Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers
Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una función
y = f(x) ; y x = g(t), ambas funciones derivables,
entonces y es una función derivable con respecto a t y se
cumple:
dy
dt

dy dx
dx dt
Para funciones de varias variables, la regla de la cadena
tiene varias versiones:
Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable
de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones
derivables de t ; entonces z es una función derivable de
t y se cumple que:
dz
dt

f dx
x dt

f dy
y dt
Veamos esta fórmula de manera gráfica:
Caso 1
Z =f (x,y)
z
x
x
z
y
y
dz
dx
dy
dt
dt
t
t
dt

f dx
x dt
+
f dy
y dt
Ejemplo
Si T( x, y )  x 2 y  3xy 4 representa la temperatura
en el punto (x,y) y
t
x  e ; y  sent
Son las ecuaciones paramétricas de una curva C ,
calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo
largo de la curva
dx
T
x
x
dt
t dT
T
dt
T
y
y
dy
dt
t

T dx
x dt
+
T dy
y dt
Continuamos…
dT
 ( 2 xy  3 y )e  ( x  12 xy ) cos(t )
4
t
2
3
dt
Si queremos saber cual es la razón de cambio de T
cuando t = 0, entonces
dT
dt

t 0
f
x
dT
dt
dx
( x ( 0 ), y ( 0 ))
dt

t 0
f
y
dy
( x ( 0 ), y ( 0 ))
 0e  1 cos 0  1
0
t 0
dt
t 0
Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de
las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde
cada xj es una función de t. Por consiguiente
z es una función derivable de t y se cumple:
z dx 1
z dx 2
z dx 3
z dx n



 ... 
dt x 1 dt
x 2 dt
x 3 dt
x n dt
dz
Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función
derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t)
y las derivadas parciales de g y h existen .
Entonces:
z
s
z
t


f x
x s
f x
x t


f y
y s
f y
y t
Caso 2
 Z =f (x,y)
x

x
s
s
z
s

f x
x s
y


t
s
t
+

y

t
s
t
f y
z
y s
t

f x
x t
+
f
y
y
t
Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable
de x, y , z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las
derivadas parciales de g, h, k existen. Entonces
w
s
w
t


f x
x s
f x
x t


f y
y s
f y
y t


f z
z s
f z
z t
w=f (x,y,z)



x
z
y
x
y





s
t
s
t
s
s
t
w
s
w
t


t
s
f x
x s
f x
x t


f y
y s
f y
y t
z
s



t
t
f z
z s
f z
z t
Ejemplo
Si z  f(x, y), donde x  rcos, y  rsen
Demuestre que
 z 


 r 
2
1  z 



2
r   
2
 f 


 x 
r
r





x
x
 f

 y

Z =f (x,y)


2
y



r

r
y



2
Continuamos…
z
r

f x
x r

z


f
x

cos  
f
x
x 
 
f
x
f
y
y r
f
y

rsen 
sen
f
y
y 
f
y
r cos 
Se sigue que …
 z 


 r 
2
2
 f 
2

cos


 x 
 f
2
cos sen  
 y
x y

f f
 z 


  
2
 f

 y

f f
2
2

2

sen




2
2

r
cos



 f 
2
2
r cos sen  

x y
 x 
2
2
2
r sen 
1  z 


2
r   
2
2
 f 
2

 cos  
 x 
 f
2
cos sen  
 y
x y

f f
2

2

sen



Por lo tanto
2
1  z 
 z 

 


2
 r 
r   
2
2
2

 f 
 f 
2
2



 

cos


sen




 x 
 y  



2
2
 f 
 f 
 .

  
 x 
 y 

Segunda derivada
La segunda derivada de una función es análoga a la
primera, es decir, depende de las mismas variables que
depende la función original.
Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función
derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la
función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y
además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para
fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma
z  f ( x  at)  g( x  at)
Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
2
 z
t
2
2
a
2  z
x
2
Solución:
Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
z  f ( u )  g( v ) 
z
x
f ( u )

x

g( v )
x
 f ( u )
u
x
 g ( v )
 f (u )  g (v ).
2
 z
x
2



x
f ( u )  g( v )
df ( u ) u
du
x
dg ( v ) v

dv
 f (u )  g (v ).
Calculemos ahora

2
t
z
2
x
v
x
z
f ( u )

t
t

g( v )
t
 f ( u )
u
t
 g ( v )
v
t
 f ( u )a  g ( v )a  a f ( u )  g ( v )
2
 z
t
2
a

t
f ( u )  g( v )
dg ( v ) v 
 df ( u ) u
 a


t
dv
t 
 du
 a f ( u )a  g ( v )a   a
2

 z
t
2
a
2
2
f ( u )  g( v )
f ( u )  g( v )  a
2
2  z
x
2
Ejemplo
Si z  f(x, y), donde x  rcos, y  rsen
Demuestre que:
2
 z
2
 f 




