Regresión Espuria y Cointegración Simple
Jesús Gonzalo
U. Carlos III de Madrid
Regresión Espuria
y t  y t 1  u t ; u t  iid(0,  2u )
Set-up:
x t  x t 1  v t ; vt  iid(0,  2v )
Regresa
; E(ut , v s )  0 t,s
E(ut u t  k )  E( v t v t  k )  0 k
y t    x t   t
Que esperas conseguir?
p
ˆ
  0
R 
 0
t ˆ  t distribución
2
p
Regresión Espuria (cont)
Que pasa realmente?
ˆ  a lg una distribución
R  alguna distribución
2
DW 
 0
p
T
1 / 2
t ˆ  alguna distribución
Regresión Espuria (cont)
Problema de Reegresión Espuria (SPR):
La regresión de una serie I(1) sobre otra variable I(1) no relacionada, produce unos
t-ratios del parámetro de la pendiente que indican la existencia de relación cuando
sabemos que no la hay. Este problema no desaparece cuando el tamaño muestral
aumenta.
El problema de la Regresión Espuria puede aparecer tambien con
series I(0) (vease Granger, Hyung and Jeon (1998)). Esto nos está
diciendo que el problema está generado por el uso de VALORES
CRITICOS EQUIVOCADOS!!!!
En una Regresión Espuria los errores estarían correlacionados y los estadisticos
“t” estarían mal calculados porque se esta usando un estimador de la varianza
residual que no es consistente. En el mundo I(0) se puede hacer una correción
como vimos en clase que resuelve este problema:
ˆ ˆ
t  t - distribución , donde ˆ  (varianzade largo plazo de ˆ )1/2
ˆ
Quizás se pueda hacer algo parecido cuando la regresión envuelve variables I(1).
Regresión Espuria (cont)
Como se detecta la Regressión Espuria (entre series I(1))?
Analizando el correlograma y realizando un contraste de raiz
unitaria sobre los residuos.
Como convertimos una Regresión Espuria en una regresión
valida?
Tomando diferencias en ambos lados de la regresión.
Resuelve esta transformación el problema?
Lo resuelve desde un punto de vista estadístico; pero desde el punto
de vista económico estaríamos perdiendo información y además la
información contenida en una regresión en tasas de crecimiento no
es la misma que en una regresión en niveles.
Regresión Espurea (cont)
Tiene sentido una regresión entre variables I(1)?
Si si los errores de la regresión son I(0).
Puede ser esto posible?
La misma pregunta le pregunto David Hendry a Clive Granger hace
tiempo Esta es la historia mas o menos…...
Clive answered NO WAY!!!!! but he also said that he would think
about. In the plane trip back home to San Diego, Clive thought about
it and concluded that YES IT IS POSSIBLE. It is possible when both
variables share the same source of the I(1)’ness (co-I(1)), when both
variables move together in the long-run (co-move), ... when both
variables are
COINTEGRATED!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Algunos Ejemplos de Cointegración
Ejemplo 1: Teoria de la paridad del poder adquisitivo (PPP)
“Apart from transportation costs, good should sell for the same
effective price in two countries”
*
Pt  S t Pt
Un índice de precios en
USA
En logs :
Una versión de la
PPP mas débil:
$ per €
Indice de precios en España
*
pt  st  pt
p t  s t  p*t  z t
Si las tres variabes son I(1) y zt es I(0) entonces la teoría de la PPP
está implicando que existe cointegración entre pt, st y p*t .
Algunos Ejemplos de Cointegración (cont)
Ejemplo 2: Modelo del Valor Presente Actualizado (PVM)

Yt  (1  )

i E t ( y t  i )  c
i 0
Yt: Intereses Largo Plazo
yt: Intereses corto plazo
Precios de Stocks
dividendos
Consumo
renta laboral
Si yt tiene una raiz unitaria y el PVM es cierto entonces Yt e yt
estarán cointegrados (see Campbell and Shiller (1987)
Z t  Yt   y t is I(0)
Interpretación Geometrica de Cointegración
Que es un ATTRACTOR?
Considere el precio (en el tiempo) de un bien que se comercia en dos
localidades diferentes i y j.
.
pit  p jt
p jt
3
.
.
4
1 : ( pi1 , p j1 )
5
.
2 : ( pi 2 , p j 2 )
.
2
1

