Notas:
D111002: La ecuación de conducción del calor está muy bien en la sección 3.5 de
la página 146 de J. David Logan Second Edition. A First Course
in Differential Equations. Springer.
También hay buenos problemas al final de la sección.
Primera clase,
martes 27 de
septiembre de
2011 de 9:00 a
10:30
1. Principios de variable
compleja
2. Ecuaciones diferenciales de
segundo orden
3. Análisis de Fourier
•Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
•Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
•Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
•Método de Series de Potencias: Ecuación diferencial
de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
•Función Gamma y Función error.
•Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth
edition. Boyce & DiPrima 0470383348
•A first course in differential equations. Second edition. Logan 1441975918
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. James C. Robinson
•Differential equations and linear algebra. Second edition. Stephen W. Goode
•Engineering differential equations. Theory and applications 1441979182
•Ordinary Differential Equations. A brief eclectic tour. David A. Sanchez
•Ordinary differential equations. George F. Carrier and Carl E Pearson
•Second order differential equations. Special Functions and Their
Classification. Gerhard Kristensson 1441970193
•Differential equations for engineers. Wei-Chau Xie. Cambridge University
Press 978-0-511-77622-9
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. Earl A. Coddington. Dover
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27
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29
30
3
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5
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28
•Martes 11 de octubre
•Jueves 27 de octubre
http://www.licimep.org/
metodos.htm
2
m
d r
dt
2
 F   V
2

   r   V  r    r   E  r 
2
2m
1   ( r , ,  )
2
  ( r , ,  ) 
2
v
2
t
2
0
L a ecu ació n d e m o vim ien to d e N ew to n :
2
m
d r
dt
2
 F   V
L a ecu ació n d e S ch ro d in g er estacio n aria:
2

   r   V  r   r   E  r
2
2m
L a ecu ació n d e o n d a:
1   ( r , ,  )
2
  ( r , ,  ) 
2
v
2
t
2
0

2
m
d r
dt
2
 F   V
2
m
d x
dt
2
0
2
m
d x
dt
2
0
•Es una ecuación diferencial ordinaria
•Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
•Es una ecuación diferencial lineal
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria
L a in có g n ita o fu n ció n d esco n o cid a
x t 
d ep en d e d e u n a só la variab le.
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden
La m ayor derivada que aparece es
una derivada segunda.
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal
U na com binación lineal de soluciones
es tam bién una solución.
S i x1  t  es una solución y
x 2  t  es una solución,
 x1  t    x 2  t  es tam bién una solución.
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal hom ogénea
E l segundo m iem bro de
la ecuación es igual a
cero.
2
m
d x
dt
2
0
E s u n a ecu ació n d iferen cial o rd in aria
d e seg u n d o o rd en lin eal h o m o g én ea
co n co eficien tes co n stan tes
E l co eficien te es m q u e
en este caso es co n stan te
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes
dx
v

dt
dv
m
0
dt
2
m
d x
dt
2
 0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes
dx
dv
dv
v 
 m
0
0
dt
dt
dt
E l cam b io d e variab le g en era
u n a red u cció n d e o rd en .
P asam o s d e u n a d e seg u n d o o rd en
a u n a d e p rim er o rd en .
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes.
dx
dv
dv
v
 m
0
0
dt
dt
dt
dv
0
dt

dv
dt  0  v  t   a
dt
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes.
dx
dv
v
 m
 0  v t   a
dt
dt
dx
 a
dt

dx
dt 
dt
 x  t   at  b
adt

2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes
x t   at  b
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes
x  t   at  b
Las condiciones iniciales
x  t  0   x0
v t  
dx  t 
dt
 v0
t0
2
m
d x
dt
2
0
E s u n a ecu ació n d iferen cial o rd in aria d e seg u n d o
o rd en lin eal h o m o g én ea co n co eficien tes co n stan tes
x  t   at  b
Las co n d icio n es in iciales: x  t  0   x 0
y
v t  
x  t  0   b  b  x0
dx t 
dt
 a  a  v0
t0
dx  t 
dt
 v0
t0
2
m
d x
dt
2
0
E s una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden lineal hom ogénea con coeficientes constantes
x  t   x0  v0t
x  t   x0  v0t
xt
x0  1 y v0  2
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
6
t
v  t   v0
v0  2
vt
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
t
2
m
d r
dt
2
 F   V
2
m
d x
dt
2
 F
2
d x
dt
2
 a
2
d x
dt
2
 a
•Es una ecuación diferencial ordinaria
•Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
•Es una ecuación diferencial lineal
•Es una ecuación diferencial lineal inhomogénea
•Es una ecuación diferencial lineal inhomogénea con
coeficientes constantes
2
d x
dt
2
 a
dx
dv
v

 a  v  t   at  b
dt
dt
2
d x
dt
2
 a
dx
dv
v

 a  v  t   at  b
dt
dt
dx
1 2
v
 at  b  x  t   at  bt  c
dt
2
2
d x
dt
2
 a
1 2
x  t   at  bt  c
2
2
d x
dt
2
 a
1 2
x t   at  bt  c
2
x  t  0   x0
v  t  0   v0
x t  0  c
v t  0   b

c  x0
b  v0
2
d x
dt
2
 a
1 2
x  t   x 0  v 0 t  at
2
xt
x  t   x0  v0t 
1 2
at
2
x 0   2, v 0  3, a  10
20
15
10
5
0.5
1.0
1.5
2.0
t
v  t   v 0  at
vt
v 0  3, a  10
20
15
10
0.5
1.0
1.5
2.0
t
a t   a
at
a  10
20
15
10
5
0.5
1.0
1.5
2.0
t
2
d x
dt
2
 a
1 2
x t   at  bt  c
2
x  t  t1   x 0
x  t  t1 
v  t  t2   v0
1 2
 at1  bt1  c
2
v  t  t 2   at 2  b

1 2
at1  bt1  c  x 0
2
at 2  b  v 0
2
d x
dt
2
 a
1 2
x  t   at  bt  c
2
x  t  t1   x 0
b  v 0  at 2 ;
v  t  t2   v0
1
c  x 0  v 0 t1  at1  t1  2 t 2 
2

1
1 2
x  t   x 0  v 0 t1  at1  t1  2 t 2    v 0  at 2  t  at
2
2
2
m
d r
dt
2
 F   V
2
m
d x
dt
2
d 1 2

 kx    kx
dx  2

2
m
d x
dt
2
d 1 2

 kx    kx
dx  2

2
m
d x
dt
2
 kx  0 
2
d x
dt
2
 x  0
2
2
d x
dt
2
 x  0
2
;
=
k
m
•Es una ecuación diferencial ordinaria
•Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
•Es una ecuación diferencial lineal
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
2
d x
dt
2
x t   Ae
 Ae
2
t
 x 0
2
t

  Ae
2
   0
2
2
t
0
2
d x
dt
2
 x  0
2
  0
2
2
   i
2
d x
dt
2
 x 0
2
    0     i
2
2
x t   Ae
 i t
 Be
 i t
2
d x
dt
2
 x  0
x t   Ae
2
 i t
 Be
 i t
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
2
d x
dt
2
 x  0
x t   Ae
2
 i t
 Be
 i t
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
x t  0  A  B  0  B   A

x t   Ae
 i t
 Ae
 i t
 A sin   t 
2
d x
dt
2
 x 0
2
x  t   A sin   t 
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
v  t  0   A cos    0    A  A 

x t  
v0

sin   t 
v0

2
d x
dt
2
 x  0
2
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
x t  
v0

sin   t 
x t  
v0
sin   t 

v 0  3,   10
xt
0.3
0.2
0.1
0.5
0.1
0.2
0.3
1.0
1.5
2.0
t
v  t   v 0 cos   t 
v 0  3,   10
at
3
2
1
0.5
1
2
3
1.0
1.5
2.0
t
x t  
3
sin 10 t 
10
v  t   3 cos 10 t 
3
2
1
0.5
1
2
3
1.0
1.5
2.0
t
2
d x
dt
2
 x 0
2
dx
px 
dt
2
d x
dt
2

dp  x 
dt
dp dx
dp

 p
dx dt
dx

dp
2
p
 x  0
dx
2
d x
dt
2
2
dp
dx
d x
px 

 p
2
dt
dx
dt
 x  0
2
dp
2
p
 x  0
dx
pdp    xdx 
2

pdp   
2
 xdx 
1 2
 2
2
2
2 2
2
p 
x  c1  p    x  c 2  p 
2
2
2
dx

dt

c2   x 
2
2
dx
c  x
2
2
2

2
dx
2
 dt
c2   x
2
2
 dt 
2
c2   x 
2
2
2

c2
x

sin u  dx 
c2

c2

dx
c  x
2
2
2

2


dx
c2   x
2
2
2
cos udu
cos u d u
c2 1

2
2
2
 c2
c 2  c 2 sin u
x 

du 
 c3 
arcsin 
 c3





 c2 
1
u
1

cos udu
1  sin u
2
2
d x
dt



2
 x 0
2
dx
c  x
2
2
2
dx
c2   x
2
2

 dt

x 
arcsin 
  c3

c
 2 
2
2
dx
x 

arcsin 


c
 2 
1
c  x
2
2
1
2
2
x 
arcsin 
 c3  t


 c2 
1
x t  
c2

sin   t  c 4 
2
d x
dt
 x  0
2
2
x t  
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
x t  0 
c2


dx

dt
 c 2 co s   n
t0

x t  
  1


sin   t  c 4 
sin   c 4   0  c 4  n  x  t  
dx
 c 2 co s   t  n
dt
n
c2
v0
sin   t  n

c2

sin   t  n
    1
n
c2  v0

2
d x
dt
2
 x  0
2
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
x t  
  1

n
v0
sin   t  n

sin  x  y   sin  x  co s  y   sin  y  co s  x 
sin   t  n   sin   t  cos  n   sin  n  cos   t     1  sin   t 
n

x t  
v0

sin   t 
2
m
d r
dt
2
 F   V
2
m
d x
dt
2
d  3
2

 x    x
dx  3

2
d x
dt
2


m
x  0
2
•Es una ecuación diferencial ordinaria
•Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
•Es una ecuación diferencial NO lineal
2
d x
dt
2


m
x 0
2
dx

px 
dt
2
d x
dt
2
dp
dp dx
d
 p
p 

dx
dx dt
dt

dp  2
x 0

p
m
dx
2
d x
dt
2


m
x 0
2
dp  2
dx
px 
 p

x 0
dt
dx
m
dp
 2
 2
x dx 
x  pdp  
 
p
m
m
dx
 3
1 2
x  c1  p 
p  
3m
2

dx

dt
2 3
x  c2

3m
2 3
x  c2

3m
2
d x
dt

2

m
x 0
2
dp  2
dx
px 
 p

x 0
dt
dx
m
dx

dt

2 3

x  c2
3m
dx
2 3

x  c2
3m
 t  c3
2

   r   V  r    r   E  r 
2
2m
2

2m
d  x
2
dx
2
 V  x    x   E  x 
2

2m
d  x
2
dx
2
 V  x   x   E  x 
V x  0

2

2m
d  x
2
dx
2
 E  x 
2
2m
d  x
2
dx
2
 E  x   0
•Es una ecuación diferencial ordinaria
•Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden
•Es una ecuación diferencial lineal
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea
•Es una ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes
d  x
2
dx
2

2mE
2
 x  0
P ro p o n em o s    x   A e
S u stitu yen d o
 Ae
2

2
x
k
 k Ae
2
2
 Ae
 k 0
2
2
x
x
0
0
x
d  x
2
dx
2

2mE
2
  x   0; P roponem os    x   A e
  k 0
2
2
   ik
y
  x   Ae
 ikx
 Be
 ikx
x
d  x
2
dx
2

2mE
2
  x   0; P roponem os    x   A e
x
  k 0
2
  x 
 A
2
*
 x    Ae
 B
2
 ikx
 AB e
*
 Be
2 ikx
2
 ikx
 A e
 A Be
*
*
 2 ikx
 ikx
 B e
*
 ikx

2

   r   V  r    r   E  r 
2
2m
2

2m
d  x
2
dx
2
 V  x    x   E  x 
2

2m
V x 
d  x
2
dx
2
 V  x    x   E  x 


0
x 0
xa


0
x  0


V x   0


x  a
x0
0 x a
a  x
2

d  x
2m
  x  0  0
2
dx
2
 E  x 
 x  a  0
d  x
2
2

2m
d  x
dx
 E  x 
2
2
dt
2
d  x
  k   x  donde k
2
2

2mE
2
2
2
 k  x  0
2
dt
S e trata d e u n a ecu ació n d iferen cial o rd in aria
d e seg u n d o o rd en lin eal h o m o g en ea co n
co eficien tes co n stan tes.
d  x
2
dt
2
 k  x  0
  x   Ae
2
x

  x  k  x  0
2
2

 k 0
2
2
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2
 k 0
2
L a ecu ació n característica es:
L as raices so n :
1   ik
y
2
 2   ik
y p o r tan to las d o s so lu cio n es lin ealm en te
in d ep en d ien tes so n ex p   ikx 
y la so lu ció n g en eral es
  x   Ae
 ikx
 Be
 ikx
y
ex p   ikx 
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2

  x   Ae
 ikx
 Be
 ikx
Las condiciones a la frontera son:   x  0  = 0 y   x  a  = 0
  x  0  0 
  x  0  A  B  0 B   A
y
  x   Ae
 ikx
 Ae
 ikx
 A e
 ikx
e
 ikx
  2 iA sin  kx 
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2
  x   2 iA sin  kx 
Las condiciones a la frontera s on:   x  0  = 0 y   x  a  = 0
 x  a  0 
  x  a   2 iA sin  ka   0
O jo, esto im plica que,
k a  n donde n  1, 2 , 3,...
d  x
2
dt
k 
2mE
2
 k  x  0
2
ka  n
y
n  1, 2, 3, ...
así q u e
¡¡¡¡¡¡¡ E n 

2
2ma
2
2
n
2
n  1, 2, 3, ... !!!!!!!!
2

d  x
2m
  x  0  0
2
dx
2
 E  x 
 x  a  0
 n 
  x   2 iA sin 
x
 a 
La solución norm alizada de la ecuación d e S chrodinger
d  x
2
dt
2
 k  x  0
2
con condiciones a la frontera   0     a   0
es
n  x 
 n 
sin 
x
a
 a 
2
donde n  1, 2, 3,...
n 1
1  x  
 
sin 
x
a
 a 
2
n2
2  x 
 2 
sin 
x
a
 a

2
n3
3  x  
 3 
sin 
x
a
 a 
2
n4
4  x 
 4 
sin 
x
a
 a 
2
n  24
 24  x  
 24 
sin 
x
a
 a

2
n  124
 124  x  
 124 
sin 
x
a
 a

2
Hasta aquí llegue
después de la primera
clase, martes 27 de
septiembre de 2011 de
9:00 a 10:30.
Van 1:30 horas
Segunda clase,
jueves 29 de
septiembre de
2011 de 9:00 a
10:30
1. Principios de variable
compleja
2. Ecuaciones diferenciales de
segundo orden
3. Análisis de Fourier
1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
•Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth
edition. Boyce & DiPrima 0470383348
•A first course in differential equations. Second edition. Logan 1441975918
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. James C. Robinson
•Differential equations and linear algebra. Second edition. Stephen W. Goode
•Engineering differential equations. Theory and applications 1441979182
•Ordinary Differential Equations. A brief eclectic tour. David A. Sanchez
•Ordinary differential equations. George F. Carrier and Carl E Pearson
•Second order differential equations. Special Functions and Their
Classification. Gerhard Kristensson 1441970193
•Differential equations for engineers. Wei-Chau Xie. Cambridge University
Press 978-0-511-77622-9
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. Earl A. Coddington. Dover
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•Viernes 14 de octubre
•Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en este mismo salón
http://www.licimep.org/
metodos.htm
U n a e cu a ció n d ife re n cia l e s u n a e cu a ció n
q u e in v o lu cra u n a fu n ció n d e sco n o cid a y
su s d e riv a d a s. E je m p lo s:
df  x 
dx
  kf  x   x
2
m
d x
dt
i
2

t
 F
2


2
2 m x
2
U n a e cu a ció n d ife re n cia l e s o rd in a ria
si la fu n ció n d e sco n o cid a d e p e n d e
d e so lo u n a v a ria b le . E je m p lo s:
df  x 
dx
  kf  x   x
2
m
d x
dt
i
2

t
 F
2


2
2 m x
2
U n a e cu a ció n d ife re n cia l e s o rd in a ria
si la fu n ció n d e sco n o cid a d e p e n d e
d e so lo u n a v a ria b le . E je m p lo s:
2
m
d x
dt
2
 F  x, t 
d  x
2
2

2m
dx
2
 xy
2
3
x
d y
dx
3
 V  x    x   E  x 
dy
dx
 y  x y
2
U n a e cu a ció n d ife re n cia l e s p a rcia l si la fu n ció n d e sco n o cid a
d e p e n d e d e v a ria s v a ria b le s. E je m p lo s:
i

t
2

q  x, y 

2
2 m x
2
 q  x, y 
2

x
y
2
 q  x, y   0
1   2  
1
 
 
1
 
  4   r ,  ,  
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
  
rˆ
r
2
E l o rd e n d e u n a e cu a ció n d ife re n cia l e s e l
o rd e n d e la m a yo r d e riv a d a q u e a p a re zca e n e lla
d f x
2
dx
b
2

