MAT022 – II semestre 2012
Septiembre 2012
V.B.V.
Ya estudiamos la integral de
Riemann
f(x)
a
b
2
Área
 Sea f una función no negativa y acotada en [a,b]
 Buscamos calcular el área en la región:
 R= {(x,y) 
x[a,b] y [0,f(x)]}
 Se denota: Aab(f)
2:
Proposición.
 f riemann integrable  el área Aab(f) corresponde a la
integral de riemann.
Área entre dos funciones
f(x)
a
g(x)
b
5
Área entre dos funciones
 Sean f y g funciones.
 Se tiene:
 x[a,b]: 0f(x) g(x) : Aab(f)  Aab(g)
 c[a,b]: Aab(f) = Aac(f) + Acb(f)
Proposición.
 El área encerrada por dos funciones f y g entre a y b,
está dada por:

|  − ()|

ESTRATEGIA
Hacer la grafica
2. Calcular intersección(es) de las curvas
3. Estudiar los “rectángulos”
4. Determinar |f(x)-g(x)|
1.
Luego de obtener esto, calcular el área.
Ejemplo 1: Área entre dos curvas
Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2+2 ;
y = -x ; x = 0 ; x = 1
OBS: f y g no se cortan
a y b se dan explicitamente
Ejemplo 2: Área entre dos curvas que
se cortan, con a y b desconocidos
Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = 2 –x2 ;
y=x
Ejemplo 3: Área entre dos curvas
que se cruzan
Calcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = x2 ;
g(x) = 2- x2 ; 0  x2
Ejemplo 4: Área de una región
determinada por 3 curvas.
Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2 ;
y= 2- x ; y=0
Observación:
•Imaginar que
rotamos los ejes…
•O bien pensar en
intercambiar “x” por
“y”.
•Podemos calcular el
área en términos de
“dy”.
Ejemplo 5: Calcular el área como
una integral en y.
Resolver el ejercicio anterior en dy.
IMPORTANTE:
•Escribir x=f-1(y) ; x=g-1(y)
•Determinar intersección en y.
•Signo de f-1(y) - g-1(y) en el intervalo [c,d]
Ejercicio Propuesto:
1. Encontrar el área de las regiones encerradas por:
x=3-y2 ; x=y+1.

Utilizar dx y dy
 ¿en que caso resulta mas simple?
2. Calcular el área acotada por las graficas de x= y2 ; x=2-y2
Ejemplo 6: Los puntos de
intersección no se conocen
“exactamente”.
Calcular el área acotada por y= cos x e y = x2
Ejemplo 7: Área de una curva
cerrada (loops).
Calcular el área acotada por y2= x2- x4
Ejercicios Propuestos:
 Encontrar el área de las regiones encerradas por:
 y=3-x ; y=x2-9
 y=10x-x2 ; y = 3x-8
 y = sen x ; y = cos x entre las rectas x=0 y x= 
 8y = x3 ; 8y = 2x3 +x2 -2x
 xy = 9 ; x + y = 4
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