I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares
geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Introducción
Transformaciones
Transformación de coordenadas
Traslación de los ejes coordenados
Rotación de los ejes coordenados
Simplificación de ecuaciones por
transformación de coordenadas
M o vien d o lo s ejes co o rd en ad o s p aralelam e n te
a si m ism o s, h em o s tran sfo rm ad o las
co o rd en ad as
 x, y 
d e u n p u n to cu alq u iera
d e la circu n feren cia en las co o rd en ad as
 x ', y ' 
y co m o resu ltad o h em o s tran sfo rm ad o la ecu ació n
x  h
2
 y  k  r
2
2
(1 )
en la fo rm a m ás sim p le
x'  y'  r
2
2
2
(2 )
T eorem a 1. S i se trasladan los ejes coordenados a un nuevo
origen O '  h , k  , y si las coordenadas de cualq uier punto P ,
antes y después de la traslación, son
 x, y 
y
 x ', y ' 
respectivam ente, las ecuaciones de tr ansform ación del
sistem a prim itivo a1 nuevo sistem a de co ordenadas son
x  x ' h
y
y  y ' k
x  x ' h
y  y ' k
T eorem a 1. S i se trasladan los ejes coordenados a un nuevo
origen O '  h , k  , y si las coordenadas de cualq uier punto P ,
antes y después de la traslación, son
 x, y 
y
 x ', y ' 
respectivam ente, las ecuaciones de tr ansform ación del
sistem a prim itivo a1 nuevo sistem a de co ordenadas son
x  x ' h
y
y  y ' k

D el diagram a es claro que
OA  x
AP  y
OA '  x '
A'P  y '
S ea el ángulo  P O A '   y sea O P  r .
E n el triángulo rectángulo O A P tenem os
sin      
cos      
AP
r
OA
r
E n el triángulo rectángulo O A ' P
tenem os
sin  
A'P
r
cos  
OA '
r
OA  x
OA '  x '
AP  y
sin      
AP '  y '
sin  
A'P
AP
r
cos      
cos  
sin      
sin  
A'P
r
r


y
r
y'
r
r
OA '
r
AP
OA
r
cos      
cos  
OA

r
OA '
r
x
r

x'
r
sin      
sin  
A'P
r
AP
r

r
y'
r
y  r sin     
y '  r sin 

y
cos      
cos  
OA

r
OA '
r
x
r

x'
r
x  r cos     
x '  r cos 
y  r sin     
x  r co s     
y '  r sin 
x '  r co s 
T enem os que
y  r sin     
y '  r sin 
x  r cos     
x '  r cos 
así que por la trigonom etría (en el repa so
lo vim os)
x  r cos       r cos  cos   r sin  sin 
y  r sin     
x  r cos     
y '  r sin 
x '  r cos 
x  r cos       r cos  cos   r sin  sin 
S ustituyendo en
x  r cos       r cos  cos   r sin  sin 
ten em os
x  x ' cos   y 's in 
T enem os que
y  r sin     
y '  r sin 
x  r cos     
x '  r cos 
así que por la trigonom etría (en el repa so
lo vim os)
y  r sin       r sin  cos   r cos  sin 
y  r sin     
x  r cos     
y '  r sin 
x '  r cos 
y  r sin       r sin  cos   r cos  sin 
S ustituyendo en
y  r sin       r sin  cos   r cos  sin 
ten em os
y  x 'sin   y ' c os 