 
S e g u n d o o rd e n
3
 a
t
d
 df 
  kf  x   x 

dx


2
z
x
3
 a  b
T e rce r o rd e n
P rim e r o rd e n
dz
d g  p
i
5

i0
i
dp
i

O rd e n 5
2
d y
dx
2
 dy

 f 
, y, x 
 dx

ó
 d y dy

F
,
,
y
,
x

0

2
 dx dx

2
La ecuación diferencial ordinaria de ord en n
n 1
d y d y

d y dy
F
,
,...,
,
, y, x   0
n
n 1
2
dx
dx dx
 dx

n
2
es lineal si F es una función lineal de las
n
n 1
2
d y d y
d y dy
variables
,
,...,
,
, y.
n
n 1
2
dx
dx
dx dx
U n a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n e s lin e a l si e s d e la
fo rm a :
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
ó
d yx
n
bn  x 
dx
n
 bn  1  x 
ó
 b x
i
i0
d yx
i
n
dx
i
 g x
d
n 1
dx
yx
n 1
d yx
1
 ...  b1  x 
dx
1
 b0  x  y  x   g  x 
U na solución de una ecuación diferencial
en la función desconocida f  x  y en la
variable independiente x en el intervalo I ,
es una función f  x  que satisface la
ecuación diferencial idénticam ente para
toda x e n I .
U n a so lu ció n d e u n a ecu ació n d iferen cial en la fu n ció n d esco n o cid a f
variab le in d ep en d ien te x en el in tervalo I , es u n a fu n ció n f
x
x
y en la
q u e satisface la
ecu ació n d iferen cial id én ticam en te p ara to d a x en I .
L a fu n ció n
y  3 sin x
e s so lu ció n d e la
e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e te rce r o rd e n
3
4x
d y
dx
3
2
 2x
2
d y
dx
e n e l in te rv a lo
2
x
3
dy
 12 x cos x  3 x cos x  6 x sin x  0
dx
  ,  
3
2
U n a so lu ció n d e u n a ecu ació n d iferen cial en la fu n ció n d esco n o cid a f
variab le in d ep en d ien te x en el in tervalo I , es u n a fu n ció n f
x
x
y en la
q u e satisface la
ecu ació n d iferen cial id én ticam en te p ara to d a x en I .
•Una solución particular es cualquier solución.
•La solución general es el conjunto de todas
las soluciones.
 U n a so lu ció n p a rticu la r e s cu a lq u ie r so lu ció n .
 L a so lu ció n g e n e ra l e s e l co n ju n to d e to d a s la s so lu cio n e s
L a e cu a ció n d ife re n cia l m á s se n cilla q u e e xiste :
dy
0
dx
ya
y2
co n a  R
e s la so lu ció n g e n e ra l
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
 U n a so lu ció n p a rticu la r e s cu a lq u ie r so lu ció n .
 L a so lu ció n g e n e ra l e s e l co n ju n to d e to d a s la s so lu cio n e s
da  t 
 t 1
dt
a t  
1
a t  
1
t t
2
e s u n a so lu ció n p a rticu la r
2
2
t t c
2
co n c  C
e s la so lu ció n g e n e ra l
U n a e c u a c ió n d ife re n c ia l c o n c o n d ic io n e s
s u b s id ia ria s e n la fu n c ió n d e s c o n o c id a y
s u s d e riv a d a s , to d a s e lla s d a d a s p a ra e l
m is m o v a lo r d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te ,
c o n s titu ye u n p ro b le m a d e c o n d ic io n e s
in ic ia le s (in itia l-v a lu e p ro b le m ).
L a s c o n d ic io n e s s u b s id ia ria s s o n la s
c o n d ic io n e s in ic ia le s .
U n a e c u a c ió n d ife re n c ia l c o n c o n d ic io n e s s u b s id ia ria s e n la fu n c ió n
d e s c o n o c id a y s u s d e riv a d a s , to d a s e lla s d a d a s p a ra e l m is m o v a lo r
d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te , c o n s titu ye u n p ro b le m a d e c o n d ic io n e s
in ic ia le s (in itia l-v a lu e p ro b le m ). L a s c o n d ic io n e s s u b s id ia ria s s o n la s
c o n d ic io n e s in ic ia le s .
Si las condiciones subsidiarias se dan para más de
un valor de la variable independiente, el problema
se llama de valores a la frontera (boundary-value
problem) y las condiciones se llaman de frontera
(boundary conditions).
2
d y
dx
2
 dy

 f 
, y, x 
 dx

ó
 d y dy

F
,
,
y
,
x

0

2
 dx dx

2
Elsgoltz
Ecuaciones diferenciales y
calculo variacional
MIR 1969
L a e cu a ció n n o co n tie n e
la fu n ció n b u sca d a y :
 d y dy 
F
,
,
x

0

2
dx
dx


2
L a e cu a ció n n o co n tie n e la fu n ció n b u sca d a y :
 d 2 y dy 
F
,
,x  0
2
 dx dx 
S e h a ce e l ca m b io d e v a ria b le
p 
dy
dx
y e n to n ce s q u e d a
 dp

F
, p, x   0
 dx

q u e e s d e o rd e n 1 .
2
m
d x
dt
x  t  0   x0
2
0
y v  t  0   v0
dx
dv
v

0
dt
dt
x  t   x0  v0t
2
d x
dt
x  t  0   x0
2
 a0
y v  t  0   v0
dx
dv
v

 a0
dt
dt
1
2
x  t   x0  v0t  a 0t
2
U n cu e rp o , co n v e lo cid a d in icia l v 0 ,
se m u e v e b a jo la a cció n d e u n a
fu e rza d e fricció n d ire cta m e n te
p ro p o rcio n a l a la v e lo cid a d .
D e scrib ir e l m o v im ie n to .
U n cu e rp o , co n v e lo cid a d in icia l v 0 ,
se m u e v e b a jo la a cció n d e u n a
fu e rza d e fricció n d ire cta m e n te
p ro p o rcio n a l a la v e lo cid a d .
D e scrib ir e l m o v im ie n to .
2
m
d x
dt
2
 k
dx
dt
x  t  0   0 y v  t  0   v0
2
d x
m
dt
2
 k
dx
dt
D e fin im o s:
1 dv
 
v dt
1 dv
dx
v
v
m
dt  
dt
dt
y la e cu a ció n q u e d a
m
dv
dt
  kv
k
ln v  
k
m
k
dt

m
t  ln c1
 k 
v  c1 ex p   t 
 m 
2
m
d x
dt
2
 k
dx
y
dt
 k 
 v  v  c1 exp   t 
dt
 m 
dx
 k 
 c1 exp   t 
dt
 m 
dx

 k 
dt  c1  exp   t dt
dt
 m 
dx
 k 
x   c1 exp   t   c 2
k
 m 
m
2
m
d x
dt
2
 k
dx
 k 
x   c1 exp   t   c 2
k
 m 
m

dt
x  t  0   0 y v  t  0   v0
x t  0  
c1  v 0
m
k
c1  c 2  0
y c2 
m
k
y v  t  0   c1  v 0
v0
 k  m
x   v 0 exp   t   v 0
k
 m  k
m
2
m
d x
dt
2
 k
dx
dt
con x  t  0   0 y v  t  0   v 0
 k  m
x  t    v 0 exp   t  
v0
k
 m  k
m
2
m
d x
dt
2
 k
dx
dt
co n x  t  0   0 y v  t  0   v 0
 k  m
x  t    v 0 exp   t  
v0
k
 m  k
m
k 1
m 1
v0  1 0
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to
d e u n cu e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d
in icia l e n la a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o
la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l
a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
H allar la ecuación de m ov im iento de un c uerpo que cae sin v elocidad inicial en la
atm ósfera, considerando la resistencia d el aire proporcional al cuadrado de la v elocidad.
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s:
2
m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
2
y la s co n d icio n e s in icia le s so n :
y t  0  0 y
dy
dt
t
 0   0.
H allar la ecuación de m ov im iento de un c uerpo que cae sin v elocidad inicial en la
atm ósfera, considerando la resistencia d el aire proporcional al cuadrado de la v elocidad.
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s:
2
m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
2
y la s co n d icio n e s in icia le s so n :
y t  0  0 y
dy
dt
t
 0   0.
N oten que la ecuación es diferencial ord inaria de segundo orden N O LIN EAL
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
dy
dt
2
 t  0   0.
C o m o n o ap arece y  t  p o d em o s p o n er
dy
 v t 
dt
y la ecu acio n q u ed a
dv
2
m
 m g  kv
dt
q u e ya es d e p rim er o rd en .
La co n d ició n in icial es v  t  0   0 .
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
dv
dt
dy
dt
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.
2
 m g  kv 
m
2
dt
m
 m g  kv
dv
2
dt
2
dt 
m g  kv
 dt
dv
2
dt
1
I 
v
I 
dv

 v




2
tanh   dv 


1  tanh   d 
2

   tanh 
2

I 

a rcta n h 


1

v
 


1  tanh   d 
2
1

 d

1


H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
dy
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 m g  kv
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
2
dt
dt 
 dt
I 

dv
 v
2
2


a rcta n h 
gk

m
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.
dt
dv
dt
2

a rcta n h 


1
 
v
 

v   t  c1
mg 
k
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 m g  kv
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
2
dt 
dt
v
 dt

dv
dt

tanh 
k

mg
dt
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.

a rcta n h 
gk

m
dy
2
2

v   t  c1
mg 
k

 t  c1  
m

gk
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 m g  kv
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
2
dt
dt 
 dt


a rcta n h 
gk

mg
k
y
v 
k
dt
m
v t  0  0  v 
mg
dv

tanh 

gk 
t
m 
dy
dt
2
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.
2

v   t  c1
mg 
k

tanh 

 v

tanh 
k

mg

c1   0
m 
gk


 t  c1  
m

gk
c1  0
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 m g  kv
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
2
dt
dt 
 dt

dy
dt
y 
v

dv
dt

tanh 
k

mg
dy
dt
2
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.
2
gk 
t
m 

tanh 

gk 
t 
m 

tanh 

k

gk 
t  dt
m 
mg
k
mg
sin h a x
 tan h ( a x ) d x   co sh a x d x



1
1

a co sh a x
1

a
1
a
d co sh a x
dx
d (co sh a x )
co sh a x
ln  co sh a x   c
dx
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 m g  kv
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
2
dt 
dt
y 
 dt

mg
k
v
dv
dt

tanh 
k

mg
dy
dt
2
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.
2
gk 
t  y 
m 


ln  cosh 
gk


m

tanh 

k

mg
gk 
t  dt
m 
gk  
t    c2
m 

H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la
a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

 dt 
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
Com o
dy
dt
m
 m g  kv
 v  t  , la e cu a cio n q u e d a m
dv
2
dt 
dt
 dt

v
dv
dt

tanh 
k

mg
dy
dt
2
 t  0   0.
 m g  kv co n v  t  0   0.
2

gk 
m 
t   y  ln  cosh 
m 
k


gk  
t    c2
m 

y t  0  0 
y 
m
m
ln  cosh  0    c 2 
ln 1   c 2  c 2  0
k
k
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e ca e
sin v e lo cid a d in icia l e n la a tm ó sfe ra , c o n sid e ra n d o la
re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a l cu a d ra d o d e la
v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 dy 
 mg  k 

dt


y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
L a so lu ció n e s:


y t  
ln  cosh 
k


m
gk  
t 
m 

dy
dt
2
 t  0   0.


y t  
ln  cosh 
k


m
gk  
t 
m 

m  10
g  9.8
k 1
v

tanh 
k

mg
gk 
t
m 
L a e cu a ció n n o co n tie n e
la fu n ció n b u sca d a y :
 d y dy 
F
,
,
x

0

2
dx
dx


2
L a e cu a ció n n o co n tie n e la fu n ció n b u sca d a y :
 d 2 y dy 
F
,
,x  0
2
 dx dx 
S e h a ce e l ca m b io d e v a ria b le
p 
dy
dx
y e n to n ce s q u e d a
 dp

F
, p, x   0
 dx

q u e e s d e o rd e n 1 .
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e a
la v a ria b le in d e p e n d ie n te x :
 d y dy

F
,
,
y

0

2
 dx dx

2
L a e c u a c ió n n o c o n tie n e a la v a ria b le in d e p e n d ie n te x :
 d 2 y dy

F
,
,y  0
2
dx
 dx

S e h a ce e l ca m b io d e v a ria b le
p y 
dy
dx
E n to n ce s q u e d a
2
d y
dx
2

d
dx
p 
dp dy
dy dx
 p
dp
dy
2
d x
dt
2
 x  0
2
x  t  0   0 ; v  t  0   v0
x t  
v0

sin   t 
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d ,
d e sd e e l in fin ito h a sta la su p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie
d e la tie rra ? .
L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n tro d e la tie rra y e l
ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te .
D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d , d e sd e e l in fin ito h a sta la s u p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie d e la tie rra ? L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n tro
d e la tie rra y e l ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te . D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
La ecuación diferencial que soluciona es te problem a
se deriva de la segunda ley de N ew ton y de la ley de
la gravitación universal. E n efecto, ten em os
2
d r
m
dt
2
 G
Mm
r
2
reduciendo y poniendo k  G M obtenem os
2
d r
dt
2
 
k
r
2
que es una ecuación diferencial ordinaria de
segundo orden no lineal.
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d , d e sd e e l in fin ito h a sta la s u p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie d e la tie rra ? L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n t ro
d e la tie rra y e l ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te . D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
2
m
d r
dt
2
 G
Mm
r
2
2

d r
dt
2

k
r
2
C o m o la variab le in d ep en d ien te, t , n o ap a rece,
p o d em o s red u cir el o rd en d e la ecu ació n en 1
m ed ian te la su stitu ció n
dr
v
dt
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d , d e sd e e l in fin ito h a sta la s u p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie d e la tie rra ? L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n t ro
d e la tie rra y e l ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te . D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
2
m
d r
dt
2
 G
Mm
r
2
2

d r
dt
2

k
r
2
.
H a ce m o s v 
dr
dt
H acien d o eso ten em o s
2
d r
dt
2
d dr
dv
dv dr
dv



v
dt dt
dt
dr dt
dr
y la ecu ació n q u ed a
dv
k
v
  2
dr
r
q u e ya es d e p rim er o rd en
y d e variab les sep arab les.
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d , d e sd e e l in fin ito h a sta la s u p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie d e la tie rra ? L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n t ro
d e la tie rra y e l ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te . D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
2
m
d r
dt
2
 G
Mm
r
2
2

d r
dt
2

k
r
2
.
H a ce m o s v 
dr

dt
L a in teg ram o s

k
r
2
vd
v


k


1 2
k
v 
 c1
2
r
de donde
2k
dv
dr
y o b ten em o s
v  
v
1
 c1
r
dr
r
2
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d , d e sd e e l in fin ito h a sta la s u p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie d e la tie rra ? L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n t ro
d e la tie rra y e l ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te . D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
2
m
d r
dt
2
 G
Mm
r
2
2

d r
dt
2

k
r
2
.
H a ce m o s v 
dr

dt
v
dv

dr
k
r
2

v   2k
D ebem os hacer ahora que se
cum plan las condiciones iniciales
v  r     0   2k
c1
de donde
c1  0
y por tanto la velocidad es
v   2k
1
r
1
r
 c1
U n cu e rp o ca e , b a jo la ú n ica a cció n d e la g ra v e d a d , d e sd e e l in fin ito h a sta la s u p e rficie d e la tie rra .
¿ C u á l e s la v e lo cid a d co n q u e lle g a a la su p e rficie d e la tie rra ? L a a ltu ra se m id e d e sd e e l ce n t ro
d e la tie rra y e l ra d io d e la m ism a e s d e 6 4 0 0 k m a p ro xim a d a m e n te . D e sp re cia r lo s e fe cto s d e la a tm ó sfe ra .
2
m
d r
dt
2
 G
Mm
r
2
2

d r
dt
2

k
r
2
. H a ce m o s v 
dr

dt
v
dv
dr
k

r
2

v   2k
1
r
 c1

v   2k
1
r
S ustituyendo los valores
v
2G M

R
2  6.67259×10
 11
2
N m / kg
2
 5.9742×10 kg 
6400000m
v  1 1 .2 k m /s
24
E l p rim e r m ie m b ro d e la e cu a ció n
 d y dy

F
,
, y, x   0
2
 dx dx

2
e s la d e riv a d a d e u n a e xp re sió n d ife re n c ia l
 dy


, y, x 
 dx

d e p rim e r o rd e n .
E n e s te c a s o e s c rib im o s
n 1
n2
d

y d
y
dy

,
, ...,
, y, x   0
n 1
n2
dx  dx
dx
dx

d
y
n 1
n2
d

y d
y
dy

,
, ...,
, y, x   c
n 1
n2
dx
dx
 dx

R esuelve la ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  0
m ediante la reducción de su orden.
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  0 m ediante la reducción de su ord en.
N o tem o s q u e
d  yy ´ 
dx
 yy ´´ y ´ y ´
así q u e la ecu ació n o rig in al la p o d em o s escrib ir co m o
d  yy ´ 
dx
0
q u e es u n a ecu ació n d iferen cial o rd in ari a
d e p rim er o rd en
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  0 m ediante la reducción de su ord en.
N otem os que
d  yy ´ 
dx
 yy´´ y´ y´
d  yy ´ 
dx
0
In teg ran d o am b o s m iem b ro s d e la ecu ació n resp ecto a x , o b ten em o s

d  yy ´ 
dx
dx  0
que da
yy ´ c1
q u e in teg ran d o n u evam en te resp ecto a x ,

y
dy
d x  c1  d x
dx
nos da
(1 / 2 ) y ²  c1 x  c 2
U san d o n u evas co n stan tes, a1 y a 2 , p ara q u e se vea m ás b o n ito ,
ten em o s el resu ltad o fin al
y  a1 x  a 2
2
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  0 m ediante la reducción de su ord en.
y  a1 x  a 2
2
F e s h o m o g e n e a e n y y s u s d e riv a d a s
 d 2 y dy

