto
Este balance se aplica a: Masa, energía y momento.
Agrupados
Distribuidos
Modelos macroscópicos (ODEs)
Modelos microscópicos (PDEs)
Dinámicos
Estáticos
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2.1 Sistemas agrupados dinámicos
No hay descripción espacial.
Balance de masa global
d
dt
  dV

v

 ( v  n ) dA
A
Suposición: Volumen bien mezclado: densidad independiente del espacio
d ( V )

dt
dm
dt
    ( v  n ) dA
A
Suposición:Flujo de densidad homogéneo: densidad independiente de la superficie
d ( V )
dt

dm

dt
 
m
i 1
Ai
 v i dA i   in v in Ain   out v out Aout
v = velocidad
F= flujo másico
V = volumen
A = superficie
= densidad
Acumula = Entra - Sale
dm
dt
  in v in Ain   out v out Aout  Fin  Fout
m = masa
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Balance de masa a componentes
Balance a cada especie (componente) presente en el sistema (volumen de control)
d
dt
  dV
v
i


A
 i ( v  n ) dA 
 r dV
v
i
Acumula = Entra – Sale + Genera - Consume
Expresado en masa
dm i
dt
  i , in v i , in Ai , in   i , out v i , out Ai , out  riV  Fi , in  Fi , out  riV
Expresado en moles
dn i
dt
 n i , in  n i , out  riV
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Consideraciones finales
Los balances de materia se pueden establecer en masa o en moles.
El principio de conservación sólo se aplica a la masa global, por tanto si
se expresa el balance de materia global en moles hay que tener en
cuenta el término de generación/consumo por reacción.
En los balances a componentes, sean en masa o en moles siempre hay
que tener en cuenta el término generación/consumo por reacción.
El balance a componente se puede reescribir a balance a la
concentración del componente:
dMx
dt
i
 xi
dM
dt
M
dx i
dt

dx i
dt

1
M
(
dMx
dt
i
 xi
dM
)
dt
EJEMPLO
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Balance de energía
K  v /2
Energía cinética
  gz
Energía potencial
U  H  PV
Energía interna
2
E U  K  
La transmisión de energía puede ser:
Por los flujos másicos (convección)
Por conducción y radiación de calor
Términos de trabajo
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Balance de energía II
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Acumula = transmite por flujo + transmite por calor + término de trabajo
d
r E dV = òò r E ( v ×n ) dA + ( Q
òòò
dt
v
d
A
c
+ Q r ) + (W s + W E + W F )
W s : trabajo eje
òòò r (U
+ K + f ) dV = òò r (U + K + f )( v ×n ) dA + ( Q c + Q r ) + (W s + W E +
r (U
òòò
dt
+ K + f ) dV = òò r ( H + K + f )( v ×n ) dA + ( Q c + Q r ) + (W s + W E )
dt
v
d
v
A
W F : trabajo
flujo
òò r ( P V )( v ×n ) dA )
A
A
W E : trabaj o exp ansion
Suposiciones:
•La independencia de la densidad tanto del volumen como de la superficie
•Energía cinética y potencial despreciables (baja velocidad y poca dif. de altura)
dU
dt
= ( r in v in A ) hin - ( r out v out A ) hout + Q c + Q r + W s + W E
Suposición: PV constante
dH
dt
dH
dt
= Fin hin - Fout hout + Q c + Q r + W s + W E
Tiene el calor de reacción de
forma implícita en el cálculo de
las entalpías.
= Fin hin - Fout hout + Q c + Q r + W s + W E + rV ( - DH R )
EJEMPLO
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Balance de momento ( o balance de fuerzas)
Acumula = momento entra – momento sale + generación de momento
Las fuerzas que generan momento son:
•Fuerzas gravitatorias
•Fuerzas de fricción
•Fuerzas de presión
•Fuerzas de cizalla
d ( Mv )
dt
  i  o  f g  f p  f f  f c
El balance a momento es un problema tri-dimensional dado que las
magnitudes involucradas son vectores. (muchas veces se simplifica y se
considera únicamente una dimensión)
EJEMPLO
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Balances a un sistema
Las ecuaciones resultantes de establecer los balances a un sistema son:
Balances de masa
Global---------------------------1
Componentes-----------------NC-1
Balance de energía-----------------------1
Balances de momento--------------------3
(NC= número de componentes)
Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas
agrupados dinámicos son ecuaciones diferenciales
ordinarias (ODEs)
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2.2 Sistemas agrupados estacionarios
No hay descripción espacial.
No se considera la evolución temporal. El tiempo deja de ser una variable.
No hay acumulación de :
•Materia
•Energía
•Momento
en el sistema, dado que estamos en el estado final de equilibrio.
Todos los términos de las variables de estado (términos de acumulación) que
son las derivadas temporales se igualan a CERO.
0  Fin  Fout
0  n i , in  n i , out  riV
B. Materia
0 = Fin H in - Fout H out + Q c + Q r + W s + W E + rV ( - DH R )
0   i  o  f g  f p  f f  f c
B. Energía
B. Momento
Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas
agrupados estacionarios son ecuaciones diferenciales
algebraicas (AEs)
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3. Ecuaciones constitutivas
Son ecuaciones algebraicas que junto con las ecuaciones
procedentes del balance conforman el modelo. Estas ecuaciones:
•Relacionan las cantidades conservadas (variables extensivas) con
variables intensivas.
•Definen cantidades fisico-químicas como densidades, entalpías,...
•Definen los ratios de transferencia (masa, energía,...)
•Definen otras relaciones que permiten constituir el modelo.
Se pueden establecer 5 grupos que establecen ecuaciones constitutivas:
Fenómenos de transferencia: masa, calor/energía y momento.
Expresiones de cinéticas de reacción. Equilibrio químico.
Relaciones termodinámicas.
Relaciones entre volúmenes de control.
Restricciones de equipos, control,...
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3.1. Fenómenos de transferencia
Transporte molecular (fenómenos microscópicos)
Cantidad
Flujo
Fuerza
Propiedad
Ley
Relación
Calor
q
T/z
Conductividad
kT
Fourier
q= kT T/z
Masa
NA
CA/z
Difusividad
DA
Fick
NA= DACA/z
Transporte global (fenómenos macroscópicos)
Cantidad
Calor
Masa
Flujo
q
NA
Fuerza
T
CA
Propiedad
Trans. Calor
Trans. Masa
hT
kL
Relación
q= hT T
NA= NA CA
Momento
Z
vz/z
Viscosidad

