I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Definiciones
Ecuación de la elipse de centro en el
origen y ejes de coordenadas los ejes de
la elipse
Ecuación de la elipse con centro en (h,k)
y ejes paralelos a los ejes coordenados
Propiedades de la elipse
La sección cónica o simplemente cónica, es el lugar
geométrico o curva que se obtiene por la intersección
de un cono circular recto con un plano.
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hipérbola
L a sección cónica se puede expresar
m ediante una ecuación general de
segundo grado en x e y en la form a
siguiente :
A x  B xy  C y  D x  E y  F  0
2
2
D ependiendo de la sección cónica
algunos de los coeficientes se hacen cero.
U na elipse es el lugar geom étrico de un punto que se m ueve
en un plano de tal m anera que la sum a de sus distancias a
dos puntos fijos de ese plano es siem pre igual a una constante,
m ayor que la distancia entre los dos puntos.
S ean el punto P1  x 1 . y 1  y el punto P 2  x 2 . y 2  .
La distancia entre dos puntos está dada com o:
d 
 x 2  x1 
2
  y 2  y1
2
La distancia entre P  x , y  y F  c , 0  es
entonces,
d 
x  c
2
  y  0
2

x  c
2
 y
2
La distancia entre P  x , y  y F   c , 0  es
entonces,
d 
 x    c     y  0 
2
2

x  c
2
 y
2
 x  c   y  2a 
2
x  c
2
x  c  y
2
2

 y  2a 

2
x  c
2
2

 y

2
2
x  2 cx  c  y  4 a  4 a
x  c
x  2 cx  c  y  4 a  4 a
 x  c   y  x  2 cx  c  y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 y  x  c  y
2
2
2
2
2
2
2
x  2 cx  c  y  4 a  4 a
 x  c   y  x  2 cx  c  y
2
x  2 cx  c  y  4 a  4 a
x  c
2
4 a  4 cx  4 a
2
cx  a  a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x  c  y
x  c
2
2
 y
2
2
2
2
2
2
2
 y  x  2 cx  c  y
2
2
2
cx  a  a
2
 cx  a 
2
2
x  c
2
 y
2

 a x  c  y 


2
2
c x  2 ca x  a  a
2
2
2
2
4
2
x
2
 2 cx  c  y
2
2

c x  2 ca x  a  a x  2 a cx  a c  a y
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
c x  2 ca x  a  a x  2 a cx  a c  a y
2
2
2
4
2
2
2
c x  a x  a y  a  a c
2
2
2
2
2
2
4
2
a x c x a y a a c
2
a
2
2
c
2
2
2
x
2
2
2
a y a
2
2
4
2
2
a
2
2
2
2
c
2

2
2
2
a  c
2
2
x  a y  a
2
C om o 2 a  2 c es a
2
2
2
a  c
2
2

 c y a  c es un núm ero
2
2
2
2
positivo que puede ser reem plazado por el núm ero
2
positivo b ; es decir, si en
a
2
c
2
x
2
a y a
2
2
2
a
c
2
2

rem plazam os a  c por b , obtenem os
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y dividiend o por a b , se obtiene finalm ente
x
2
a
2

y
2
b
2
1
x
2
a
2

y
2
b
2
1
(5)
P ara acab ar d e en ten d er la ecu ació n
x
2
a
2

y
2
b
2
1
(5 )
d eb em o s an alizarla.
P ara ello p ro ced em o s co m o se ex p licó
en el cap ítu lo II.
Intersección
con los ejes
Cálculo de
coordenadas
Simetría
Extensión
de la curva
Construcción
de la curva
Asíntotas
Intersecciones con los ejes de
x
2
a
2

y
2
b
2
Intersecciones con el eje X .
H aciendo y  0 en la ecuación de la elipse,
tenem os
x
2
a
2
1
ó bien
x  a
2
2
y por tanto,
x  a
1
Intersecciones con el eje X :  a y  a
P or ser a y  a las intersecciones con el ej e X ,
las coordenadas de los vértices son V y V ' son
( a , 0) y (  a , 0 ) respectivam ente, y la
longitud del eje m ayor
es igual a 2 a , que es la
constante que se
m en ciona en la
definición de la
elipse.
Intersecciones con los ejes de
x
2
a
2
y
2
b
2