F
,
, y, x   0
2
dx
 dx

e s d e c ir,
 d y

dy
F k
,k
, ky , x  
2
dx
 dx

2
2


d y dy

k F
,
, y, x 
2
dx
 dx

F
e s h o m o g e n e a e n y y su s d e riv a d a s
H a cie n d o
y  exp
  zdx 
te n e m o s
dy
 z exp
dx
  zdx 
y
2
d y
dx
2
 2 dz 
z 
 exp
dx 

  zdx 
F
e s h o m o g e n e a e n y y su s d e riv a d a s
 d y dy

F
,
, y, x   0
2
 dx dx

2



exp   zdx F  x , z , z ´   0
F  x , z , z´   0

R esuelve la ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  6 xy ²
m ediante la reducción de su orden.
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  6 xy ² m ediante la reducción de su o rden.
D ado que la ecuación es hom ogénea, si ha cem os el cam bio de variable
y  exp(  zdx )
tenem os
dy
 z exp
dx
  zdx  y
2
d y
dx
2
 z exp
2
dz

exp   zdx   exp   zdx   z
  zdx   dx

así que nuestra ecuación original se esc ribe en e stas variables com o
exp
  zdx  exp  
que se reduce a
 2 dz 
z 
  z²  6x
dx 

o aún m ás a
dz
 6x
dx

 2 dz  
zdx  z 
   z exp
dx


  zdx  
2
 6 x  exp

  zdx  
2
2

dz 

dx 
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  6 xy ²
m ediante la reducción de su o rden.
H aciendo el cam bio de variable y  exp(  zdx ) ten em os
dz
 6x
dx
P ara reso lver esta n u eva ecu ació n ,
q u e es d e p rim er o rd en y d e variab les se p arab les,
sim p lem en te in teg ram o s am b o s m iem b ro s
d e la ecu ació n resp ecto a x ,

dz
d x  6  xd x
dx
lo q u e n o s lleva a
z  3 x ²  c1
d o n d e c1 es u n a co n stan te d e in teg ració n arb itraria.
R esu elve la ecu ació n d iferen cial o rd in aria d e seg u n d o o rd en n o lin eal
yy ´´ ( y ´)²  6 xy ²
m ed ian te la red u cció n d e su o rd en .
H acien d o el cam b io d e variab le y  ex p (  zd x ) ten em o s
dz
 6x
dx
y p o r lo tan to in teg r an d o ten em o s z  3 x ²  c1
R egresando al cam bio de variable con que em pezam os,
y ( x )  exp   (3 x ²  c1 ) dx   exp( x ³  c1 x  c 2 )


donde c 2 es una nueva constante de integra ción arbitraria.
R eescribiendo las cosas tenem os el resultado final
y ( x )  c exp( x ³  c1 x )
donde, obviam ente c es una constante de i ntegración
arbitraria.
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  6 xy ²
m ediante la reducción de su o rden.
R egresando al cam bio de variable con que em pezam os,
y ( x )  exp   (3 x ²  c1 ) dx   exp( x ³  c1 x  c 2 )


donde c 2 es una nueva constante de integra ción arbitraria.
R eescribiendo las cosas tenem os el resultado final
y ( x )  c exp( x ³  c1 x )
donde, obviam ente c es una constante de i ntegración
arbitraria.
R esuelve la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden no lineal
yy ´´ ( y ´)²  6 xy ² m ediante la reducción de su o rden.
y ( x )  c exp( x ³  c1 x )
1. Principios de variable
compleja
2. Ecuaciones diferenciales de
segundo orden
3. Análisis de Fourier
1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
•Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth
edition. Boyce & DiPrima 0470383348
•A first course in differential equations. Second edition. Logan 1441975918
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. James C. Robinson
•Differential equations and linear algebra. Second edition. Stephen W. Goode
•Engineering differential equations. Theory and applications 1441979182
•Ordinary Differential Equations. A brief eclectic tour. David A. Sanchez
•Ordinary differential equations. George F. Carrier and Carl E Pearson
•Second order differential equations. Special Functions and Their
Classification. Gerhard Kristensson 1441970193
•Differential equations for engineers. Wei-Chau Xie. Cambridge University
Press 978-0-511-77622-9
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. Earl A. Coddington. Dover
26
27
28
29
30
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28
•Viernes 14 de octubre
•Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en este mismo salón
2
m
d x
dt
2
0
x  t   x0  v0t
2
d x
dt
2
 a
1 2
x  t   x0  v0t  a t
2
2
m
d x
dt
2
x t   Ae
  kx
 ikt
 Be
 ikt
2

d  x
2m
  x   Ae
 ikx
2
dx
2
 Be
 E  x 
 ikx
; k 
2mE
2

d  x
2m
  x  0  0
n  x 
2
dx
2
 E  x 
 x  a  0

 n 
2
sin 
x  ; En 
n con
2
a
2ma
 a 
2
2
2
n  1, 2, 3,...
U n cu e rp o , co n v e lo cid a d in icia l v 0 , se m u e v e
b a jo la a cció n d e u n a fu e rza d e fricció n
d ire cta m e n te p ro p o rcio n a l a la v e lo cid a d .
2
m
d x
dt
2
 k
dx
dt
co n x  t  0   0 y v  t  0   v 0
 k  m
x  t    v 0 exp   t   v 0
k
 m  k
m
2
d y
dx
2
dy
b
 cy  0
dx
2
d y
dx
2
b
dy
 cy  0
dx
P roponem os una solución de la form a
yx  e
x
S ustituyendo en la ecuación diferencial ordinaria
 e
2
x
 b e
x
 ce
x
    b  c  e
2
P or tanto,
  b  c  0
2
que es la ecuación característica
x
0
2
d y
dx
2
dy
b
 cy  0
dx
L a ecu ació n característica es:
  b  c  0
2
cu yas raices so n :
 
b 
b  4c
2
2
2
2
dy

b

b
 4c
2

b

cy

0



b


c

0



2
dx
2
dx
d y
Si
b  4c  0
2
entonces
y  x   c1 e
1 x
 c2e
2 x
donde
1 
b 
b  4c
b  b  4c
; 2 
2
2
2
2
2
2
dy

b

b
 4c
2

b

cy

0



b


c

0



2
dx
2
dx
d y
Si
b  4c  0
2
en to n ces
y  x   c1 e
donde
b
 
2
x
 c 2 xe
x
2
m
d x
dt
2
0
x  t   x0  v0t
2
m
d x
dt
2
 0  x  t   x0  v0t
 0
2
  0 con m ultiplicidad 2.
P or tanto,
x t   Ae
(0)t
 B te
(0)t
 A  Bt
2
d x
dt
2
 a
1 2
x  t   x0  v0t  a t
2
2
m
d x
dt
2
x t   Ae
  kx
 i t
co n  =
 Be
k
m
 i t
2
m
d x
dt
m
2
2
 kx  0  x  t   A e
 k  0    i

x t   Ae
 i t
 Be
 i t
 i t
 Be
 i t
k
  i
m
2

d  x
2m
  x   Ae
 ikx
2
dx
2
 Be
 E  x 
 ikx
; k 
2mE
2

d  x
2m
  x  0  0
n  x 
2
dx
2
 E  x 
 x  a  0

 n 
2
sin 
x  ; En 
n con
2
a
2ma
 a 
2
2
2
n  1, 2, 3,...
U n cu e rp o , co n v e lo cid a d in icia l v 0 , se m u e v e
b a jo la a cció n d e u n a fu e rza d e fricció n
d ire cta m e n te p ro p o rcio n a l a la v e lo cid a d .
2
m
d x
dt
2
 k
dx
dt
co n x  t  0   0 y v  t  0   v 0
 k  m
x  t    v 0 exp   t   v 0
k
 m  k
m
2
m
d x
dt
2
k
dx
dt
 0 co n x  t  0   0 y v  t  0   v 0
 k  m
x  t    v 0 exp   t   v 0
k
 m  k
m
m   k   0  1  0 y  2  
2
k
m

x t   Ae
(0)t
 Be

k
m
t
 A  Be

k
t
m
Im p o n ie n d o la s co n d icio n e s in icia le s o b t e n e m o s
 k  m
v0
x  t    v 0 exp   t  
k
 m  k
m
U n a p artícu la clásica d e m asa m ,
am arrad a a u n reso rte d e co n stan te k ,
al m o verse su fre u n a fu erza d e fricció n
d irectam en te p ro p o rcio n al a su velo cid ad .
a) E scrib ir la ecu ació n d e m o vim ien to
b ) R eso lver la ecu ació n y d escrib ir en
d etalles el m o vim ien to .
U n a p artícu la clásica d e m asa m , am arrad a a u n reso rte d e co n stan te k ,
al m o verse su fre u n a fu erza d e fricció n d irectam en te p ro p o rcio n al a su
velo cid ad .
a) E scrib ir la ecu ació n d e m o vim ien to
b ) R eso lver l a ecu ació n y d escrib ir en d etalles el m o vim ien to .
L a ecu ació n d e m o vim ien to es
2
m
d x
dt
2
dx
  kx  
dt
2
m
d x
dt
2
dx

 kx  0
dt
La ecuación característica es:
m     k  0
2
2
d x
m
dt
2
dx

 kx  0
dt
La ecuación característica es: m     k  0
2
Las raices de la ecuación característica son:
 
 
  4 km
2
2m
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
L a ecu ació n característica es:
m
2
   k  0
L as raices d e la ecu ació n característica so n :  
Si 
2
 

2
 4 km
2m
 4 km  0, en to n ces

 
2m
es u n a raíz d o b le (m u ltip licid ad 2 )
y la so lu ció n es
x t   Ae
t
 B te
t
  A  Bt  e


2m
t
2
m
d x
dt
2

dx
dx
 kx  0 con x  t  0   0 y
 t  0   v0
dt
dt
Si 
2
 4 km  0 entonces x  t   v 0 te

m  50 , k  5
10

2m
t
   10 10
v0  1 0
8
6
4
2
5
10
15
20
25
30
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0
dt
L a ecu ació n característica es:
m
2
   k  0
L as raices d e la ecu ació n característica so n :  
Si 
2
 

2m
 4 km  0, entonces tenem os
dos raices distintas y la solución es
x t   Ae
1 t
 Be
2 t
donde
1, 2 
 
  4 km
2
2m
2
 4 km
2
m
d x
dt
Si 
2
2
 4 km  0,  x  t   A e

1 t
dx
 kx  0
dt
 Be
2 t
d o n d e 1, 2 
 

2
 4 km
2m
P or com odidad, agregarem os la condición inicial: x  t  0   0
P or tanto, x  t  0   A  B  0
quedando la solución com o
x t   A e
i 1 t
e
 i2 t

y B  A
2
m
d x
dt
Si 
2
2

dx
 kx  0 co n la co n d ició n in icial x  t  0   0
dt
 4 km  0,  x  t   A  e
1 t
e
2 t

d o n d e 1, 2 
 

2
 4 km
2m
S i   4 km  0, com o  , k y m son positivos,
2
1, 2  0.
S i   4 km  0, 1, 2 son com plejos,
2
pero con parte real negativa.
2
m
d x
dt

2
2

dx
 kx  0 co n la co n d ició n in icial x  t  0   0
dt
 4 km  0  x  t   A  e
1 t
e
2 t

d o n d e 1, 2 
 

2
 4 km
2m
y
1, 2  0 .
0.25
0.20
m  2, k  1,
 3
A 1
0.15
0.10
0.05
2
4
6
8
10
2
m
d x
dt

2
2

dx
 kx  0 co n la co n d ició n in icial x  t  0   0
dt
 4 km  0  x  t   A  e
1 t
e
2 t

d o n d e 1, 2 
 

2m
so n co m p lejo s co n p arte real n eg ativa.
x t   Ae


2m
donde  =
t
e
 i t
e
4 km  
 i t
2
2m
P or tanto,
x  t   2 iA e


2m
t
2
cos   t 

 4 km
2
m
d x
dt
2

dx
 kx  0 con la condición inicial x  t  0   0
dt
  4 km  0  x  t   2 iA e
2


2m
t
cos   t  donde  =
4 km  
2
2m
1.0
m  10, k  2,
A 
 1
i
2
0.5
10
0.5
20
30
40
50
U n a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o r d e n n e s lin e a l
si e s d e la fo rm a
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
d yx
( n  1)
n
bn  x 
dx
 bn  1  x 
d yx
i
n
 b x
i
i0
n
dx
i
 g x
d
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
n 1
dx
yx
n 1
d yx
1
 ...  b1  x 
dx
1
 b0  x  y  x   g  x 
S i g  x  y b j  x  , j  0,1, 2,..., n , so n co n tin u a s e n u n
in te rv a lo I q u e co n tie n e a x 0 y si b n  x   0 e n I ,
e n to n ce s e l p ro b le m a d e v a lo re s in icia le s
y  x 0   c 0 , y   x 0   c1 , y   x 0   c 2 ...., y
 n  1
 x 0   c n 1
d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn 1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
tie n e u n a ú n ica so lu ció n e n I .
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
bn  x  y
(n)
 bn  1  x  y
( n  1)
 ...  b1  x  y   b 0  x  y  g  x 
1 ) S i g  x   0 e n to n ce s la e cu a ció n e s h o m o g e n e a ,
si n o e s in h o m o g e n e a
2 ) S i T O D O S lo s b j  x  so n co n sta n te s se d ice q u e
tie n e co e ficie n te s co n sta n te s, sin o se d ice q u e lo s
co e ficie n te s so n v a ria b le s
S i b n  x   0 e n u n in te rv a lo I , p o d e m o s e scrib ir
y ( n )  a n 1  x  y ( n 1)  ...  a1  x  y   a 0  x  y    x 
donde
aj x 
bj x
bn  x 
 j  0,1, 2,..., n  1 
y
 x 
g x
bn  x 
D e fin im o s a h o ra e l o p e ra d o r
n
n 1
1
d
d
d
ˆ
L 
 a n 1  x 
 ...  a1  x  1  a 0  x 
n
n 1
dx
dx
dx
d e ta l m a n e ra q u e
(n)
( n  1)
Lˆ  y   y  a n  1  x  y
 ...  a1  x  y   a 0  x  y
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n
lin e a l la e scrib im o s e n to n ce s co m o
Lˆ  y     x 
L a e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l
hom ogenea
Lˆ  y   0
sie m p re tie n e n so lu cio n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s.
S i y1  x  , y 2  x  ,..., y n  x  re p re se n ta n d ich a s so lu cio n e s,
e n to n ce s la so lu ció n g e n e ra l d e Lˆ  y   0 e s
y  x   c1 y1  x   c 2 y 2  x   ...  c n y n  x 
d o n d e c1 , c 2 ,..., c n re p re se n ta n co n sta n te s a rb itra ria s
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
h
donde
y h  x  e s la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , y
y p  x  e s cu a lq u ie r so lu ció n p a r ticu la r d e la e cu a ció n .
L a s o lu c ió n g e n e ra l d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x  e s y  x   y h  x   y p  x 
Lˆ  y   Lˆ  y h  x   y p  x   
 Lˆ  y h  x    Lˆ  y p  x    0    x  
  x
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
S i se p ro p o n e u n a so lu cio n
y  x   exp   x 
se tie n e
 exp   x   a n  1
n
n 1
exp   x   ...  a1 exp   x   a 0 exp   x   0
E lim in a n d o la e xp o n e n cia l
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
S i   e s ra iz d e e sta e cu a ció n , exp    x  e s so lu ció n d e la
e cu a ció n d ife re n cia l
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
A la e cu a ció n
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
se l e lla m a E cu a ció n ca ra cte r í stica .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 ,...,  n la s n ra ice s d e la e cu a ció n
ca ra cte rística
S i to d a s so n d istin ta s , la so lu ció n g e n e ra l e s
y  x   c1 exp  1 x   c 2 exp   2 x   ...  c n exp   n x 
sie n d o c1 , c 2 ,..., c n co n sta n te s a rb itra ria s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ic e s d e la e c u a c ió n
c a ra c te rís tic a
S i la ra iz  k tie n e m u ltip lic id a d p h a b rá a s o c ia d a c o n e lla
p s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s d a d a s c o m o
ex p   k x  , x ex p   k x  , x ex p   k x  , ..., x
2
p 1
ex p   k x 
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e la s n s o lu c io n e s
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s e s la s o lu c ió n g e n e ra l.
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
donde
h
yh  x  es
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a c ió n
h o m o g e n e a a so cia d a , y y p  x  e s cu a lq u ie r
so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
2
d y
dx
2
dy
b
 cy  d
dx
2
d y
dx
2
d y
dx
2
2
b
dy
 cy  d
dx
dy
b
 cy  0
dx
  b  c  0
2
 
b 
b  4c
2
2
2
d y
dx
2
dy
b
 cy  d
dx
P rim ero se resu elve la
ecu ació n h o m o g én ea aso ciad a:
2
d yh
dx
2
b
dyh
dx
 cy h  0
¡¡¡Y a lo h icim o s!!!
2
d y
dx
2
d yh
dx
2
b
dy h
2
 cy h  0    b   c  0   
b  4c  0
2
1 
2 
dy
 cy  d
dx
2
dx
y h  x   c1 e
b
b 
b  4c
2
2
b  4c  0
2
1 x
 c2e
b 
b  4c
2
b 
b  4c
2
2
2
2 x
y h  x   c1 e
b
 
