PROBABILIDAD CONDICIONAL,
MARGINAL Y CONJUNTA.
INDEPENDENCIA DE EVENTOS.
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE
BAYES.
B E R N A R D O F R O N TA N A D E L A C R U Z
MARCO ANTONIO GÓMEZ RAMÍREZ
ENERO DE 2012.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Como su nombre lo indica se trata de determinar la
probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori)
dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se
representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A
dado B o probabilidad de A condicionada a B.
En la probabilidad
condicional, consideramos
que de un espacio muestral
S se conoce únicamente el
evento B, que constituye un
espacio muestral reducido.
S
B
Se desea saber la posibilidad de que exista el
evento A.
Como únicamente
conocemos el evento B, la
probabilidad de que exista
A está dada por la posible
intersección del evento A
con el evento B.
S
B
A
Por lo tanto la expresión para la probabilidad
condicional quedaría P(A|B)=n(A∩B)/n(B), donde n(A∩B)
es el número de elementos en la intersección de A con
B y n(B) es el número de elementos en el evento B.
Si el numerador y el denominador se dividen entre n(s)
que es el número de elementos en el espacio muestral
y aplicamos el concepto de probabilidad, tenemos:
P(A|B)=[n(A∩B)/n(S)]/[n(B)/n(S)]= P(A∩B)/P(B).
De la última expresión P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B) es la
probabilidad del evento condición o del evento que se
presenta primero .
De manera similar se puede pedir la probabilidad del
evento B dado que ya ocurrió el evento A
P(B|A)=P(A∩B)/P(A), ahora P(A) es la probabilidad del
evento condición o del que se presenta primero .
Ejemplo: Al arrojar dos dados resultan caras iguales,
¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho?
Identificamos los eventos dentro del espacio muestral:
A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),
(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión
P(B|A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3=0.333
PROBABILIDAD CONJUNTA
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar
P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de
multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y
corresponde a la probabilidad de que se presenten
resultados comunes a los eventos A y B.
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire,
P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la
probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.
Auxiliándonos
de un
diagrama de
árbol.
A
S
A1
S1
⅓
⅔
A
S
A
S
A2
⅓
S2
⅔
A2
⅓
S2
⅔
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9
PROBABILIDAD MARGINAL
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este
tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135
desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos
características cuando se los piden a sus ayudantes,
su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que
embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a
la definición de eventos que sigue, la distribución es la
siguiente:
Eventos
Característica
A1
Largo
A2
Corto
B1
Punta plana
B2
Punta de Cruz
Evento
A1
A2
Total
B1
40
60
100
B2
15
20
35
Total
55
80
135
Para determinar una probabilidad conjunta, digamos
desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo
con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo
de dividir el número de desatornilladores cortos y que
tienen punta plana, en términos de conjuntos,
n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores
del taller, ns=135.
Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de
dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la
probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1,
P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa
que el subíndice correspondiente al evento B
permanece constante en la suma del numerador n11+n21.
Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier
evento Bj puede calcularse P(Bj)=Ʃi=1nnij/ns, pero
Ʃi=1nnij/ns=Ʃi=1nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1nP(Ai∩Bj).
En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual
a la suma de probabilidades conjuntas del evento Bj y
los eventos Ai, la suma se realiza sobre los eventos Ai.
También se puede determinar la probabilidad marginal
de cualquier evento Ai: P(Ai)=Ʃj=1nP(Ai∩Bj), en este caso
la suma se realiza sobre los eventos Bj.
Se puede demostrar que la suma de probabilidades
marginales de los eventos Ai, o de los eventos Bj, es
igual a uno, como se demuestra a continuación:
P(B1)=100/135=0.74 y
P(A1)=55/135=0.4075 y
P(B2)=35/135=0.26
P(A2)=80/135=0.5925
Por lo tanto Ʃi=12P(Ai)=1
Por lo tanto Ʃi=12P(Ai)=1
P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1 P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1
PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
Regresando a la expresión anterior P(A∩B)=P(A)P(A|B).
Si los eventos A y B son independientes entre sí, esto
significa que la ocurrencia de uno no depende de la
ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad
condicional sería igual a la probabilidad de ocurra
cualquier P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B).
Sustituyendo en la expresión de probabilidad conjunta,
tenemos P(A∩B)=P(A)P(B), siempre y cuando A y B sean
eventos independientes entre sí y se le denomina Ley
de multiplicación de eventos independientes.
