TEMA VII
ESQUEMA GENERAL
Definición general
Clasificación
Diseño factorial A x B, completamente
al azar
Representación de los efectos
factoriales
Modelo estructural, análisis y
componentes de variación
DISEÑO FACTORIAL
Concepto
El diseño factorial, como estructura de
investigación, es la combinación de dos o
más diseños simples (o unifactoriales); es
decir, el diseño factorial requiere la
manipulación simultánea de dos o más
variables
independientes
(llamados
factores), en un mismo experimento.
..//..
En función de la cantidad de factores o
variables de tratamiento, los formatos
factoriales se denominan, también,
diseños de tratamientos x tratamientos,
tratamientos x tratamientos x tratamientos,
etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.
Criterios de clasificación
Por la cantidad de niveles
Criterios
Cantidad de combinaciones
Tipo de control
Clasificación del diseño factorial
por criterio
A) Según la cantidad de niveles o valores
por factor, el diseño factorial se clasifica en:
Cantidad constante
Cantidad de valores
Cantidad variable
La notación del diseño es más sencilla
cuando la cantidad de niveles por factor
es igual (es decir, constante). Así, el
diseño factorial de dos factores a dos
niveles se representa por 2², el de tres
factores por 23, etc. En términos
generales, los diseños a dos niveles y con
k factores se representan por 2k; a tres
niveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc.
..//..
Cuando los factores actúan a más de dos
niveles (es decir, cuando la cantidad de
valores por factor es variable), el diseño
se representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A su
vez, cabe considerar la posibilidad de que,
tanto en un caso como en otro, el diseño
sea balanceado (proporcionado) o no
balanceado (no proporcionado); es decir,
diseños con igual cantidad de sujetos por
casilla y diseños con desigual cantidad de
sujetos por casilla.
B) El segundo criterio hace hincapié en la
cantidad de combinaciones de tratamiento
realizadas o ejecutadas. Con base a este
criterio, el diseño factorial se clasifican en:
Diseño factorial completo
Cantidad de
combinaciones
de tratamiento
Diseño factorial incompleto
y fraccionado
Si el diseño factorial es completo, se
realizan todas las posibles combinaciones
entre los valores de las variables. Así,
cada
combinación
de
tratamientos
determina un grupo experimental (grupo
de tratamiento o casilla). Por ejemplo, el
diseño factorial completo 2x2 determina
cuatro grupos de tratamiento; un diseño
3x3 nueve grupos, etc.
..//..
Asumiendo que sólo se ejecute una parte
del total de las combinaciones, el diseño
factorial es incompleto o fraccionado,
según el procedimiento seguido.
C) En función del control de variables extrañas.
Grado de control
Diseño factorial
completamente al azar
Diseño factorial de bloques
aleatorizados
Diseño factorial de Cuadrado
Latino
Diseño factorial jerárquico o
anidado
Diseño factorial de medidas
repetidas
Según el control de los factores extraños
y la reducción de la variancia del error, el
diseño factorial puede ser, en primer
lugar, completamente al azar; es decir,
aquel formato donde sólo se aplica el
azar como técnica de control y donde los
grupos se forman mediante la asignación
aleatoria de los sujetos.
..//..
En segundo lugar, el diseño factorial de
bloques aleatorizados permite el control
de una variable extraña. Según esa
estrategia, cada bloque es un réplica
completa del experimento, y los grupos
intra bloque (dentro de cada bloque) se
forman al azar.
..//..
Siguiendo con el criterio de bloques, el
diseño factorial de Cuadrado Latino o de
doble sistema de bloques controla dos
fuentes de variación extrañas, aunque
sólo se realiza una parte del total de
combinaciones.
..//..
El diseño factorial jerárquico o anidado
requiere la manipulación experimental de
la variable y, al mismo tiempo, la
anidación (o inclusión) de una variable
dentro de las combinaciones de
tratamientos
de
los
factores.
..//..
Por último, el diseño factorial de medidas
repetidas incorpora la técnica intra-sujeto;
es decir, el sujeto actúa de control propio y
recibe todas las combinaciones de
tratamiento generados por la estructura
factorial.
Criterios
Diseño
Cantidad de
valores por
factor
Igual cantidad de valores: 2k, 3k, etc.
Cantidad variable: 2x3; 2x3x4, etc.
