Iniciación a
la R esistencia de los M ateriales
T ex to d e referen cia:
C A P IT U L O III:
V IG A S
---------
•T E N S IO N E S Y
D E F O R M A C IO N E S E N
M A T E R IA L E S E L Á S T IC O S
D IA G R A M A S D E
S O L IC IT A C IO N E S
•d e J .A .G . T a b oa d a
P A R T E 1 : R es iste nc ia
O bjeto:
C O M P E N D IO D E LO S C O N O C IM IE N T O S B AS IC O S
D E E L AS T IC ID AD Y D E R E S IS T E N C IA D E
M AT E R IA LE S .
L ección 6:
Lección 6 :
• 6.1 .- Definiciones y generalidades.
• 6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación
entre ellas.
• 6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad.
• 6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante,
momento flector. Convenio de signos
• 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales,
cortantes y momentos flectores.
• 6.6 .-Concepto de deformada o elástica.
6.1 .- Definiciones y generalidades
Vigas
Pilares
Cimentación
Fibra media
Plano medio
Prisma elemental
Ley de Hooke
Pº Saint Venant
Hip. Bernouilli
Rigidez relativa
Pº Superposición
No Dsecciones br
6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas.
Relación entre ellas.
Cargas
Concentradas
Repartidas
Permanentes
Sobrecargas
Reacciones
Representación
Símbolo
Ecuaciones
Existe en el apoyo:
MF, N, V
Empotramiento
No existen:
dv, dh, F
Existe en el apoyo:
N, V, F
Articulado fijo*
No existen:
dv, dh, MF
Representación
Símbolo
Ecuaciones
Existe en el apoyo:
V, dh, F
No existen:
dv, Fh, Mf
Articulado móvil
Existen en ella:
N, V, F
Articulación intermedia
No existen:
dv, dh, Mf
Designación
Símbolo
Apoyo elástico
Ecuaciones
Existe en el apoyo:
Rv = -k*d, Rh, F
No existen:
dh, Mf
Existen en ella:
N, V, M = -k * F
Empotramiento elástico
No existen:
dv, dh
GRADO DE HIPERESTATICIDAD
Es la diferencia existente en un sistema entre el
número de reacciones incognitas a resolver y la
cantidades de ecuaciones del mismo disponibles para
su resolución, (ecuaciones de la estática y puntos
singulares).
El Grado de Hiperestaticidad indica el número de
ecuaciones de deformación que es necesario plantear
para resolver el sistema.
G.H. = Nreacciones – 3 – nº artic.
6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo.
Estabilidad.
• Resolución de una viga:
– hallar las reacciones en los apoyos.
– NR = nm + 2·nf + 3·ne
– Siendo
•
•
•
•
NR el nº de reacciones a calcular
nm el nº de articulaciones móviles
nf el nº de articulaciones fijas
neel nº de empotramientos
– Si NR es igual a 3 el sistema es isostático
6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante,
momento flector, momento torsor.
Solicitación
• Esfuerzo Normal
Efecto
N
 Alargamiento
d
V
 Deslizamiento
g
Mf
 Giro de Flexión F
Mt
 Giro de Torsión q
• Esfuerzo Cortante
• Momento Flector
• Momento Torsor
6.4 .- Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos
Solicitación
• Esfuerzo Normal
N
+
• Esfuerzo Cortante
V
+
• Momento Flector
Mf
+
• Momento Torsor
Mt
6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.
• Los diagramas de esfuerzos son la representación
gráfica de los valores (en ordenadas) que tienen a lo
largo del prisma mecánico.
• En ellos se representan los puntos de máximos y por
tanto se detectan las secciones en donde se producen
para poder proceder a su análisis.
• El Objetivo es diseñar una estructura que resista el
punto donde se produce una mayor Solicitación.
6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.
• Relación entre “q”, “V”, “Mf”:
q
Donde V = 0 => Mf tiene un max.o min. relativo
V+dV
Si V = 0 en un tramo => Mf = Cte.
Donde q = 0 => V tiene un max. o min. relativo
Si q = 0 en un tramo => V = Cte.
V
Mf
 dx 
Mf + dMf
El esfuerzo cortante es la pendiente del diagr. Mf.
La carga unitaria es la pendiente del diagr. V
Si hay una carga concentrada V varía brúscamente
SFv = 0 => dV + q·dx = 0 => q = - dV/dx
Para tener un D brúsca del Mf ha de estar aplicado Mf
Se puede estudiar cada carga separadamente (ppº sup)
despreciando – q·d2x / 2
SMf = 0 => dV·dx - dMf= 0 => V= dMf/dx
SOLICITACIONES Y DEFORMADA
FORMULASVALORES
A
B
Concepto
P
L
N=0
V = +P
+
Módulo Elasticidad
E=
Momento Inercia
Módulo Poisson
Iz =
m=
Reacciones
Ra = P
Ha = 0
Ma = -PL
M = -PL
M=0
A
Simbolo Valor
Carga Vertical
P=
3.000
Carga Horizontal
Fh =
0
Carga a Flexión
M=
0
Longiud
L=
600
Canto sección
h=
60
Base sección
b=
12
B
Sección 1
x = 0 en B
0< x < L
N = Ha = 0
V=P
M = - P∙x
Ra =
Ha =
Ma =
x=
Nx =
Vx =
Mx =
2.100.000
UNIDADES
Unidades
Kg
Kg
Kg∙cm
cm
cm
cm
Kg/cm2
4
216.000 cm
0,30 -
3.000 Kg
0 Kg
-1.800.000 Kg∙cm
600 cm
0 Kg
3.000 Kg
-1.800.000 Kg∙cm
6.6 .-Concepto de deformada o elástica.
• Es la forma que adopta la “fibra media una vez sufridas las acciones
exteriores y haberse alcanzado el equilibrio elástico.
• Su ecuación representa la curva que forma, en la cual el Mf es la
pendiente de la tangente en cada punto.
df
s = e·E = (y / r) ·E
r / dx = y / dx·
e
e=y/r

