Momentos
Daniel Bolaño Asenjo
José Juan Corpas Martos
Oscar D. Fernández Martínez
Javier Gutiérrez Segura
1
Tabla de contenidos
- Momentos Geométricos
- Momentos de Legendre
2
Momentos Geométricos






Introducción
Momentos Simples
Momentos Centrales
– Centroide
Momentos
Normalizados
Momentos Orden 0
Momentos Orden 1



Momentos Orden 2
– Matriz Rotación
– Angulo Rotación
– Excentricidad
Momentos Orden 3
Momentos
Invariantes
3
Introducción

Los momentos son propiedades numéricas
que se pueden obtener de una determinada
imagen.

Tienen en cuenta todos los píxeles de la
imagen, no solo los bordes.

Clasificación de los momentos:
• Momentos Simples
• Momentos Centrales
• Momentos Centrales Normalizados
4
Momentos Simples

Se emplean para obtener otros
momentos, pero también dan información
por sí mismos.

Para una función continua f(x,y), el
momento de orden (p+q) se define como:
m pq 

p
q
x y f ( x , y ) dxdy
En discreto obtenemos lo siguiente:
M ( p, q) 

x
p
q
x y f ( x, y )
y
5
Momentos Centrales

Permiten reconocer figuras dentro de una imagen
independientemente de su posición.
y
y
(0,0)
(0,0)
x
 pq 
Continuo
Discreto
x
MC
pq
  ( x  X ) ( y  Y ) f ( x, y )

p

q
( x  X ) ( y  Y ) f ( x, y )
p
q
6
Centroide


Centro de masas de la figura.
Viene representado por los momentos de
orden 0 y 1
X = M(1,0) / M(0,0)
-
Y = M(0,1) / M(0,0)
El área de la figura que queda a la derecha e
izquierda del punto X es la misma.
Igual para el área que queda por encima y por
debajo del punto Y
7
Momentos Centrales
Normalizados


Permiten reconocer figuras dentro de una
imagen independientemente de su
tamaño.
Se normalizan los momentos centrales con
el momento de orden 0, obteniendo así
figuras independientes de la escala.

MCN ( p , q )  MC ( p , q ) / MC ( 0 , 0 )
 
pq
1
2
8
Momento de Orden 0

El momento simple de orden 0 representa
el área de la figura en imágenes binarias y
la superficie en imágenes en escala de
grises. Es la suma de los valores de todos
los píxeles.
M ( 0 ,0 ) 

x
f ( x, y )
y
9
Momentos Orden 1. [(p+q) = 1]

Momentos simples de Orden 1 (M(1,0),M(0,1)):
– Se emplean para hallar el centro de masas de
una figura.
M (1, 0 ) 
  xf ( x , y )
x

M ( 0 ,1) 

x
y
yf ( x , y )
y
Momentos Centrales de Orden 1 (MC(1,0),MC(0,1)):
– Estos momentos son 0 por definición.
U (1, 0 ) 
  ( x  x)
x
 M (1, 0 ) 
1
( y  y ) f ( x, y )
M ( 0 ,0 )
U ( 0 ,1) 
  ( x  x)
x
y
M (1, 0 )
0
M ( 0 ,0 )
 M ( 0 ,1) 
0
( y  y ) f ( x, y )
1
y
M ( 0 ,1)
M ( 0 ,0 )
M ( 0 ,0 )
10
Momentos Orden 1. [(p+q) = 1]

Momentos Centrales Normalizados de
Orden 1 (MCN(1,0),MCN(0,1)):
– Estos momentos son 0 por definición.
11
Momentos Orden 2. [(p+q) = 2]


Son importantes para el calculo de los momentos
centrales.
La densidad de la figura se multiplica por distancias al
cuadrado desde el centro de masas o centroide
(Inercia).
y
y
y
x
U ( p, q) 
x
x

x
y
( x  x) ( y  y ) f ( x, y )
p
q
12
Matriz de rotación

Los tres momentos centrales de 2º orden forman
las componentes del tensor de inercia o matriz de
rotación.
 U (0,2 )
J 
  U (1,1)

 U (1,1) 

U ( 2 ,0 ) 
A partir de estas componentes se podrán obtener:
– El ángulo de rotación de la figura alrededor de su
centro de masas
– La excentricidad de la figura
13
Angulo rotación

La orientación o ángulo de rotación de la
figura se define como el ángulo entre el
eje de abscisas y el eje alrededor del
cual la figura puede rotar con mínima
inercia.
 
1
2
arctan
2U (1,1)
U ( 2 ,0 )  U ( 0 , 2 )
14
Excentricidad
x´
y´
y

x
centroide
focos
excentricidad
15
Momentos Orden 3. [(p+q) = 3]

Sirven para calcular los momentos
invariantes.
2
U ( 2 ,1)  M ( 2 ,1)  2 x M (1,1)  y M ( 2 , 0 )  2 x M ( 0 ,1)
2
U (1, 2 )  M (U1(,1,22 ) ) M(1,2
y M (1,1)  x M ( 0 , 2 )  2 y M (1, 0 )
2 )  2 y M (1,1)  x M ( 0 , 2 )  2 y M (1, 0 )
2
2
U ( 3, 0 )  M ( 3, 0 )  3 x M ( 2 , 0 )  2 x M (1, 0 )
2
U ( 0 ,3 )  M ( 0 ,3 )  3 y M ( 0 , 2 )  2 y M ( 0 ,1)
16
Momentos Invariantes