Newton
Z= vz/z
Momento
Z
P
Fricción
(factor fricción)
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31
3.2. Descripción cinética (Reacción Química)
Reacción simple:
nAA---------->nBB
r=
1
d nj
;
V v j dt


r  kf ( C A , C B ,...),
Ea
r  k C nA ; k = k 0 e - RT
Las expresiones cinéticas dependen mucho del tipo de aplicación
y del sistema multi-fase de que se trate.
La geometría, reacciones laterales, inhibiciones hacen que en la
práctica se tengan expresiones complicadas.
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32
Equilibrio Químico
queda descrito:
NC

j
 j= 0
j= 1
Donde j son los coeficientes estequiométricos (reactantes <0) y j son los
potenciales químicos.
Para una reacción de equilibrio en fase gas:
naA
nbB
La ecuación anterior queda:
nb  B - na  A = 0
y para gases el potencial químico se puede definir:
 j =  jo + RT ln Pj
 jo : Potencial químico estándar
Pj : Presión parcial del componente j.
EJEMPLO
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33
3.3 Relaciones termodinámicas
Importancia de las propiedades físicas
*Cualquier programa de simulación de procesos suele contener un servicio de
propiedades físicas.
*La calidad del diseño, simulación o estudio de un proceso depende de la forma en
que las leyes físicas y químicas son aplicadas al problema.
*Las tareas principales que debe proporcionar un servicio de propiedades fisicas son:
•Suministrar de forma reiterada estimaciones de un número de diferentes
propiedades físicas durante la ejecución de la simulación
•Proveer al usuario de valores de las propiedades de interés durante el cálculo o
bien al final de la simulación.
•Permitir al usuario introducir sus propios datos para nuevos componentes y
emplearlos en el paquete de simulación
• Proporcionar al usuario una forma de estimar de forma media las propiedades
de compuestos de los que se sabe poco más que su estructura.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
34
*El cálculo de las propiedades físicas se lleva gran parte del tiempo del cálculo
total de las simulaciones.
*Dependiendo del problema y del programa empleado el tiempo dedicado a las
propiedades físicas puede ser del orden del 80%
*Cualquier preprocesamiento que se pueda hacer es por tanto muy necesario.
Un ingrediente esencial para el éxito es la elección de
UN SISTEMA DE REFERENCIA ÓPTIMO.
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35
3.3.1 Relaciones entre propiedades
Son relaciones no-lineales entre variables termodinámicas.
 = f(P,T,x) Densidad
h = g(P,T,x) Entalpía
(T = Temperatura, P=Presión, x = fracción molar)
La entalpía se puede aproximar:
h (T )  h (T 0 ) 

