Jueves 23 de febrero
de 2012
Onceava clase de
1:30 horas.
Van 15:00 horas
Advanced Quantum Theory
Paul Roman
Addison-Wesley, 1965
ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and Applications
N. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second edition
V.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum Physics
F. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum Mechanics
Gary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum Mechanics
D. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second edition
R. Shankar 0306447908
I. Introducción
1.1 La ecuación de Schrödinger
1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre
1.2.2 Pozos
1.2.3 Barreras y tuneleo
1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
A todas las cantidades físicas
observables les corresponde un
operador lineal herm itiano.
Los únicos valores que puede
tom ar una cantidad física son
los valores propios del operador
correspondiente.
A todas las cantidades físicas observables les corresponde un operador
lineal herm itiano. Los únicos valores qu e puede tom ar una cantidad
física son los valores propios del operador correspondiente.
i) E l operador debe ser lineal
ii) E l operador debe ser herm itiano
iii) E l operador debe ser acotado
iv) E l operador debe tener un conjunto
com pleto de estados propios.
C ualquier cantidad fisica clásica puede
considerarse com o construida por pares
de
variables canónicas conjugadas.
E l operador m ecánico cuántico
correspondiente se obtiene rem plazando
las variables canónica s clásicas por sus
correspondientes operadores m ecánico
cuánticos.
S i la co n fig u ració n d e u n sistem a S
está d eterm in ad a p o r lo s valo res d e u n
co n ju n to d e variab les in d ep en d ien tes
q1 , ..., q N , en to n ces
 q1 , ..., q N 
es u n
co n ju n to d e co o rd en ad as g en eralizad as
d el sistem a S .
S i la co n fig u ració n d e u n sistem a S está d eterm in ad a
p o r lo s valo res d e u n co n ju n to d e variab les
in d ep en d ien tes q1 , ..., q 2 , en to n ces
 q1 , ..., q N 
es u n
co n ju n to d e co o rd en ad as g en eralizad as d e l sistem a S .
Q ue las variables sean independientes
quiere decir que no existe ninguna
relación funcional que las conecte.
S i la co n fig u ració n d e u n sistem a S está d eterm in ad a
p o r lo s valo res d e u n co n ju n to d e variab les
in d ep en d ien tes q1 , ..., q 2 , en to n ces
 q1 , ..., q N 
es u n
co n ju n to d e co o rd en ad as g en eralizad as d e l sistem a S .
Q ue determ inen la configuración del
sistem a quiere decir que cuando se dan
los valores de las variables q1 , ..., q N ,
la posición de todas las partículas del
sistem a S está determ inada.
S i la configuración de un sistem a S está determ inada por los valores
de un conjunto de variables independientes q1 ,..., q 2 , entonces
 q1 ,..., q N 
es un conjunto de coordenadas gene ralizadas del sistem a S .
L o s vecto res d e p o sició n
 ri 
d e las
p artícu las d eb en ser fu n cio n es co n o cid as
d e las variab les in d ep en d ien tes
q1 , ..., q N
es d ecir,
ri  ri  q1 , ..., q N

 i  1, ..., N 
S i la configuración de un sistem a S está determ inada por los valores
de un conjunto de variables independientes q1 ,..., q 2 , entonces
 q1 ,..., q N 
es un conjunto de coordenadas gene ralizadas del sistem a S .
E n la práctica, las coordenadas
generalizadas resultan ser
desplazam ientos o ángulos que
aparecen de m anera natural en
el problem a.
L a co n fig u ració n d e u n sistem a p u ed e
ser esp ecificad a p o r m u ch o s d iferen tes
sistem as d e co o rd en ad as g en eralizad as.
S in em b arg o , el n ú m ero d e co o rd en ad as
n ecesarias es siem p re el m ism o .
C onsiderem os un sistem a m ecánico
sujeto a constricciones.
E l núm ero de coordenadas necesarias
para especificar su configuración,
son los grados de libertad del sistem a.
x  y l
2
x 
  l co s 
y 

 l sin 
2
 y
  arctan   
 x
r1  xiˆ
r2   x  a sin   iˆ   a cos   kˆ
x   , t   R sin  cos 
y   , t   R sin  sin 
z   , t    R cos 
donde
  t   0   t
x  r cos  sin 
y  r sin  sin 
z  r cos 
r 
x  y  z
2
2
 y
  arctan  
 x