NOTAS.
1. Las ecuaciones de transform ación dada s por el teorem a 1
del artículo 50, el teorem a 2 del artícu lo 51 y teorem a 3
anterior son todas relaciones lineales. D e aquí que el grado
de la ecuación tran sform ada no pueda ser m ayor que el de la
ecuación original. N i tam poco puede ser m enor: porque si lo
fuera podriam os, por transform ación de c oordenadas, regresar
la ecuación transform ada a su form a orig inal y elevar asi el
grado de la ecuacion. P ero acabam os de v er que esto es
im posible. P o r tanto, el grado de una ecuación no se altera po r
una transform ación de coor de nadas.
NOTAS.
2 . A u n q u e las ecu acio n es d e tran sfo rm aci ó n d el teo rem a 3
p u ed en em p learse cu an d o se van a efectu a r sim u ltan eam en te
u n a traslació n y u n a ro tatio n , es g en era lm en te m ás sen cillo
efectu ar estas o p eracio n es sep arad am en te en d o s p aso s
d iferen tes. E l teo rem a 3 ex p lica q u e el o rd en d e estas
o p eracio n es n o tien e im p o rtan cia. S in em b arg o , en el caso d e
u n a ecu ació n d e seg u n d o g rad o en la cu al lo s térm in o s e n
2
x , y
2
y xy fo rm an u n cu ad rad o p erfecto , lo s e jes d eb en
g irarse p rim ero y traslad arse d esp u és (v er el ejercicio 1 0 d el
g ru p o 2 2 ). E ste caso p articu lar será est u d iad o m ás ad elan te
en el C ap ítu lo IX (E cu a ció n g en eral d e seg u n d o g rad o ).
T eorem a 1. S i se trasladan los ejes coordenados a un nuevo
origen O '  h , k  , y si las coordenadas de cualq uier punto P ,
antes y después de la traslación, son
 x, y 
y
 x ', y ' 
respectivam ente, las ecuaciones de tr ansform ación del
sistem a prim itivo a1 nuevo sistem a de co ordenadas son
x  x ' h
y
y  y ' k
E jercicio:
E ncuentra las ecuaciones
de la traslación inversa a
la del teorem a 1.
E n cu en tra las ecu acio n es d e la traslació n in versa a la d el teo rem a 1 .
T enem os que las ecuaciones de
una traslación son
x  x ' h
y  y ' k
D espejando x ' y y ' en sus respectivas
ecuaciones tenem os la transform ación
in vers a
x' x  h
y' y  k
x  x ' h
y
y  y ' k
x'  x  h
y
y' y  k

E jercicio:
E ncuentra las ecuaciones
de la rotación inversa a
la del teorem a 2.
E n co n trar las ecu acio n es d e u n a ro tació n in versa
x  x ' co s   y 'sin 
y  x 'sin   y ' c o s 
M u ltip lican d o la p rim era ecu ació n p o r co s 
y la seg u n d a ecu ació n p o r sin  , ten em o s
x co s   x ' co s   y 'sin  co s 
2
y sin   x 'sin   y 'sin  co s 
2
S u m an d o las ten em o s
x co s   y sin   x ' co s   y ' s in  c o s   x 'sin   y 'sin  co s 
2
2
x co s   y sin   x 'sin   x ' co s   x '  sin   co s 
2
x '  x co s   y sin 
2
2
2

E n co n trar las ecu acio n es d e u n a ro tació n in versa
x  x ' cos   y ' sin 
y  x 'sin   y ' co s 
M ultiplicando la prim era ecuación por  sin 
y la segunda ecuación por cos  , tenem os
 x sin    x 'sin  cos   y 'sin 
2
y cos   x 'sin  cos   y ' cos 
2
S um andolas tenem os
 x sin   y cos    x 'si n  c os   y 'sin   x 'sin  co s   y ' cos 
2
2
 x sin   y cos   y 'sin   y ' cos   y '  sin   c os 
2
y '   x sin   y c os 
2
2
2

E n co n trar las ecu acio n es d e u n a ro tació n in versa
x  x ' co s   y 'sin 
y  x 'sin   y ' c o s 
x '  x co s   y sin 
y '   x sin   y co s 
E n co n trar las ecu acio n es d e u n a ro tació n in versa
x  x ' co s   y 'sin 
y  x 'sin   y ' c o s 
x '  x co s   y sin 
y '   x sin   y co s 
O tra form a de ver la transform ación inve rsa,
es com o una rotación en un ángulo negativo,   .
sin       sin 
cos      cos 
tan      tan 
E n co n trar las ecu acio n es d e u n a ro tació n in versa
x  x ' cos   y 'sin 
y  x 'si n   y ' c os 
P oniendo el ángulo com o   , tenem os
x  x ' cos      y 'sin   