2
x
 c 2 xe
x
2
d y
dx
2
dy
b
 cy  d ;
dx
Si c  0
b  4c  0
2
b  4c  0
2
d
 x
 x
yx 
 c1 e 1  c 2 e 2
c
1 
2 
d
yp 
c
b 
b  4c
2
b 
b  4c
2
2
2
d
x
x
y x 
 c1 e  c 2 xe
c
b
 
2
2
d y
dx
2
dy
b
 d ;
dx
d
yp 
x
b
Si c  0 y b  0
b  0  b  4c  b  0
2
2
d
1 x
2 x
yx 
x  c1 e
 c2e
b
1  0
y
2  b
d
 bx
yx 
x  c1  c 2 e
b
2
d y
dx
2
dy
b
 d ;
dx
Si c  0 y b  0
d 2
yp 
x
2
b  4c  0
2
d 2
x
x
yx 
x  c1e  c 2 xe
2
b
  0
2

d 2
yx 
x  c1  c 2 x
2
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to
d e u n cu e rp o q u e ca e sin v e lo cid a d
in icia l e n la a tm ó sfe ra , co n sid e ra n d o
la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l
a la v e lo cid a d .
H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e
ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la a tm ó sfe ra ,
co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a
la v e lo cid a d .
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s:
2
m
d x
dt
2
 mg  
dx
dt
y la s co n d icio n e s in icia le s so n :
x t  0  0 y
dx
dt
 t  0   0.
2
m
d x
dt
2
d x
dt
2

 dx
m dt
2
dx
 mg  
dt
 g
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal no hom ogénea.
2
d x
dt
2

 dx
m dt
 g
P rim ero resolvem os la ecuación hom ogénea asociada:
2
d xh
dt
2

 dx h
m dt
0
La ecuación característica es:  

2
Las raices son: 1  0
A sí que la solución es:
x h  t   c1  c 2 e
 
 t
m
y 2  
m

m
 0
2
d x
dt
2

 dx
m dt
 g
A h o ra "ad ivin am o s" u n a so lu ció n p articu lar
d e la ecu ació n n o h o m o g én ea.
E n este caso es o b vio q u e
mg

t
es u n a so lu ció n p articu lar.
2
d x
dt
2

 dx
m dt
 g
A sí que la solución general es:
x t  
mg

t  c1  c 2 e
 
 t
m
2
d x
dt

2
x t  0 
mg

t0


m
m dt
mg

 g  x t  
 
 0
m
0  c1  c 2 e
mg

t  c1  c 2 e
 c1  c 2  0  c1   c 2
 

 t 
d mg
m

t

c

c
e


1
2
dt  


dx  t 
dt
 dx
 
 t
m
t0
 
 mg
 t 

m
 

c2e   

m
 
 t  0
2
c2  0  c2 
m g

2
y
x t  
mg

2
t
m g

2
2

m g

2
e
 
 t
m
mg 

m

t






 

 t  

m
1  e


 

H a lla r la e cu a ció n d e m o v im ie n to d e u n c u e rp o q u e
ca e sin v e lo cid a d in icia l e n la a tm ó sfe ra ,
co n sid e ra n d o la re siste n cia d e l a ire p ro p o rcio n a l a
la v e lo cid a d .
2
L a e cu a ció n d e m o v im ie n to e s: m
d y
dt
2
 mg  k
y la s co n d icio n e s in icia le s so n : y  t  0   0 y
L a so lu ció n e s:
 


  t  
mg 
m

m
x t  
1  e

t 
 
 
 


dy
dt
dy
dt
 t  0   0.
1200
2
x t 
m
d y
dt
2
 mg  k
y t  0  0 y
1000
dt
dy
mg 
m

x t  
t 
 


800
dy
dt
t
 0  0
  



t  
m
1  e


 

600
g  9 .8 m /s
2
m  87 kg
400
  1 8 k g /s
200
t
5
10
15
20
25
30
v t 
40
30
2
m
d y
dt
2
 mg  k
y t  0  0 y
20
dy
mg 
m

x t  
t 
 


dt
dy
g  9 .8 m /s
dt
m  87 kg
 0  0
  1 8 k g /s
t
2
  



t  
m
1  e


 

10
t
5
10
15
20
25
30
7
2
m
a t 
d y
dt
2
 mg  k
y t  0  0 y
6
dt
dy
mg 
m

x t  
t 
 


5
dy
dt
t
 0  0
  



t  
m
1  e


 

g  9 .8 m /s
4
2
m  87 kg
  1 8 k g /s
3
2
1
t
5
10
15
20
25
30
2
R esolver la ecuación
d y
dx
2

dy
dx
 2y  6
2
R esolver la ecuación
d y
dx
2

dy
 2y  6
dx
P aso 1: R esolver la ecuación hom ogenea c orrespondiente,
2
d yh
dx
2

dy h
dx
 2 y h  0.
E cuaci ó n caracter í stica:     2  0
2
R aices de la ecuaci ó n caracter ística: 1 = 1 ,  2 =  2
S oluci ó n de la ecuaci ó n hom ogénea: y h ( x )  c1e  c 2 e
x
2 x
2
R esolver la ecuación
d y
dx
2

dy
 2y  6
dx
P aso 2: B uscar una solución particular
de la ecuación no hom ogenea.
E n este caso por sim ple inspección se
encuentra facilm ente que
y  3
es una solución.
2
R esolver la ecuación
d y
dx
2

dy
 2y  6
dx
Paso 3: Escribir la solución ge neral:
y ( x )  c1e  c 2 e
x
2 x
3
Gráfica
R esolver la ecuación
3
d y
dx
3
2

d y
dx
2
5
dy
dx
 3 y  3
3
d y
dx
3
2

d y
dx
2
5
dy
 3 y  3
dx
P aso 1: R esolver la ecuación hom ogenea correspondiente,
3
d yh
dx
3
2

d yh
dx
2
5
dy h
dx
 3 yh  0
E cuaci ó n caracter í stica:     5   3  0
3
2
R aices de la ecuaci ó n caracter í stic a:
1 =  1 con m ul tiplicidad 2 y  2 = 3
S o l u c i ó n de la ecuaci ó n hom ogénea: y h ( x )  c1e
x
 c2 xe
x
 c3e
3x
3
d y
dx
3
2

d y
dx
2
5
dy
 3 y  3
dx
P aso 2: B uscar una solución particular
de la ecuación no hom ogenea.
E n este caso por sim ple inspección se
encuentra facilm ente que
y 1
es una solución.
3
d y
dx
3
2

d y
dx
2
5
dy
 3 y  3
dx
Paso 3: Escribir la solución genera l:
y ( x )  c1e
x
 c2 xe
x
 c3e
Gráfica
3x
1
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  Pm  x 
s ie n d o Pm  x  u n p o lin o m io d e g ra d o m
1 . E l 0 n o e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
Pm  x 
2 . E l 0 e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c te r ís tic a d e
m u ltip lic id a d s .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
x Pm  x 
s
R esolver la ecuación diferencial ordinar ia
de segundo orden lineal
con coeficientes constantes
no hom ogénea:
7 y ´´ y ´ 14 x .
7 y ´´ y ´ 14 x
P rim ero debem os resolver la ecuación hom ogénea asociada
2
d yh
dx
2

1 dy h
0
7 dx
P ara ello tenem os que encontrar las raices de la ecuación característica
 ²  (1 / 7 )   0
que son
1  0 y  2 
1
7
Las soluciones linealm ente independientes de la ecuación hom og énea
son entonces
y1 ( x )  1
y y 2 ( x )  exp( x / 7 )
y la solución general de la ecuación hom ogenea es
y h ( x )  c1  c 2 exp( x / 7 )
7 y ´´ y ´ 14 x
N ecesitam os encontrar ahora una solución
particular de la ecuación no hom ogenea.
D ado el térm ino no hom ogeneo y el hecho
que 0 sea una raiz de m ultiplicidad 1,
debem os sugerir com o solución particular
y p ( x )  x ( A1 x  A2 )  xA2  x ² A1
7 y´´ y´ 14 x
Se propone com o solucionar particular: y p ( x )  x ( A1 x  A2 )  xA2  x ² A1
S ustituyendo en la ecuación original obtenem os
2 A1 
1
7
(2 A1 x  A2 )  2 A1 
1
7
P or tanto,
2 A1 
1
7
A2  0
y

2
7
A1  2

A1   7
y A2   98
y la solución particular es
y p ( x )   7 x ²  98 x
A2 
2
7
xA1  2 x
7 y ´´ y ´ 14 x
y ( x )  c1  c 2 exp( x / 7)  7 x ²  98 x
Gráfica
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  e Pm  x 
x
co n  re a l y Pm  x  u n p o lin o m io d e g ra d o m .
1 . E l n ú m e ro  n o e s ra íz d e la e cu a ció n ca ra cte rística .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
e Pm  x 
x
2 . E l n ú m e ro  e s r a íz d e la e cu a ció n ca ra cte rística d e
m u ltip licid a d s.
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
x e Pm  x 
s
x
R esolver la ecuación diferencial ordinar ia
de segundo orden lineal
con coeficientes constantes
no hom ogénea:
y ´´´ 3 y ´´ 3 y ´ y  ( x  5) exp(  x ).
y ´´´ 3 y ´´ 3 y ´ y  ( x  5) exp(  x )
P rim ero debem os resolver la ecuación hom ogénea asociada
2
3
d y
dx
3
3
d yh
dx
2
3
dy h
dx
 yh  0
P ara ello tenem os que encontrar las raices de la ecuación característica
  3 ²  3  1  0
3
que evidentem ente es un binom io a l cubo, es decir,
  3 ²  3  1     1
3
3
y tenem os una única raiz,  1, con m ultiplicidad 3.
La solución general de la ecuación hom og enea es
y h ( x )  c1 exp(  x )  c 2 x exp(  x )  c 3 x ² exp(  x )
y ´´´ 3 y ´´ 3 y ´ y  ( x  5) exp(  x )
N ecesitam os encontrar ahora una solución
particular de la ecuación no hom ogénea.
D ado el térm ino no hom ogéneo,
el hecho que  1 es una raiz de m ultiplicidad 3
y que p es esa raíz,
debem os sugerir com o soluc ión particular
y p ( x )  x ³ exp(  x )( B 0 x  B1 )
y ´´´ 3 y ´´ 3 y´ y  ( x  5) exp(  x )
S e propone com o solucionar particular: y p ( x )  x ³ exp(  x )( B 0 x  B1 )
S u stitu yen d o en la ecu ació n n o h o m o g én ea o rig in al, ten em o s
d ( x ex p (  x )( B 0 x  B1 ))
3
3
dx
3
d ( x ex p (  x )( B 0 x  B1 ))
2
3
3
dx
d ( x ex p (  x )( B 0 x  B1 ))
2
3
3
dx
 6 B1 e
x
 2 4 xB 0 e
 ( 2 4 B 0 x  6 B1 ) e
x
x
 x ex p (  x )( B 0 x  B1 ) 
 x B1 e
3
3
x
 ( x  5)e
 x B0e
4
x
de donde
B0 
1
24
y
B1  
5
6
y
5 3
 1 4
y p ( x)  
x  x  ex p   x 
6
 24

x
 x ( B1  xB 0 ) e
3
x

y ´´´ 3 y ´´ 3 y ´ y  ( x  5) exp(  x )
y ( x )  ( c1  c 2 x  c 3 x ² 
1
x 
24
Gráfica
4
5
6
x ) exp(  x )
3
1. Principios de variable
compleja
2. Ecuaciones diferenciales de
segundo orden
3. Análisis de Fourier
1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
•Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth
edition. Boyce & DiPrima 0470383348
•A first course in differential equations. Second edition. Logan 1441975918
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. James C. Robinson
•Differential equations and linear algebra. Second edition. Stephen W. Goode
•Engineering differential equations. Theory and applications 1441979182
•Ordinary Differential Equations. A brief eclectic tour. David A. Sanchez
•Ordinary differential equations. George F. Carrier and Carl E Pearson
•Second order differential equations. Special Functions and Their
Classification. Gerhard Kristensson 1441970193
•Differential equations for engineers. Wei-Chau Xie. Cambridge University
Press 978-0-511-77622-9
•An Introduction to Ordinary Differential Equations. Earl A. Coddington. Dover
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•Viernes 14 de octubre
•Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en este mismo salón
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
S i se p ro p o n e u n a so lu cio n
y  x   exp   x 
se tie n e
 exp   x   a n  1
n
n 1
exp   x   ...  a1 exp   x   a 0 exp   x   0
E lim in a n d o la e xp o n e n cia l
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
S i   e s ra iz d e e sta e cu a ció n , exp    x  e s so lu ció n d e la
e cu a ció n d ife re n cia l
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
A la e cu a ció n
  a n  1
n
n 1
 ...  a1  a 0  0
se l e lla m a E cu a ció n ca ra cte r í stica .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 ,...,  n la s n ra ice s d e la e cu a ció n
ca ra cte rística
S i to d a s so n d istin ta s , la so lu ció n g e n e ra l e s
y  x   c1 exp  1 x   c 2 exp   2 x   ...  c n exp   n x 
sie n d o c1 , c 2 ,..., c n co n sta n te s a rb itra ria s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  0
E cu a ció n ca ra cte rística :   a n  1 
n
n 1
 ...  a1   a 0  0
S e a n 1 ,  2 ,  3 , ...,  n la s n ra ic e s d e la e c u a c ió n
c a ra c te rís tic a
S i la ra iz  k tie n e m u ltip lic id a d p h a b rá a s o c ia d a c o n e lla
p s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s d a d a s c o m o
ex p   k x  , x ex p   k x  , x ex p   k x  , ..., x
2
p 1
ex p   k x 
L a c o m b in a c ió n lin e a l d e la s n s o lu c io n e s
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s e s la s o lu c ió n g e n e ra l.
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
donde
h
yh  x  es
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a c ió n
h o m o g e n e a a so cia d a , y y p  x  e s cu a lq u ie r
so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  Pm  x 
s ie n d o Pm  x  u n p o lin o m io d e g ra d o m
1 . E l 0 n o e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
Pm  x 
2 . E l 0 e s ra íz d e la e c u a c ió n c a ra c te r ís tic a d e
m u ltip lic id a d s .
B u s c a r la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la fo rm a :
x Pm  x 
s
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  e Pm  x 
x
co n  re a l y Pm  x  u n p o lin o m io d e g ra d o m .
1 . E l n ú m e ro  n o e s ra íz d e la e cu a ció n ca ra cte rística .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
e Pm  x 
x
2 . E l n ú m e ro  e s r a íz d e la e cu a ció n ca ra cte rística d e
m u ltip licid a d s.
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
x e Pm  x 
s
x
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  Pn  x  cos  x  Q m  x  sin  x
sie n d o Pn  x  y Q m  x  p o lin o m io s d e g ra d o n y m re sp e ctiv a m e n te .
S e a k  m ax  n , m 
1 . L o s n ú m e ro s  i  n o so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x
2 . L o s n ú m e ro s  i  so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística
d e m u ltip licid a d s.
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
s
x  Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x 
y ´´ y  x ² sin x
P rim ero debem os resolver la ecuación hom ogénea asociada
2
d yh
dx
2
 yh  0
P ara ello tenem os que encontrar las raic es de la ecuación característica
² 1 0
cuyas raices son
i
y
i
P or tanto, la solución genera l de la ecuación hom ogenea es
y h ( x )  a1 exp(  ix )  a 2 x exp(  ix )
ó
y h ( x )  c1 sin x  c 2 cos x
y ´´ y  x ² sin x
N ecesitam os encontrar ahora una solución
particular de la ecuación no hom ogénea.
D ebido a la estructura del segundo m iem b ro,
proponem os com o solución particular
y p  x   x  A0  A1 x  A 2 x
2
 sin x  x  B 0  B1 x  B 2 x
2
 cos x
y ´´ y  x ² sin x
y p  x   x  A0  A1 x  A2 x
2
 sin x  x  B 0  B1 x  B 2 x
2
 cos x
S u stitu yen d o en la ecu ació n n o h o m o g én ea o rig in al , ten em o s
2
2 x sin xA 2  2 ( x co s x  sin x )( A1  2 xA 2 )  ( 2 co s x  x sin x )( A0  xA1  x A 2 )
 2 x c o s xB 2  2 (co s x  x sin x )( B1  2 xB 2 )  (  x co s x  2 sin x )( B 0  xB1  x B 2 )
2
 x  A0  A1 x  A 2 x
2
 sin x  x  B
0
 B1 x  B 2 x
2
 co s x  x ² sin
2
 2  A0  B1  ( 2 A1  3 B 2 ) x  3 A 2 x  co s x
2
   2 A1  2 B 0  ( 4 B1  6 A 2 ) x  (1  6 B 2 ) x  sin x  0
P o r lo t an to ,
2
A0  B1  ( 2 A1  3 B 2 ) x  3 A 2 x  0
 2 A1  2 B 0  ( 4 B1  6 A 2 ) x  (1  6 B 2 ) x  0
y fin alm en t e
A 0  B1  0
2 A1  3 B 2  0
A2  0
 A1  B 0  0
2 B1  3 A 2  0
1  6 B2  0
2
x 
A 0  B1  0
2 A1  3 B 2  0
A2  0
 A1  B 0  0
2 B1  3 A 2  0
1  6 B2  0
1