  arccos 


;r 0
2
;    0, 


2
2
2 
x  y  z 
z

;   [0, 2 

U n lagrangiano es una función a
partir de la cual se pueden obtener
la evolución tem poral, las leyes de
conservación y otras propiedades
im portantes de un sistem a físico.
E n m ecánica clásica el lagrangiano
de un sistem a conservativo es
sim plem ente la diferencia entre su
energía cinética, T , y su energía
potencial, V .
E n m ecánica clásica el lagrangiano de un sistem a
conservativo es sim plem ente la diferenci a entre
su energía cinética y su energía potenci al.
L  T V
D e todas las trayectorias posibles que e l
sistem a puede tom ar, la que realm ente
sucede es aquella que hace de la acción
un punto estacionario; es decir,
t2
 W    L  q i , q i , t  dt  0
t1
t2
W 
 L  q , q , t  dt
i
t1
i
D ado un sistem a de partículas m asivas pu ntuales,
denotam os las coordenadas generalizadas com o
q i ( i  1, 2, 3,
, N ).
S i L  L  q i , q i , t  es el lagrangiano del sistem a,
las ecuaciones de m ovim iento serán:
L
d L

0
 q i dt  q i
( i  1, 2, 3,
, N ).
1) Las ecuaciones de Lagrange tienen
la m ism a form a en cualquier sistem a
de coordenadas.
2) E n los sistem as con constricciones,
el tratam iento lagrangiano elim ina
las fuerzas de constricción.
L
 xi

d L
 0, i  1, 2, 3
dt  x i
L  T U 
1
mx 
2
2
L
x
  kx ,
L
x
 mx ,
m x  kx  0
1
kx
2
2
d L
dt x
 mx
x  y l
2
x 
  l co s 
y 

 l sin 
2
 y
  arctan   
 x
x  r cos 
r 
r 0
x  y
2
y  r sin 
2
 y
  arctan  
 x
0    2
x  r co s 
r 
x  y
2
y  r sin 
2
 y 
  arctan  
 x 
dx
dx dr
dx d


 co s  r  r sin 
dt
dr dt
d dt
dy
dy dr
dy d


 sin  r  r co s 
dt
dr dt
d dt
2
2
 dy 
 dx 
 co s  r  r sin 

 

 dt 
 dt 


2

 sin  r  r co s 
 co s  r  2 rr sin  co s   r sin 
2
2
2
2
2
 sin  r
2
2
 s in  r
2
2
 2 rr sin  co s   r  co s 
2
2
2
 c o s  r  2 rr sin  co s   r s in 
2
2
2
 2 rr sin  co s   r  co s 
2
 r r 
2
2
2
2
2
2
2

2

L
 xi
L
1
2
L


d L
dt  x i
 0, i  1, 2, 3
m l   m gl  1  cos 
2
  m gl sin  ,
 
2
L

g
l
 ml  ,
2
sin   0

d L
dt  
 ml 
2
x  r cos  sin 
y  r sin  sin 
z  r cos 
r 
x  y  z
2
2
 y
  arctan  
 x

  arccos 


;r 0
2
;    0, 


2
2
2 
x  y  z 
z

;   [0, 2 

dx
dx dr
dx d 
dx d 
dx
dx
dx



 r


dt
dr dt
d  dt
d  dt
dr
d
d
 r cos  sin    r sin  sin    r cos  cos 
dy
dy dr
dy d 
dy d 
dy
dy
dy



 r


dt
dr dt
d  dt
d  dt
dr
d
d
 r sin  sin    r cos  sin    r sin  cos 
dz
dz dr
dz d 
dz d 
dz
dz
dz



 r


 r cos    r sin 
dt
dr dt
d  dt
d  dt
dr
d
d
v  r cos  sin    r sin  sin    r cos  cos   2 rr sin  cos  sin 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 2 r r cos  sin  cos    r sin  cos  sin  cos  + r sin  sin 
2
2
2
2
2
  r cos  sin    r sin  cos   2 r  r sin  cos  sin   2 r r sin  sin  cos 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 2 r cos  sin  sin  cos   r cos    r sin   2 r r sin  cos 
2
2
2
2
2
2
 r sin    r sin    r cos   2 r r sin  cos   r cos    r sin 
2
2
2
2
2
2
 2 r r sin  cos 
 r   r   r si n 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r
x  r co s  sin 
y  r sin  sin 
z  r co s 