y  x 'sin      y ' cos   

Y usando las propiedades de las funcione s trigonom ét ricas
x  x ' cos   y 'sin 
y   x 'sin   y ' co s 
Fina lm ente h a y que intercam biar los papeles de x y de x '.
E jercicio 5, grupo 20, capítulo V , págin a 138.
T ransfórm ese la ecuación
xy  3 x  4 y  13  0
trasladando los ejes coordenados al nuevo
origen
  4, 3  .
E jercicio 5 , g ru p o 2 0 , cap ítu lo V , p ág in a 1 3 8 .
T ran sfó rm ese la ecu ació n
xy  3 x  4 y  1 3  0
traslad an d o lo s ejes co o rd en ad o s al n u ev o o rig en
x  x ' h
  4, 3  .
y  y ' k
x  x '   4 
y  y ' 3
xy  3 x  4 y  13  0
 x ' 4   y ' 3   3  x ' 4   4  y ' 3   13  0
x ' y ' 3 x ' 4 y ' 12  3 x '  12  4 y '  12  13  0
x ' y ' 3 x ' 4 y ' 12  3 x ' 12  4 y ' 1 2  1 3  0
x ' y ' 1  0
E jercicio 8, grupo 20, capítulo V , págin a 138.
P or una traslación de ejes, transform a la ecuación
3 x  2 y  42 x  4 y  133  0
2
2
en otra que carezca de térm inos de prim e r grado.
P o r u n a traslació n d e ejes, tran sfo rm a la ecu ació n
3 x  2 y  42 x  4 y  133  0
2
2
en o tra q u e carezca d e térm in o s d e p rim e r g rad o .
3 x  2 y  42 x  4 y  133  0
2
2
x  x ' h
y  y ' k
3  x ' h   2  y ' k   42  x '  h   4  y '  k   133  0
2
2
3  x '  2 hx ' h
2
2
  2  y '  2 ky ' k
2
2
  42 x ' 42 h  4 y ' 4 k  133  0
3 x '  6 hx ' 3 h  2 y '  4 ky ' 2 k  42 x '  42 h  4 y '  4 k  133  0
2
2
2
2
3 x '  2 y '  6 hx ' 42 x '  4 ky '  4 y '  3 h  2 k  42 h  4 k  133  0
2
2
2
2
3 x '  2 y '   6 h  42  x '  4 k  4  y '  3 h  2 k  42 h  4 k  133  0
2
2
2
6 h  42  0
4k  4  0
42
k  1
h
6
=7
2
P o r u n a traslació n d e ejes, tran sfo rm a la ecu ació n
3 x  2 y  42 x  4 y  133  0
2
2
en o tra q u e carezca d e térm in o s d e p rim e r g rad o .
3 x  2 y  42 x  4 y  133  0
2
2
x  x ' h
y  y ' k
h7
k  1
3 x '  2 y '  3 h  2 k  42 h  4 k  133  0
2
2
2
2
3 x '  2 y '  3  7   2   1   42  7   4   1   133  0
2
2
2
2
3 x '  2 y '  147  2  294  4  133  0
2
2
3 x '  2 y '  12  0
2
2
E jercicio 15, grupo 20, capítulo V , pági na 138.
P or una traslación de los ejes coordenad os,
transform a la ecuación
12 x  18 y  12 x  12 y  5  0
2
2
en otra que carezca de térm inos de prim e r
grado.
P or una traslación de los ejes coordenad os, transform a la ecuación
12 x  18 y  12 x  12 y  5  0
2
2
en otra que carezca de térm inos de prim e r grado.
12 x  18 y  12 x  12 y  5  0
2
2
12 x  12 x  18 y  12 y  5
2
2
12 x  12 x  18 y  12 y
2
2
12  18
x
2
18
x

18

y
2
12

y
18


5
12  18
5
216
1  2 12 
5
x  x   y  y  
18
12 
18  216
1
2
1  2 2 
5
x  x   y  y  
18
12 
3  216
1
2
P or una traslación de los ejes coordenad os, transform a la ecuación
12 x  18 y  12 x  12 y  5  0
2
2
en otra que carezca de térm inos de prim e r grado.
1  2 2 
5
x  x   y  y  
18
12 
3  216
1
2
1  2
1
1  2 2
4 
5
1 1
1 4


x  x 
y  y

18 
4  12 
3
36  216 18 4 12 36
2
2
2
2
1 
1
1 
1
5
1
1 1
5
1
1
1






x  
y  
18 
2
12 
3
216 72 3 36
216 72 1 08 36
1 
1
1 
1
1
x  
y  
18 
2
12 
3
36
2
2
1
1
1
1
1
x


y






3
2
2
3
6
2
2
1
1


2 x    3 y    1
2
3


P or una traslación de los ejes coordenad os, transform a la ecuación
12 x  18 y  12 x  12 y  5  0
2
2
en otra que carezca de térm inos de prim e r grado.
2
2
1
1


2 x    3 y    1
2
3


La transform ación de coordenadas es
entonces
x' x 
1
y' y 
2
3
y la ecuación queda
2x'  3y '  1
2
1
2
Descargar

TRANSFORMACION DE COORDENADAS PARTE 2