2
2
2
r r
 x 
r
r

1
 z
1 z
2
 f

 y

Solución: Del ejemplo anterior, tenemos que
z
r
z


f
x
 
cos  
f
x
f
y
rsen 
sen
f
y
r cos 




2
2

  f
f


cos  
sen 


2

r

x

y
r


 z

f x
r
cos  
f y
r
sen
 f x

f x

 x cos   y sen 
 cos  


f y
 f y


cos  
sen sen
 x


y


2
2
 cos f xx  2 cos senf xy  sen f yy
Por otra parte,
2

 
f
f



rsen 
r cos  


2



x

y




z
f
  f 
 r cos 
  rsen 


x
  x 
  f

 rsen
 r cos 
y
 
 y
f




 r cos 
f
x

  f 


  x 

  rsen  f xx  rsen   f xy r cos 
 rsen
f
y



 r cos  f yy r cos   f yx  rsen 
  f

 
 y





Simplificando resulta,
2
 z

2
2
2
cos
 r cos f x  rsenf y  r sen f xx
2
 2r cos senf yx  r
2
f yy
Así,
2
 z
2
 f 




2
2
2
r r
 x 
r
r

1
 z
1 z
COMPRUEBELO!!
2
 f


 y




2
Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRnIR,
diferenciable, se define el Laplaciano de f
2
 f 
2
 f
x
2
2

 f
y
2
Y se denomina la ecuación de Laplace a:
2
 f 0
2
 f
x
2
2

 f
y
2
0
Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace,
esto es,
2
2
 f
x
2

 f
y
2
0
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y),
también satisface la ecuación de laplace.
Demostración:
Lo que queremos probar es que:
2
 z
x
2
2

 z
y
2
0
Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
Z =f (u,v)


u

x
x
u
v


y
x
y
x
v

y
y
z
x
2
z
x
2



f
u
u x

2
f
u
u
2
x

f
v
v x


2

f
f
u
 2
v
vu x
f
v

2
  2 f u

f v

 2

2 x
 uv x

v

2
z
x
2


2
f
u
2

 4

2
f
uv
 4
2
f
v
2





z

y
f u
u y

f v
v y
 2
f
u

2
  2 f u

f v

 2

2
2
 u
y
vu y
y


2
z


2
y
z
2
 4

2
f
u
uv y
2
f
u
2

4


2

2
v
f
uv
f v
2 y


2
v
f
2
f
v




Entonces,

2
x
z
2


2
y
z
2
 5

2
u
f
2
5

2
v
2
 2f

f

 5

2
 u 2

v

f
2

  0


Ecuación de
Laplace para f
Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0
define a y de manera implícita como una función de x,
esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x).
Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En
efecto:
Tenemos la ecuación
F ( x, y )  0
dF ( x, y )
dx

d (0)
dx

0 
F dx
x dx

dy
dx
F dy
y dx


0
F
x

F dy
y dx
0
F
x   Fx
F
Fy
y
(Fy  0)
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0
define a z de manera implícita como una función de x y
de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular
 z/ x, z/ y .
Supongamos que queremos calcular  z/ x
F( x , y , z)  0
F dx
x dx
F
x
z
x


F dy
y dx
F dz
z dx



F ( x, y , z )
x

F dz
z dx

 (0)
x
0
0
F
x   Fx
F
Fz
z
0 
(Fz  0)
Ejercicio:
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0
define a z de manera implícita como una función de x y
de y. Demuestre que:
z
y


F
 Fy
y

F
Fz
z
( Fz  0).
Ejemplo
Supongamos que una ecuación de la forma
F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como
una función de x y de y, esto es z=f(x,y).
Calcular  z/ x.
Solución:
Sean
u=xy , v = z/y
z
F u
F dv
F x

0
y
0
u x
v dx
u
v y
z
x
 y

2
F
F
u
F
v
(
F
v
 0).
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Regla de la cadena PPT.