DISEÑO EN BLOQUES
ALEATORIZADOS
Introducción
¿Por qué el diseño por bloques?
Problema
Hipótesis
Análisis de varianza (ANOVA)
Comparaciones múltiples
Verificación de supuestos
Residuales
Varianza constante
Independencia
Normalidad
Construcción del Anova
INTRODUCCION
Ejemplo:
Se diseño un experimento para estudiar el
rendimiento de cuatro detergentes.
Las siguientes lecturas de "blancura" se
obtuvieron con un equipo especial diseñado para
12 cargas de lavado distribuidas en tres modelos
de lavadoras:
BLANCURA
Detergente
R1
R2
R3
A
45
43
51
B
C
47
50
44
49
52
57
D
42
37
49
Variable de respuesta: Blancura
Factor controlado: Tipo de detergente
Hipótesis:
Ho: no hay efecto del tipo de detergente en la
blancura de la ropa
Ha: si hay efecto del tipo de detergente en la
blancura de la ropa
Fuente
Detergentes
Within groups
Total (Corr.)
Suma de
cuadrados
Cuadrados
Medios
GL
133.667
3
44.5556
178
8
22.25
311.667
11
Razón-F
Valor P
2
0.1923
No existen diferencias en los tipos de detergente, con una
confianza estadística de 95%.
Ahora bien, notemos que en el texto del problema, que se
habla del uso de tres modelos diferentes de lavadoras.
Dichas lavadoras al ser diferentes producen una variación
que puede afectar en el análisis.
FACTOR PERTURBADOR
Factor perturbador es un factor del diseño que
probablemente tenga efecto sobre la respuesta,
pero en el que no existe interés especifico
En cualquier experimento, la variabilidad que
surge de un factor perturbador puede afectar los
resultados.
¿Por qué el diseño por bloques?
Cuando existe una fuente de variación adicional
(debido a un factor perturbador) que puede y debe ser
sistematizada y controlada durante el experimento, se
deberá utilizar el diseño por bloques.
DE ESTA MANERA EL ERROR EXPERIMENTAL
SE REDUCIRÁ, Y LA PRECISIÓN DEL DISEÑO
AUMENTARÁ.
Ejemplo:
Se diseño un experimento para estudiar el
rendimiento de cuatro detergentes.
Las siguientes lecturas de "blancura" se
obtuvieron con un equipo especial diseñado
para 12 cargas de lavado distribuidas en
tres modelos de lavadoras:
Lavadora
Detergente
1
2
3
A
45
47
43
44
51
52
50
42
49
37
57
49
B
C
D
Variable de respuesta: Blancura
Factor controlado: Tipo de detergente
Bloque: Tipo de lavadora
Hipótesis:
Ho: no hay efecto del tipo de detergente en la
blancura de la ropa
Ha: si hay efecto del tipo de detergente en la
blancura de la ropa
ANOVA
SCTOTAL=SCFACTOR+SCBLOQUE+SCERROR
Fuente
EFECTOS
PRINCIPALES
A:LAVADORA
B:DETERGENTE
RESIDUOS
TOTAL (CORREGIDO)
Suma de
Cuadrados
Gl Cuadrado
Medio
Razón-F Valor-P
170.167
133.667
7.83333
311.667
2 85.0833
3 44.5556
6 1.30556
11
65.17
34.13
0.0001
0.0004
Para un nivel de confianza  =0.05 se puede concluir que si
existen diferencias significativas entre los tipos de
detergentes con respecto a la blancura.
COMPARACIONES MULTIPLES
¿Cuál detergente es mejor?
LSD
Suponiendo una hipótesis alterna bilateral, dos medias se
consideran diferentes si
y i .  y j .  ( t  / 2 , gl Error )
La cantidad
LSD  ( t  / 2 , gl Error )
2 CM
2 CM
b
E
b
se denomina mínima diferencia significativa.
E
Detergente Promedios
A
46.3
B
47.6
C
52
D
42.6
Pares
LSD  ( t  / 2 , gl Error )
2 CM
E
b
t  / 2 , gl Error  t . 05 / 2 , 6  t .025 , 6  2 . 446
LSD  ( 2 . 446 )
2 ( 1 . 3055 )
 2 . 28
3
|Dif.|
Conclusión
A-B 1.333
Menor a LSD
La blancura del detergente A no es diferente al del
detergente B
A-C 5.667
A-D 3.667
Mayor a LSD
Existe diferencia significativa de blancura entre el
tipo de detergente A y el detergente C.
Mayor a LSD
Existe diferencia significativa de blancura entre el
tipo de detergente A y el detergente D.
B-C 4.333
Mayor a LSD
Existe diferencia significativa de blancura entre el
tipo de detergente B y el detergente C.
B-D 5
Mayor a LSD
Existe diferencia significativa de blancura entre el
tipo de detergente B y el detergente D.
C-D 9.333
Mayor a LSD
Existe diferencia significativa de blancura entre el
tipo de detergente C y el detergente D.
El Detergente C es el que da mayor blancura, ya que presenta el mayor
promedio significativo que los otros tres
Prueba de rangos múltiples (LSD) para detergentes
DETERGENTE
D
A
B
C
Contraste
A-B
A-C
A-D
B-C
B-D
C-D
Casos
3
3
3
3
Sig.
*
*
*
*
*
Media LS
42.6667
46.3333
47.6667
52.0
Diferencia
-1.33333
-5.66667
3.66667
-4.33333
5.0
9.33333
Sigma LS Grupos Homogéneos
0.659686 X
X
0.659686
X
0.659686
X
0.659686
+/- Límites
2.28282
2.28282
2.28282
2.28282
2.28282
2.28282
Hay 3 grupos homogéneos, un grupo es el detergente D,
otro grupo lo son los detergentes A y B, finalmente el
tercer grupo lo es el detergente C. Para maximizar la
blancura de la ropa se recomienda el detergente C.
GRAFICAS DE MEDIAS
Means and 95.0 Percent LSD Intervals
Nivel
Media
Error
Límite
Límite
Est.
Inferior Superior
BLA N CU RA
56
47.1667
MEDIA
GLOBAL
DETERGENTE
53
50
47
A
46.3333 0.659686 44.7191 47.9475
44
B
47.6667 0.659686 46.0525 49.2809
C
52.0
D
42.6667 0.659686 41.0525 44.2809
41
A
B
C
DETERGENTE
D
0.659686 50.3858 53.6142
Se puede establecer que en promedio el detergente C es
mejor, ya que presenta el mejor promedio de los 4 tipos
de detergentes. Si el detergente C es el recomendado se
esperarían promedios entre 50.38 y 53.61
Verificación de supuestos
Modelo
y
ij
   i 
 j
ij
Verificar si los residuos cumplen con los supuestos de:

