UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE AGRONOMÍA
POSTGRADO EN ESTADÍSTICA
Distribuciones Normales
Bivariadas y Multivariadas
DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES

Cuando hay más de una variable aleatoria
presente (es decir, hay dos o más), siempre está
la posibilidad de que de alguna manera estén
relacionadas. Por eso se trabaja con su función
de distribución conjunta (y su función de
densidad conjunta, continua o discreta).
DISTRIBUCIONES MULTIVARIANTES


Se habla en ese caso de un vector aleatorio (lo
anotaremos aquí X), distribuido según una función de
distribución FX que ahora toma sus valores en n
(donde n es la cantidad de variables). Habrá, como
antes en el caso unidimensional, una función de
densidad fX, que verificará:
Para el caso continuo:
P ( X  A) 


f ( x 1 , x 2 ,  , x n ) dx 1 dx 1  dx n
Y para el discreto:
A
P ( X  A) 

( x1 , x 2 , , x n ) A
f ( x1 , x 2 ,  , x n )
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

Sea ( X, Y ) una variable bidimensional continua que
toma todos los valores en el plano euclidiano. Decimos
que ( X, Y ) tiene distribución normal bivariada si su
función conjunta está dada por:
f x, y  
para
1
2  x 
y
   x  

   y  
1 
2
2
2




 x   x   y   y  y   y  
xx 

1

exp 
.

 
  2
2
 2 1 
x 
 x y
  y   








DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

La función generadora de momentos de la distribución normal es:
Y los momento pueden ser hallados calculando las derivadas de
m(t1, t2) en t1=0, t2=0. Así, pues
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA



Y, por tanto la varianza de x es,
Análogamente derivando respecto a t2, se halla la media y la
varianza de y, que son
Se obtienen también los
momentos mixtos
Derivando m(t1,t2) r veces respecto a t1 y s veces respecto a t2, y
haciendo a continuación t1 y t2 iguales a cero. La covarianza de x
y y es:
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

El parámetro  es el coeficiente de correlación
entre las variables X e Y :
 
Cov
X
x
,Y
y


E
 X 
 x .  Y   y
 x
y

DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

Si  = 0, entonces X e Y son independientes, o sea:
f x , y  

1
2  . x 
y
2


 yy


x



1

x

exp
.
  
 2  
x
  y







2





Ahora, el valor medio de una variante en una distribución
condicional recibe el nombre de regresión cuando se
considera como función de las variantes fijadas en la
distribución condicional.
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA



Así, la regresión para x es:
Que en este caso es una función lineal de y. Para
distribuciones bivariantes en general, la media de x en
la distribución condicional de x, dado y=y, será cierta
función g(y) y la ecuación x=g(y).
Representada en el plano x,y da la curva para x. Se
trata de una curva que da la situación de la media de
x para los diversos valores de de y en la densidad
condicional de x dado y.
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA

Para la distribución normal bivariante, la curva de de
regresión es la recta obtenida representando:
Figura 1. Curva de de regresión para distribución normal bivariante, y la función de densidad condicional de x para los valores particulares y0 y y1, de y.
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA
Ejemplo: Dos elementos (X,Y) se distribuyen como N (,), siendo :
4
   
6
 1
  
 0 .8
0 .8 

2 
Al analizar un elemento se observa que contiene 6 gramos de X.
- ¿Cuál es el valor más probable de Y?
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA


Primero sacamos 1 y 2 (sacándole raíz a los elementos de la
diagonal), y luego con eso obtenemos .
La respuesta consiste en encontrar: E  y / x  6
V  y / x  6   2 (1   )  2,72
2
E  y / x  6   2  
2
2
1
( x  1 )  7,6
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA
A) Variables independientes
B) Variables dependientes
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA
Ejemplos de correlación nula
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA
Ejemplos de correlación lineal positiva:  cercano a 1
DISTRIBUCION NORMAL BIVARIADA
Ejemplos de correlación lineal negativa:  acercándose progresivamente a -1
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)


La mayoría de los métodos multivariados tradicionales
dependen de vectores de datos que son muestras
aleatorias provenientes de distribuciones normales
multivariadas.
Entonces es importante comprender qué se requiere para
que un vector de variables aleatorias como:
 x
 1
 x2
x  
 
xp








Sea multivariado normalmente distribuido
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

Se dice que un vector de variables aleatorias
 x
 1
 x2
x  
 
xp


Tiene una distribución normal multivariada si:
a' x 








a
1
a2

a
p








x1 

x2 

 
xp 

Tiene una distribución normal univariada para todos los
conjuntos posibles de valores seleccionados para los
elementos en el vector a.
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

La distribución Normal escalar tiene como función de densidad:
f ( x) 


1
( 2 )
1\ 2
( )
1 2
e
 1
2
 (x  ) 
 2
2



Y escribimos X  N (, σ2) para expresar que x tiene distribución
normal con media  y varianza σ2.
Generalizando esta función, diremos que un vector x sigue una
distribución Normal p-dimensional si su función de densidad es:
f (x) 
1
( 2 )
1\ p
V
1 2
e
 1
T
 (x  ) V
2

1

( x  )

Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)
Las propiedades principales son:
 Las distribución es simétrica alrededor de 
La simetría se comprueba sustituyendo en la densidad x por ±a y
observando f(+a)= f( –a).
 La distribución tiene un único máximo en 
Al ser V definida positiva, el término del exponente
(x  )
1
T
V
(x  )
es siempre positivo, y la densidad f(x) será máxima cuando dicho
término sea cero, lo que ocurre para x=.
 La media del vector aleatorio Normal es  y su matriz de
varianzas y covarianzas es V.
Estas propiedades, que pueden demostrarse rigurosamente, se
deducen al comparar las densidades univariante y multivariante.
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)

Si p variables aleatorias tienen distribución conjunta normal y están
incorreladas son independientes.
La comprobación de esta propiedad consiste en tomar en la definición la
matriz V diagonal y comprobar que entonces f(x)=f(x1),…, f(xp).

Cualquier vector x Normal p-dimensional con matriz V no singular
puede convertirse mediante transformación lineal en un vector x
normal p-dimensionales con vector de medias 0 y matriz de varianzas
y covarianzas igual a la identidad (I). Llamaremos normal pdimensional estándar a la densidad de Z, que vendrá dada por:
f (z) 
1
( 2 )
p\2
e
 1 T

  Z VZ 
 2

p


i 1
1
( 2 )
p \2
e
 1 2
 Zi 
 2

(1)
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)
La demostración de esta propiedad es como sigue: al ser V definida
positiva existe una matriz cuadrada A simétrica que consideramos su raíz
cuadrada y verifica:
V=AA
Definiendo una nueva variable: Z=A-1((x - ), entonces x=+AZ y la
función de densidad de z es:
fz(Z)=fx(+AZ)|A|
(2)
-1
y utilizando AV A=I, se obtiene (1). Por tanto, cualquier vector de
variable Normales X en Rp puede transformarse en otro vector Rp de
variables normales independientes y de varianza unidad.
 Las distribuciones marginales son normales.
Si las variables son independientes la comprobación de esta propiedad es
inmediata.
Distribución Normal Multivariada (K-Dimensional)
Cualquier sub conjunto de h<p variables es normal hdimensional.
Es una extensión de la propiedad anterior y se demuestra
análogamente.


Si y es (k x 1), k≤p, el vector y=Ax, donde A es una matriz
(k x p), es normal k-dimensional. En particular, cualquier
variable escalar y=ATx, (siendo AT un vector 1xp no nulo)
tiene distribución normal.
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distribución normal bivariada