1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
E scribir los vectores base de las
coordenadas esféricas en term inos
ˆ
ˆ
ˆ
de i , j y k
r̂
ˆ


ˆ
x
r
 
 
y  
 
 
z
 
 
 
x  r sin  cos 
r 0
y  r sin  sin 
0 
z  r cos 
0    2
P  xiˆ  yjˆ  zkˆ  r sin  co s  iˆ  r sin  sin  ˆj  r co s  kˆ
P
r
P

P

P
r
 sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
 r co s  co s  iˆ  r co s  sin  ˆj  r sin  kˆ
  r sin  sin  iˆ  r sin  co s  ˆj
1
P

 r
P

 r sin 
P  xiˆ  yjˆ  zkˆ  r sin  co s  iˆ  r sin  sin  ˆj  r co s  kˆ
P
r
P

P

P
r
 sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
 r co s  co s  iˆ  r co s  sin  ˆj  r sin  kˆ
  r sin  sin  iˆ  r sin  co s  ˆj
1
P

 r
P

 r sin 
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
rˆ  ˆ 


 sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ  cos  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ
 sin  cos  cos   sin  cos  sin   sin  cos  
2

2

 sin  cos  cos   sin   sin  cos  
2
2
 sin  cos   sin  cos   0

rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
rˆ  ˆ  0
ˆ  ˆ  0
ˆ  rˆ  0
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
rˆ  ˆ 

 
 sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ  cos  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ


  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ   cos  sin  ˆj
  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ   sin  kˆ
 sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ  cos  cos  iˆ

rˆ  ˆ 


  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ   cos  sin  ˆj
  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ   sin  kˆ
 sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ  cos  cos  iˆ


  sin  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  sin  ˆj  cos  sin  ˆj  cos  kˆ  cos  sin  ˆj 
  sin  cos  iˆ  sin  kˆ  sin  sin  ˆj  sin  kˆ  cos  kˆ  sin  kˆ 
 sin  cos  iˆ  cos  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  cos  iˆ  cos  kˆ  cos  cos  iˆ


  sin  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  sin  ˆj  co s  sin  ˆj  co s  kˆ  co s  sin  ˆj 
  sin  co s  iˆ  sin  kˆ  sin  sin  ˆj  sin  kˆ  co s  kˆ  sin  kˆ 
   sin  sin  co s  co s  kˆ  co s  c o s  co s  ˆj 
  sin  co s  co s  sin  kˆ  co s  co s  sin  iˆ 
 sin  co s  iˆ  co s  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  co s  iˆ  co s  kˆ  co s  co s  iˆ

  sin  co s  sin  ˆj  sin  sin  sin  iˆ



  sin  co s  co s  s i n  kˆ  co s  co s  sin  iˆ 
  sin  sin  co s  co s  kˆ  co s  co s  co s  ˆj

  sin  co s  sin  ˆj  sin  sin  sin  iˆ
  s in  iˆ  co s  ˆj  ˆ

E scribir los vectores base de las
coordenadas esféricas en term inos
de iˆ , ˆj y kˆ
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
E scribir los vectores base de las
coordenadas cartesianas en term inos
de los vectores base de las
coordenadas esféricas.
x
r
 
 
y  
 
 
z
 
 
 
x  r sin  cos 
r 0
y  r sin  sin 
0 
z  r cos 
0    2
r̂
ˆ


ˆ
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
 rˆ   sin  co s 
  
ˆ  co s  co s 

  
 ˆ    sin 
  
sin  sin 
co s  sin 
co s 
co s    iˆ 
 ˆ
 sin   j 

 ˆ
0
k 
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
 sin  cos 

cos  cos 

  sin 

sin  sin 
cos 
1
0
cos  sin 
 sin 
0
1
cos 
0
0
0
0

0

1 
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
 sin( ) cos( )

sin( ) sin( )


cos( )

cos( ) cos( )
cos( ) sin( )
 sin( )
 sin( ) 

cos( )


0

rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
 iˆ   sin ( ) co s( )
  
ˆ
 j    sin ( ) sin ( )
 ˆ 
co s( )
k 
co s( ) co s( )
co s( ) sin ( )
 sin ( )
iˆ  sin  co s  rˆ  co s  co s  ˆ  sin  ˆ
ˆj  sin  sin  rˆ  co s  sin  ˆ  co s  ˆ
kˆ  co s  rˆ  sin ˆ
 sin ( )   rˆ 
 ˆ
co s( )   

