Tema 1
Preliminares de Cálculo
1.
La Recta Real
2.
Números Reales, Racionales e Irracionales
3.
Orden y desigualdades
4.
Conjuntos
10. El plano cartesiano
5.
Intervalos de la recta real
11. Distancia entre dos puntos del plano
6.
Intervalos acotados
12. La gráfica de una ecuación
7.
Intervalos no acotados
13. Modelos matemáticos
8.
Valor absoluto
14. Función real de una variable real
9.
Distancia entre dos puntos
15. Gráfica de una función
16. Gráficas de funciones básicas
17. Clasificación de las funciones.
Funciones elementales
18.
Función compuesta
19. Funciones pares, impares y ceros de
funciones
20. Función inversa
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La Recta Real
Coordenada:
origen
-4
-3 -2
nº real que corresponde a
un punto de la recta real
-1
0
1
números
enteros
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2
3
4
números
naturales
Tema 1. Preliminares de Cálculo 1
Números Reales, Racionales e Irracionales
Recta Real
Números Racionales
Pueden expresarse como cociente de
dos enteros
-2,6
-2/3
-3 -2 -1
Números Irracionales
No pueden expresarse como
decimales finitos ni periódicos
5/4 2,5
0
1
2
3
e p
2
0
1
2
3
4
Decimales finitos
Periódicos
2 1,414213562
2
=0,4
5
1
=0,333...=0,3
3
e  2,718281828
p  3,141592654
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 2
Orden y desigualdades
a , b  IR
a es menor que b
si
b-a
es positivo
Este orden se denota por la desigualdad
a  b
Análogamente
mayor que 
menor o igual que 
mayor o igual que 
Recordar que cuando se multiplica por un número negativo se
invierte la desigualdad
x  3
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 -4 x  -12
Tema 1. Preliminares de Cálculo 3
Conjuntos
Notación
Un conjunto es una colección de elementos
El conjunto de todos los x que satisfacen una cierta condición

x
:
condición sobre x
Conjunto de los números Reales

IR
Conjunto de los números reales positivos xIR : x  0 
Conjunto de los números reales no negativos x IR : x 0 
Unión de dos conjuntos:
A  B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos
Intersección de dos conjuntos:
A  B es el conjunto de elementos de A y de B
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 4
Intervalos de la recta real
(a, b) = x : a  x  b 
Intervalo abierto
extremos
[a, b] = x : a  x  b 
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Intervalo cerrado
Tema 1. Preliminares de Cálculo 5
Intervalos acotados
Notación de
intervalos
Notación de
conjuntos
Gráfica
Intervalo acotado abierto
(a, b)
x : a x  b 
(
a
)
b
x
Intervalo acotado cerrado
[a, b]
x : a  x  b 
[
a
]
b
x
Intervalos acotados
[ a, b) x : a  x  b 
(a, b] x : a  x  b 
)
b
]
b
x
ni abiertos ni cerrados
[
a
(
a
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x
Tema 1. Preliminares de Cálculo 6
Intervalos no acotados
Notación de
intervalos
Intervalos no acotados
abiertos
Intervalos no acotados
cerrados
Recta real
Notación de
conjuntos
Gráfica
(-, b) x : x  b 
(a, )
x : x  a 
(
a
(-, b] x : x  b 
[a, )
x : x  a 
(-,)
x : xIR 
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[
a
a
)
b
x
]
b
x
b
x
x
x
Tema 1. Preliminares de Cálculo 7
Valor absoluto
Si a es un número real, el valor absoluto de a es
| a| =
Ejemplo:
a
si a
 0
-a
si a
 0
a = -4
| a | = | -4 | = - (-4) = 4
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 8
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos a y b de la recta real es
d =| a-b| =| b-a|
Distancia entre a y b
a
| a-b|
b
El punto medio de un intervalo con extremos a y b es el
valor medio de a y b
Punto medio de (a,b)= a + b
2
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 9
El plano cartesiano
Sistema de coordenadas rectangular utilizado para
representar pares ordenados (x,y) de números reales
Eje y
Cuadrante
II
Cuadrante I
y
(x,y)
x
y
origen
Cuadrante III
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Eje x
x
Cuadrante IV
Tema 1. Preliminares de Cálculo 10
Distancia entre dos puntos del plano
distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) del plano
d
x2  x1 
2
  y2  y1 
2
(x1,y1)
| y2 - y1 |
(x1,y2)
x1
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| x2 - x1 |
(x2,y2)
x2
Tema 1. Preliminares de Cálculo 11
La gráfica de una ecuación
3x + y =7
(2,1)
porque se satisface cunado
Perspectivas en el Cálculo
sustituímos
Gráfica
por
2
e
y
por
1
Despejamos y en la ecuación inicial
y = 7 - 3x
Analítica
Numérica
x
Elaboramos una tabla numérica sustituyendo
varios valores de x
x
0
1
2
3
4
y
7
4
1
-2
-5
El conjunto de todos
los puntos solución
constituye la gráfica
de la ecuación
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6
(0,7)
4
(1,4)
2
3x + y =7
(2,1)
2
4
(3,-2)
Tema 1. Preliminares de Cálculo 12
Descripción de un problema
(frecuentemente de la vida real)
utilizando una formulación matemática
(por ejemplo con una ecuación) con
precisión y sencillez
Modelos matemáticos
Entre 1960 y 1990 se registró la concentración de dióxido de carbono y (en partes por
millón) en la atmósfera terrestre
Modelo lineal
360 -
Modelo cuadrático
360 -
355 -
350 345 340 335 330 325 320 - 