0

0

0
0

0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
3
0
2
0
0
0
0
 0

 A0 
1



 4
A1


 0
 A2 


 
1

B
 0
 4
 B 
1
 0



 B2 
  1
 6












0 

3

0

0 
0
 
6
A0 
 0 



A1
0



 0 
A2 
  

B0 
 0 
 0 
B1 



B2 
 1
y ´´ y  x ² sin x
y p  x   x  A0  A1 x  A2 x
2
 sin x  x  B 0  B1 x  B 2 x
 0

 A0 
1



 4
A1


 0
 A2 


 
1

B
 0
 4
 B 
1
 0



 B2 
  1
 6
yp
x
 x  A0  A1 x  A 2 x
yp
x 
2
2
 cos x












 sin x  x  B
0
 B1 x  B 2 x
1 2
11
1 2
x sin x 

x  x co s x

4
2 2
3

2
 co s x
y ´´ y  x ² sin x
y p  x   x  A0  A1 x  A2 x
2
 sin x  x  B
0
 B1 x  B 2 x
2
 cos x
11 1 2
y p  x   x sin x    x  x cos x
4
22 3

1
2
11 1 2
y  x   x sin x    x  x cos x  c1 sin x  c 2 cos x
4
22 3 
1
2
1 3
1 2

1

y  x    x  c1  sin x   x  x  c 2  cos x
6
4

4

y ´´ y  x ² sin x
1 3
1 2

1

y  x    x  c1  sin x   x  x  c 2  cos x
6
4

4

Gráfica
y
(n)
 a n 1 y
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y  e
x
 Pn  x  cos  x  Q m  x  sin  x 
sie n d o Pn  x  y Q m  x  p o lin o m io s d e g ra d o n y m re sp e ctiv a m e n te .
S e a k  m ax  n , m 
1 . L o s n ú m e ro s   i  n o so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística .
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
e
x
 Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x 
2 . L o s n ú m e ro s   i  so n ra ice s d e la e cu a ció n ca ra cte rística
d e m u ltip licid a d s.
B u sca r la so lu ció n p a rticu la r d e la fo rm a :
s
x e
x
 Pk  x  cos  x  Q k  x  sin  x 
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
1 . R eso lvem o s la ecu ació n h o m o g én ea aso ciad a,
2
d yh
dx
2
4
dyh
dx
 5 yh  0
L a ecu ació n característica es
  4  5  0
2
L as raices d e la ecu ació n característica so n
1   2  i
y
2  2  i
A sí q u e la so lu ció n d e la ecu ació n h o m o g én ea es
y h  ex p (  2 x )( a1 e  a 2 e
ix
 ix
)  ex p (  2 x )( c1 sin x  c 2 co s x )
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
2. P roponem os la solución particular
y p  x exp(  2 x )( A0 sin x  B 0 cos x )
S ustituida en la ecuación com pleta o riginal, nos da
d
2
dx
2
x
exp (  2 x )( A0 sin x  B 0 cos x ) 
d
4
[ x exp (  2 x )( A0 sin x  B 0 cos x )]
dx
 5[ x exp (  2 x )( A0 sin x  B 0 cos x )] 
 2 cos x A0 e
2 x
 2 sin x B 0 e
2 x
 10 e
2 x
co s x
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 cos x A0 e
2 x
2 x
 2 sin x B 0 e
2 x
cos x
 10 e

2 cos x A0  2 sin x B 0  10 cos x

2 A0  10
y
 2 B0  0

A0  5 y B 0  0

y p  x   5 x sin  x  exp   2 x 
2 x
cos x
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y h  exp (  2 x )( c1 sin x  c 2 cos x )
y p  x   5 x sin  x  exp   2 x 
y  x   5 x sin  x  exp   2 x   exp (  2 x )( c1 sin x  c 2 cos x )

y  x   exp   2 x    5 x  c1  sin  x   c 2 cos x 
y '' 4 y ' 5 y  10 e
2 x
cos x
y  x   exp   2 x    5 x  c1  sin  x   c 2 cos x 
Gráfica
y
(4)
 2y
3
 2y
2
 2y
1 
 y e
x
1. P rim ero resolvem os la ecuación h om ogénea asoc iada
yh
(4)
 2 yh
3
 2 yh
2
 2 yh
1 
 yh  0
La ecuación característica correspondien te es
  2  2  2  1  0
4
3
2
cuyas raices son
1, 1, i ,  i
así que la solución a le ecuación hom ogénea es
y h  c1 e  c 2 xe  c 3 sin x  c 4 cos x
x
x
y
(4)
 2y
3
 2y
2
 2y
1 
 y e
x
y p  Ax e
2
2. La solución particular propuesta es
que sustituida en la ecuación original d a
d
4
dx
4
 Ax
2
e
x
3
  2 dx  A x
d
3
2
e
x
d
2 x
2 x
x
2
Ax e    Ax e   e

dx
ó sea
4 Ae  e
x
x
y por tanto
1
A
4
2
  2 dx  A x
d
2
2
e
x

x
y
(4)
 2y
3
 2y
2
 2y
1 
 y e
x
2. La solución particular propuesta es y p  A x e
2
A sí que
1 2 x
yp  x e
4
x
y
(4)
 2y
3
 2y
2
 2y
1 
 y e
x
y h  c1 e  c 2 xe  c 3 sin x  c 4 cos x
x
x
1 2 x
yp  x e
4
1
2
x
y  x   ( c1  c 2 x  x ) e  c 3 sin x  c 4 cos x
4
Gráfica
y
 a n 1 y
(n)
( n  1)
 ...  a1 y   a 0 y    x 
Si
 x 
l
  f x
i
i
i 1
d o n d e ca d a f i  x  e s d e la fo rm a
e
x
 Pn  x  cos  x  Q m  x  sin  x 
L a so lu ció n p a rticu la r se d e b e b u sca r d e la fo rm a
l

i
yi, p
i 1
d o n d e ca d a y i , p e s d e la fo rm a
e
x
x  Pk  x  c os  x  Q k  x  sin  x 
s
D e la ley de los voltajes de K irchhoff
q
dI
L
 RI 
 V t 
dt
C
D erivando,
2
L
d I
dt
2
dI
I
 R

 V ' t 
dt
C
2
L
d I
dt
2
dI
I
 R

0
dt C
L a ecuación característica es
1
L  R 
0
C
2
P or tanto,
4L
R  R 
R
C



2L
2L
2
1, 2
R C  4L
2
2L C
2
L
d I
dt
2
dI
I
R

0 ;
dt C
Si R C  4 L  0
 c2e
1, 2
2L C
la solución es
2 t
I  t   c1 e
co n
R


2L
2
2
la so lu ció n es
I  t   c1 e
R C  4L
Si R C  4 L  0
2
1 t
1, 2
R


2L
R C  4L
2
2L
C
t
R
con  =
2L
 c 2 te
t
2
L
d I
dt
I  t   c1e
1 t
2
R
 c2e
dI
I

 0 con I  t  0   I 0
dt C
2 t
donde 1, 2
R


2L
R C  4L
y
dI
dt
0
t0
2
con R C  4 L  0
2
2L C
I  t  0   c 1  c 2  I 0  c 2  I 0  c1
e
I  t   c1 ( e
dI
dt
t0
1 t
e
2 t
)  I 0e
2 t
 t
 t
 t
  c1 ( 1 e 1   2 e 2 )  I 0  2 e 2 
 c1 (  1   2 )  I 0  2  0
t0
2
A
I0
1   2
e
 2
 t
 t
 t
I t   
(e 1  e 2 )  e 2  I 0
 1   2

2
L
d I
dt
2
R
dI
I

 0 con I  t  0   I 0
dt C
 2
t
 t
 t
I t   
(e 1  e 2 )  e 2  I 0
 1   2

donde 1, 2
R


2L
dI
dt
y
0
t0
R C  4L
2
con R C  4 L  0
2
2L C
1.00
0.98
0.96
C  40,
R  3,
L  100
I0  1
0.94
0.92
0
5
10
15
20
25
30
2
L
d I
dt
2
R
dI
I

 0 con I  t  0   I 0
dt C
I  t   c1 e
t
 c 2 te
t
con  
y
dI
dt
0
t0
R
2
y R C  4L  0
2L
I  t  0   c1  I 0
e
I  t   I 0e
dI
dt
t0
t
 c 2 te
t
t
t
t
   I 0 e  c 2 e   c 2 te 
  I 0  c2  0
t0
 c2    I 0
e
I  t   I 0e
t
  I 0 te
t
 1   t  I 0 e
t
2
L
d I
dt
2
R
dI
I

 0 con I  t  0   I 0
dt C
I  t   1   t  I 0 e
t
con  
R
2L
y
dI
dt
0
t0
y R C  4L  0
2
1.0
0.8
C  2,
0.6
R  3,
L
9
2
I0  1
0.4
0.2
5
10
15
20
25
30
2
L
d I
dt
2
dI
I
 R

 V ' t 
dt
C
V  t   V 0 sin  t
2
L
d I
dt
2
 R
dI
I

 V '  t  con V  t   V 0 sin  t
dt
C
2
L
d I
dt
2
 R
dI
I

  V 0 cos  t
dt
C
I p  t   A co s  t  B sin  t
 L
2
 A co s  t 
A co s  t  B sin  t
C
B sin  t    R   A sin  t  B co s  t  
  V 0 co s  t
 LC
2
 A co s  t 
B sin  t    R C   A sin  t  B co s  t   A co s  t  B sin  t
  V 0 C co s  t
  ALC
2
 B  R C  A   V 0 C  co s  t   B L C   A R C  B  sin  t  0
2
 A L C   B R C  A  V 0C  0 ;
2
C V  (1  L C  )
B L C   A R C  B  0
2
C RV 
2
A
1  C  ( R  L  )( R  L  )
2
2
2
B 
2
1  C  ( R  L  )( R  L  )
2
2
2
L
d I
dt
2
 R
dI
I

 V '  t  co n V  t   V 0 sin  t
dt
C
2
L
d I
dt
2
 R
dI
I

  V 0 co s  t
dt
C
I p  t   A co s  t  B sin  t
C V  (1  L C  )
C RV 
2
A
I p t  
1  C  ( R  L  )( R  L  )
2
2
2
; B 
C V  (1  L C  ) cos  t
1  C  ( R  L  )( R  L  )
2
1  C  ( R  L )( R  L )
2
2
C R V  sin  t
2
2
2

2
2
1  C  ( R  L  )( R  L )
2
2
2
d I
L
dt
4 L c R2
R
2
dI
I

  V 0 co s  t
dt
C
 R
t
c
2L
4 L c R2 t
c
4 L c R2 t
c L
1
R
c L
1
4L
c R2
4 L c R2 t
2c
c L
1
4 L c R2 t
L
4L
cR
2
2
2c
3 2
c L
1
L
V0
4 L c R2 t
c2
c L
1
4L
c R2
R V0
R2
L2
3
4 L c R2 t
c
5 2
R
R 2 V0
c L
1
4 L c R2
R3
2 L2 V0
2
L2 R
3
t
c
2c
2
4L
c R2
1
c R 2 V0
4L
2L
c
2
c R2
L
2
cL
cR
2
Cos t
1
cL
2
Sin t
R
1.0
C 1
R 1
L 1
V0  0
0.5
2
0.5
1.0
4
6
8
10
1.0
C 1
R 1
L  20
V0  0
0.5
20
0.5
1.0
40
60
80
100
1.0
C  10
R 1
L 1
V0  0
0.5
10
0.5
1.0
20
30
40
1.0
C 1
R  10
L 1
V0  0
0.5
10
0.5
1.0
20
30
40
1.0
C 1
R  100
L 1
V0  0
0.5
100
0.5
1.0
200
300
400
1.0
C 1
R 1
L  25
V0  0
0.5
20
0.5
1.0
40
60
80
100
120
C 1
10
R 1
L  25
V0  1 0
 1
5
20
5
10
40
60
80
100
120
C 1
2
R  100
L 1
V0  1 0
 1
1
100
1
2
200
300
400
500
2
C 1
R 1
L  50
V0  1 0
 1
1
100
1
2
200
300
400
500
1.0
C 1
R 1
L 1
V0  1 0
  60
0.5
20
0.5
1.0
40
60
80
100
120
140
C 1
R 1
20
L 1
V0  1 0
 1
10
20
10
20
40
60
80
100
120
140
2
x
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cy  0
dx
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal hom ogénea,
pero los coeficientes son variables.
2
x
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cy  0
dx
E s una ecuación diferencial ordinaria
de segundo orden lineal hom ogénea,
pero los coeficientes son variables.
T am bién es llam ada de C auchy-E uler
ó equidim ensional.
2
x
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cy  0
dx
H aciendo x  e o bien t  ln x , tenem os
t
dy

dx
dy dt

dt dx
1 dy
x dt
y
2
d y
dx
2
2
d  1 dy 
1 dy 1 d  dy  dt
1 dy
1 d y


 2
 2

 2


2
dx  x dt 
x dt
x dt  dt  dx
x dt
x dt
así que sustituyendo en la ecuación, obtenem os
2

1
dy
1
d
y
1 dy
2
x  2
 2
 bx
 cy  0
2 
x dt 
x dt
 x dt
que queda
2
d y
dt
2
  b  1
dy
dt
 cy  0
2
x
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cy  0
dx
con el cam bio de variable x  e
t
se transform a en
2
d y
dt
2
  b  1
dy
 cy  0
dt
que es con coeficientes constantes.
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e o rd e n 2 lin e a l:
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
donde
h
yh  x  es
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a c ió n
h o m o g e n e a a so cia d a , y y p  x  e s cu a lq u ie r
so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
S i co n o ce m o s
yh  x 
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , d e b e m o s a h o ra e stu d ia r m é to d o s
p a ra e n co n tra r,
y p  x ,
cu a lq u ie r so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
P ro p o n e m o s
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
d o n d e yi  yi  x 
 i  1, 2 
s o n la s
s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s
d e la e c u a c i ó n h o m o g e n e a a s o c ia d a y
vi  vi  x 
 i  1, 2 
s o n fu n c io n e s d e x p o r d e te rm i n a r.
A h o ra
dy p
dx
 v1 y1  v1 y1  v 2 y 2  v 2 y 2
 v1 y1  v 2 y 2  v1 y1  v 2 y 2
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  0,
dy p
dx
 v1 y1  v 2 y 2

