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1.8 Energía potencial eléctrica y definición de
potencial eléctrico.
Trayectoria de una carga en una curva
VB
VA
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Si queremos desplazar la carga q en contra
de la fuerza ejercida por el campo eléctrico,
desde A hasta B, el trabajo realizado por el
agente externo es:
B
WB  
A


F  qE
A

 
B 
F  dl   q  E  dl
A
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La integral de línea entre dos puntos A y B es
independiente de la trayectoria, de acuerdo al teorema
de Stokes
Rotacional del campo E
 
  E ( x, y, z )  0
Para cualquier función escalar
vectorial V‘ se cumple que :
de
variable
   V ( x , y , z )  0
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Tomando en cuenta que el campo y el la
función escalar, pueden quedar expresados
como:

E ( x , y . z )   V ( x , y , z )
Igualando las integrales, la cual varía
solamente respecto de los puntos A y B

 
 E  dl    V   dl
B
B
A
A
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• Para demostrar que la integral de línea solo depende de las
posiciones de los extremos.
• Tomemos la siguiente figura, sea una trayectoria A B
B
V 
dℓ1
Δℓ1
3
1
A
Δℓ3
2
Δℓ2
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Demostración de que la variación de una función en la
dirección dl desde A hasta B es independiente de la
trayectoria. (Sea la trayectoria de A hasta B)
 V   V  x y z
1
1
1
  V 
Si Δℓi son muy pequeños Δν‘
diferencial
V   dV  

V
x
dx 
V
y
x y z
A
A
tiende
dy 

d l  dxi  dyj  dzk
V
z
A

a ser un
dz

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
 V   (  V )  d 
igualando
V  x y z
1
Donde
1
1
  V 
x y z
A
A

   V   l
A
1
1
Es el gradiente de V‘ en el
punto 1 de la curva.
 V 1
De manera similar del punto 1 al 2
V  x y z
2
2
2
  V 
x y z
1
1
1

   V   l
2
2
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Para los puntos 2 a 3
V  x 3 y 3 z 3
Donde
 V 3
  V 
x2 y2 z2

   V 3   l 3
Es el gradiente de V‘ en el
punto 3 de la curva.
Y de igual forma para todos los puntos de la curva.
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Al sumar todas las contribuciones de los n
elementos de Δℓi , se eliminan todos los
componentes quedan solamente:
V  x y z
B
Cuando
B
  V 
B

    V   l
n
x y z
A
A
A
i
i 1
i
l  0
i
V  x B y B z B
  V 
  A
B
xA yAzA

 V   dl
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Por lo anterior, se concluye que la integral de línea
solamente depende de las posiciones inicial y final
de una trayectoria.
V  x B y B z B
  V 
  A
B
xA yAzA

 V   dl
Para cuando una carga se mueve del punto A
hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la
variación de la energía potencial eléctrica U
Por lo tanto se puede obtener una diferencia de
energías potenciales.
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ENERGÍA POTENCIAL.
Para cuando una carga se mueve del punto A
hacia el punto B, el trabajo que realiza es igual a la
variación de la energía potencial eléctrica U
Por lo tanto se puede obtener una diferencia de
energías potenciales.
Lo anterior aplicado al campo eléctrico E
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La energía potencial eléctrica en el punto A,
tomando una referencia de cero en el infinito
es:

A 
U
A
 W A   q 

E  dl
Lo anterior representa el trabajo de traer la carga q desde
infinito hasta A
La Energía potencial por unidad de carga se le conoce como
el potencial eléctrico en el punto A y es VA, siendo este
potencial un escalar
VA 
U
A
q
 
A



E  dl
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Las unidades son
Joule
Coulomb
J 

 volt  V


C
 
Si el punto A esta a un potencial VA y el punto B a un potencial
VB, existe una diferencia de potencial entre A y B y se expresa
como:
V
AB
V V
A
B

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Se cumple que
V
AB
 V
BA
  V  V
B
A
Si expresamos lo anterior como las trayectorias de A hasta B y
recordando el potencial en A
U
A
q
 