t : ( pit , p jt )
45
Supongamos pi1  p j1
pit
Demanda irá al lugar j
 pi1 y  p j1
El ajuste no será instantaneo; pero en el largo plazo
pit  p jt
Interpretación Geométrica de Cointegración(cont)
El concepto de attractor es el concepto de long-run equilibrium
entre dos procesos estocasticos. Permitimos que las dos variables
diverjan en el corto plazo; pero en el largo plazo tienen que
converger a una región común denominada región En otras
palabras, si no hubiera ningún shock en el sistema de aquí al futuro,
los dos procesos estocásticos convergerian a un conjunto attractor
común.
Cuestión 1: Escribe en terminos intuitivos dos ejemplos
económicos donde cointegración está presente. Por qué?
Cuestión 2: Un borracho saliendo de un bar sigue un paseo
aleatorio. Su perro sigue otro paseo aleatorio por su cuenta. Llegan
a un parque donde no están permitidos los perros sueltos. El
borracho le pone la correa al perro y los dos entran en el parque.
Estarán sus caminatas o sendas dentro del parque cointegradas? Por
qué?
Definición de Cointegracón
Desde un punto de vista económico estamos interesados en responder
(1) Podemos contrastar la existencia de este conjunto attractor?
(2) Si existe, como lo podemos tener en cuenta en nuestra modelización?
Algunas reglas sobre combinaciones lineales entre I(0) e I(1)
1. X t  I (0)  a  bX t  I (0)
X t  I (1)  a  bX t  I (1)
2. X t , Yt  I (0)  aX t  bYt  I (0)
3. X t  I (0), Yt  I (1)  aX t  bYt  I (1)
I (1) es dominante
4. X t , Yt  I (1)  aX t  bYt  I (1) en general
Definición
Si X t e Yt son I(1) pero existeuna combinación lineal,
digamos
Z t  m  aX t  bYt
tal que Z t es I(0),entoncesX t , Yt se dice que están cointegradas.
Por Qué dos series están cointegradas?
Considera la siguiente estructura
~
X t  AWt  X t I (1)  I (1)  I (0) (regla 3)
~
Yt  Wt  Yt
La siguiente combinación lineal
~
~
Z t  X t  AYt  AWt  X t  AWt  AYt
~
~
Z t  X t  AYt  I (0) (regla 2)
por lo que X t , Yt tienenun fact orI(1)común.
Resultado 1.
Si dos series I(1) tienen un factor común I(1) y un componente I(0)
idiosincrásico, entonces ellas están cointegradas.
Se puede probar que el Resultado 1 es un resultados de SI y SOLO SI.
Un Contraste Simple de Cointegración
• Este contraste es debido a Engle y Granger (1987)
• Estima la siguiente regresión en niveles
y t    x t  z t ; y t , x t  I(1)
•Realiza un contraste ADF sobre los residuos:
p
ˆ t  z
ˆ t 1 
z

ˆ t  i  erro r
i z
i 1
• La hipotesis nula
Ho :   0
• Esto significa que los residuos tienen una raíz unitaria y entonces yt y xt no están cointegradas.
• Si los residuos son I(0) entonces yt y
xt están cointegradas
Modelo de Correción del Error
Modelo de Correción del Error Vectorial(VECM)
Para un VAR bivariante, donde
X t , Ytson I(1) y estan cointegradas
X t  c1  1Zt 1  1X t 1  ..... 1Yt 1  ....   xt
Yt  c2  2 Zt 1   1X t 1  ..... 1Yt 1  ....   yt
donde ( xt ,  yt )' es un ruido blanco bivariantey
Z t  X t  AYt  I (0), y
comominimoun  i  0
Si X t , Yt no están cointegradas  Z t  I (1) (regla 4)
En el ECM, I(1) no puede explicarI(0),i.e. X t , Yt  1   2  0
Resultado 2.
Si X t , Yt están cointegradas, entonces existe una representacion ECM
y viceversa (Teorema de Representación de Granger).
Intuición Geometrica del Modelo de Correción del Error
Intuición sobre el ECM
Z t  Yt  AX t : errorde equilibrio
Yt
Zt  0
Yt  AX t

Xt
Donde vaya el sistema en el tiempo t+1 , depende de la magnitud y
el signo del error de equilibrio en el periodo anterior.
Dinámica de Corto-Plazo: movimientos en el corto plazo dentro del
ECM, que guian a la economía hacia el
Equilibrio de Largo Plazo Yt  AX t
Cointegración y Modelización Econométrica
1. Determina el grado de integración de X t ,Yt  I (1) : usa el
contraste de Dickey-Fuller
2. Contrasta por cointegración entre X t e Yt . Encuentra la
relación de cointegración via MCO
Yt  cˆ  ˆX t  Zˆ t
H 0 : no - cointegración Zˆ t  I (1)
H : cointegración Zˆ  I (0)
1
t
Si H 0 es rechazada  X t , Yt estáncointegradas
Aviso: Estamos tentados a usar los CV del DF pero nuestro
contraste esta basado en los residuos esto hace que necesitamos
diferentes CVs (vease McKinnon (90)).
P( w  1.65)  5% Normaldistribution
P( w  2.86)  5% Dickey- Fuller distribution
P( w  3.34)  5% Engle - Granger/McKinnon
Cointegración y Modelización Economica (cont)
(1, ˆ ) es el vectorde cointegración
ˆ es super - consistente (T (ˆ   )  alguna distribución
3. ECM
X t  c1  1 (Yt 1  ˆX t 1 )   x1X t 1  .....  y1Yt 1  ....   xt
Yt  c2  2 (Yt 1  ˆX t 1 )   x1X t 1  .....  y1Yt 1  ....   yt
Metodo de dos etapas de Engle-Granger:
(i) Estimatar ˆ  Zˆt
(ii) Introducir Zˆt en el ECM (estimación SURE) :
MCO estimadores en el ECM son consistentes y eficientes.
Y esto sigue y sigue…..
Cointegración da para casi un curso entero. Que nos
quedaria por estudiar???:
1. Cointegración entre mas variables
2. Metodos de Estimación y Contraste mas generales y
poderosos que los MCO uni-ecuacionales
3. Aprender a extraer los factores comunes que hacen
que un conjunto de variables esten cointegradas
4. Aplicaciones Economicas
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Regresión Espuria y Cointegración