A h o ra
2
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2   v1 y1  v 2 y 2
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  
2
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2  
2
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n 2 lin e a l:
d y
dx
y p  x   v1 y 1  v 2 y 2 ;
dy p
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
2
 v1 y1  v 2 y 2 ;
v1 y1  v 2 y 2    x   a1  x   v1 y1  v 2 y 2  
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2    x 
a 0  x   v1 y 1  v 2 y 2     x 
v1 y1  a1  x  v1 y  
a 0  x  v1 y1  v 2 y 2  a1  x  v 2 y 2  a 0  x  v 2 y 2    x     x 
v1  y1  a1  x  y  

a 0  x  y1   v 2  y 2  a1  x  y 2  a 0  x  y 2     x     x 
v1  0   v 2  0     x     x 
 x   x
S i se sa tisfa ce q u e
v1 y1  v 2 y 2  0
y
v1 y1  v 2 y 2  
Si se satisface que v1 y1  v 2 y 2  0 y v1 y1  v 2 y 2  
e n to n ce s
y p  v1 y1  v 2 y 2
e s u n a so lu ció n p a rticu la r d e la
e cu a ció n n o h o m o g e n e a
v1 y1  v 2 y 2  0
v1 y1  v 2 y 2  
e s u n siste m a d e e cu a cio n e s lin e a le s
p a ra la s v i 
 i  1, 2 
In tro d u c im o s la m a triz
W
 y1 , y 2 
 y1


y
 1
y2 

y 2 
Si se satisface que v1 y1  v 2 y 2  0 y v1 y1  v 2 y 2  
y e l siste m a d e e cu a cio n e s se e scrib e
 y1


y
 1
y 2   v1   0 
    
y 2   v 2    
H a y q u e re so lv e r e l siste m a d e
e cu a cio n e s sim u lta n e a s lin e a le s,
y d e sp u é s in te g ra r ca d a u n a d e
la s v i  i  1, 2  d e sp re cia n d o
la s co n sta n te s d e in te g ra ció n , ya
q u e só lo n o s in te re sa u n a so lu ció n
p a rticu la r.
D e b e m o s, p o r ta n to , p re g u n ta rn o s:
1 . ¿ T ie n e so lu ció n e l siste m a d e
e cu a cio n e s lin e a le s im p u e sto co m o
co n d ició n ?
2 . U n a v e z e n co n tra d a la so lu ció n ,
¿ e s p o sib le h a ce r la in te g ra ció n d e
ca d a u n a d e la s v i  i  1, 2  ?
E l siste m a d e e cu a cio n e s
 y1

 y1
y 2   v1   0 
    
y 2   v 2    
tie n e so lu ció n ú n ica , si y só lo si,
e l d e te rm in a n te
W
 y1 , y 2 
 y1
 det 
 y1
y2 

y 2 
e s d ife re n te d e ce ro .
E l d e te rm in a n te
y1
y2
y1
y 2
s e lla m a e l
W R O N S K IA N O
d e la s 2 fu n c io n e s
y i  i  1, 2 
S e a n y1 , y 2 , ..., y n , n s o lu c io n e s d e la
e c u a c ió n lin e a l h o m o g e n e a L  y   0,
e n u n in te rv a lo I .
E s ta s s o n lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s ,
s i y s ó lo s i,
W
 y1 , y 2 , ..., y n  
p a ra to d a x  I
0
P o r ta n to , la re sp u e sta a la p re g u n ta 1
e s a firm a tiv a : E xiste u n a so lu ció n ú n ica
a l siste m a d e e cu a cio n e s lin e a le s.
L a p re g u n ta 2 n o p u e d e se r re sp o n d id a
d e m a n e ra g e n e ra l, e n o ca sio n e s se rá
p o sib le in te g ra r y e n o tra s n o .
1. Conceptos Fundamentales de Ecuaciones
diferenciales. Clasificación y concepto de solución.
2. Ecuaciones de segundo orden homogéneas:
Coeficientes constantes, Cauchy- Euler.
3. Ecuaciones de Segundo orden No Homogéneas:
Método de Variación de parámetros, Coeficientes
Indeterminados
4. Método de Series de Potencias: Ecuación
diferencial de Bessel, Hermite, Legendre, Laguerre.
5. Función Gamma y Función error.
26
27
28
29
30
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
17
18
19
20
21
24
25
26
27
28
•Viernes 14 de octubre
•Viernes 28 de octubre
De 9:00 a 12:00 horas, en el salón donde fue
el PROPE
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria
d e se g u n d o o rd e n lin e a l
no hom ogénea:
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d ife re n cia l
o rd in a ria d e o rd e n n lin e a l in h o m o g e n e a
Lˆ  y     x 
es
yx  y x y p x
donde
h
yh  x  es
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a c ió n
h o m o g e n e a a so cia d a , y y p  x  e s cu a lq u ie r
so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
S i co n o ce m o s
y h  x   y1  x   y 2  x 
la so lu ció n g e n e ra l a la e cu a ció n h o m o g e n e a
a so cia d a , d e b e m o s a h o ra e stu d ia r m é to d o s
p a ra e n co n tra r,
y p  x ,
cu a lq u ie r so lu ció n p a rticu la r d e la e cu a ció n .
P ro p o n e m o s
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
d o n d e yi  yi  x 
 i  1, 2 
s o n la s
s o lu c io n e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s
d e la e c u a c i ó n h o m o g e n e a a s o c ia d a y
vi  vi  x 
 i  1, 2 
s o n fu n c io n e s d e x p o r d e te rm i n a r.
A h o ra
dy p
dx
 v1 y1  v1 y1  v 2 y 2  v 2 y 2
 v1 y1  v 2 y 2  v1 y1  v 2 y 2
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  0,
dy p
dx
 v1 y1  v 2 y 2

A h o ra
2
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2   v1 y1  v 2 y 2
si p e d im o s q u e
v1 y1  v 2 y 2  
2
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2  
2
E cu a ció n d ife re n cia l o rd in a ria d e o rd e n 2 lin e a l:
d y
dx
y p  x   v1 y 1  v 2 y 2 ;
dy p
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
2
 v1 y1  v 2 y 2 ;
v1 y1  v 2 y 2    x   a1  x   v1 y1  v 2 y 2  
d yp
dx
2
 v1 y1  v 2 y 2    x 
a 0  x   v1 y 1  v 2 y 2     x 
v1 y1  a1  x  v1 y  
a 0  x  v1 y1  v 2 y 2  a1  x  v 2 y 2  a 0  x  v 2 y 2    x     x 
v1  y1  a1  x  y  

a 0  x  y1   v 2  y 2  a1  x  y 2  a 0  x  y 2     x     x 
v1  0   v 2  0     x     x 
 x   x
S i s e s a tis fa c e q u e
v1 y1  v 2 y 2  0
y
v1 y1  v 2 y 2  
e n to n c e s
y p  v1 y 1  v 2 y 2
e s u n a s o lu c ió n p a rtic u la r d e la
e c u a c ió n n o h o m o g e n e a
v1 y1  v 2 y 2  0
v1 y1  v 2 y 2  
e s u n siste m a d e e cu a cio n e s lin e a le s
p a ra la s v i 
 i  1, 2 
In tro d u c im o s la m a triz
W
 y1 , y 2 
 y1


y
 1
y2 

y 2 
Si se satisface que v1 y1  v 2 y 2  0 y v1 y1  v 2 y 2  
y e l siste m a d e e cu a cio n e s se e scrib e
 y1


y
 1
y 2   v1   0 
    
y 2   v 2    
H a y q u e re so lv e r e l siste m a d e
e cu a cio n e s sim u lta n e a s lin e a le s,
y d e sp u é s in te g ra r ca d a u n a d e
la s v i  i  1, 2  d e sp re cia n d o
la s co n sta n te s d e in te g ra ció n , ya
q u e só lo n o s in te re sa u n a so lu ció n
p a rticu la r.
D e b e m o s, p o r ta n to , p re g u n ta rn o s:
1 . ¿ T ie n e so lu ció n e l siste m a d e
e cu a cio n e s lin e a le s im p u e sto co m o
co n d ició n ?
2 . U n a v e z e n co n tra d a la so lu ció n ,
¿ e s p o sib le h a ce r la in te g ra ció n d e
ca d a u n a d e la s v i  i  1, 2  ?
E l siste m a d e e cu a cio n e s
 y1

 y1
y 2   v1   0 
    
y 2   v 2    
tie n e so lu ció n ú n ica , si y só lo si,
e l d e te rm in a n te
W
 y1 , y 2 
 y1
 det 
 y1
y2 

y 2 
e s d ife re n te d e ce ro .
E l d e te rm in a n te
y1
y2
y1
y 2
s e lla m a e l
W R O N S K IA N O
d e la s 2 fu n c io n e s
y i  i  1, 2 
S e a n y1 , y 2 , ..., y n , n s o lu c io n e s d e la
e c u a c ió n lin e a l h o m o g e n e a L  y   0,
e n u n in te rv a lo I .
E s ta s s o n lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s ,
s i y s ó lo s i,
W
 y1 , y 2 , ..., y n  
p a ra to d a x  I
0
P o r ta n to , la re sp u e sta a la p re g u n ta 1
e s a firm a tiv a : E xiste u n a so lu ció n ú n ica
a l siste m a d e e cu a cio n e s lin e a le s.
L a p re g u n ta 2 n o p u e d e se r re sp o n d id a
d e m a n e ra g e n e ra l, e n o ca sio n e s se rá
p o sib le in te g ra r y e n o tra s n o .
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la solución particular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
R esolver la ecuación
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
2
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolvie n do
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2
dy
 y
dx
e
x
1 x
2
P rim ero d eb em o s reso lver la ecu ació n h o m o g én ea aso ciad a
2
d yh
dx
2
2
dyh
dx
 yh  0.
L a ecu ació n característica es
  2  1  0
2
cu yas raiz es
 1
co n m u ltip licid ad 2 ; p o r tan to ;
y h  x    c1  c 2 x  e
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticul a r
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan res olviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
x
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
e
 x
e

x
x
 dv1  x  
 0
x



xe
dx

x



e
x 


1  x  e   dv 2  x   
2
 1 x

 dx 





x
2
d y
dx
2
2
dy
 y
dx
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
e
 x
e
x
x
 dv1  x  
 0
x



xe
dx

x




e
x 

1  x  e   dv 2  x   
2

 1 x
 dx 
 ex
det  x
e







2x
2x
2x
  1  x  e  xe  e  0
x 
1  x  e 
xe
x
x
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
dx
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
e
 x
e
x
 dv1  x  
 0
x



xe
dx  
x



e
x 

1  x  e   dv 2  x   
2

 1 x
 dx 
 dv1  x  
x

 
1  xe

dx


x
 dv 2  x     e


 dx 
 xe
e
x
x
x
x





x

 0  
2

   1 x
x
 e
 
1

2 
1 x  
2
 1 x






2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
x
 d v1  x   
x
 

2
 dx    1  x
1
 dv2  x   
 

2
x

1

 dx 






x


2

 v1  x  
1 x
  

1

 v2  x  

2
x

1



 dx



x
x


2

 v1  x  
1 x

  
1

 v2  x  

2
 1 x
x
1 x
2
2
ln  1  x
2
sec  d 

2
1
1 x
dx 
1


 dx



2
dx 
 1  tan
2


d




arctan
x

2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
x
 dv1  x   
x
 

2
 dx    1  x
1
 dv 2  x   
 

2
x

1

 dx 






x


2

 v1  x  
1 x
  

1

 v2  x  

2
x

1


1
2 

ln  1  x  

 dx  2




 arctan x 

x
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
x


2

 v1  x  
1 x

  
1

 v2  x  

2
 1 x
yp x 
1
2
ln 1  x
2
x

1
2 

ln 1  x  

 dx  2




 arctan x 

 e  x arctan x e
x
x
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la solución particular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
dx
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
yp x 
1
2
ln  1  x
2
e
x
x
 x arctan x e
x
1
 x
2
y  x    ln 1  x   x arctan x  c1  c 2 x  e
2

x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2
dy
 y
dx
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
dy
dv1

dx
e 
x
dx
dv 2
dx
x
xe  v1 e  v 2 e  v 2 xe
x
x
x
x
E xijim os que
dv1
e 
x
dv 2
dx
xe  0
x
dx
y entonces
dy
dx
 v1e  v 2 e  v 2 xe  v1e  v 2  e  xe
x
x
x
x
x
x

x
2
d y
dx
2
2
dy
 y
dx
e
x
2
1 x
d yh

2
dx
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
2
d y
dx

2
d dy


dx dx
d v1
e 
x
dv2
dx
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
dy
x
x

 v1 e  v 2  2 e  xe
x
dx
 v1e  v 2  e  xe
x
x
d
 v1 e x  v 2  e x  xe x   

dx 
 e  xe
x
x

x
x
E x ijim o s q u e
d v1
e 
x
dx
dv2
e
dx
x
 xe
x

e
x
1 x
2
y p o r tan to
2
d y
dx
2

e
x
1 x
 v1 e  v 2  2 e  xe
x
2
x
x


x
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
dy
dx
e
x
1 x
 v1 e  v 2  e  xe
x
 v1e  v 2  2 e  xe
x
2
x
x
x
x

2
d y
;
dx
  2  v e
1
x
2

e
x
1 x
x
v1  v 2  2  x   2  v1  v 2 1  x     v1  v 2 x   0
¡¡¡¡ 0  0 !!!!
 v1 e  v 2  2 e  xe
 v 2  e  xe
v1  2 v 2  xv 2  2 v1  2 v 2  2 xv 2  v1  v 2 x  0
x
x
2
x
x
     v
x
x

e
1
x
x
 v 2 x  e  
2
1 x
2
d y
dx
2
2
dy
 y 
dx
e
x
2
1 x
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
dv1
e 
x
dx
dv1
dx
dv 2
x
xe  0
x
dx
e 
x
dv 2
dx
e
x
 xe
x

e
x
1 x
2
x
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
2
1 x
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
dv1
e
 x
e

dv 2
dx
dx
dv1
dv 2
dx
x
e 
x
e 
x
dx
x
x
xe  0
x
 e  xe
x

x

xe

x 

x

1
e

 


x

e
x
1 x
2
dv1 
0


dx

x

e
dv 2  
2
 1 x
dx 





2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
2
dy h
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
e
 x
e

x
 dv1
x
  dx
xe


x 
 x  1  e   dv 2

 dx
x

0



x

e

 
2
 1 x






x
e
 x
e
x

x

xe

x 

 x  1 e  


dv1 
0
 
dx
   ex
dv 2  
  1  x2
dx 





W ro n sk ian o
e
x
e
x
xe
x
 x  1 e
x
  x  1 e
2x
 xe
2x
e
2x
0
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
 2
dyh
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
e
 x
e
x







x

xe

x 

 x  1 e  


dv1 

1 x
dx
x 
e 
dv 2 
 1

dx 
x
x
dv1 
0
 
dx
   ex
dv 2  
  1  x2
dx 





x

 0  
2
x 
   1 x
x
 e 
1 
1


2
1 x  
2
 1 x






2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
 2
dyh
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e






d v1  
x
2
 
dx
1 x

dv2  
1
 
2
dx   1  x
x


2

 v1 
1 x
   
1

 v2 

2
 1 x
x
x







1

2 

ln
1

x




d x  2



 arctan x 




2
d y
dx
2
 2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
2
2

d yh
dx
2
 2
dyh
dx
 y h  0  y h  x    c1  c 2 x  e
y p  x    v1  x   v 2  x  x  e
x
1

2
 v1   ln  1  x  

  2
 v 2   arctan x 


1
 x
2
y p  x    ln 1  x   x arctan x  e
2

x
2
d y
dx
2
2
dy
dx
 y 
e
x
1 x
y h  x    c1  c 2 x  e
2
x
1
 x
2
y p  x    ln 1  x   x arctan x  e
2

1
2
y  x    c1  c 2 x  e   ln 1  x   x arctan
2
x
 x
xe

1
 x
x
2
y  x    c1  c 2 x  e   ln 1  x   x arctan x  e
2

1000
800
c1   10
600
1
c2 
2
400
200
10
5
5
200
10
10
5
5
5000
c1  8
c2   4
10000
15000
1
 x
x
2
y  x    c1  c 2 x  e   ln 1  x   x arctan x  e
2

10
R esolver la ecuación
2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2

cos x
sin x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolvie n do
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
 tan x
dy
2

dx
cos x
sin x
P rim ero debem os resolver la ecuación hom ogénea asociada
2
d yh
dx
2
 tan x
dy h
 0.
dx
D ado que la función incognita no aparece , podem os
reducir
el orden haciendo la sustitución
dyh
 u.
dx
E fectivam ente, la ecuación q ueda
du
 u tan x  0
dx
que se puede integrar facilm ente ya que es de variables separables.
du
 u tan x  0
dx
du
  u tan x 
dx

du
u
du
  tan x dx 
u
   tan x dx  ln u  ln  cos x   ln a

u  a cos x
du
 u tan x  0
dx
u  a cos x
du
  a sin x

dx
 a sin x  a cos x
sin x
cos x
00
0
2
d y
dx
2
 tan x
u 
dx
2

cos x
dx
dy
dx
dy h
dy

du
2

sin x
d yh
dx
2
 u tan x  0 
 tan x
dy h
0
dx
u  a cos x
dx
 a cos x 

y h  x   a sin x  b
dy h
dx
dx  a  cos xdx 
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticul a r
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan res olviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2
2

co s x
sin x

d yh
dx
2
 tan x
dyh
0
dx
y h  x   a sin x  b
V ariando las constantes se propone ahora
y ( x )  v1  x  sin x  v 2  x  .
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2

co s x
sin x
2

d yh
dx
2
 tan x
dyh
dx
 0  y h  x   a sin x  b
y p ( x )  v1  x  sin x  v 2  x 
E l W ro n sk ian o es
 sin x

 co s
1

0
y
 sin x
d et 
 co s
1
   co s x
0
así q u e to d o lo q u e h ag am o s a co n tin u ació n
será válid o p ara aq u ellas x tales q u e co s x  0;
es d ecir, x  (2 n  1)

2
co n n  0,1, 2,...
2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2

co s x
sin x
2

d yh
dx
2
 tan x
dyh
dx
 0  y h  x   a sin x  b
y p ( x )  v1  x  sin x  v 2  x 
 sin x

 cos x
 0 
1   v1  x   

2

  cos x 

0   v 2  x   

 sin x 

0

 v1  x  



v
2
 x 1



0


cos x 
 cos 2 x
sin x  

  sin x
cos x 
1
  cos x 


sin x
 

   cos x 

 
2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2

co s x
sin x
2

d yh
dx
2
 tan x
dyh
dx
 0  y h  x   a sin x  b
y p ( x )  v1  x  sin x  v 2  x 
 co s x 
 v1  x   


sin x





v
x


2


  co s x 
 co s x 
 v1  x  
 ln  sin x  



   sin x d x  



v
x


  co s x 
  sin x 
 2



2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2

co s x
sin x
2

d yh
dx
2
 tan x
dyh
dx
 0  y h  x   a sin x  b
y p ( x )  v1  x  sin x  v 2  x 
 v1  x    ln  sin x  



v
x

sin
x


2




y p ( x )  ln  sin x  sin x  sin x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la solución particular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
 tan x
dy
dx
2

co s x
sin x
2

d yh
dx
2
 tan x
dyh
dx
 0  y h  x   a sin x  b
y p ( x )  ln  sin x  sin x  sin x
y ( x )  ln  sin x  sin x  sin x  a sin x  b
y  x   a sin x  b  sin x  sin x ln  sin x 
10
5
20
10
10
5
10
20
y  x   a sin x  b  sin x  sin x ln  sin x 
10
5
20
10
10
5
10
20
R esolver la ecuación
2
d y
dx
2

