1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial
2. Funciones vectoriales de varias variables
3. Diferenciación parcial
4. El gradiente, la divergencia y el rotacional
5. Integración múltiple
6. Integral de línea
7. Integral de superficie
8. El teorema de la divergencia
9. El teorema de Stokes
10. Otros teoremas integrales
1. Los conceptos de escalar, de vector y sus
operaciones
2. Entender las funciones vectoriales de un vector
3. Los diferentes conceptos de derivadas de campos
escalares y vectoriales
4. El concepto de gradiente, de divergencia y de
rotacional. Sus significados físicos.
5. Entender y saber hacer integrales múltiples,
integrales de línea e integrales de superficie
6. Conocer, entender y saber aplicar los diferentes
teoremas integrales
1. Álgebra elemental
2. Trigonometría
3. Geometría analítica plana y del
espacio
4. Calculo elemental
5. Álgebra lineal
y  f x
f :D  R  R
x
f :D  R  R
n
D erivad as:
d f
dx
In teg rales:

n
x
f
a
 x dx
En este curso un
ESCALAR
será cualquier número real
En este curso un ESCALAR
será cualquier número real
Ejemplos de cantidades escalares:
•La temperatura
•La corriente eléctrica
•La presión
•El volumen
•La cantidad de carga
•La masa
•La energía
E s un conjunto ordenado de n cantidades:
 a1 , a 2 ,..., a n 
Los vectores son los elem entos del
espacio euclidiano
R
n
E s un conjunto ordenado de n cantidades:
 a1 , a 2 , ..., a n 
S on los ele m entos de R
n
E n este curso usarem os la definición m ás lim itada
y tradicional de un "objeto" que pos ee
m agnitud, dir ección y sentido
A los vectores los representarem os por
flechas en el espacio.
P ensarem os en el vector com o la flecha m ism a
U n vecto r es u n a can tid ad q u e tien e
m ag n itu d , d irecció n y sen tid o .
E s u n en te co n 3 co m p o n en tes:
 a1 , a 2 , a 3 
-L a p o sició n d e u n o b jeto en m o vim ien to
-U n a fu erza
-E l m o m en to an g u lar
-E l cam p o electro m ag n ético
E l valor absoluto o m agnitud de un vecto r es
su longitud, su tam año.
S i el vector es A , su m agnitud se represe nta
com o
A
ó
A
A quel cuya m agnitud ó valor absoluto es 1
a es unitario si a  1
A los vectores unitarios los denotarem os
con un acento circunflejo ó "gorrito":
aˆ
A quel cuya m agnitud ó valor absoluto es 0
a es cero si a  0
Lo denotarem os com o 0
ab
b
a
b
ab
a
1) E s conm utativa: a  b  b  a

 

2) E s asociativa: a  b  c  a  b  c
A sí que podem os poner
ab c
S e define
 
a  b  a  b
donde  b tiene la m ism a m agnitud que b ,
y la m ism a dirección, pero sentido inverso.
b
a
ab
b
ab
ab
a
E l p ro d u cto d el escalar  p o r el vecto r a e s
a
E s u n vecto r cu ya lo n g itu d es  a ,
tien e la m ism a d irecció n q u e a ,
y el sen tid o es el d e a si  > 0
y el in verso q u e a si   0
a
a
S i llam am o s  al án g u lo q u e h acen lo s vec to res
a y b,
se d efin e el p ro d u cto escalar (in tern o ó p u n to )
co m o
a  b  a b co s   a b co s 
a

b
Lo podem os ver com o
a  b  a cos   b  b cos   a
E s la proyección de uno de los dos en el otro,
por la m agnitud de ese otro
a

b
a  b  a cos   b  b cos   a
E s la proyección de uno de los dos en el otro,
por la m agnitud de ese otro
a
a


p
b
cos  
p
a
 p  a cos 
1) S i a  1, entonces a  b  b cos  que es la
proyección de b en la dirección de a
1) S i a  1, entonces a  b  b cos  que es la
proyección de b en la dirección de a
2) S i a  b entonces  = 0
 cos 
 1  y se tiene a  a  a
2
a
2
1) S i a  1, entonces a  b  b cos  que es la
proyección de b en la dirección de a
2) S i a  b entonces  = 0
 cos   1  y se tiene a  a  a
3) E l producto escalar es conm utativo a  b  b  a
2
a
2
1) S i a  1, entonces a  b  b cos  que es la
proyección de b en la dirección de a
2) S i a  b entonces  = 0
 cos   1  y se tiene a  a  a
3) E l producto escalar es conm utativo a  b  b  a
4) E l producto escalar es distributivo respecto a la su m a


a  b  c  a b  a c
2
a
2
S i el producto escalar, a  b  a b cos  ,
de dos vectores es cero, entonces
1) A l m enos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son perpendiculares (ort ogonales),
es decir,   90