Cantidad de
combinaciones
de tratamientos
Diseño factorial completo
Diseño factorial incompleto y fraccionado
Grado de
control
Diseño factorial completamente al azar
Diseño factorial de bloques
Diseño factorial de Cuadrado Latino
Diseño factorial jerárquico
Diseño factorial de medidas repetidas
Efectos factoriales estimables
1. Efectos simples
2. Efectos principales
3. Efectos secundarios
Efectos factoriales simples
Es posible definir el efecto factorial simple
como el efecto puntual de una variable
independiente o factor para cada valor de
la otra.
Efectos factoriales principales
Los efectos factoriales principales, a
diferencia de los simples, son el impacto
global de cada factor considerado de
forma independiente, es decir, el efecto
global de un factor se deriva del promedio
de los dos efectos simples.
Efectos factoriales secundarios
El efecto secundario o de interacción se
define por la relación entre los factores o
variables independientes, es decir, el
efecto cruzado.
Diseño factorial al azar 2x2
Estructura del diseño
Combinación de tratamientos
por grupo o casilla
Diseño factorial 2x2
A1B1
A1B2
A2B1
A2B2
Formato del diseño factorial
completamente al azar
V.E.
V.I.
Z1
A1B1
s
e
Z2
A1B2
Z3
A2B1
Z4
A2B2
S1
S1
S1
S1
Sn1
Sn2
Sn3
Sn4
l
e
c
Asignación al azar
c
M
i
P
ó
n
Caso paramétrico. Ejemplo
Se pretende probar, en una situación de
aprendizaje discriminante animal, si la
magnitud del incentivo (variable incentivo)
actúa según el aprendizaje sea simple o
complejo (variable dificultad de aprendizaje o
variable tarea). En esta hipótesis se afirma
que a mayor incentivo, más acusada es la
diferencia entre las dos tareas (simple o
compleja).
..//..
Para ello, se registra la cantidad de
discriminaciones
correctas
(variable
dependiente) en función de un criterio
general de aprendizaje, que asume como
suficientes 15 ensayos. Se toma, como
medida de la variable dependiente o de
respuesta, la cantidad de respuestas
correctas, para un máximo de 15, bajo el
supuesto de que cada discriminación
correcta tiene la misma dificultad de
aprendizaje.
..//..
Para probar la hipótesis propuesta se
asignan 32 sujetos, de una muestra
experimental, a las combinaciones de
tratamientos o casillas (ocho sujetos por
casilla), de forma totalmente aleatoria.
Modelo de prueba de hipótesis
Paso 1. Según la estructura del diseño son
estimables tres efectos. Por esa razón, se
plantean tres hipótesis de nulidad relativas a
la variable A, variable B e interacción:
H0: α1 = α2 = 0
H0: ß1 = ß2 = 0
H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0
Paso 2. Por hipótesis experimental, se
espera que los efectos principales y el de
la interacción sean significativos. Estas
hipótesis se representan, al nivel
estadístico, por
H1: α1  α2, o no todas las α son cero
H1: ß1  ß2, o no todas las ß son cero
H1: (αß)11  (αß)12  (αß)21  (αß)22, o
no todas las αß son cero.
Paso 3. El estadístico de la prueba es la F
de Snedecor, con un α de 0.05, para las
tres hipótesis de nulidad. El tamaño de la
muestra experimental es N = 32 y el de las
submuestras n = 8.
Paso 4. Cálculo del valor empírico de las
razones F. Para ello, se toma, de nuevo,
la matriz de datos del experimento.
DISEÑO FACTORIAL 2X2
A1B1
10
9
4
8
8
4
3
6
Totales:
Medias:
52
6.5
A1B2
4
3
4
5
2
3
4
2
27
3.375
A2B1
7
9
10
8
10
9
10
7
70
8.75
A2B2
8
6
9
9
8
7
7
6
60
7.5
209
6.53
ANOVA factorial
MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR:
DISEÑO FACTORIAL 2X2
Y ijk = μ + α j + β k + ( αβ ) jk + ε ijk
Espeficación del modelo
Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinación
del j valor del factor A y el k valor del factor B.
μ = la media común a todos los datos del
experimento.
αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable de
tratamiento A.
ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B.
(αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de
A y el k valor de B.
εij = error experimental o efecto aleatorio de
muestreo.
Descomposición polietápica de
las Sumas de cuadrados
SCA
SCentre-grupos
SCtotal
SCB
SCAB
SCintra-grupos
SCS/AB
Cálculo de las Sumas de
Cuadrados: primera etapa
SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos
SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] –
[(209)²/(8)(4)] = 203.97
SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] –
[(209)²/(32)] = 126.59
SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8
+ (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38
CUADRO RESUMEN DEL AVAR PRIMERA ETAPA:
DISEÑO FACTORIAL 2X2
F.V.
