TEMA 4
COSMOLOGÍA.GRAVITACIÓN
1
INDICE
1- MODELOS ASTRONÓMICOS
1.1- Modelo geocéntrico de Ptolomeo
1.2- Modelo heliocéntrico de Copérnico
1.3- Leyes de Kepler
2- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
2.1- La aceleración de la gravedad (g)
2.2- Satélites artificiales
2.3- Las mareas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1- MODELOS ASTRONÓMICOS
1.1- MODELO GEOCÉNTRICO DE PTOLOMEO:
• La tierra, estática y esférica, ocupa el centro
del Universo.
• Las estrellas están fijas en una inmensa
esfera que gira en torno a la Tierra.
• El Sol, la Luna y los demás planetas giran en
torno a la Tierra en órbitas circulares.
12
• Las órbitas de los planetas son complejas:
describen círculos (epiciclos) alrededor de
una órbita excéntrica con la Tierra.
13
1.2- MODELO HELIOCÉNTRICO DE COPÉRNICO:
• El Sol está inmóvil en el centro del sistema
• La Tierra tiene dos movimientos: rotación
sobre sí mismo, y traslación alrededor del Sol
• La Luna gira en torno a la Tierra
• Los planetas giran alrededor del Sol a
distintas distancias
• La esfera de las estrellas es inmóvil y muy
lejana.
14
MODELO HELIOCÉNTRICO
15
1.3 – LAS LEYES DE KEPLER:
Leyes que describen el movimiento de los
planetas:
1ª ley: los planetas describen trayectorias
elípticas con el Sol en uno de sus focos.
16
2ª ley: el radio que une el Sol con cada
planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Cuando el planeta se encuentra más alejado
del Sol (afelio), su velocidad es menor que
cuando se encuentra más cerca (perihelio).
17
3ª ley: para cualquier planeta, el cuadrado de su
período orbital (tiempo que tarda en dar una
vuelta alrededor del Sol) es directamente
proporcional al cubo de la distancia media con el
Sol.
T  k r
2
3
(k  constante)
18
2- LEY DE
NEWTON
LA
GRAVITACIÓN
UNIVERSAL
DE
 La F de atracción entre dos cuerpos es
directamente proporcional al producto de sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que los separa.
M m
F G
d2
( G = 6,670. 10-11 Nm²/kg² )
 Las fuerzas gravitatorias
atractivas y mutuas.
MT

FT , L

FL ,T
son
ML
d
19
siempre
1- Calcula la fuerza con que la Tierra atrae a la
Luna y la fuerza con que esta atrae a la Tierra.
Datos: MT = 6.1024 kg; ML = 7,3.1022 ; dT,L =
3,8.108 m
FT , L
24
22
MT  M L
6

10

7
,
3

10
11
G

6
,
37

10


2
8 2
dT , L
3,8  10


 1,9.1019 N  FL ,T
2- Calcula la fuerza con que la Tierra atrae a una
persona de 70 kg de masa, sabiendo que el radio de
la Tierra es de 6,37.106 m
24
MT  m
6

10
 70
11
2
FT , L  G 

6
,
67

10


6
,
9
.
10

690
N
2
2
RT
6,37 106


20
2.1- LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD (g)
También llamada campo gravitatorio
P  m g
M m
P  F  m g  G

2
d
M m
F G
d2
M
g G 2
d
El valor de g en la superficie de la
Tierra sería:
g  6,67.10 
-11
6.1024
6,4.10 
6 2
 9,8m / s 2
21
1- Calcula el valor de g a 1000 km de altura sobre
la Tierra, y en la superficie de Marte ¿Cuánto
pesaría en estos puntos una persona de 70 kg de
masa? MT = 6.1024 kg; RT = 6,4.106 m; MM =
6,4.1023 kg; RM = 3,4.106 m
gT 
G  MT
gM 
RT
2

GMM
RM
2
6,67  1011  6  1024
6,4 10
6
 10
 6,67.1011 
P  m  g  70  7,3  511N

6 2
 7,3
6,4.1023
3,4.10 
6 2
m
s2
 3,7m / s 2
PM  m  g  70  3,7  259N
22
2.2- SATÉLITES ARTIFICIALES:
Un satélite es cualquier objeto que orbita
alrededor de otro, que se denomina principal
Velocidad orbital de un satélite artificial:
MT  M S
F G
d2
v2
FC  M S  ac  M S 
d
MT  M S
v2
F  FC  G 
 MS 
2
d
d
v
G  MT
d
23
1-La estación espacial internacional se encuentra a
500 km de altura sobre la Tierra. Calcula su
velocidad orbital. MT = 6.1024 kg ; RT = 6,4.106 m
v
G  MT