Ejemplo: En una Olimpiada compiten tres arqueros para
la final, la probabilidad de que den en el blanco son 1/2,
1/3 y 1/6. Si la final se define con un solo tiro por
arquero. Calcular la probabilidad de que:
a) Sólo uno de en el blanco, b) los dos primeros den en
el blanco y el tercero no y c) Ninguno da en el blanco.
Solución: a) Si i=1, 2, 3 es el orden de los tiros al blanco,
se establecen los siguientes eventos: A={Sólo un
arquero da en el blanco}, Ai={El arquero Ai da en el
blanco} y Aic={El arquero Aic no da en el blanco}.
P(A)=P[(A1∩A2c∩A3c)U(A1c∩A2∩A3c)U(A1c∩A2c∩A3)] =
P(A1)P(A2c)P(A3c)+P(A1c)P(A2)P(A3c)+P(A1c)P(A2c)P(A3)
P(A)=(1/2)(2/3)(5/6)+(1/2)(1/3)(5/6)+(1/2)(2/3)(1/6)=0.4722
b) B={el primero y el segundo arqueros dan en el blanco
y el tercero falla} P(B)=P(A1∩A2∩A3c)=P(A1)P(A2)P(A3c)
P(B)=(1/2)(1/3)(5/6)=5/36=0.1388
c) B={El primero, el segundo y el tercer arqueros fallan}
P(C)=P[(A1c ∩ A2c ∩A3c)=P(A1c)P(A2c)P(A3c)=(1/2)(2/3)(5/8)
P(C)=10/36=0.277
PROBABILIDAD TOTAL
Consideremos un eventos B y un conjuntos de eventos
Ai que son mutuamente excluyentes entre si, Ai∩Aj=ϕ, i≠j,
es decir, si tomamos dos eventos Ai diferentes su
intersección es el evento vacío, además los eventos Ai
son exhaustivos, Ui=1nAi=S, la unión de todos ellos cubre
el espacio de eventos, como se muestra en la figura.
A4 ……………………….………….
A1
A2
A3
An-1
B
An
Para conocer el evento B a través de los eventos Ai, se
tiene: B=(A1∩B)U(A2∩B)U(A3∩B)…..U(An-1∩B)U(An∩B), la
unión de las intersecciones del evento B con los
eventos Ai, en forma implícita B=Ui=1nAi∩B.
Si aplicamos el concepto de probabilidad a ambos
miembros de la igualdad se tiene: P(B)=Ʃi=1nP(Ai∩B);
que recibe el nombre de probabilidad total del evento B.
TEOREMA DE BAYES
Considerando P(Ai) como la probabilidad a priori de los
eventos Ai, y se requiere conocer una probabilidad a
posteriori de cada uno de ellos, dado que ya conocemos
el evento B, Ak representa a cualquiera de los eventos Ai.
P(Ak|B)=P(Ak∩B)/P(B), como P(Ak∩B)=P(Ak)P(B|Ak) y la
probabilidad total de B es P(B)=Ʃi=1nP(Ai∩B), tenemos:
P(Ak|B)=[P(Ak)P(B|Ak)]/[Ʃi=1nP(Ai)P(B|Ai)]
Esta última expresión se conoce como Teorema de
Bayes, que establece la probabilidad de un evento
particular Ak de los eventos Ai, dado que ya sucedió el
evento B, expresada en términos de probabilidad
condicional.
Ejemplo: En una escuela el 5% de los hombres y el 2%
de las mujeres tienen más de 1.8m de estatura. Además
el 60% de los estudiantes son mujeres. Se selecciona al
azar un estudiante para que realice una determinada
función en el comité de seguridad del plantel, ¿Qué
probabilidad hay de que: a) sea estudiante con estatura
mayor de 1.8m? b) ¿sea mujer dado que tiene una
estatura mayor de 1.8m?
Solución: Se define los eventos A1={estudiante mujer},
A2={estudiante hombre} y B={estatura mayor a 1.8m}
Datos: P(A1)=0.6, P(A2)=0.4, P(B|A1)=0.02 y P(B|A2)=0.05.
Auxiliándonos de un diagrama de Venn
A1
A2
A1∩B
A2∩B
B
a) Probabilidad total de B, P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B),
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6(0.02)+0.4(0.05)=0.032
b) Aplicando el Teorema de Bayes:
P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=0.6(0.02)/0.032=0.375
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Cond-Bayes