FP: PROYECTIVIDAD
FP_5
Prof. José Juan Aliaga Maraver
Universidad Politécnica de Madrid
Elementos dobles en perspectividades
V
a
A
a’
Los haces de rectas V(abcd...) y V’(a’b’c’d’...), de
bases V y V’, son perspectivos con eje perspectivo la
recta e.
c
b d=d’
B
D
C e
b’
La recta común a V y V’, que contiene a las bases de
los haces, es un elemento doble: d=d’
V
c’
V’
Las series de puntos r(ABCD...) y r’(A’B’C’D’...),
de bases r y r’ , son perspectivos con centro
r’
perspectivo el punto V.
El punto común a r y r’, que contiene a las bases
de las series, es un elemento doble: D=D’
B D=D’
r A
a
Dos formas perspectivas tienen un elemento doble
C
B’
A’
b
C’
d
c
Formas proyectivas
Dos formas de primera categoría son proyectivas si tienen igual valor cualquier
cuaterna de elementos y la formada por sus correspondientes elementos homólogos
(e1e2e3e4)=(e1’e2’e3’e4’)
V
V
a
A
a’
b
B
b’
c
C
x
X
c’
x’
e
A
a
b
c
x
B’
a’
b’
X
C
c’
e
x’
V’
V’
Al mover dos haces perspectivos se pierde la condición de perspectividad, sin
embargo, al no modificar la posición relativa entre los elementos de cada forma, las
cuaternas se mantienen:
(abcx)=(ABCX)=(a’b’c’x’)
Dos formas perspectivas son proyectivas
Perspectividades intermedias
Los haces de rectas de vértices V y V’ son perspectivos al ser doble la recta d=d’
C’
V
r
r’
b’
B’
a
D’
A’
d=d’
e
A
a’
B
D
b
C
V
Las series de puntos de bases las rectas a y a’ son proyectivas entre sí.
La recta e es el eje perspectivo de los haces de vértices V y V’ que proyectan los
puntos de las series
Eje proyectivo
Al usar dos puntos homólogos como bases de los haces V y V’, estos son
perspectivos al tener un elemento doble
C’
r
r’
a’
M = N’
B’
A’
e
d=d’
N
M’
V = D’
b’
A
B
a
b
V’ = D
C
La recta e es el eje perspectivo de los haces de bases V y V’, siendo a su
vez el eje proyectivo de las series de bases a y a’
Centro proyectivo
m1=n2
V2
V1
V2
C
m2
V1
a1
n1
b1
d2
Dual del eje proyectivo
d1
c2 c1
b2
a2
Eje proyectivo
FP_5P_01
Determinar el eje proyectivo
C’
A’
D’
B’
A’
M’
A
M
B
A
D
C
C’
D’
A’
N’
M = N’
M’
N
D
C
NA
Eje proyectivo
FP_5P_02
Determinar el eje proyectivo
B’
A
C’
A’
B
C
B’
B
A’
L2
C
C
A
C’
A’
L2’
A
C’
L1 ’
L2
L1 
C’
L1 ’
C
L2’
L1 
FP_5P_03
Centro proyectivo
Determinar el centro proyectivo y el homólogo de x1
V2
V1
a1
b1
a2
x1
c2
c1
b2
FP_5P_04
Centro proyectivo
Determinar el centro proyectivo y el homólogo de x1
V2
V1
a1
c2
b1
a2
c1
x1
b2
FP_5P_05
Centro proyectivo
Determinar el centro proyectivo y el homólogo de x1
V2
b2
V1
c2=b1
a1
a2
c1
x1
Eje proyectivo
FP_5P_06
Determinar el homólogo de X, para completar el diseño de una superficie, de forma
que (ABCX)=(A’B’C’X’)
A
B
X
C
A
B
C
A’
A’
B’
C’
C’
B’
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