x  y z
2
2
 y
  arctan  
x

  arccos 


;r0
2
;    0,  


2
2
2
x  y  z 
z

;   [0, 2 

m 2
2 2
2
2
2
L
r  r   r sin   V  r ,  ,  
2
S e definen
los m om entos generalizados p j
asociados con las
coordenadas generalizadas q j
com o
pj 
L
q j
Llam arem os
par de variables canónicas conjugadas
a la coordenada
qj
y a su correspondiente
m om ento generalizado
pj 
L
q j
S e define la fuerza generalizada com o
Fj  
V
q j
A dem ás, podem os "ver" a
"F "j 
T
q j
com o una fuerza cinética o una fuerza in ercial.
L
d L

 0
qi
dt qi
L
pj 
;
q j
( i  1, 2, 3,
V
Fj  
;
q j
, N ).
T
"F "j 
q j
L as ecu acio n es d e L ag ran g e
to m an en to n ces la fo rm a
p j  Fj  " Fj "
S egunda ley de N ew ton:
dp
dt
 F
L
d L

0
 q i dt  q i
( i  1, 2, 3,
, N ).
E s posible incluir potenciales
que dependan de la velocidad
U q j,q j,t
en la form ulación lagrangiana.
E s posible incluir potenciales que depen dan de la velocidad,
U  q j , q j , t  en la form ulación lagrangiana.
P ara incluir estos potenciales,
las fuerzas generalizadas deben ser
derivables de ellos m ediante la
relación
Fj 
d U
dt  q j

U
q j
E s p o sib le in clu ir p o ten ciales q u e d ep en d an d e la velo cid ad ,
U  q j , q j , t  en la fo rm u lació n lag ran g ian a.
P ara in clu ir esto s p o ten ciales, las fu er zas g en eralizad as d eb en ser
d erivab les d e ello s m ed ian te la r elació n F j 
d U
dt q j

U
q j
.
U na vez encontrado U , se debe
usar en lugar de V en la definición
del lagrangiano; es decir,
L  T U
  E  4 
B 
4
J 
c
E  
1 B
B  0
c t
F  qE 
q
vB
c
E   
B  A
1 E
c t
  E  4 
B 
4
J 
c
E  
1 B
1 E
c t
B  0
c t
F  qE 
q
vB
c
E   
U  q  r  
B  A
q
c
A r v
y
L  T U 
1
2
mv 
2
q
c
A  v  q
q
U  q  r  
Fx  
q d Ax
d Ax
 Ax d x

dt
c

q
x
c dt
x dt

Ar v

Fj 
d U
dt q j

U
q j
q 
v  A

x
c
 Ax d y
y dt

 Ax d z
z dt

 Ax
x
vx 
 Ax
y
vy 
 Ax
z

 Ax
 Ax
q   Ax

q 
Fx   
vx 
vy 
vz   q

vA
c  x
y
z
x
c x


F  
q
v   A  q  
c

q
c


 vA

 v  A  v A  v    A
F  q     
F  qE 
q
c
q
c
vB

v  A




vz
  E  4 
B 
4
J 
c
E  
1 B
1 E
c t
B  0
c t
F  qE 
q
vB
c
E   
L  T U 
B  A
1
2
mv 
2
q
c
A  v  q
Las ecuaciones de N ew ton y de Lagrange
tratan de m anera diferente a las coorden adas
y a sus m om entos canónicos conjugados,
en el sentido que únicam ente aparecen
derivadas tem porales de los m om entos.
E l form alism o que se requiere debe
involucrar ecuaciones de m ovim iento que
sean sim étricas en q j y p j .
D efiniendo
pj 
L
q j
construim os el ham iltoniano
H 