T
T0
c p (T ) dT
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3.3.2. Descripción del equilibrio
T
(1)
=T
(2)
=··· =T
P
(1)
= P
(2)
=··· = P
Gi
(1)
= Gi
(2)
( p)
( p)
= · · · = Gi
( p)
"
i
Equilibrio de fases
En el equilibrio se produce la igualdad de los potenciales químicos.
iI =  iII
O con las fugacidades:
fiI=fiII
Liquido-Vapor
xi pi  i = P yi
logp i = A i -
Bi
T +Ci
EJEMPLO
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37
3.3.3. Ecuaciones de Estado.
Relacionan Presión, Volumen y Temperatura para sistemas de un
componente y para mezclas multicomponente.
Ecuación de los gases ideales:
PV  nRT
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38
Propiedades involucradas
Las propiedades involucradas en los diferentes modelos de unidades de operación se pueden
resumir:
Propiedades termodinámicas:
-Coeficiente de fugacidad (o equivalente: potencial químico, K-value,...)
-Entalpía
-Entropía
-Energía de Gibbs
-Volumen (y magnitudes relacionadas)
Propiedades de transporte:
-Viscosidad
-Conductividad térmica
-Coeficiente de difusión
-Tensión superficial
Es fundamental elegir una opción correcta para que los resultados de la simulación puedan
ser válidos.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
39
Existen muchos métodos desarrollados para diferentes aplicaciones, se elige
en función:
de los componentes que participan,
 de la interacción entre estos componentes (qué tipo de mezclas forman:
polar, no polar, ideal, con asociacion,...),
 de las condiciones en que se desarrolla el proceso (rangos de temperatura,
presión,...),
 de la presencia de electrolitos,
 de la presencia de sólidos,...
 de la disponibilidad de parámetros
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
40
Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades termodinámicas:
Cálculo de Ecuaciones de estado: Cálculo de coeficientes de actividad: Volumen
molar
y
densidad:
Ideal Gas
NRTL (Non Random Two Liquids)
API Liquid Volume
Peng-Robinson
Redlich-Kister
Costal Liquid volume
Redlich-Kwong
Wilson
Brelvi-O’Conell
Van Laar
Hayden-O´Conell
Solids Volume Polynomial
Lee-Kessler
UNIFAC
UNIQUAC
Ideal Liquid
Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades de transporte:
Cálculo de la
viscosidad:
Cálculo de la conductividad
térmica:
Andrade
IAPS
Chung-Lee-Starling
Sato-Riedel
Letsou-Stiel
Stiel-Thodos
Lucas
TRAPP
Cálculo de la difusividad:
Chapman-Enskog-WilkeLee Binaary
Nernst-Hartley
Electrolytes
Dawson-KhouryKobayashi Mixture
...
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
41
Ejemplo
A continuación se muestra el método de NRTL, este método calcula los
coeficientes de actividad de líquidos y está recomendado para sistemas químicos
altamente no ideales con aplicaciones para el equilibrio líquido-vapor y líquidolíquido.