A



E  dl  V A
V AB  V A  V B   
A

 
E  dl 

B

 
E  dl

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Como es conservativo el campo, las trayectorias
de -∞ a A sigue la trayectoria iniciar en el extremo
de B , por lo que
A



A



E  dl 


E  dl 

B

B




E  dl 
A



E  dl
B


E  dl 

A


E  dl
B
Por lo tanto la diferencia de potencial de A a B es:
V AB   
A
B


E  dl
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La expresión anterior, permite obtener el potencial
eléctrico a partir de la distribución de carga del
campo de origen.
Es decir, es posible calcular el potencial o
diferencia de potencial debido al campo eléctrico
creado por una carga, una línea, una superficie,
entre otras distribuciones.
V AB   
A
B


E  dl
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Y el trabajo para mover una carga de un punto A
hacia un punto B es:
W
A
B
 q
V AB   
A
B


E  dl
A


E  dl
B
W
A
B
  q ()
A
B


E  d l  qV BA
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Potencial debido a una carga puntual
V
El campo E de una
carga puntual:
El potencial en A
es VA


   E  dl
A
A

E 
VA  
1
4 
1
4  0
Q
0
2
r
Q
rˆ

A r
ˆ  dl

r
2
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Carga puntual Q , y trayectoria dl en
dirección hacia la carga.
dî
Vector r:
A
E
+
ra
Vector dl:
ř
dř
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El producto punto de dr y dl, donde dl esta
en dirección a la carga.


rˆ  d l  rˆ d l cos    dl
Además de dl= -dr
VA  
1
4  0
Q
rA

dr
r
2
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Resolviendo
integral definida
la
El potencial en A es
VA debido a una
carga puntual es:
VA  
V
A
1
4  0

Q[
1
 0]
rA
1
4 
Q
0
r
A
V 
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Resolviendo
integral definida
la
El potencial en A es
VA debido a una
carga puntual es:
VA  
V
A
1
4  0

Q[
1
 0]
rA
1
4 
Q
0
r
A
V 
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Potencial para una carga puntual.
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Para
el
potencial
cartesianas.
V
x,
y, z  
en
1
4 
coordenas
Q
0
x
2
 y
2
 z
2

1
V 
2
Para n cargas puntuales, se obtiene el potencial debido a
cada carga y se suman por superposición.
V

1
4  0
n

i
rn

Q
r
V 
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Para
el
potencial
cartesianas.
en
coordenas
Para el caso de distribuciones de carga
V 
1

4  0
dq
r
V 
Para el caso de distribuciones de carga superficial.
V 
1
4  0

 dA
r
V 
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Considere la carga Q en el siguiente esquema.
Obtener la diferencia de potencial de i a f que realiza un agente
externo para mover una carga Q de i a f.
V fi  V f  V i   
i
f
 
E  dl
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El campo por una carga puntual es :
E 
1
Q
4  0 r
V fi  V f  V i   
i
f
2
rˆ
1
4  0
 J 
r  dl
2 ˆ
C 
r
 
Q


rˆ  d l  rˆ d l cos   1cos 180 dl   dl
dl   dr
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La diferencia de potencial de f a i
V fi  V f  V i 
V fi 
Q
4  0
Q
(

f
i
1
4 0 r f
1
r
2

dr 
1
ri
Q
1
4  0 r
) V 
f
i
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• Diferencia de potencial entre dos puntos producidos
por una línea con λ
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Diferencia de potencial entre dos puntos f, i producida por una
superficie infinita cargada uniformemente
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• El campo en una superficie con distribución δ
E 

2 0
V fi  V f  V i   
V fi  

2 0
y
i
ˆj

yf
yi
 yf
2 0

dy  

2 0
y
yf
yi
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Diferencia de potencial por dos superficies infinitas
paralelas de signo contrario y de igual magnitud.
E 
V fi  V f  V i   
f
i
V fi  

0
y
i


2 0
 
yf 2

2 E  dl   
dy  
y
yi 2 
0
0
 y f  E  d V

ˆj
yf
yi
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Próxima sesión:
Ejemplos de potencial y:
1.9 Cálculo de diferencias de potencial
(carga puntual, segmento de línea,
superficie infinita, placas planas y
paralelas).
1.10 El gradiente de potencial eléctrico.
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