  ˆ 
0
 
E scribir los vectores base de las
coordenadas cartesianas en term inos
de los vectores base de las
coordenadas esféricas.
iˆ  sin  cos  rˆ  cos  cos ˆ  sin ˆ
ˆj  sin  sin  rˆ  cos  sin ˆ  cos ˆ
kˆ  cos  rˆ  sin ˆ
l
r

 (radianes)=
l
r
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
 S
área d e   a 
a
  
S
2
rˆ  nˆ d S
r
2


S
rˆ  d S
r
2
donde
 rˆ es el rad io vecto r d esd e P h asta u n p u n t o
arb itrario d e la su p erficie S
 nˆ es la n o rm al d e S d irig id a alejan d o se d e P
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2
P ara d em o strar q u e
 S
  
S
rˆ  nˆ d S
r
2


rˆ  d S
S
r
2
u sam o s el teo rem a d e la d iverg en cia
   F
V
dV 

S V
F  dS

 S  

rˆ  nˆ d S
S
r
2


rˆ  d S
S
r
2
U sam os el teorem a de la divergencia
   F
dV 

S V
V
F  dS

con
F  r , ,   
rˆ
r
2
y
V   E l volum en form ado por los rayos proyect ados 
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2
   F
dV 
V

S V
F  dS

con F 
rˆ
r
2
1 
1

1

2
 div F  P  2
 r Fr  
 rF 
 sin  F  





r r
r sin   
r sin    
 

1   2  1 
1

1

 rˆ  
 sin   0   
 r  0  
 div  2   P  2
r  2  
r  r   r   r sin   
r sin   
 r 

 

1 
 rˆ  
1  0
 div  2   P  2
r r
 r 

 
   F
dV 
S V
V
 
Fy
 Fx

F  dS
rˆ
con F 
r

2
 Fz
 div F  P 




x
y
z
F  x, y, z  
 Fx
x


 x, y, z 
x
2
 y z
2
2

x

x x 2  y 2  z 2

3/2
3/2

1
x
2
 y z
2
2

3/2

3
2x

2
2 x2  y2  z2

5/2
   F
dV 
S V
V
 
Fy
 Fx

F  dS
rˆ
con F 
r

2
 Fz
 div F  P 




x
y
z
F  x, y, z  
Fy
y


 x, y, z 
x
2
 y z
2
2

y

y x 2  y 2  z 2

3/2
3/2

1
x
2
 y z
2
2

3/2

3
2y

2
2 x2  y2  z2

5/2
   F
dV 
S V
V
 
Fy
 Fx

F  dS
rˆ
con F 
r

2
 Fz
 div F  P 




x
y
z
F  x, y, z  
 Fz
z


 x, y, z 
x
2
 y z
2
2

z

z x 2  y 2  z 2

3/2
3/2

1
x
2
 y z
2
2

3/2

3
2z

2
2 x2  y2  z2

5/2
Fy
 Fx
 
 Fz
F  x, y, z  
 div F  P 




x
y
z
Fy
 Fx
 
 x, y, z 
x
2
 y  z
 Fz
 d iv F  P 




x
y
z

1
x
2
 y  z
2
2

3/2
1
x
2
 y  z
2
2

3/2
1
x
2
 y  z
2
2

3/2
3
3
3
x
x
2
 y  z
2
y
x
2
 y  z
x

5/2
2

5/2
2

5/2
2
 y  z
2
2
2
2
z
2
2
2
2

3/2
 Fx
Fy
 Fz
 div F  P 




x
y
z
 
F  x, y, z  
x
2
 y  z
Fy
 Fz
 div F  P 




x
y
z
 


 Fx
 x, y, z 
x
2
 y  z
2
2

3/2
3
x
0
2
 y  z
2
x  y  z
2
 y  z

2
3
2

3/2
3

x
2
2
2
2
5/2
3
x
2
 y  z
2
2

3/2
2
2

3/2
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2
 S  

rˆ  nˆ d S
S
r
2


rˆ  d S
S
r
2
U sam os el teorem a de la divergencia
   F
dV 

S V
V
F  dS

con
F  r , ,   
rˆ
r
2
y
V   E l volum en form ado por los rayos proyect ados 
 S  

S
rˆ  nˆ d S
r
2


S
rˆ  d S
r
2
C om o   F  0

S V
F  dS  0

pero

S V
F  dS 

 F  dS   F  dS   F  dS
S
S2
S3
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2