ln  =
x j
ji
G
j

x k G ki
k

ji
+
j
x j G ij

x k G kj
k
[ S ij -
xm
mj
G mj
m

]
x k G kj
k
Donde:
G ij = exp (-  ij  ij )
 ij = a ij +
b ij
T
+ e ij lnT + f ij T
 ij = c ij + d ij (T - 273.15K)
Este método fue desarrollado por Renon y Prausnitz en 1968 y tiene
un fundamento teórico y una parte ajustada experimentalmente.
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42
3.4 Relaciones entre volúmenes de control y restricciones
Las relaciones entre volúmenes de control se dan cuando existen
varias fases que están confinadas en un recipiente.
Los sistemas de proceso siempre están sometidos a un control para
garantizar que cumplen las especificaciones, esto implica que muchas
veces es necesario modelar los elementos que componen el sistema de
control: sensores, transmisores, controladores, actuadores,...
Ciertas restricciones debidas a los equipos o modos de operación
pueden tener que ser incluidas igualmente en los modelos.
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43
4. Ejercicios y aplicaciones.
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44
Realizar un modelo del sistema y analizar los
grados de libertad. I
Tanque agitado
dM
dt
dM
dt
dH
dt
 Fin  Fout
  in Q in   out Q out
 Fin hin  Fout hout 
d (V  c p T )
dt
 Fin c p Tin  Fout c p
in
out
Tout
F out   A 2 gh
Grados de libertad:
Incógnitas-------------------------------M,h,T,Fout
Ecuaciones------------------------------3
M   V   Ah
Grados de libertad:
Incógnitas-------------------------------M,h,T,Fout
Ecuaciones------------------------------4
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45
Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de
libertad. II
Evaporador (un componente)
d  LV L
dt
 Fin  Fout   L Q in   V Q out
d  LV L h
dt
V 
  L Q in h   V Q out H  Q
MP
ln P 
RT
A
B
T
h  f (P,T )
H  f (P,T )
Datos Fin,Q, L
Grados de libertad:
Incógnitas-------------------------------VL,V,Qout,T,P
Ecuaciones------------------------------4
Falta una ecuación de salida para Qout
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46
d  LV L
dt
 Fin  Fout   L Q in   V Q out
d  LV L h
dt
V 
  L Q in h   V Q out H  Q
MP
ln P 
RT
A
B
T
h  f (P,T )
H  f (P,T )
Fin  f (V L )
controlado r
Datos Fout ,Q, L
Grados de libertad:
Incógnitas-------------------------------VL,V,Fin,T,P
Ecuaciones------------------------------5
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47
Realizar un modelo del sistema y analizar los
grados de libertad. III
CSTR en serie d  V
R1
dt
dNx
 F1  F 2
 n1 x1 , A  n 2 x 2 , A  V R 1 rR 1
R 1, A
dt
dNx
 n1 x1 , B  n 2 x 2 , B  V R 1 rR 1
R 1, B
dt
dVR 2
Balance de materia
dt
dNx
 F 2  F3
R 2, A
dt
dNx
R 2,B
dt
dVR3
dt
dNx
Grados de libertad:
Incógnitas-------F2, F3 , F4 , x2A, x3A , x4A, x2B, x3B , x4B ,
V1,V2 ,V3 , r1,r2 ,r3 , c2A, c3A , c4A,
Ecuaciones------------------------------15
 n 2 x 2 , B  n 3 x 3 , B  V R 2 rR 2
 F3  F 4
R 3, A
dt
dNx
 n 2 x 2 , A  n 3 x 3 , A  V R 2 rR 2
R 3,B
dt
 n 3 x 3 , A  n 4 x 4 , A  V R 3 rR 3
 n 3 x 3 , B  n 4 x 4 , B  V R 3 rR 3
 Ea
rRi  k 0 e
RT Ri
c Ri , A
c Ri , A 
n Ri , A
V Ri
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
48
Realizar un modelo del sistema y analizar los
grados de libertad. IV
Depósitos comunicados
d  V1
dt
dV2
dt
if
 F1  F 2
 F3  F 2  F 4
h1  h 2
F 2   A1 2 g ( h1  h 2 )
else
F 2    A1 2 g ( h 2  h1 )
F4   A2
2 gh 2
Grados de libertad:
Incógnitas-------------------------------V1, V2, F2, F4
Ecuaciones------------------------------4
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49
Realizar un modelo del sistema y analizar los
grados de libertad. V
Reactor batch
dV
 F1  F 2
dt
dVc
A
dt
dVc
dt
B
 Q 1 c1 , A  Q 2 c 2 , A  Vr
 Q 1 c1 , B  Q 2 c 2 , B  Vr
d (V  c p T )
dt
dt
 F c , in  W c , out
d (V c  c c p c T c )
1
dt
d (V c  c c c )
dt
 Fc , in  Fc , out
d (V c  c c p c T c )
dt
 Fc , in c p
c , in
F2
RT
cA
2
t  a
Q st  
 ta
Q ref
c , out
0
 Ea
calen tan do
 Fc , in H c , in  W c , out c p
tb
F2  
t  b
0
  1Q 1 c p T1   2 Q 2 c p T 2  3   H R Vr  Q st  Q ref
Q ref  UA H (T  T c )
d (V c  c )
F1
r  k0e
Q st  UA H (T c  T )
Vc
t  a
F1  
t  a
T c , out  UA H (T  T c )
Q st
ta