2 dy
x dx
 y 
1
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolvie n do
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2 dy
1

 y 
x dx
x
D ebem os resolver prim ero la ecuación
hom ogénea asociada
2
d y
dx
2
2 dy

 y 0
x dx
2
d y
dx
2

2 dy
1
 y 
x dx
x
D eb em o s reso lver p rim ero la ecu ació n h o m o g én ea aso ciad a
2
d y
dx
2

2 dy
 y  0
x dx
H acem os el cam bio de variable
de tal m anera que
f  x  1 df  x 
dy
d  f x



2
dx
dx  x 
x dx
x
y
2
d y
dx

2
d dy
d  f  x  1 df  x  





2
dx dx
dx 
x
dx
x

2 f x
x
3
2 df  x  1 d f  x 
 2

dx
x dx 2
x
2
f x
yx 
x
yx 
2
d y
dx
2

2 dy
 y  0
x dx
2
dx
x
3
2
2
dx
2
2

2 f x
x
3
2 df  x  1 d f  x 
 2

dx
x dx 2
x
2
2 df  x  1 d f  x  2  f  x  1 df  x   f  x 
 2

 


0

2
2
dx
x dx
x
x dx 
x
x
x
f x
1 d f x


0
2
x dx
x
d f
x
f  x  1 df  x 
dy
 

2
dx
x dx
x
d y
2 f x
f x
 f 0
2
yx 
2
d y
dx
2
f x
x
2
d f
2 dy
f x
df x

 y  0 dy      1  
2
x dx
dx
x dx
x
2
d y
dx
2

2 f x
x
3
dx
2 df  x  1 d f  x 
 2

dx
x dx 2
x
2
2
d f
dx
2
 f 0
  1  0    i 
2
f
 x   c1 sin x  c 2 co s x
2
 f  0
2
d y
dx
2
2 dy

 y  0
x dx
yx 
f x
x
2
d f
dx
2
 f 0
f  x   c1 sin x  c 2 cos x
sin x
cos x
y h  x   c1
 c2
x
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticul a r
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan res olviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2 dy
1

 y 
x dx
x
D ebem os encontrar ahora una
solución particular de la
ecuación inhom ogénea.
P ara esa función proponem os
sin x
cos x
y p  x   v1  x 
 v2  x 
x
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2 dy
1

 y 
x dx
x
sin x
cos x
y h  x   c1
 c2
x
x
sin x
cos x
y p  x   v1  x 
 v2  x 
x
x
sin x


x

cos x sin x


2
x
 x



cos x sin x 



2
x 
x
cos x
x
dv1 
0

dx   
 1
dv 2   
x
dx 
sin x


x

cos x sin x


2
x
 x



cos x sin x 



2
x 
x
cos x
x
dv1 
0

dx  
 1
dv 2  
x
dx 




W ronskiano:
sin x


x
det 
cos x sin x


2
x
 x


1
 2
cos x sin x
x



2
x 
x
cos x
x
sin x


x

cos x sin x


2
x
 x
sin x


x

cos x sin x

 2
x
 x








cos x sin x 



2
x 
x
cos x
x



cos x sin x

 2 
x 
x
cos x
x
dv1 
dx   cos x  x sin x

dv 2   x cos x  sin x
dx 
dv1 
0

dx
1
dv 2  
x
dx 




1
 cos x  x sin x

 x cos x  sin x
0

x cos x 
 cos x 
 
 1


 x sin x      sin x 
x
x cos x 

 x sin x 





 v1 
 
v
 2
d v1 
d x   co s x 


d v 2    sin x 
dx 
 co s x 
 sin x 
d
x





  sin x
co
s
x




2
d y
dx
2

2 dy
1
 y 
x dx
x
y p  x   v1  x 
sin x
co s x
 v2  x 
x
x
 v1   sin x 
 

v
co
s
x

 2 
2
2
sin x cos x
yp x 

x
x
1
yp x 
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la solución particular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
d y
dx
2
2 dy
1

 y 
x dx
x
sin x
co s x
y h  x   c1
 c2
x
x
1
yp x 
x
1
sin x
cos x
y  x    c1
 c2
x
x
x
1
sin x
cos x
y  x    c1
 c2
x
x
x
4
2
10
2
4
20
30
40
50
1
sin x
cos x
y  x    c1
 c2
x
x
x
4
2
10
2
4
20
30
40
50
R esolver la ecuación
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 3y  5x
4
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolvie n do
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
 3y  5x
4
dx
D ebem os resolver prim ero la ecuación
hom ogénea asociada
2
x
2
d yh
dx
2
x
dy h
dx
 3 yh  0
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
2
 3y  5x  x
4
2
dx
d yh
dx
2
 x
dy h
dx
 3 yh  0
S e trata de una ecuación del
tipo E uler (o E uler-C auchy).
P or tanto, hacem os
xe
t
o bien
t  ln x
y tenem os
dy
dy dt
1 dy


dx
dt dx
x dt
y
2
d y
dx
2
2
d  1 dy 
1 dy 1 d  dy  dt
1 dy
1 d y

 2

 2
 2




2
dx  x dt 
x dt  dt  dx
x dt
x dt
x dt
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
2
 3y  5x  x
4
dx
2
d yh
dx
2
 x
dy h
dx
 3 yh  0
dy
1 dy

dx
x dt
2
d y
dx
2
2
dy 
1 d y
 2

2
d t 
x  dt
A sí que sustituyendo en la ecuación, obt enem os
1  d y dy 
1 dy
x 2

 x
 3y  0

2
dt 
x dt
x  dt
2
2
que queda
2
d y
dt
2
dy
2
 3y  0
dt
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
2
 3y  5x  x
4
dx
2
d yh
dx
2
t  e 
x
d yh
dt
2
2
dyh
dt
2
 x
dyh
dx
 3 yh  0
  2  3  0
2
1  3 y  2   1
y h  t   c1 e
3t
 c2e
t
 3 yh  0
2
x
2
d y
dx
2
x
dy
2
 3y  5x  x
2
dx
2

4
d yh
dt
2
2
d yh
dx
dy h
dt
2
x
dy h
dx
 3 y h  0  y h  t   c1e
3t
 3 yh  0
 c2e
t
P ero recuerden que t  ln x ,
así que
y h  x   c1 e
3 ln x
 c2e
 ln x
 c1 x 
3
c2
x
2
x
2
d y
dx
2
d yh
dt
2
2
 x
2
dy
2
 3y  5x  x
4
dx
dy h
dt
2
d yh
dx
 3 y h  0  y h  t   c1 e
y h  x   c1 x 
3
c2
x

dy h
dx
3t
 3 x c1 
2
 x
2
dx
 c2e
c2
x
dy h
2
t
 3 yh  0 
 y h  x   c1 x 
3
2

d yh
dx
2
 6 xc1 
c2
x
2 c2
x
3
2 c2 
c2 
c2 

 2

3
x  6 xc1  3   x  3 x c1  2   3  c1 x 
0

x 
x 
x 



2
6 x c1 
3
00
2 c2
x
 3 x c1 
3
c2
x
 3 c1 x  3
3
c2
x
0
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticul a r
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan res olviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
x
2
d y
dx
2
x
dy
dx
 3 y  5 x  y h  x   c1 x 
4
3
y p  x   v1  x  x 
3
c2
x
v2  x 
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 3 y  5 x  y h  x   c1 x 
4
3
y p  x   v1  x  x 
3
c2
x
v2  x 
x
La m atriz "W ronskiana" es
 3
x


 3x2

1 
x 

1
 2
x 
y el determ inante (el W ronskiano propiam ente dicho) es
 3
x

det 
 3x2

1 
x 
  4 x
1
 2
x 
x  0
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 3 y  5 x  y h  x   c1 x 
4
3
y p  x   v1  x  x 
3
 3
x


 3x2

1   dv1
x   dx

1  dv 2
 2
x   dx

 dv1
  0   dx
   4  
  5 x   dv 2

 dx
c2
x
v2  x 
  3
x
 

  3x2
 

 5 
x
 v1   4 
 

 v2    1 x 5 
 4 
x
1
1 
 5 
x   0   4 
  4

1
5
x
5
   x4 
 2 
 4 
x 
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 3 y  5 x  y h  x   c1 x 
4
y p  x   v1  x  x 
3
5
yp x  
4
v2  x 
x
3
y
c2
x
 5
x

 v1 
4
 
 v2    1 x 5

 4






 3
 1 5  1  5 4 1 4
4
x  x     x    x  x  x
4

 4  x  4
yp x  x
4
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la solución particular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
 3y  5x
4
dx
y h  x   c1 x 
3
yp x  x
c2
x
4
y  x   x  c1 x 
4
3
c2
x
y  x   x  c1 x 
4
3
 6, 9 
4
c2
x
50
2
2
50
4
R esolver la ecuación
2x
dy
dx
 y  3x
2
R eso lver la ecu ació n
2x
dy
dx
 y  3x 
2
dy
dx

1
2x
y 
3
2
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolvie n do
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2x
dy
 y  3x 
2
dx
dy
dx

1
2x
y 
3
x
2
D ebem os resolver prim ero la ecuación
hom ogénea asociada
dy
1

y 0
dx 2 x
2x
dy
 y  3x 
2
dx
dx

dx

1
yh
2x
1 dyh
dx 
yh dx
ln y h 
1
yh  x   c
x
2x

2x

yh dx
1

2
dx
x

y 
3
x
2
yh  0
1 dyh
ln x  ln c
2

1
1

dx
dyh
dyh
dy
1
2x

1
yh
dyh 
1
2

dx
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuen tra  ?  la solución general de la ecuación hom ogén ea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticul a r
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan res olviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general es
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2x
dy
 y  3x 
2
dx
dyh
dx
dy
dx

1
2x

1
y 
2x
yh  0  yh  x   c
yp  x  v x
3
x
2
x
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la so lución par ticular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2x
dy
dx
dyh
 y  3x 
2
dy
dx

dx
1
2x

1
y 
2x
yh  0  yh  x   c
yp x  vx
y la ecuación queda
x
dx

3
2
x
2
x
x
E l W ronskiano es
dv
3
x,
x
2x
dy
dx
dyh
 y  3x 
2
dy
dx

dx
1
2x
x

dx
3
2

vx  x
y 
2x
3/2
x

3
x
2
yh  0  yh  x   c
yp x  vx
dv

1
x
x
dv
dx

3
2
x
2x
dy
dx
dyh
dx
 y  3x 
2
dy

dx

1
2x
1
y 
2x
yh  0  yh  x   c
yp x  vx
vx  x
x
3/2

yp x  x
2
3
2
x
x
2
d y
dx
2
 a1  x 
dy
dx
 a0  x  y    x 
1. S e encuentra  ?  la solución general de la ecuación hom ogénea
y h  x   c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2. S e propone para la solución particular
y p  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x 
3. Las funciones v1  x  y v 2  x  se calculan resolviendo
 y1  x 

 y1  x 
y 2  x    v1  x    0 






x
y2  x    v2  x      
4. La solución general e s
y  x   v1  x  y 1  x   v 2  x  y 2  x   c 1 y 1  x   c 2 y 2  x 
2x
dy
dx
dyh
dx
 y  3x 
2
dy

dx

1
2x
1
y 
2x
yh  0  yh  x   c
yp x  x
2
yx  x  c x
2
3
2
x
x
yx  x  c x
2
15
10
5
5
5
5
10
15
yx  x  c x
2
15
10
5
2
1
1
5
10
15
2
R esolver la ecuación
2
d y
dy

b
x

c
x
y

0




2
dx
dx
cuando se conoce una solución
y1  x 
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
Proponem os que la segunda solución
de la ecuación hom ogénea sea
y 2  x   u  x  y1  x 
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
S e propone com o segunda solución y 2  x   u  x  y1  x 
2
u
d y1
dx
2
2
u
d y1
dx
2
2
 dy1
du 
d u
du dy1
 c  x  uy1  0
 y1
 b  x  u
 y1
2
2

dx 
dx dx
dx
 dx
2
 dy1
du 
d u
du dy1
 c  x  uy1  0
 y1
 b  x  u
 y1
2
2

dx 
dx dx
dx
 dx
2

 d 2 y1
dy1
du
du dy1
d u
0
x
b
y

2

y

y
x
c

x
b

u
  1 1 2
 
1  
2
dx
dx dx
dx
dx

 dx
2
du
du dy1
0
x
b
y

2

y1
1  
2
dx
dx dx
dx
d u
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cx y  0
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogén ea.
S e propone y  x   u  x  y1  x 
S e obtiene entonces la ecuación
2
du dy1
du
y1
2
 y 1b  x 
0
2
dx dx
dx
dx
d u
que es de segundo orden, pero la
variable independiente u  x  N O A P A R E C E ,
así que podem os reducir el orden.
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
2
du dy1
du
y  x   u  x  y1  x   y1

2

y
b
x
0
1  
2
dx dx
dx
dx
d u
H acem os
du
v
dx
y se obtiene entonces la ecuación
dy1
dv
y1
 2v
 y 1b  x  v  0
dx
dx
que es de P R IM E R orden, de variables sep arables.
2
d y
dx
2
 bx
dy
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
y  x   u  x  y1  x   y1
2
d u
dx
2
2
du dy1
du
 y 1b  x 
0
dx dx
dx
dy
du
dv
 v  y1
 2 v 1  y 1b  x  v  0
dx
dx
dx
M ultiplicando por y1 tenem os
d y1
dv
2
y
 v 2 y1
 y1 b  x  v  0
dx
dx
2
1
y notam os que
d y1
d
2
2 dv
y1 v   y1
 v 2 y1

dx
dx
dx
así que queda
d
2
2
y1 v   b  x  y1 v  0

dx
2
d y
dx
2
 bx
dy
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
y  x   u  x  y1  x   y1
2
d u
dx
2
2
du dy1
du
 y 1b  x 
0
dx dx
dx
dy
du
dv
d
2
2
 v  y1
 2 v 1  y 1b  x  v  0 
y1 v   b  x  y1 v  0

dx
dx
dx
dx
A hora hacem os
y vx  f x
2
1
y tenem os
df
 bx f  0
dx
ecuación de prim er orden lineal
hom ogénea de variables separables.
2
d y
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
2
dx
dx
2
du dy1
du
y  x   u  x  y1  x   y1 2  2
 y 1b  x 
0
dx dx
dx
dx
d u
dy1
du
dv
d
2
2
 v  y1
 2v
 y 1b  x  v  0 
y
v

b
x
y
  1v  0

1 
dx
dx
dx
dx
df
y vx  f x 
 bx f  0
dx
2
1
df
 bx f  0
dx
df
 b  x  f
dx
df
  b  x  dx
f
x
ln f    b    d 
x0
 x

f  x   exp    b    d  
 x 0

x


df
 b  x  f  0  f  x   exp    b    d  
dx
 x0

f x  y
2
1
 xv x
x


1
vx  2
exp    b    d  
y1  x 
 x0

x


df
 b  x  f  0  f  x   exp    b    d  
dx
 x0

x


1
2
f  x   y1  x  v  x   v  x   2
exp    b    d  
y1  x 
 x 0

x


du
1
 vx  2
exp    b    d  
dx
y1  x 
 x 0

P or lo tanto,
x
u x 

x0



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

 x

df
 b  x  f  0  f  x   exp    b    d  
dx
 x 0

x


1
2
f  x   y1  x  v  x   v  x   2
exp    b    d  
y1  x 
 x 0

du
 vx  u x 
dx
x

x0



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

Finalm ente
y  x   y1  x  u  x 
así que
x
y  x   y1  x  
x0



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
y  x   u  x  y1  x   y1
2
d u
dx
2
2
du dy1
du
 y 1b  x 
0
dx dx
dx
dy1
du
dv
d
2
2
 v  y1
 2v
 y 1b  x  v  0 
y
v

b
x
y
v0



1 
1
dx
dx
dx
dx
 x

df
2
y1 v  x   f  x  
 b  x  f  0  f  x   exp    b    d  
dx
 x 0

 x

f  x  y xvx  vx  2
exp    b    d  
y1  x 
 x 0

1
2
1
du
 vx  u x 
dx
x

x0



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

x
y  x   y1  x  u  x   y  x   y1  x  
x0



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
x
y  x   y1  x  
x0



1
exp    b    d  d 
2
y1   
  0

R eso lver la ecu ació n
2
d y
dx
2
dy
2
 4x
 4x  2 y  0
dx
d ad a la so lu ció n
y1  x   e
x
2
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
x
y  x   y1  x  
x0



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

R eso lver la ecu ació n
2
d y
dx
2
dy
2
 4x
 4x  2 y  0
dx
d ad a la so lu ció n
y1  x   e
x
2
2
d y
dx
2
 bx
dy
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
x
y  x   y1  x  
x0
2
2
dy
2
x
 4x
  4 x  2  y  0 co n o cid a y1  x   e
dx
d y
dx
2
x
y 2  x   y1  x 

x0
x
y2  x   e
x
2
e
x0
x
e
x



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

2
e
x0
1
2
2
 
ex p  4   d 
 x 0

d  

x
1
2



1
ex p    b    d   d 
2
y1   
 x 0

ex p  2   d   e
2
2
x
2
 d
x0
 xe
x
2
2
d y
dx
 bx
2
dy
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
x
y  x   y1  x  
x0
2
d y
dx
2