d
6,67  1011  6  1024
 7.615,8m / s
6
5
6,4  10  5  10


2- Calcula la distancia de la Tierra a la Luna, si
su velocidad orbital es 1.053,2 m/s. MT = 6.1024
m
G  MT
6,67  10 11  6  10 24
2
v
 1.053,2 
d T ,L
d T ,L
dT ,L 
6,67  1011  6  1024
1.053,22
 3,6.108 m
24
Satélites geoestacionarios
• Son los satélites de comunicaciones
• Son geoestacionarios porque están en la
vertical de un cierto punto de la Tierra, para
lo cual dan una vuelta completa al igual que la
Tierra en 24 horas. Sus órbitas se
encuentran en el plano ecuatorial.
25
Radio orbital de un satélite geoestacionario:
G  MT
v
d
G  MT
2

d
d
T
2
; como  v  w  d 
d
T
 G  MT
 
d

2
2

   2  d 

T


2
2
4

G

M

T
3
G  M T 4
T
3

d

G

M

d

T
 2 d2 
2
2
T
4

d
T
2
d 3
2
11
24
G  MT T 2


6
,
67

10

6

10

24

3600
3
 42.312 m
2
2
4
4  3,14
26
- Cálculo de la velocidad orbital de un
satélite geoestacionario:
G  MT
6,67 1011  6 1024
v

 97.254m / s  350.114km / h
d
42.312
27
2.3- LAS MAREAS:
• La subida y bajada de mareas se debe a la fuerza
de atracción gravitatoria.
• Los océanos que se encuentran en el lado de la
Tierra más cercano a la Luna, son atraídos hacia esta
por la fuerza de atracción gravitatoria de la Luna, lo
que da lugar a una marea alta (punto A).
• Al mismo tiempo en los océanos más alejados de la
Luna la atracción gravitatoria es menor que en el
conjunto de la Tierra, quedando dicha masa acuosa
rezagada de la superficie terrestre, en sentido
opuesto a la atracción, lo que genera también una
marea alta (punto B).
28
• Debido a que la masa acusa de la Tierra se
“alarga” por los extremos en los puntos C y D, se
origina una marea baja.
• Si el Sol está alineado con la Luna, se produce el
mismo efecto, más acentuado, que recibe el nombre
de “mareas vivas”.
• Si el Sol forma un ángulo de 90º con la Luna, el
efecto es menor y se llaman mareas muertas.
29
30
PROBLEMAS
COSMOLOGÍA: GRAVITACIÓN
31
1- ¿Con qué fuerza te ves atraído por tu compañero
que está a 30 cm de ti, si vuestras masas son 45 y
50 kg?
G  m1  m2 6,67  1011  45  50
6
F


1
,
66

10
N
2
2
d
0,3
2-Sabiendo que la Tierra atrae a Luna con una
fuerza de 1,94.1020 N, calcula la masa de la Luna.
Datos: MT = 6.1024 kg; dT-L = 3,8.108 m


8 2
F d
1,94  10  3,8  10
22
ML 


7

10
kg
11
24
G  MT
6,67  10  6  10
2
20
32
3- La masa de Venus es 0,815 veces la de la Tierra.
Si esta la atrae con una fuerza de 1,23.1023 N, ¿a
qué distancia está la Tierra en ese momento?
G  MT  MV
G  M T  0,815 M T
F
d 
2
d
F
6,67  1011  6  1024  0,815 6  1024
16
d

1
,
59

10
m
23
1,23 10
4- ¿ Cuál es el radio de Venus? ¿Y su densidad?.
Datos: g V = 8,87m/s2; MV = 4.9.1024 kg?¿y
G  MV
G  MV
6,67  1011  4,9  1024
6
g

R



6
,
07

10
m
2
R
g
8,87
M 4,9  1024
4,9  1024
d


4
4
V
  R3
 3,14  6,07  106
3
3


3
kg
 5.233,13 3
m
33
5- Calcula la aceleración de la gravedad (g): a) A
nivel del mar. b) En la cima del Everest (8 750 m).
c) A 10000 km de altura sobre la Tierra.
a) g 
G  MT
RT
2

6,67  1011  6  1024
6,37 10 
6 2
m
 9,86 2
s
G  MT
6,67  1011  6  1024
m
b) g 

 9,84 2
2
2
d
s
6,37  106  8.750

c) g 
G  MT
RT  h
2


6,67  1011  6  1024
6,4 10
6

7 2
 10
m
 1,49 2
s
34
6- Calcula la aceleración de la gravedad (g), en las
superficies de: la Luna, Marte, Júpiter y del Sol.
¿Calcula el peso en estos astros de una persona de
70 kg de masa?
P  m g
gL 
gM 
gJ 
gS 
GML
RL
2

6,67  1011  7,2  1022
1,74 10 
6 2
6,67  1011  6,37  1023
3,4310 
6 2
6,67  1011  1,9  1027
6,99 10 
7 2
6,67  1011  2  1030
6,96 10 
8 2
 3,61
m
 1,59 2 ; PL  70  1,59  111,3N
s
m
;
2
s
m
 25,93 2 ;
s
m
 275,38 2 ;
s
PM  70  3,61  252,7 N
PJ  70  25,93  1815,1N
PS  70 275,38  19276,6N
35
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