Intersecciones con el eje Y .
H aciendo x  0 en la ecuación de la elipse,
tenem os
y
2
b
2
1
ó bien
y b
2
2
y por tanto,
y  b
1
Intersecciones con el eje Y :  b y  b
P or ser b y  b las intersecciones con el eje Y ,
las coordenadas de los extrem os A y A ' de l eje
m enor son (0 , b ) y (0 ,  b ) respectivam ente , y la
longitud del eje m enor es igual a 2 b.
x
2
a
2

y
2
b
2
1
x
2
a
2

y
2
b
2
1
x
2
a
2

y
2
b
2
1
S i en la ecu ació n d e la elip se
d esp ejam o s y o b ten em o s
y
2
b
2
1
x
2
a
2
2

x 
2
2
y  b 1  2 
a 

y  b 1 
x
2
a
2
(7 )
x
2
a
2

y
2
b
2
1
y  b 1 
x
2
a
2
(7)
L a ab scisa d el fo co F es c .
S i en (7 ) su stitu im o s x p o r este valo r se
o b tien en las o rd en ad as co rresp o n d ien tes q u e so n
y  b 1 
c
2
a
2
a c
2
 b
a
P ero a  c  b , así q u e
2
y  b
2
b
2
a
2
2
 b
b
a
 
b
2
a
2
2
 b2 
 c,

a


 c, 0 
2

b 
 c, 

a


Si x  c entonces y  
b
2
a
P or lo tanto,
la longitud del
 b2 
 c,

 a 
lado recto del
foco F es
2b
2
 c, 0 
a
2

b 
 c, 

a 

y  b 1 
x
2
a
2
(7)
La abscisa del otro foco F ', que es  c ,
tenem os exactam ente lo m ism o; es decir,
y  b 1 
 c 
a
2
a c
2
 b
2
a
P ero a  c  b , así que
2
y  b
2
b
2
a
2
2
 b
b
a

b
2
a
2
2
La longitud del lado recto para el
foco F '   c , 0  es tam bién
2

b 
 c,

a


 c, 0 
2

b 
 c, 

a


2b
a
2
e
c
a b
2

a
2
a
y
3
2
1
-8
-6
-4
-2
2
-1
-2
-3
4
6
8
x
T eorem a 1. La ecuación de una elipse de centro en el origen,
eje focal el eje X , distancia focal igua l a 2 c y cantidad
constate igual a 2 a es
x
2
a
2

y
2
b
2
1
N O T A . S i red u cim o s la ecu ació n d e u n a elip se
a su fo rm a can ó n ica, p o d em o s d eterm in ar
fácilm en te su p o sició n relativa a lo s ejes
co o rd en ad o s ccm p aran d o lo s d en o m in ad o res
d e lo s térm in o s en x e y . E l d en o m i n ad o r m ayo r
esta aso ciad o a la variab le co rresp o n d ie n te al
eje co o rd en ad o co n el cu al co in cid e el e je m ayo r
d e la elip se.
A hora considerarem os la determ inación
de la ecuación de una elipse cuyo centro
no está en el origen y cuyos ejes son
paralelos a los ejes coordenados.
S egún esto, considerem os la elipse cuyo centro
está en el punto ( h , k ) y cuyo eje focal es
parelelo a1 eje X tal com o se indica en la figura.
S ean 2 a y 2 b las longitudes de los ejes m a yor y m enor
de la elipse, respectivam ente .
S i los ejes coordenados son trasladados de m anera
que el nuevo origen O ' coincida con el ce ntro ( h , k )
de la elipse, se sigue, del teorem a 1, A rticulo 61 , q u e
la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos
ejes X ' y Y ' está dada por
x'
a
2
2

y'
b
2
2
1
x'
a
2
2

y'
b
2
2
1
x  x ' h
y  y ' k
x'
a
2
2
x' x  h

y'
b
2
2
1
y' y  k
P  x, y 
F  h  c, k 
F :  h  c, k 
 h, k 
P  x, y 
F  h  c, k 
F :  h  c, k 
 h, k 
d  PF  
 x   h  c     y  k 
2
2
d  PF   
 x   h  c     y  k 
2
2
PF  PF   2a
x  h  c
2
y  k
2
x  h  c
2
y  k
2
x  h  c
2
x  h  c
2
4a
2