VARIANZA CONSTANTE

INDEPENDENCIA

NORMALIDAD
Para ello, primeramente se calculan los residuales mediante la
siguiente formula:
e ij  y ij  y i .  y . j  y ..
Donde yij es el valor obtenido en el experimento, y i . es el promedio del iésimo detergente, y . j es el j-ésimo bloque, y .. es el promedio general.
Ejemplo:
e11=45-46.33-46+47.167=-0.16
RESIDUALES
Tabla de residuales:
DETERGENTES
A
B
C
D
-0.1667
0.5
-0.833
0.5
0.5833
0.25
0.9166
-1.75
-0.41667
-0.75
-0.0833
1.25
SUPUESTO DE VARIANZA
CONSTANTE
Para checar el supuesto de varianza constante, es necesario
realizar la siguiente grafica:
GRAFICA DE RESIDUALES VS LOS NIVELES DEL FACTOR
Residual Plot for blancura
2. 2
re s id u a l
1. 2
0. 2
-0.8
-1.8
A
B
C
D
detergente
En este caso no se presenta patrón inusual por lo que podemos
concluir que si se cumple el supuesto de varianza constante.
SUPUESTO DE INDEPENDENCIA
Para verificar el supuesto de
independencia
se
requiere
ordenar los
residuales según el orden
en que se corrió el
experimento
DETERGENTES
A
B
C
D
-0.167 (2)
0.5 (1)
-0.833 (4)
0.5 (3)
0.583 (4)
0.25 (2)
0.916 (1)
-1.75 (3)
-0.416 (2) -0.75 (1) -0.083 (4)
1.25 (3)
Residual Plot for blancura
De acuerdo a esta gráfica se
puede concluir que si se
cumple
el
supuesto
de
independencia.
2.2
residual
1.2
0.2
-0.8
-1.8
0
2
4
6
row number
8
10
12
NORMALIDAD
Normal Probability Plot for RESIDUALS
99.9
p e r c e n ta g e
99
95
80
50
20
5
1
0.1
-1.8
-0.8
0.2
1.2
2.2
RESIDUALS
En está gráfica se puede ver que la mayoría de los puntos se ajustan
a la línea recta, lo que significa que los residuales si cumplen el
supuesto de normalidad.
Análisis de varianza (ANOVA) de un diseño de
bloques completos aleatorios
Fuente de
variación
Tratamientos
Suma de Grados de
cuadrados libertad
SSTratamientos
a-1
Cuadrados
medios
SS Tratamient
os
a 1
Bloques
Error
Total
SSBloques
b-1
SSError
(a-1)(b-1)
SS
F0
CM
Tratamient os
CM
F
(Tabla)
a 1
F ( a  1 )( b  1 )
Error
Bloques
b 1
SS
Error
( a  1 )( b  1 )
SSTotal
Si F0 es mayor a F  se rechaza Ho, de igual manera si el Pvalue es menor al nivel de significancia ( ) se rechaza H0,
Y se concluye que factor si afecta significativamente a la
variable de respuesta.
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3. DISEÑO EN BLOQUES ALEATORIZADOS