j
p jq j  L
D efiniendo p j 
L
q j
construim os el ham iltoniano H 

p jq j  L
j
C om o
q j  q j  qk , pk , t 
ten em o s
H  qk , pk , t  

p jq j  L  qk , qk , t 
j
y la d ep en d en cia fu n cio n al sera
H  qk , pk , t  ;
L  qk , qk , t 
P ara la m ayoría de sistem as en los cuale s
el potencial no depende de la velocidad,
el ham iltoniano es sim plem ente la energía
del sistem a expresada en térm inos de las
coordenadas y de los m om entos.
H 
p
2
2m
 V  r , t   T  q j, p j   V  q j , t 
E n el caso del cam po electrom agnético
el ham iltoniano que se obtiene haciendo
la transform ación de Legendre
2
q 

 p  A
c 

H 
 q
2m
r
x  r co s  sin 
y  r sin  sin 
z  r co s 
x  y z
2
 y
  arctan  
x

  arccos 



2
;r0
2
;    0,  


2
2
2
x  y  z 
z
;   [0, 2 


m 2
2 2
2
2
2
H 
r  r   r sin   V  r ,  ,  
2
L
L
L
2
2
2
pr 
 m r ; p 
 m r ; p  
 m r  sin 
r


C om o
H  H  qi , pi 
se tiene
N
H 

i 1
 H

H

q


p
i
i 
 q
pi
 i

N
H 

i 1
 H

H
 q  qi  p  pi 
i
i


H  q, p  
P ero
N

pk qk  L  q, q  ,
k 1
así q u e
N
H 

i 1
N


i 1
 L
  q  qi 
i


  ik q k  p i 
k 1

N
 L

   q  q i  q i p i 
i


N
H 

i 1
 L

   q  q i  q i p i 
i


L
d L
C om o

0
qi dt qi
se tien e
N
H 

i 1
 d L



q

q

p
i
i
i 
 dt q
i


N
H 

i 1
 d L

  dt  q  q i  q i  p i 
i


L
P o r d efin ició n p i 
qi
así q u e
N
H 

i 1
 d pi

  d t  q i  q i p i 


N
H 

i 1
 H

H
 q  qi  p  pi 
i
i


N
H 
  p  q
i
i
 q i p i 
i 1
H
qk 
pk
H
pk  
qk
C o m o H  H  q i , p i  se tien e
N
H 

i 1
 H

H
 q  qi  p  pi 
i
i


N

H 
C om o
pi qi  L y
i 1
N
H 

i 1
N


i 1
 L
 qi 

qi


  ij q j  p i  
j 1

N
 d L

  d t  q  q i  q i p i  
i


N

L
d L

0
qi d t qi
  p  q
i
i
 q i p i 
i 1
H
qk 
pk
H
pk  
qk
N

i 1
N

i 1
pi 
L
qi
 L

   q  q i  q i p i 
i


 d pi

  d t  q i  q i p i 


U n a vez q u e el p ar d e variab les can ó n ica s
co n ju g ad as h a sid o eleg id o , las ecu acio n es
d e m o vim ien to se p u ed en reescrib ir en la
fo rm a d e las ecu acio n es d e H am ilto n
H
qk 
pk
H
pk  
qk
U na vez que el par de variables canónica s conjugadas ha
sido elegido, las ecuaciones de m ovim ien to se pueden
reescribir en la form a de las ecuaciones de H am ilton
H
qk 
pk
H 
p
H
pk  
qk
2

2m
1
m x
2
2
2
p   m x
2
x
p
m
E n la m ecánica ham iltoniana, una
transform ación canónica es un cam bio
en las coordenadas canónicas
 q, p, t   Q , P, t 
que preserva la form a de las ecuaciones
de H am ilton, aún cuando no preserve
la form a del ham ilt oniano m ism o.
S i encontram os una transform ación de coo rdenadas
p   p j  p1 ,...; q1 ,... 
H   p j , q j   H
p
j
q  q j  p1 ,...; q1 ,... 
,q j 
que deje invariantes las ecuaciones de H am ilton,
q k 
H 
 p k
;
 p k 
H 
 q k
y que las d esacople, ya hem os resuelto el problem a.
p   p j  p1 ,...; q1 ,... 
H   p j , q j   H
q  q j  p1 ,...; q1 ,... 
p
j
,qj 
E s lógico lim itar este tipo de transform aciones
a aquellas que dejan invariantes las ecu aciones
de H am ilton; es decir, debem os tener
q k 
H 
 p k
;
 p k 
H 
 q k
E ste tipo de transform aciones se llam an
c anónicas.
H 
p
2