x  h  c
 2a 
  y  k   2a 

2
2
y  k
x  h  c
x  h  c
2
2
2
 2a
y  k
2
y  k 

2
2
y  k 
2
  x  h  c    y  k   4a
2
2
x  h  c
2
y  k
2
x  h  c
2
 y  k 
2
4a   x  h  c    y  k   4a
2
2
x  h  c
2
2
x  h  c
 4a   x  h  c   4a
2
2
2
y k
x  h  c
2
2
y k
2
 x  h   2c  x  h   c 
2
2
 4a   x  h   2c  x  h   c  4a
2
2
2
2c  x  h   4a  2c  x  h   4a
2
x  h  c
x  h  c
2
2
y k
y k
2
2
2
x  h  c
2
y  k
2
2c  x  h   4a  2c  x  h   4a
2c  x  h   4a  2c  x  h   4a
x  h  c
2
y  k
2
4c  x  h   4a  4a
2
y  k
2
2
2
cx  h  a  a
2
2
x  h  c
x  h  c
2
y k
2
2
2

c  x  h   a   a  x  h  c    y  k  




2
2
2
c  x  h   a   a  x  h  c    y  k  




2
c
2
x  h
2
2
2
 2a c  x  h   a  a
2
4
2
2
x  h  c
2
a
 x  h   2a c  x  h   a 
2
2
2
2
2 2
2
 a  x  h   2a c  x  h   a c  a  y  k 
c
2
c
2
2
x  h
2
2
a a
4
4
2
x  h
2
a c a
2
2
2
y k
2
2
y k
2
c
2
c
2
c
b
x  h
2
a a
x  h
2
a
2
a
2
2
2

2
a
2
2
a
x  h
2
2
2
a
2
2
a c a
2
2
1
2
2
y  k
y  k
y  k
y  k
b
2
x  h
2
 x  h
x  h
x  h
a
2
4
2
 a
 a b
2
2
2
2
2
y  k
2
 a c  a
c
2
2
2
a
2

4
x  h
b
2
2

y  k
a
2
2
1
3
x  h
a

2
x  h
b
2
2
y  k
b
2

1
2
y  k
a
2
2
2
1
x  h
a
2
2

y  k
b
2
2
1
x  h
b
2
2

y  k
a
2
2
1
x  h
a
b
2
2
y  k
2

x  h
b
2
a
2
a b
b
2
b
2
2
2
2
1
y  k
2
y  k
2
a b
2
y  k
2
a b
2
1
2
x  h
2
a
2
x  h
2
a
2
2
2
0
b
2
x  h
b
2
x
2
2
a
2
 2 hx  h
y k
2
2
a b 0
2
 a y
2
2
2
 2 ky  k
2
a
2
b 0
2
b x  2 b hx  b h  a y  2 a ky  a k  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x  a y  2 b hx  2 a ky  b h  a k  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0
2
2
Ax  Dx  Cy  Ey   F
2
2
 2 D 
 2 E 
A x 
x  C y 
y   F
A 
C 