315 -

















355 -
350 345 340 335 330 325 320 - 

315 -
310 -


















Haciendo t=75
-
-
-
30
-
25
-
-
20
-
-
15
-
-
-
-
10
¿Podríamos predecir en el año 2035
la cantidad de CO2 en la atmósfera?
Solución:
310 5
¿Qué modelo es mejor?
y = 313,6 + 1,24 (75)= 406,6
r2=0,984
y = 313,6 + 1,24 t
y = 316,2 + 0,70 t+ 0,70 t2
Cálculos realizados con el Método de ajuste por
Mínimos Cuadrados
y = 316,2 + 0,70 (75)+ 0,70 (75)2=469,95
r2=0,997
Es mejor el modelo cuadrático puesto que
la correlación r2 es más próxima a 1
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 13
Función real de una variable real
Dominio
Sean X e Y dos conjuntos de números reales.
X
Una función real f de una variable real x de X a
Y es una correspondencia que asigna a cada
número x de X exactamente un número y de Y.
x
f
Recorrido
X X X
y=f(x)
Y
• El conjunto X se llama dominio de f.
• El número y se denomina la imagen de x for f y
se denota por f(x).
x : variable independiente
• El recorrido de f se define como el subconjunto
de Y formado por todas las imágenes de los
números de X.
y : variable dependiente
Ecuación en forma
implícita
Ecuación en forma
explícita
x  2y 1
2
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1
y  (1  x 2 )
2
Notación de funciones
1
f ( x)  (1  x 2 )
2
Tema 1. Preliminares de Cálculo 14
Gráfica de una función
La gráfica de una función está formada por todos los puntos ( x, f(x) ), donde
x pertenece al dominio de f y se denota por f(x).
x = distancia desde el eje y
f(x) = distancia desde el eje x.
(x,f(x))
y =f(x)
f(x)
x
Gráficas de funciones básicas
4
f(x) =x
2
1
-3
-2
-1
-1
f(x) = x3
2
1
1
2
3
-3
-2
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-2
-1
-1
-2
2
f(x) =x2
1
2
3
1
-3
-2
-1
-1
1
2
3
-2
Tema 1. Preliminares de Cálculo 15
Gráficas de funciones básicas
3
f(x) =x
3
2
2
1
1
1
2
3
f(x)=
-3
4
-2
-1
-1
-3
2
-2
-1
1
1
-1
3
-2
2
3
-2
f(x) = sen x
f(x) =
1
COS
x
1
p
p
x
2
f(x) = | x |
1
1
2p
-1
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2p
p
p
2p
-1
Tema 1. Preliminares de Cálculo 16
Clasificación de las funciones. Funciones elementales
Función polinómica
Término
constante
grado
Funciones algebraicas
f ( x)  an x n  an1 x n1    ai x i    a1 x  a0
Coeficiente
dominante
Coeficientes
f ( x) 
Funciones radicales.
Por ejemplo,
p(x), q(x) polinomios
Funciones trigonométricas
p ( x)
, q ( x)  0
q ( x)
Función racional
f ( x)  x  1
Seno, coseno, tangente,...
3
Funciones exponenciales y
logarítmicas
f-1(x) = ex
2
1
-2
-1
f(x) = ln x
-1
1
2
-2
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 17
Función compuesta
Dominio de g
f
o
Sean f y g dos funciones.
g
x
g
La función dada por (f o g)(x)=f(g(x))
f ( g(x) ) se llama función compuesta de f con g.
g (x )
Dominio def
f
f ( x)  2 x  3
El dominio de es el conjunto de todos
los x del dominio de g tales que g(x)
pertenece al dominio de f
g ( x)  cos x
( f  g )( x)  f ( g ( x))  2 g ( x)  3  2 cos x  3
( g  f )( x)  g ( f ( x))  cos( 2 x  3)
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Tema 1. Preliminares de Cálculo 18
Funciones pares, impares y ceros
de funciones
•Si la gráfica de una función f,
corta al eje x en el punto (a,0),
entoces a se denomina un cero de f
•Los ceros de una función f son las
soluciones de la ecuación f(x) =0
Criterio para funciones
pares e impares
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f(x) =
0
(a,0)
•La función y=f(x) par
si f(-x) = f(x)
•La función y=f(x) impar si f(-x) =-f(x)
Tema 1. Preliminares de Cálculo 19
Función inversa
f
Una función g es la inversa de una función f
si
-1
f(g(x)) = x para todo x en el dominio de g
f
•Dominio de f = Recorrido de
•Dominio de
f-1=
f-1
g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f
Recorrido def
f ( x)  2 x 3  1 , g ( x)  3
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
La función g se denota por f-1
x 1
2
Son funciones inversas
Tema 1. Preliminares de Cálculo 20
Bibliografía
Cálculo y Geometría Analítica
Larson, Hostetler, Edwards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),
Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas
para ingeniería técnica agrícola y veterinaria
Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000
Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema 1. Preliminares de Cálculo 21
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La Recta Real