 a  t  b

tb

0
0
Q ref
0
enfriando
T c , in  F c , out c p
c , out
T c , out  UA H (T  T c )
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50
Grados de libertad:
Incógnitas-------V, cA, cB , F2 , r,T,Qst ,Qref ,Vc,st, Tc,st , Vc,ref, Tc,ref
Ecuaciones------------------------------11
y.................12
F2   A2
2 gh 2
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51
Fin tema 2
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52
Ejemplo de balance de materia
Tanque.
dM
dt
dM
dt
Tanque con camisa.
dM
 Fin  Fout
dt
dM c
dt
  in Q in   out Q out
= Fin - Fout
= Fc , in - Fc , out
Supongo r c = cte
D ado V c = cte
Mc = V r
dM c
Tanque de mezcla perfecta sin reacción.
dM
dt
dMx
dMx
dt
x
 F1  F 2  F3
A
 F1 x1 , A  F 2 x 2 , A  F3 x 3 , A
B
 F1 x1 , B  F 2 x 2 , B  F3 x 3 , B
dt
= 0 Þ 0 = Fc , in - Fc , out
dt
3 ,i
1
Incógnitas:
F3 ; M ; x 3 , A ; x 3 , B
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53
Ejemplo de balance de energía.
Tanque de mezcla perfecta sin reacción y con camisa.
dH
dt
 Fin h in  F out h out 
d (V c  c c p c T c )
dt
 F c , in c p
c , in
d (V  c p T )
 Fin c p T in  F out c p
in
dt
T c , in  F c , out c p
c , out
out
T out  UA H (T  Tc )
T c , out  UA H (T  Tc )
Flash
dH
 Fin hin  F L h L  FV hV  Q h
dt
dH
dt
c
 Fin hin  Fout h out  Q h
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54
Ejemplo de balance de momento.
Válvula de control
f. presión
dM
=
dM v
dt
dt
M
dv
f. fricción
= Fdiafragm a - Fm uelle - Fvastago
 PA  kx  cv
dt
v
dx
2
 M
dt
d x
dt
2
 PA  kx  c
dx
dt
2
 M  d x  c  dx
 PA 


x







2
k
dt
k
dt
k


 


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55
Ejemplo de sistema con reacción.
Reactor continuo de tanque agitado.
reactor
dM
 F1  F 2  F3
dt
dVc
A
 Q 1 c1 , A  Q 2 c 2 , A  Q 3 c 3 , A  Vr
B
 Q 1 c1 , B  Q 2 c 2 , B  Q 3 c 3 , B  Vr
dt
dVc
dt
dVc c
AB  C
dt
 Ea
r  k0e
RT
cA
 Q 1 c1 , C  Q 2 c 2 , C  Q 3 c 3 , C  Vr
camisa
0  F c , in  F c , out
d (V  c p T )
dt
  1Q 1 c p T1   2 Q 2 c p T 2   3 Q 3 c p T 3   H R Vr  UA H (T  T c )
d (V c  c c p c T c )
dt
1
 Fc , in c p
2
c , in
T c , in  F c , out c p
3
c , out
T c , out  UA H (T  T c )
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56
Ejemplo de sistema con equilibrio.
Flash
dM
 Fin  Fl , out  Fv , out
dt
dMx
A
dt
dH
dt
 Fin z A  Fl , out x A  Fv , out y A
 Fin hin  F L h L  FV hV
yA  kAxA
yB  k B xB
yi 
ó
 xi
1  (  1) x i
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