A partir de los momentos centrales
normalizados de orden 2 y 3 se obtienen los
siete momentos invariantes.
Estos conjunto de momentos es invariante a la
traslación y cambio de escala de una figura.
I 1  N ( 2 ,0 )  N ( 0 , 2 )
I 2  ( N ( 2 , 0 )  N ( 0 , 2 ))  4 ( N (1,1))
2
2
I 3  ( N ( 3,0 )  3 N (1, 2 ))  ( 3 N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3))
2
I 4  ( N ( 3,0 )  N (1, 2 ))  ( N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3))
2
2
2
17
Momentos Invariantes

2

 ( 3 N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ))( N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 )) 3 ( N ( 3 , 0 )  N (1, 2 ))  ( N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ))
2
I 5  ( N ( 3 , 0 )  3 N (1, 2 ))( N ( 3 , 0 )  N (1, 2 )) ( N ( 3 , 0 )  N (1, 2 ))  3 ( N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ))
2


2
I 6  ( N ( 2 , 0 )  N ( 0 , 2 )) ( N ( 0 ,3 )  N (1, 2 ))  ( N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ))
2
2


 4 N (1,1)( N ( 3, 0 )  N (1, 2 ))( N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ))

I 7  3 N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 )  N ( 3,0 )  N (1, 2 )   N ( 3, 0 )  N (1, 2 )   3  N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ) 
2

2

 3 N (1, 2 )  N ( 3,0 )  N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 )  3  N ( 3,0 )  N (1, 2 )    N ( 2 ,1)  N ( 0 ,3 ) 
2
18
2

Ejemplo
Estrella
Estrella Ampliada
Estrella Girada
Forma
Forma Ampliada
Forma Centrada
19
Conclusiones

La resolución de las imágenes y la propia
naturaleza digital de los datos, producen una serie
de errores en los cálculos.

Se han usado imágenes en blanco y negro y de un
tamaño determinado (150 x 150).

Posibles mejoras:
– Tener en cuenta las distintas gamas de colores.
– Eliminar ruidos.

Aplicaciones:
– Construir una base de datos de momentos
geométricos y emplearla como patrones para el
reconocimiento de formas.
20
Momentos de Legendre





Motivación
Definición
Aproximación
Versión
Computable
Función de
reconstrucción




Condiciones de las
pruebas
Resultados
experimentales
Conclusiones de
las pruebas
Conclusiones
finales
21
Motivación

Reconstrucción mediante momentos
geométricos muy costosa y propensa a
errores.

Cómo reconstruir la imagen con un
conjunto finito de momentos.
22
Definición

El momento de Legendre de orden (p, q) viene
dado por:
 pq 

(2p  1)(2q  1)
1
 
1
4
1
1
P p ( x ) Pq ( y ) f ( x , y ) dxdy
Donde el polinomio de Legendre de orden (p)
se define como:
Pp ( x ) 
1
p
d
2 p ! dx
p
( x  1) , x  [  1,1]
2
p
p
23
Aproximación

Al igual que en el caso de los momentos geométricos,
los momentos de Legendre pueden aproximarse por:


M
pq

N
h
( x, y ) f ( x, y )
pq
i 1 j 1
donde:
h pq ( x , y ) 

x
x 
x
2
x
2

y 
y 
y
2
y
P p ( x ) Pq ( y ) dxdy
2
24
Versión computable

Esta es la fórmula empleada para el cálculo
computacional de los momentos de Legendre:
( 2 p  1)( 2 q  1) M N
 pq 
  P p ( x ) Pq ( y ) f ( x , y )  x  y
( M  1)( N  1) i  1 j  1


El valor de f ( x , y )
estará comprendido entre [0,255].
El valor de x e y estará comprendido en un cuadrado
[-1,1] x [-1,1] (cambio de variable).
25
Función de reconstrucción

Podemos escribir la función
de series infinitas.

f ( x , y ) como expansión
Emplearemos una versión truncada:
f ( x , y )  f M max ( x , y )
M max
f ( x, y ) 
p
 
p  q , q P p  q ( x ) Pq ( y )
P 0 q0
26
Condiciones de las pruebas






Imágenes en blanco y negro de 150x150
píxeles
Cálculo de momentos hasta orden 20
Precisión de coma flotante: 28 decimales
Procesador a 1.5 Ghz – 384 Mb RAM
Duración media del cálculo de momentos
hasta el orden 20: 1’20”
Duración media de la reconstrucción:
1’20”
27
Resultados experimentales
Simulación desde momento de orden 0 a 20
28
Resultados experimentales
Simulación desde momento de orden 0 a 20
29
Conclusiones de las pruebas

Mejores resultados con:
– Tamaños mayores de la imagen
– Un mayor número de píxeles negros
– Líneas más rectas

Condiciones necesarias para un mejor resultado:
– Máquina/s de gran potencia de cálculo
– Aumentar el número de momentos
– Trabajar con aritmética de grandes números
– Utilizar el máximo posible de lugares decimales
30
Conclusiones generales

Los momentos de Legendre son una
herramienta eficaz para la reconstrucción
de imágenes mediante sus características
numéricas.

El proceso de reconstrucción se comporta
de mejor forma para imágenes grandes.

Conforme crece el número de momentos,
resulta muy costoso reconstruir una
imagen.
31
Herramientas Utilizadas

Microsoft Visual Studio
– Visual Basic
– Visual C++

CVIP Tools (manipulado de imágenes)

Microsoft Access
32
Referencias







Image Description using moments (Dr. S.
Belkasim).
On image analisis by moments (Liao-Pawlak)
Image analysis with moment descriptor (LiaoPawlak).
On the reconstruction aspects of moments
descriptors (Pawlak).
On image analysis by the methods of moments
(Cho-Huak, Chin).
Orthogonal Legendre moments and their
calculation (Shen-Shen).
Image characterization by fast calculation of loworder Legendre moments (Shen-Shen).
33