2m
1
m x
2
p   m x ; x 
m
2
p  cos x  2 m  p 
x  sin x 
2 p
m
E l ham iltoniano queda
H    p
y las ecuaciones de H am ilton son
p  0
p
2
2
x  
H 
p
2

2m
1
m x
2
2
2
p   m x
x
2
p
m
p  cos x  2 m  p 
x  sin x 
2 p
m
H    p
p  0
p   constante 
p 
E

2 m E cos   t   0 
x  
x   t  0
x
2E
m
2
sin   t   0 
La habilidad para desacoplar, y trivialm ente
resolver, las ecuaciones de H am ilton para
un problem a dado, im plica un conocim iento
apropiado de las transform aciones canónicas.
O btener la transform ación es el tem a de la
teoría de H am ilton-Jacobi
L as ecu acio n es d e m o vim ien to p ara cu alq u ier
variab le d in ám ica G  p i , q i , t  p u ed en ser escritas ,
u san d o las ecu acio n es d e H am ilto n co m o
dG

dt

j

j



j
 G dq j
G dp j  G



 q dt


p
d
t
t
j
j


 G
 G
G
qj 
pj  

 q


p
t
j
j


 G H

 q p
j
j


G H  G

 p j  q j 
t
 G H
G H  G
 



dt
 p j  q j 
t
j  q j p j
dG
D efiniendo
 A, B  
j
 A B
B A


 q p

q

p
j
j
j
j





las ecuaciones de m ovim iento se escriben com o
dG
dt
 G , H  
G
t
S ea G una variable dinám ica
arbitraria. E ntonces
dG
dt
 G , H  
G
t
dG
dt
 G , H  
G
t
S i la variable dinám ica no depende
explícitam ente del tiem po
dG
dt
 G , H 
E n este caso, si  G , H   0, la
variable dinám ica G es una constante
del m ovim iento.
p
H 
2

2m
dG
dt
 A, B  
j
dp
dt
dq
dt
  p, H  
 q, H  
1
m x
2
2
2
 G , H 
 A B
B A


 q p
q j p j
j
j

p H
q p
q H
q p


H p
q p
H q
q p






H
q
H
p

  m x
p
m
 A B
B A

 A , B    
q j p j
j  q j p j
q , p   
q , q   0
p , p   0
j
i
i
j
j
j
ij




 A, B  
j
q
j
, p j    ij ,
q , q   
i
j
k

  0
k
 0
ik
 A B
B A


 q p
q j p j
j
j





 q , q   0,  p , p   0
i
j
i
j
q j qi 
 qi q j
 q p  q p 
k
k
k
k 

 0  jk  ik

 A B
B A

 A , B    
q j p j
j  q j p j
q
j
, p j    ij ,
q , p   
i
j
k

 
k
  ij
ik

jk




 q , q   0,  p , p   0
i
j
i
j
p j qi 
 qi p j
 q p  q p 
k
k
k
k 

 0  ik

 A, B  
j
q
j
, p j    ij ,
 A B
B A


 q p
q j p j
j
j

 q , q   0,
i
j




p , p   0
i
j
C ualquier relación involucre a los parén tesis
de P oisson debe ser invariante bajo las
transform aciones canónicas.
D e hecho, ésta es otra m anera de definir las.
 A B
B A


 q p
q j p j
j
j

 A, B  
j
q
j
, p j    ij ,
 q , q   0,
i
j
p , p   0
i
L r p
L , L   L
L , L   0
i
j
2
i




k
j
 A, B  
j
q
j
, p j    ij ,
 q , q   0,
i
F
q j
F , p   
j
j


j
 F


 qk
 A B
B A


 q p
q j p j
j
j

j




p , p   0
i
j
 F , p j
p j F 
 F p j



qk pk 
 qk pk
jk
F 
F
0
 
pk 
q j
F
q j
 F , p j
E n particular se tiene
F
x
 F , px
F  x  dx , y , z   F  x , y , z 
dx
 F , px
F  x  dx , y , z   F  x , y , z    F , p x  dx
F  x  dx, y, z   F  x, y, z   F , p x dx
P or esta propiedad se dice que
el m om ento lineal p x es el
generador de las translaciones
infinitesim ales a lo largo del eje X .
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