r
s / (y ·E) = 1/r
y

dx

r
y

dx
 dx·
e
s / (y ·E) = 1/r
Mf = S(s·y·dS)
= E/r · S(y2·dS)
= E·Iz / r
Mf = E·Iz / r
Mf / E·Iz = 1/ r
E·Iz : Rigidez a Flexión :
Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse.
Es función del Material (E) y de la “forma” de la sección (Iz)
Cuanto mayor sea este término mas Momento resiste sin curvarse.
Deformada de un prisma mecánico
Viga apoyada
L/2
A
L/2
B
SFH = 0
HA = 0
SFV = 0
RA + RB = P
SMA = 0
1/2 P·L -RB ·L = 0
Pórtico
L/2
A
L/2
B
SFH = 0
HA = 0
SFV = 0
RA + RB = P
SMA = 0
1/2 P·L -RB ·L = 0
Resolución de Pórtico
P
D
C
I
I
I
L
A
L
B
Resolución de Pórtico
P
C
D
x
I
M1 = HB·x = 0
0<x<L
M2 = RB·x
0 < x < 1/2L
M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x
0 < x < 1/2L
M4 = RB·L - P·1/2·L = 0
0<x<L
x
I
I
L
A
L
x
RA
HA
SFH = 0
SFV = 0
SMF = 0
x
B
P = RA + RB
RB
RA = ½·P
RB = ½·P
HA = 0
Sección3 => x = 0 en E
Sección2 => x = 0 en D
½·L > x > 0 N3 = 0
½·L > x > 0 N2 = 0
Sección4 => x = 0 en A
V3 = P - RB
V2 = - RB
L>x>0
M2 = RB ·
M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x
x
N4 = RA
+
P
L/2
V4 = H A = 0
Sección1 => x = 0 en B
M4 = HA · x=
D
C
+
0
L>x>0
-
L
N1 = RB
V1 = 0
-
-
-
M1 = 0
L
B
A
HA = 0
RA = ½·P
RB = ½·P
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Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.