/ 2  ó  70
 3
/ 2
S i dos vecto r es son ortogonales, entonces su
producto escalar es cero
a  b  a b sin 
ab
a

b
S i llam am o s  al án g u lo q u e h acen lo s vec to res
a y b,
se d efin e el p ro d u cto vecto rial o cru z, d e la
sig u ien te m an era:
1)
a  b  a b sin 
2) S u dirección es perpendicular al plan o form ado
por los vectores a y b
3 ) E l sen tid o d el vecto r está d efin id o p o r el avan ce
d e u n to rn illo q u e va d e a a b (p o r la reg la d e la
m an o d erech a)
a  b  a b sin 
ab
a

b
a  b  a b sin  es el área
de este paralelogram o
ab
a

b
1) E l producto vectorial N O E S C O N M U T A T IV O :
a  b  b  a
2) E l producto vectorial es distributivo respecto
a la sum a


a b c  ab  ac
3) P ara todo vector a  a  0
S i el p ro d u cto vecto rial d e d o s vecto res
a  b  a b sin 
es cero , en to n ces
1 ) A l m en o s u n o d e lo s d o s es cero
ó
2 ) L o s vecto res so n p aralelo s
es d e cir,   0
0
ó 180
 
S i d o s vecto res so n p aralelo s, en to n ce s su
p ro d u cto vecto rial es cero
D enotarem os com o
iˆ , ˆj , kˆ
los vectores unitarios a lo largo de los ejes
X , Y,Z
A sí un punto P estará representado por el
vector
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
Z
kˆ
ˆj
Y
iˆ
X
L o s vecto res
iˆ  ˆj  0
b ase cartesian o s
ˆj  kˆ  0
so n o rto g o n ales en tre si
kˆ  iˆ  0
L o s vecto res
iˆ  iˆ  1
b ase cartesian o s
ˆj  ˆj  1
so n u n itario s
kˆ  kˆ  1
Los vectores base cartesianos constituyen,
adem ás, una base "der ec h a ":
iˆ  ˆj  kˆ
Z
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ
ˆj
Y
kˆ  iˆ  ˆj
iˆ
X
Los vectores base cartesianos constituye n,
adem ás, una base "derecha" :
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj
T rivialm ente se cum ple tam bién,
iˆ  iˆ  0
ˆj  ˆj  0
kˆ  kˆ  0
Z
P  x, y, z 
kˆ
r
ˆj
z
Y
iˆ
x
y
X
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
Si
a  a1iˆ  a 2 ˆj  a 3 kˆ
y
b  b1iˆ  b 2 ˆj  b3 kˆ
1) a  b   a1  b1  iˆ   a 2  b2  ˆj   a 3  b3  kˆ
2) a  b  a1b1  a 2 b 2  a 3 b3
3)
a 
a a a
2
1
2
2
2
3
Si
a  a1iˆ  a 2 ˆj  a 3 kˆ
y
b  b1iˆ  b 2 ˆj  b 3 kˆ
4)
kˆ
iˆ
ˆj
a  b  a1
a2
a3 
b1
b2
b3
  a 2 b3  a 3 b 2  iˆ   a1b3  a 3 b1  ˆj   a1b 2  a 2 b1  kˆ
En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola
variable.
Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y
los procesos dependen de varias variables.
Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en
general, sirven para describir correctamente los procesos
de la naturaleza.
Por motivos metodológicos las podemos dividir como:
•Funciones vectoriales
•Funciones escalares de un vector o campos escalares
•Funciones vectoriales de un vector o campos
vectoriales
V :R  R
n
V :R  R
3
V  t   V1  t  iˆ  V 2  t  ˆj  V 3  t  kˆ
V  t    V1  t  , V 2  t  , V 3  t  
E l vector es una función
Z
V t 
Y
V :R  R
X
3
V :R  R
2
V  t   V1  t  iˆ  V 2  t  ˆj
V  t    V1  t  , V 2  t  
Y
V  t2 
V  t1 
V  t3 
X
V :R  R
3
V  t   V1  t  iˆ  V 2  t  ˆj  V 3  t  kˆ
V  t    V1  t  , V 2  t  , V 3  t  
C ada una de las com ponentes de la funció n es una
función real de una variable real
Vi  t  : D  R  R
i  1, 2, 3
y por lo tanto vale todo lo del cálculo elem ental
V :R  R
3
V  t    V1  t  , V 2  t  , V 3  t  
V  t  es continua si y sólo si las tres
funciones
V1  t  , V 2  t  y V 3  t 
son contínuas
V :R  R
dV t 
dt
3
lim
t  0
V t  t   V t 
t
 lim
t  0
V
t
V :R  R
dV  t 
dt
dV  t 
dt
3
 lim
t  0
V t  t   V t 
t
dV1 ˆ dV 2 ˆ dV 3 ˆ