2
2
2
2
 2 D



D
E
E
D
E
2
A x 
x
Cy 
y


F
2 
2 
A
4A 
C
4C  4 A 4C


2
2
2
2
 2 D



D
E
E
D
E
2
A x 
x
Cy 
y


F
2 
2 
A
4A 
C
4C  4 A 4C


2
2
2
2
D 
E 
D
E


A x 

F
 Cy
 
2A 
2C 
4 A 4C


2
D 
E 


x

y

2A 
2C 



C
A
2
D
2
 4A

E
2
4C
AC
F
D
2

4A
E
2
F
4C
AC
E l d en o m in ad o r co m ú n es 4 A C , así q u e
CD
2
 AE
2
2
4A C
 4 ACF
2
N  CD  AE  4 ACF
2
2
N  CD  AE  4 ACF
2
2
La tangente a una curva en un punto dado es
una línea recta; la pendiente de esa lín ea recta
nos dice que tan rápido está cam biando l a
curva en ese punto.
P or eso es im portante la línea tangent e:
S u p endiente nos da la razón de cam bio de la
curva.
f ( x, y )  0
(1)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
ax  bx  c  0
2
a  0
(5)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
ax  bx  c  0
2
a  0
(5)
f ( x, y )  0
(1)
y  mx  k
(4)
Longitud de
la tangente
Longitud de
la norm al
S ubtangente
S u b n o rm al
E n el trián g u lo  T Q P1 ,
ten em o s
tan   m 
y1
TQ
D esp ejan d o T Q ,
q u e es la su b tan g en te,
ten em o s
TQ 
y1
m
E n el trián g u lo  Q N P1 ,
ten em o s
tan   m 
QN
y1
D esp ejan d o Q N ,
q u e es la su b n o rm al,
ten em o s
Q N  m y1
E n el trián g u lo  T Q P1 ,
ten em o s
2
TQ
 y   L o n g T an g 
2
1
y1
p ero T Q 
m
m
 0,
así q u e
2
L o n g T an g 
y1
m

y1
m
1 m
2
2
 y1 
2
2
E n el trián g u lo  Q N P1 ,
ten em o s
2
QN
 y   L o n g N o rm al 
2
1
2
p ero Q N  m y1
así q u e
L o n g N o rm al 
 y1 1  m
2
m y1  y1 
2
2
2
S i se verifica q u e m m '   1, d e tal m an era q u e
am b o s án g u lo s sean recto s, se d ice q u e las
cu rvas so n o rto g o n ales en tr e si .
T am b ien , si cad a elem en to d e u n a fam ilia d e
cu rvas es o rto g o n al a cad a u n o d e lo s elem en to s
d e u n a seg u n d a fam ilia, las cu rvas d e cu alq u iera
d e las d o s fam ilias se llam an las trayecto rias
o rto g o n ales d e las cu rvas d e la o tra f am ilia .
E l p ro b lem a d e la o rto g o n alid ad es d e co n sid era b le
im p o rtan cia en la M atem ática S u p erio r y en la F ísica.
T eorem a 4.
La tangente a la elipse
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
en cualquier punto P1  x1 , y1 
de la curva tiene por ecuación
b x1 x  a y 1 y  a b
2
2
2
2
T eorem a 4.
La tangente a la elipse
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
en cualquier punto P1  x1 , y1 
de la curva tiene por ecuación
b x1 x  a y1 y  a b
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
y  m x  m x1  y 1
b x a y  a b
2
2
2
2
2
b x a y  a b
2
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2

b x a
2
2
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2

b x a
2
2
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2

b x a
2
2
2
 m x  m x 1  y 1  2 m x1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
2
m
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2
x  m x 1  y 1  2 m x1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2

b x  a m x  a m x1  a y 1  2 a m x 1 x  2 a m x 1 y 1  2 a m y 1 x  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2
 m x  m x1  y 1   a b
2
2
2
 m x  m x1  y 1  2 m x1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  a m x 1  a y 1  2 a m x 1 x  2 a m x1 y 1  2 a m y 1 x  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

b x  a m x  2 a m y 1 x  2 a m x1 x  a m x1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
2
m
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2
x  m x1  y 1  2 m x 1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  a m x1  a y1  2 a m x1 x  2 a m x1 y1  2 a m y1 x  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  2 a m y 1 x  2 a m x1 x  a m x1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

b
2
a m
2
2
x
2
  2 a m y 1  2 a m x1  x  a m x 1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
m
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2
x  m x1  y 1  2 m x 1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  a m x1  a y1  2 a m x1 x  2 a m x1 y1  2 a m y1 x  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  2 a m y 1 x  2 a m x1 x  a m x1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
b
2
2
2
a m
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
  2 a m y 1  2 a m x1  x  a m x 1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

b
2
a m
2
2
x
2
 2 a m  y 1  m x1  x  a
2
2
m
2
x1  y 1  2 m x 1 y 1  b
2
2
2
0
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
m
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2
x  m x1  y 1  2 m x 1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  a m x1  a y1  2 a m x1 x  2 a m x1 y1  2 a m y1 x  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  2 a m y 1 x  2 a m x1 x  a m x1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
b
2
2
2
a m
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 x  2 a m  y 1  m x1  x  a
2
2
2
2
2
2
2
2
 m x1  y 1  2 m x1 y 1  b
2
2
2
2
2
b  a m
2
2
2
0