SC
g.l.
Entre G
Intra G (E)
126.59
77.38
ab-1=3
ab(n-1)=28
Total (T)
203.97
abn-1=31
F0.95(3/28) = 2.95
CM
F
p
42.19 15.28 <0.05
2.76
Inferencia del primer análisis
Del primer análisis se concluye que los
grupos de tratamiento o experimentales
difieren significativamente entre sí; la
probabilidad de que un valor F de 15.28
ocurra al azar es menor que el riesgo
asumido (α = 0.05).
..//..
En
consecuencia,
se
procede
a
determinar
las
causas
de
esa
significación. Nótese que este análisis no
obedece
a
ningún
propósito
de
investigación, ya que sólo sirve para
detectar si, en términos globales, hay o no
diferencia entre los grupos. De hecho, es
como si se hubiera aplicado un modelo
uni-factorial de la variancia.
Cálculo de las Sumas de
Cuadrados: segunda etapa
SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B +
SCinteracción AxB
El cálculo de estas Sumas de
Cuadrados
requiere
la
previa
construcción de la tabla de los totales
por columnas.
MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS
B1
B2
TOTALES
A1
52
27
79
A2
70
60
130
TOTALES
122
87
209
Cálculo del valor empírico de las
Sumas de cuadrados
SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] =
81.28
SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] =
38.28
SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 –
81.28 - 38.28 = 7.03
CUADRO RESUMEN DEL AVAR SEGUNDA ETAPA:
DISEÑO FACTORIAL 2X2
F.V.
SC
g.l
Factor A
Factor B
Inter AxB
81.28
38.28
7.03
(a-1)=1
Entre-g
Intra-g
126.59
ab-1=3
42.19 15.28 <0.05
77.37 ab(n-1)=28 2.76
Total (T)
203.97
(b-1)=1
(a-1)(b-1)=1
CM
F
p
81.28 29.94 <0.05
38.28 13.87 <0.05
>0.05
7.03 2.55
abn-1=31
F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20
Inferencia del segundo análisis
Paso 5. De los resultados del análisis se
infiere la no-aceptación de las hipótesis de
nulidad para los efectos principales de A y
B, con riesgo de error del 5 por ciento. En
cambio, se acepta la hipótesis de nulidad
para la interacción. En suma, sólo se
deriva la significación de los efectos
principales.
No interacción (nula)
A1
A2
B1
B2
Interacción positiva
A1
A2
B1
B2
Interacción negativa
A1
A2
B1
B2
Interacción inversa
A2
A1
B1
B2
Representación gráfica de la interacción
Interacción nula
Interacción positiva
Interacción negativa
B1
B1
B1
B2
B2
B2
A1
A2
A1
A2
A1
A2
B2
B1
A1
A2
Interacción inversa
MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO
A1
A2
B1
6.5
8.75
B2
3.38
7.5
Promedio ensayos correctos
GRÁFICO INTERACCIÓN
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
8,75
7,5
6,5
A1 (Incentivo bajo)
A2 (Incentivo alto)
3,38
B1 (Tarea simple)
B2 (Tarea compleja)
Ventajas del diseño factorial
Se ha descrito, a lo largo de ese tema, los
conceptos básicos del diseño factorial o
estructura donde se manipulan, dentro de
una misma situación experimental, dos o
más variables independientes (o factores).
En aras a una mejor exposición del
modelo se ha descrito, básicamente, el
diseño bifactorial a dos niveles, dentro del
contexto de grupos completamente al
azar.
..//..
La
disposición
bifactorial
aporta
información no sólo de cada factor
(efectos principales), sino de su acción
combinada (efecto de interacción o efecto
secundario). De esta forma, con la misma
cantidad de sujetos requerida para
experimentos de una sola variable
independiente o factor, el investigador
puede estudiar simultáneamente la acción
de dos o más variables manipuladas. ..//..
Ello supone un enorme ahorro de tiempo y
esfuerzo. Si se tiene en cuenta la
posibilidad de analizar la acción conjunto
o cruzada de las variables, se concluye
que el diseño factorial es una de las
mejores herramientas de trabajo del
ámbito psicológico, puesto que la
conducta es función de muchos factores
que actúan simultáneamente sobre el
individuo.
..//..
Diseños factoriales 2 x 2 de bloques
A1B1
A2B1
A1B2
A2B2
Bloque 1
S11
S12
S13
S14
Bloque 2
S21
S22
S23
S24
………………………………………….
………………………………………….
Bloque k
Sk1
Sk2
Sk3
Sk4
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