i 
j
k
dt
dt
dt
 lim
t  0
V
t
V :R  R

3
V  t   t  t sin t , t , e
2
t

V :R  R

3
V  t   t  t sin t , t , e
2
t

dV
t
 1  sin t  t co s t , 2 t ,  e 
dt
V :R  R

3
V  t   t  t sin t , t , e
t


dV
 1  sin t  t cos t , 2 t ,  e
dt
2
d V
dt
2
2

 2 cos t  t sin t , 2, e
t

t

V :R  R

3
V  t   t  t sin t , t , e

 1  sin t  t cos t , 2 t ,  e
dt
2
d V
2
3
d V
dt
t

dV
dt
2
3

 2 cos t  t sin t , 2, e

t
t


  3 sin t  t cos t , 0,  e
t

V :R  R
3

V  t   t  t sin t , t , e
dV
2
t


 1  sin t  t cos t , 2 t ,  e
dt

V  t  1   1  sin 1,1 , e
dV
dt
t
2

1
t

  1.84,1.00, 0.37 
 1   1  sin 1  cos1, 2,  e
1
   2.38, 2.00,  0.37 

V  t   t sin t co s t , t co s te

V  t   t sin t cos t , t cos te
t
2

t
2

t    1 .5, 1 .5 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t   V t  t   V t 
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
V t, t 
t

V t  t   V t 
t
dV  t 
dt
 lim
V t  t   V t 
t  0
t
 lim
t  0
V
t
Y
V t  t 
V t 
X
V :R  R
3
Z
Y
dV
dt
X
La derivada en un punto nos da un vector
tangente a la curva en dicho punto
V :R  R
dV t 
dt
d V1 ˆ d V 2 ˆ d V 3 ˆ

i 
j
k
dt
dt
dt
d V t 
n
dt
n
3
n
n
n
d V1 ˆ d V 2 ˆ d V 3 ˆ

i 
j
k
n
n
n
dt
dt
dt

d U V

dU

dt

d V
dt

d

dt

d U V


d U V
dt

dV
dt
dU
dt

dt
V 
dt
dt


dV
dU
dt
V  U 
dV
dt
V U 
dV
dt
:R  R
n
 :R  R
n
n
A cad a elem en to d e R ,
es d ecir, a cad a vecto r,
se le aso cia u n n ú m ero real,
x   x
 :R  R
n
n
A cada elem ento de R , es decir, a cada ve ctor,
se le asocia un núm ero real , x    x 
E n el caso de n  2, podem os "dibujar" la gr áfica,

G ráf ica  x  R
3
 x , y ,   x , y  
x    x, y   1  x  y
 :R  R
2

G ráfica  x  R
x
0
1
0
1
-1
-1
1
2
3
3
 x , y ,1 

x  y
φ(x,y)=1-x-y
1
0
0
-1
3
1
1
-1
-1
Y
0
0
1
1
-1
1
-1
0
-1
Gráfica
f  x, y   z  1  x  y
f :R  R
2
G ráfica 
x
0
1
0
1
-1
2
-4
2

 x, y, z  z  1  x  y
2
2

f(x,y)=1-x2-y2
1
0
0
-1
-1
-12
-40
Y
0
0
1
1
-1
3
5
Gráfica
2
:R
2
 R
  x , y   z  1  sin x  co s y
G ráfica 
  x , y , z  z  1  sin x  co s y 
Gráfica
 :R  R
2
E n este caso tam bién se pueden
graficar las curvas de nivel, es
decir, las curvas que se obtienen
haciendo
  x, y   c
siendo c una consta nte arbitraria
  x, y   z  1  x  y
 :R  R
2
1 x  y  c
f :R  R
2
f  x, y   z  1  x  y
2
2
1 x  y  c
2
2
:R  R
2
  x , y   z  1  sin x  cos y
1  sin x  cos y  c
i : R  R
3
i  1, 2, 3
1  x , y , z   x  y  z
 2  x , y , z   sin x  co s y  sin z
3  x, y , z   x y z
2
3
 :R  R
3
E n esto s caso s n o se p u ed e "p in tar" la g rá fica
d e la fu n ció n , ya q u e q u ed a en 4 d im en si o n es.
S e p u ed en g raficar las cu rvas d e n ivel, es d ecir,
las su p erficies q u e se o b tien en h acie n d o
  x, y, z   c
sien d o c u n a co n stan te arb itraria
  x, y, z  
 :R  R
3
1
x  y  z
2
2
2
L as su p erficies d e n ivel so n aq u ellas d a d as
por
  x, y, z  
1
x  y  z
2
2
2
 co n stan te
E n este caso , es o b vio q u e so n esferas
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Funciones vectoriales. Martes 18 de enero del 2011