S



rˆ  nˆ d S
S

S V
2

S
rˆ  d S
r
2
 F  dS   F  dS   F  dS
F  dS 

 F  dS
r

S
S2
S3
0
S2
rˆ
 F  dS   r
S3
2
S3
 F  dS   r
S
 a    rˆ  dS
2
S3
rˆ
S
 dS 
rˆ
2
 dS

1
a
2
 dS
S3
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2
E l ángulo sólido  subtendido por una
superficie S se puede m edir com o el área
en una esfera unitaria (de radio 1)
cubierta por la proyección de la superficie
en la esfera
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S  
área d e   a 
a
2
Los ángulos sólidos se m iden en:
i) S teradianes
ii) G rados cuadrados
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S


área d e   a 
a
2
C om o un grado es

radianes,
180
los ángulos sólidos hay que m ultiplicarlos
 180 
por 

  
2
para obtener los
grados cuadrados
E l án g u lo só lid o  su b ten d id o p o r u n a su p erficie S es
 S


área d e   a 
a
2
 180 
1 S teradian= 

  
1 grado cuadrado=
2
grados cuadrados
1
3283
steradianes
 S  

S
ˆ
rˆ  ndS
r
2
 S  

S
ˆ
nˆ  rdS
r
2
 4
 S


ˆ S
nˆ  rd

r
S
 S

2 

 S


r
0

  sin  d  d 
0

 2
 sin  d 
0
 S

2
2 
0
 S
ˆ 2 sin  d  d 
rˆ  rr

0
2
 4
  4  steradianes
2
129600
 180 
  4 
 41, 253 grados cuadrados
 

  
S 
 x , y 

x  y 1
Y
1.0
x y 1
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
X
S 
 x , y 

x  y 1
Y
1.0
x  y  1
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
X
S 
 x , y 

x  y 1
Y
1.0
0.5
x  y  1
1.0
0.5
0.5
x  y  1
0.5
1.0
1.0
X
S 
 x , y 

x  y 1
Y
1.0
0.5
x y 1
1.0
 x  y  1
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
X
u  x y
u 1
x y 1
V
1.0
Y
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
X
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
U
u  x y
x  y  1
1.0
u  1
Y
1.0
V
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
X
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
U
S 
 x , y 

x  y 1
Y
1.0
x  y  1
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
X
S 
 x , y 

x  y 1
Y
1.0
0.5
x y 1
1.0
 x  y  1
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
X
v  x y
v  1
x  y  1
1.0
Y
1.0
V
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
X
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
U
v  x y
v 1
 x  y  1
U
Y
1.0
1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
X
1.0
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
V
F  x, y, z    x, y, 0 
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
r  u , v    v cos u , v sin u , 4  v
v   0, 2 
u   0, 2 

2

r  u , v    v cos u , v sin u , 4  v
v   0, 2 
r  u , v 
u
u   0, 2 
r  u , v 
u

r  u , v 
v
r  u , v 
v

  cos u , sin u ,  2 v 
v
   2 v cos u ,  2 v sin u ,  v 
r  u , v 
u


r  u , v 
   v sin u , v cos u , 0 
2
2
2
  2 v cos u , 2 v sin u , v 
2
2
F  x, y, z    x, y, 0 
r  u , v    v cos u , v sin u , 4  v
v   0, 2 
F  v cos u , v sin u , 4  v
r  u , v 
v

r  u , v 
u
2
u   0, 2  
   v cos u , v sin u , 0 
  2 v cos u , 2 v sin u , v 
2
F  v co s u , v sin u , 4  v
2
2
n 
  v co s u , v sin u , 0    2 v co s u , 2 v sin u , v 
2
 2 v c o s u  2 v s in u  2 v
3
2
3
2
2
3
2

F  x, y, z    x, y, 0 
2 2
 F  dS    2 v
S
0 0
2
3
dudv  4   v dv  16 
3
0
•Teorema de la divergencia
•Teorema del rotacional
•Teorema de Green
F :DF  R  R
3
3
F  x, y, z    3 y, 3 x, 2 
S es la porción del plano z  1 que queda
dentro del cilindro x  y  9.
2
2
•Ejercicio 1
•Ejercicio 2
•Ejercicio 3
•Ejercicio 4
•Ejercicio 5
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Los teoremas integrales