2
2
  2 a m y 1  2 a m x1  x  a m x 1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
b  a m
2
2
2
2
2
2

0
x

2
a
m
y

m
x
x

a
y

m
x

b
 1




1
1
1


b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
2
2
2
2
b x a
2
b x a
2
2
m
2
2
2
2
y  y 1  m  x  x1 
2
y  m x  m x1  y 1
2
 m x  m x1 
y1   a b
2
2
2
x  m x1  y 1  2 m x 1 x  2 m x 1 y 1  2 m y 1 x   a b  0
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  a m x1  a y1  2 a m x1 x  2 a m x1 y1  2 a m y1 x  a b  0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b x  a m x  2 a m y 1 x  2 a m x1 x  a m x1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
b
2
2
2
a m
2
b
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
  2 a m y 1  2 a m x1  x  a m x 1  a y 1  2 a m x 1 y 1  a b  0
2
a m
2
2
2
x
2
2
2
2
 2 a m  y 1  m x1  x  a
2
2
2
m
2
2
2
2
2
x1  y 1  2 m x1 y 1  b
2
2
2
2
2
0
2
2

0
b

a
m
x

2
a
m
y

m
x
x

a
y

m
x

b






1
1
1
1


2
2
2
2
2
2

b  a m
2
2
2
 x  2 a m  y 1  m x1  x  a
2
2
2
 y 1  m x1  b   y 1  m x1  b   0
ax  bx  c  0
2
x
b 
b  4 ac
2
2a
b
a m
2
2
4
4a m
2
a m
2
2
2
a m
a m
2
2
a m
2
2
2
x
2
 2 a m  y1  m x1  x  a
2
 y 1  m x1   4  b  a m
2
 y 1  m x1 
2
 y 1  m x1 
2
2
2
2
 b  a m
2
b
2
2
2
2
a
 y
1
2
2
 y1  m x1  b   y1  m x1  b  
0
 y 1  m x1  b   y 1  m x1  b   0
 m x1  b   y 1  m x1  b   0
 y 1  m x1  b   y 1  m x 1  b 
 y 1  m x1  b   y 1  m x 1  b   0
 y 1  m x1 
2
b
2
 y 1  m x1 
2
b a m
4
2
2
 y 1  m x1 
2
a b m 0
2
2
2
2
 y 1  m x1   b
2
a m
2
b
 y 1  m x1 
2
2
2
 y 1  m x1   b  a m
2
4
b a b m 0
4
2
2
2
  y 1  m x1   b  a m  0
2
2
2
2
 y 1  2 x 1 y 1 m  x1 m  b  a m  0
2
2
2
2
2
2
 a  x1  m  2 x 1 y 1 m  b  y 1  0
2
2
2
2
2
2
2
 y 1  m x1   a b m  0
2
2
2
2
a
a
2
m 
m 
m 
m 
m 
2
 x1
2
 x
2
1
m
2
m
 2 x1 y1 m  b  y  0
2
2
 2 x1 y 1 m  b
2
2
2
2a
 2 x1 y 1 
2
 x1
2
b
 x1
2
2
2
 y1
2


4 x1 y 1  4 x 1 y 1  4 b x 1  4 a y 1  4 a b
2
2
2
2
2a
 2 x1 y 1 
2
2
 x1
2
2
2
2a
2
2
 x1
2
2
2

