-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSUCurso de Fundamentos de Matemática MME-312
Unidad II. Métodos de demostración.
 Programa de Asignatura.
 Fundamentos de
Matemática.
 Clave
: MME - 312
 Prerrequisito. : Licenciatura o su
Equivalente.
 Número de Créditos : 3
 # Horas Semanales : 3
 Horas Teóricas
: 3 Prácticas: 0
 Aula
:
 Horario
: Sábado de 8:00 AM a 4:00
PM.
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Unidad II. Métodos de demostración.
 Introducción.
 Algunas frases para empezar.
 Se aprende haciendo;
 El esfuerzo y la dedicación aseguran el
conocimiento;
 Las matemáticas entran por las manos;
 Presentación del Programa y discusión
de Reglas internas.
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Unidad II. Métodos de demostración.
 2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia.
 El tratamiento de teoremas y sus demostraciones , se puede estructurar en
tres etapas fundamentales:
Búsqueda del teorema; en esta etapa se pretende que el estudiante sea capaz de
encontrar una determinada suposición y formularla como proposición;
- Búsqueda de la demostración, como su nombre lo indica se pretende encontrar
los medios para la demostración, en particular en la demostración que se
desarrolla se pone al descubierto la cadena de inferencias que conducen de la
hipótesis a la tesis, a través de una serie de etapas intermedias;
- Representación de la demostración, pretendiendo aquí escribir correctamente
la cadena de inferencias lógicas en un esquema de demostración conveniente y
claro.
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Unidad II. Métodos de demostración.
 2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia.
 La proposición (o enunciado) que describe un teorema.
 Una implicación o una equivalencia matemática?
 El
planteamiento antecedente-consecuente, (hipótesistesis) qué implica?
 El planteamiento Equivalencia, qué implica?
 Estos planteamientos, qué consecuencias producen en el
proceso de la demostración de un teorema.
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 2.2 Fundamentos en el proceso de demostración.
 En el proceso a seguir al hacer cualquier demostración,




se debe tener acceso a:
Un conjunto de axiomas.
Un conjunto de definiciones.
Un conjunto de reglas o criterios de deducción.
Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en
los tres conjuntos anteriores.
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 2.3 Métodos de demostración.
 La demostración en matemática. Rigor vs. Didáctica.
 La demostración en matemática. Lo ideal: Elegancia + rigor + didáctica.
 Métodos Deductivos.
 Directo e indirecto. Ver ejemplo de cada uno.
 Otros métodos de demostración.
 Por refutación:
- Por contradicción.
- Por contraejemplo.
 Por contrarecíproco.
 Por demostración de existencia.
 Inducción matemática.
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 Analizar algunos casos;
 1) Método directo.
 Ejemplos.
 1. “Demostrar que si x es impar, entonces x2 también lo es”.
 Demostración.
 Afirmación.
- (1) x es impar.
- (2) Existe algún u ЄZ tal que x = 2u + 1.
- (3) x2 = (2u + 1)2
= 4u2 + 4u + 1
= 2(2u2 + 2u) + 1.
- (4) Luego de donde, x2 es impar
-
Justificación.
. Por hipótesis.
. Por definición de imparidad.
. Por teoremas del Algebra.
. Cuadrado de un binomio.
. Factorizando.
. Por definición de imparidad. ■
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 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
 1) Método directo (continuación).
 2. “Demostrar que si u es real, entonces ( – 1) x u = – u”.
 Demostración.
 Afirmación.
- (1) 1+ (– 1) = 0.
- (2) 1 x u + (–1) x u = 0 x u.
- (3) 0 x u = 0.
- (4) 1 x u = u
- (5) u + (–1) x u = 0.
- (6) u + (–u) = 0.
- (7) u + (– 1) x u = u + (– u).
- (8) (– 1) x u = – u.
Justificación.
. Por def. de inverso aditivo.
. Por distribución.
. Por propiedad absorbente.
. Identidad multiplicativa.
. Por (2), (3) y (4).
. Por def. de inverso aditivo.
. Por (5) t (6)
. Por uniformidad.
■
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 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
 1) Método




directo (continuación).
3. Demuestre que si a y b son números pares, entonces
a + b es número par.
Demostración.
Suponga que a y b son números pares, (Hipótesis
auxiliar) luego, a = 2n y b = 2m con n, m Є Z.
Entonces, a + b = 2n+ 2m =2(n + m); (n + m)
ЄZ (enteros).
Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k, es decir, a + b es un
número par.
■
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 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
 2) Método Indirecto.
 Ejemplo. Tomemos un caso de Lógica Matemática.
 “Demostrar


-
-
p & q, a partir de las premisas dadas ”.
Demostración.
Afirmación.
Justificación.
(1) ~ r.
. Premisa.
(2) s → r.
. Premisa.
(3) ~ s → (p& q).
. Premisa.
(4) ~ s.
. Por el MT.
(5). p& q
. Por el MP. ■
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 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
 3) Por reducción al absurdo.
 “Demostrar
-
-
-
-
que √2 no es racional”.
Demostración. Se parte del hecho de que cualquier número racional puede ser escrito en la
forma x/y, donde y ≠ 0. Supongamos que √2 = p/q, donde p/q es
un racional simplificado a su mínima expresión.
Afirmación.
Justificación.
(1) Puede escribirse que 2 = p2/q2
. Por uniformidad.
(2) También se tiene que p2 = 2q2.
. Por uniformidad..
(3) Es obvio que p2 es divisible por 2 y
por tanto, también p lo es.
. Por teorema del Algebra.
(4) Se puede escribir p = 2r, con r ЄZ. Entonces,
4r2 = 2q2 o 2r2 = q2 y como q2 es divisible por 2,
q también lo es.
. Propiedades Aritméticas.
Luego, tanto p como q tienen un factor común, lo que contradice la hipótesis. ■
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Unidad II. Métodos de demostración.
 3. Inducción matemática.
 Trabajar con el video del profe Alex.
Verlo en:
 http://profe-alexz.blogspot.com.
 Ver demostraciones adicionales.
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