b x1  a y 1  a b
2
2a
2
2
2
 x1
2
2
2

b x1  a y 1  a b
2
a
2
2
2
 x1
2
2
2
2
2

4 b x1  4 a y 1  4 a b
 2 x1 y 1  2
 x1 y 1 
 y1  0
2
4 x1 y 1  4  a
 2 x1 y 1 
2
1
2
2
2
2
2
2
b  a m
2
2
2
 x  2 a m  y1  m x1  x  a
m 
2
2
 x1 y 1 
2
 y1  m x1  b   y1  m x1  b  
b x a y a b
2
2
1
a  x
2
2
2
1
p ero b x  a y  a b
2
2
1
2
así q u e
m 
 x1 y 1
a  x
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
0
m 
y  y1 
y
 x1 y 1
a  x
2
x1 y 1 x   a  x
x1 y 1 x   a  x
2
1
x1 y 1 x   a  x
2
1
2
2
2
2
x1 
  x y x  x 
 y  x y  a  x  y
y  x y a y  x y
y  a y
2
1
2
1
2
a  x1
x 
2
1
y1   a  x
2
 x1 y1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
x1 y1 x   a  x1
2
2
a  x
2
x1 x 
2
1
y  a
y  a
b x1 x  b
2
a  x
b x1 x 
b x1 x 
2
1
y  a b
2
a b b x
2
2
2
1
a y
2
1
y  a b
y  a b
2
y1
b x1 x  a y 1 y  a b
2
2
2
y1
2
2
2
y1
2
2
y1
y1
2
2
2
2
2
2
2
2
T eorem a 4.
La tangente a la elipse
b x a y a b
2
2
2
2
2
2
en cualquier punto P1  x1 , y1 
de la curva tiene por ecuación
b x1 x  a y 1 y  a b
2
2
2
2
y  mx 
a m b
2
2
2
b x a y
2
2
2
y  mx 
2
a b
2
2
a m
2
2
b
2
y  mx  k
b x a
2
2
2
mx  k 
2
a b
2
2
2
b x a
2
mx  k 
b x a
2
m
2
2
2
2
2
a b
2
2
x  2 m kx  k
2
2
a
2
b
2
b x  a m x  2 a m kx  a k
2
a b
2
2
2
a b
2
2
k
2
2
2
b
2
a m
2
b
2
a m
2
2
2
2
2
2
x
2
 2 a m kx  a k
x
2
 2 a m kx  a
2
2
2
2
2
2
b
2
0
0
b
2
a m
2
4
2
4a m k
2
2
x
2
 2 a m kx  a
2
 4 b  a m
2
2
2
2
2
 b  a m
2
2
a m k
2
b k
b k
b a b m
a m k
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
k
a k
2
 k
a k m
2
2
2
0
2
b
2
2
2
b
b
2
2
0
0
0
b a b m
4
2
2
2
0
b k
2
k
2
2
b a b m
4
b a m
2
2
b a m
2
2
2
2
k
2
2
2
k  a m b
2
2
2
0
2
0
y  mx 
a m b
2
2
2
a
a
b
c
a
2
b c
2
2
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 7, pág ina 178.
H allar las coordenadas de los vértices y focos,
las longitudes de los ejes m ayor y m enor ,
la excentricidad y la longitud de cada u no de
sus lados rectos de la elipse
4 x ²  9 y ²  36
T razar y discutir el lugar geom étrico.
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 12, pá gina 178.
12. H allar la ecuación de la elipse cuyo s focos son
los puntos (2,0) y (-2,0), y su excentricidad es igual a 2/3.
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 12, pá gina 178.
12. H allar la ecuación de la elipse cuyo s focos son
los puntos (2,0) y (-2,0), y su excentricidad es igual a 2/3.
c 2
e
2
c

3
b
2
 a c
2
5
2
9
a
2
b
x
a 3

y
5
2
1
945
C apitulo V II, G rupo 27, E jercicio 15, pá gina 178.
15. U na elipse tiene su centro en el origen y
su eje m ayor coincide con el eje X .
H allar su ecuación sabiendo que pasa
por los puntos ( 6 ,  1) y (2, 2 ).
x
2
a
2

6
a

2
y
2
b
2
1
b
6b  a
a
2
a a b
2
2
4
1
2
2
1
a b
2
2
2

b
4b  2 a
2
2
  6b  a
2
2

  6b    6b
4b  2 



2
2
1 b  1 b
2
2
2
2
2
2
1
a b
2
6b
2
1 b
2
 2
b

2
 6b
 2
1 b
2
  6b

 1 b
4b
2
4b
2
1  b   1 2 b
2
4b
2
 6b
2
2
 4b
4
 12b
2b
4
 8b
2
 0
2b
2
b
b1  0
2
2
 6b
4
4
2
2

b

 0
 0
 4
b2  2
b 3  2
2
a
a
2


2
 6b
2
1 b
2
6  2 
2
1  2
2

x
2
8

y
4
2
1

b  2
24
1 4

24
3
8
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
x
G eo m etría A n alítica; C . H . L eh m an n .
C ap itu lo V II, G ru p o 2 8 , E jercicio 9 , p á g in a 1 8 4 .
9 . L o s fo co s d e u n a elip se so n lo s p u n to s (3 ,8 ) y (3 ,2 ),
y la lo n g itu d d e su eje m en o r es 8 .
H allar la ecu ació n d e la elip se,
las co o rd en ad as d e su s vértices y su ex cen tricid ad .
L o s fo co s d e u n a elip se so n lo s p u n to s (3 ,8 ) y (3 ,2 ),
y la lo n g itu d d e su eje m en o r es 8 .
33
E l cen tro : x c 

3
2
yc 
82
C   3, 5 
c  d  FC  
3  3
a b c a 
2
2
2
16  9  5
2
Y ten em o s
 y  5
25
2

 x  3
16
 8  5  3
2
1
2
2
5
 y  5
2

 x  3
25
y
2
1
16
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
x
 y  5
2

 x  3
25
2
1
16
16  y  5   25  x  3  400
2
2
16  y  10 y  25   25  x  6 x  9   400
2
2
16 y  25 x  160 y  150 x  225  0
2
2
16 y  25 x  160 y  150 x  225  0
2
2
G eom etría A nalítica; C . H . Lehm ann.
C apitulo V II, G rupo 28, E jercicio 14, p ágina 184.
R educir la ecuación
4x²+ 9y²+ 32x-18y+ 37= 0
a la segunda form a ordinaria de la
ecuación de una elipse, y determ inense
las coordenadas del centro, vertices y focos,
las longitudes de los ejes m ayor y m eno r,
y la de cada lado recto y la excentricidad.
R educir la ecuación 4 x ²  9 y ²  32 x  18 y  37  0
4 x ²  32 x  9 y ²  18 y  37  0
4  x ²  8 x   9  y ²  2 y    37
4  x ²  8 x  16   9  y ²  2 y  1    37  64  9
4  x ²  8 x  16   9  y ²  2 y  1   36
4  x  4   9  y  1   36
2
 x  4
9
2

2
 y  1
4
2
1
 x  4
2

 y  1
9
2
1
4
C    4,1 
a 3
b2
c
a b 
2
2
94 
5
 x  4
2

 y  1
9
2
1
4
C    4,1 
a 3

F  4 
5 ,1
b  2

c 
5

F   4 
V    1,1 
V     7,1 
A    4, 3 
A     4,  1 
5 ,1

 x  4
2

 y  1
9
2
1
4
C    4,1 
a 3
b  2
e
c
a
L 
2b
a
2

c 
5
5

3
24
3

8
3
4 x ²  9 y ²  32 x  18 y  37  0

F  4 
5 ,1


F   4 
V    1,1 
V     7,1 
A    4, 3 
A     4,  1 
5 ,1

4
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
-1
-2
y
G eo m etría A n alítica; C . H . L eh m an n .
C ap itu lo V II, G ru p o 2 9 , E jercicio 8 , p á g in a 1 8 8 .
8 . E n co n trar las ecu acio n es d e las t an g en tes
d e p en d ien te 2 a la elip se
4 x ²+ 5 y²= 8 .
G eo m etría A n alítica; C . H . L eh m an n .
C ap itu lo V II, G ru p o 2 9 , E jercicio 1 0 , p á g in a 1 8 8 .
1 0 . E n co n trar las ecu acio n es d e las tan g en tes
trazad as d esd e el p u n to (3 ,-1 ) a la eli p se
2 x ²+ 3 y²+ x -y-5 = 0 .
Descargar

Capitulo VII. Elipse..