1
exp    b    d   d 
2
y1   
  0

2
dy
2
x
 4x
  4 x  2  y  0 conocida y1  x   e
dx
y 2  x   xe
x
2
L a solución general es
y  x   c1 e
x
2
 c 2 xe
x
2
y  x   c1e
x
2
 c 2 xe
x
  1 0,  1 0 
2
60
40
20
1.5
1.0
0.5
0.5
20
40
60
1.0
1.5
y  x   c1e
x
2
 c 2 xe
x
  1 0,  5 
2
40
20
2
1
1
20
40
2
y  x   c1e
x
2
 c 2 xe
x
 5, 4 
2
40
20
2
1
1
20
40
2
R esolver la ecuación
2
d y
dy

b
x

c
x
y


x






2
dx
dx
cuando se conoce una solución
y1  x 
de la ecuación hom ogénea asociada.
2
d y
dx
2
dy
 bx
 cx y   x
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogén ea
P roponem os que la solución general
de la ecuación inhom ogénea sea
y  x   u  x  y1  x 
A hora sí, aguas con las constantes de in tegración.
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y    x  dada la solución y1  x 
dx
S e propone com o solución y  x   u  x  y1  x 
2
u
d y1
dx
2
2
u
d y1
dx
2
2
 dy1
du dy1
d u
du 
2
 y1

b
x
u

y
 c  x  uy1    x 
 
1
2

dx dx
dx 
dx
 dx
2
 dy1
du dy1
d u
du 
2
 y1

b
x
u

y
 c  x  uy1    x 
 
1
2

dx dx
dx 
dx
 dx
2
 d 2 y1

dy1
d u
du dy1
du
u

b
x

c
x
y

y

2

y
b
x
 
  1 1 2
   x
1 
2
dx
dx dx
dx
dx
 dx

2
y1
d u
dx
2
du dy1
du
2
 y 1b  x 
  x
dx dx
dx
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cx y   x
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogén ea.
S e propone y  x   u  x  y1  x 
S e obtiene entonces la ecuación
2
du dy1
du
y1
2
 y 1b  x 
  x
2
dx dx
dx
dx
d u
que es de segundo orden, pero la
variable independiente u  x  N O A P A R E C E ,
así que podem os reducir el orden.
2
d y
dx
2
dy
 bx
 cx y   x
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogé nea
2
du d y1
du
y  x   u  x  y1  x   y1

2

y
b
x
  x
1  
2
dx dx
dx
dx
d u
H acem os
du
v
dx
y se obtiene entonces la ecuación
dy1
dv
y1
 2v
 y 1b  x  v    x 
dx
dx
que es de P R IM E R orden, de variables sep arables.
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cx y   x
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogé nea
y  x   u  x  y1  x   y1
2
d u
dx
2
2
du d y1
du
 y 1b  x 
  x
dx dx
dx
dy
du
dv
 v  y1
 2 v 1  y 1b  x  v    x 
dx
dx
dx
M ultiplicando por y1 tenem os
d y1
dv
2
y
 v 2 y1
 y1 b  x  v    x 
dx
dx
2
1
y notam os que
d y1
d
2
2 dv
y1 v   y1
 v 2 y1

dx
dx
dx
así que queda
d
2
2
y
v

b
x
y
  1v   x

1 
dx
2
d y
dx
2
 bx
dy
 cx y   x
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogé nea
2
du d y1
du
y  x   u  x  y1  x   y1

2

y
b
x
  x


1
2
dx
dx
dx
dx
d u
d y1
du
dv
d
2
2
 v  y1
 2v
 y 1b  x  v    x  
y1 v   b  x  y1 v    x 

dx
dx
dx
dx
A hora hacem os
y1 v  x   f  x 
2
y tenem os
df
 bx f   x
dx
ecuación de prim er orden lineal
N O hom ogénea.
2
d y
dy
 bx
 cx y   x
2
dx
dx
dada la solución y1  x  de la ecuación hom ogénea
2
du dy1
du
y  x   u  x  y1  x   y1 2  2
 y1b  x 
  x
dx dx
dx
dx
d u
dy1
du
dv
d
2
2
 v  y1
 2v
 y 1b  x  v    x  
y
v

b
x
y
v   x



1 
1
dx
dx
dx
dx
y1 v  x   f  x  
2
df
 bx f   x
dx
df
 bx f   x
dx


 x

 x
x
f  x   c exp    b    d    exp    b    d        exp   b    d   d 






df
 bx f   x 
dx


 x

 x
x
f  x   c exp    b    d    exp    b    d        exp   b    d   d 






f  x   y1  x  v  x 
2

x
x
x






1
1
vx  2
c exp    b    d    2
exp    b    d        exp   b    d   d 
y1  x 



 y1  x 


df
 bx f   x 
dx


 x

 x
x
f  x   c exp    b    d    exp    b    d        exp   b    d   d 






f  x   y1  x  v  x  
2

x
x
x






1
1
vx  2
c exp    b    d    2
exp    b    d        exp   b    d   d 
y1  x 



 y1  x 


du
 vx
dx
P or lo tanto,
 1
 

1
u x    2
c exp    b    d    2
y 

 y1  
x0 
 1 
x
 



exp    b    d        exp   b    d   d 






d 

df
 bx f   x 
dx


 x

 x
x
f  x   c exp    b    d    exp    b    d        exp   b    d   d 






f  x   y1  x  v  x  
2


 x

 x
x
1
vx  2
c exp    b    d    2
exp    b    d        exp   b    d   d 
y1  x 



 y1  x 


1
du
 vx 
dx
 1
u x    2
 y1  
x0 
x
 

1
c exp    b    d    2


 y1  
 



exp    b    d        exp   b    d   d 






d 

Finalm ente
y  x   y1  x  u  x 
así que

 1
y  x   y1  x    2
y 
x0 
 1 
x
 

1
c exp    b    d    2


 y1  
 



exp    b    d        exp   b    d   d 







d 


df
 bx f   x 
dx


 x

 x
x
f  x   c exp    b    d    exp    b    d        exp   b    d   d 






f  x   y1  x  v  x  
2

x
x
x






1
1
vx  2
c exp    b    d    2
exp    b    d        exp   b    d   d 
y1  x 



 y1  x 


du
 vx 
dx
 1
 

 



1
u x    2
c exp    b    d    2
exp    b    d        exp   b    d   d 
y 

 y1   




x0 
 1 
x

d 

y  x   y1  x  u  x  



 1
 





1
y  x   y1  x    2
c exp    b    d    2
exp    b    d        exp   b    d   d 

 y1   




 y1   
x0 
x

d 

R esolver la ecuación
1  x  y '' xy '
y  2  x  1 e
2
x
cuando se conoce la solución
y1  x   e
x
de la ecuación hom ogénea asociada.
1  x  y ''
xy ' y  2  x  1  e
2
x
y1  x   e
x
y e u
x
dy
x
x du
e ue
dx
dx
2
d y
dx
2
2
du
x d u
 e u  2e
e
2
dx
dx
x
x
2
2 x
 x
du
d
u
 x
x
x
x du 
x
1

x
e
u

2
e

e

x
e
u

e

e
u

2
x

1



 e


2 
dx
dx 
dx 


2
2 2 x

du d u 
du 

1  x   u  2  2   x  u    u  2  x  1  e
dx
dx 
dx 


2
2
2 2 x
du d u
du
d u
du
u2

 xu  2 x
 x
 xu  x
 u  2  x  1 e
2
2
dx
dx
dx
dx
dx
2
d u
2 2 x
du
1  x  2   2  x   2  x  1  e
dx
dx
1  x  y '' xy ' y  2  x  1  e
2
x
y1  x   e
x
2
2 2 x
du
y  e u  1  x 
 2  x
 2  x  1 e
2
dx
dx
x
d u
du
z 
dx
2 2 x
dz
1  x    2  x  z  2  x  1  e
dx
1  x  y ''
xy ' y  2  x  1  e
2
x
y1  x   e
2
2 2 x
du
y  e u  1  x  2   2  x 
 2  x  1 e
dx
dx
x
d u
x
2 2 x
du
dz
z
 1  x 
  2  x  z  2  x  1 e
dx
dx
2
dz
2 x
1  x    2  x  z  2  x  1  e
dx
1  x 
dz h
1  x 
dz h
dz h
zh
dx
dx
  2  x  zh  0
   2  x  zh
2 x
1 


dx    1 
 dx
1 x
1 x 

ln z h   x  ln  1  x   ln c
z h  c1  1  x  e
x
2
dz
2 x
1

x

2

x
z

2
x

1
e






dx
z h  c1  1  x  e
z p  v  x  1  x  e
dz p
dx

x
x
dv
1  x  e  x  ve  x  v 1  x  e  x
dx
2 2 x
 dv
x
x
x 
x
1  x   1  x  e  ve  v 1  x  e    2  x   v 1  x  e   2  x  1  e
 dx

dv
1  x   v  v 1  x    2  x  v   2  x  1  e  x
dx
dv
1  x   v  v  xv  2 v  xv   2  x  1  e  x
dx
dv
x
 2e
dx
v  2e
x
2
dz
2 x
1  x    2  x  z  2  x  1  e
dx
z h  c1  1  x  e
z p  v  x  1  x  e
z p  2e
x
1  x  e
x
x
x
con v   2 e
x
  2 1  x  e
2 x
1  x 
2
dz
2 x
  2  x  z  2  x  1 e
dx
z h  c1  1  x  e
z p   2 1  x  e
z  x   c1  1  x  e
x
x
2 x
 2 1  x  e
2 x
1  x  y ''
xy ' y  2  x  1  e
2
x
y1  x   e
2
2 2 x
du
y  e u  1  x  2   2  x 
 2  x  1 e
dx
dx
x
d u
x
2 2 x
du
dz
z
 1  x 
  2  x  z  2  x  1 e
dx
dx
z  x   c1  1  x  e
x
 2 1  x  e
2 x
1  x  y ''
xy ' y  2  x  1  e
2
y1  x   e
x
x
2
d u
2 2 x
du
y  e u  1  x  2   2  x 
 2  x  1 e
dx
dx
2 2 x
du
dz
z
 1  x 
  2  x  z  2  x  1 e
dx
dx
x
z  x   c1  1  x  e
z
x
 2 1  x  e
2 x
du
x
2 x
x
x
2 x
2 x
 c1  1  x  e  2 1  x  e  c1e  c1 xe  2 e  2 xe
dx
u  x   c1  e dx  c1  xe dx  2  e
x
  c1e
x
x
 c1  1  x  e
u  x   c1 xe
x
x
e
2 x
2 x
dx  2  xe
2 x
dx 
1  2 x
1 2 x

x
2 x
  x   e  c 2  c1 xe  e  xe  c 2
2
2

1
 2 x
   x  e  c2
2

1  x  y ''
xy ' y  2  x  1  e
2
y  e u  1  x 
x
2
d u
2
 2  x
x
y1  x   e
x
2
du
2 x
 2  x  1 e
dx
dx
2
du
dz
2 x
z 
 1  x 
  2  x  z  2  x  1 e
dx
dx
z  x   c1  1  x  e
u  x   c1 xe
x
x
 2 1  x  e
2 x
1
 2 x
   xe
 c2
2

ye u
x

1
 x
y  x   c1 x  c 2 e    x  e
2

x
1  x  y '' xy ' y  2  x  1  e
2
x
y1  x   e
2
2
du
2 x
y  e u  1  x 
 2  x
 2  x  1 e
2
dx
dx
x
d u
x
2
du
dz
2 x
z 
 1  x 
  2  x  z  2  x  1 e
dx
dx
z  x   c1  1  x  e
u  x   c1 xe
x
x
 2 1  x  e
2 x
1
 2 x
   xe
 c2
2

1
 x
y  x   c1 x  c 2 e    x  e
2

x
1  x  y '' xy '
y  2  x  1 e
2
x
y1  x   e
1
 x
y  x   c1 x  c 2 e    x  e
2

x
x
1  x  y '' xy '
y  2  x  1 e
2
x
1
 x
; y 1  x   e  y  x   c1 x  c 2 e    x  e
2

x
x
60
  1 0,  1 0 
40
20
3
2
1
1
20
40
60
2
3
1  x  y '' xy '
y  2  x  1 e
2
x
1
 x
; y 1  x   e  y  x   c1 x  c 2 e    x  e
2

x
x
60
 7, 10 
40
20
3
2
1
1
20
40
60
2
3
1  x  y '' xy '
y  2  x  1 e
2
x
1
 x
; y 1  x   e  y  x   c1 x  c 2 e    x  e
2

60
x
x
40
20
3
2
 7, 6 
1
1
20
40
60
2
3
R esolver la ecuación
2
d y
x

1

2
 dx 
2
2
d y
x
1
2 
 dx 
2
D ado que no aparece la función incógnita y  x  ,
podem os reducir en uno el orden con la s ustitución
dy
u 
dx
La ecuación queda
2
 du 
x
 1
 dx 
que es de prim er orden y de variables se parables.
2
d y
x
1
2 
 dx 
2
2
u 
du

dx
u 

dy
 du 
 x
 1
dx
 dx 
x 1
3/2
2
x  1dx    x  1   c1
3
y por tanto
3/2
5/2
2 2
 2

y     x  1   c1 dx     x  1   c1 x  c 2
 3

3 5
5/2
4
yx  
 x  1   c1 x  c 2
15
2
d y
x

1
2 
 dx 
2
5/2
4
yx  
 x  1   c1 x  c 2
15
R esolver la ecuación
3
x
3
d y
dx
3
2
 3x
2
d y
dx
2
dy
 6x
 6y  0
dx
3
x
3
d y
dx
3
2
 3x
2
d y
dx
2
dy
 6x
 6y  0
dx
E s claro que se trata de una ecuación de E uler,
así que el cam bio de variable
x  e  z  ln x
z
la vuelve de coeficientes constantes.
3
x
3
d y
dx
3
2
 3x
2
d y
dx
2
dy
 6x
 6y  0
dx
x  e  z  ln x
z
E n efecto, se tiene
dy dy dz 1 dy


dx dz dx x dz
2
2
d  1 dy 
1 dy 1 d  dy 
1 dy 1 d  dy  dz
1 dy
1 d y











 x dz 
 dz 
 dz  dx
2
2
2
2
2
2
dx
dz
x
dx
dz
x
dz
dz
dx
x
x
x
x dz






d y
2
1  d y dy 
 2 2 
dz 
x  dz
3
d y
d

3
dx
dx
2
2
 1  d 2 y dy  
2  d y dy  1 d  d y dy 
 2  2  dz     3  2  dz   2 dx  2  dz  
x  dz

 x
 dz

 x  dz
2
2
2
3
2
2  d y dy  1 d  d y dy  dz
2  d y dy  1  d y d y 
 3 2 

  2 dz  2  dz  dx   3  2  dz   3  3 
2 
dz
x  dz
x  dz
dz 
 x
 dz

 x  dz
3
2
d y
dy 
1 d y
 3 3 3 2 2
dz 
x  dz
dz
3
x
3
d y
dx
3
2
 3x
d y
2
dx
2
dy
 6x
 6y  0
dx
x  e  z  ln x
z
dy
1 dy

dx
x dz
2
d y
dx
2
3
d y
dx
3
2
1  d y dy 
 2

2
dz 
x  dz
3
2
d y
dy 
1 d y
 3

3

2
3
2
dz 
x  dz
dz
que al ser sustituidos en la ecuación dan
2

d y
d y
dy
d y dy 
dy
3
2
 3

6
 6y  0

3
2
2
dz
dz 
dz
dz
dz
 dz
3
2
que se reduce a
3
d y
dz
3
2
6
d y
dz
2
dy
 11
 6y  0
dz
3
d y
dz
3
2
6
d y
dz
2
dy
 11
 6y  0
dz
  6   11  6  0
3
2
  1, 2, 3
y  z   c1 e  c 2 e
z
2z
 c3e
3z
3
x
3
d y
dx
3
2
 3x
2
d y
dx
3
xe 
z
d y
dz
3
2
dy
 6x
 6y  0
dx
2
6
d y
dz
2
dy
 11
 6y  0
dz
y  z   c1 e  c 2 e
z
y  c1 e
ln x
 c2e
2 ln x
 c3e
3 ln x
2z
 c3e
3z
 c1 x  c 2 x  c 3 x
2
3
2
3
x
3
d y
dx
3
 3x
2
d y
dx
2
dy
 6y  0
 6x
dx
y  c1 x  c 2 x  c 3 x
2
3
R esolver la ecuación
2
d y
dx
2
1
 4y 
cos 2 x
2
d y
dx
2
1
 4y 
cos 2 x
2
d yh
dx
2
 4 yh  0
 40
2
   2i
y h  x   c1 ex p   2 ix   c 2 ex p   2 ix 
y h  x   a1 co s  2 x   a 2 sin  2 x 
2
d y
dx
1
 4y 
cos 2 x
2
y h  x   a1 cos  2 x   a 2 sin  2 x 
 co s  2 x 
d et 
  2 sin  2 x 
 co s  2 x 

  2 sin  2 x 





sin  2 x  
 2 0
2 co s  2 x  

sin  2 x   

2 co s  2 x   

d v1  
co s  2 x 


dx

dv2 
 sin  2 x 
dx  
d v1 
0


dx

1
dv2  
 co s 2 x
dx 
1

0
sin  2 x  

2


1

1
co s  2 x    co s 2 x
2


1

ln
co
s
2
x



 v1   4
 

v
x
 2 


2





 1 sin 2 x


 2 co s 2 x



1
 

2





2
d y
dx
2
1
 4y 
cos 2 x
y h  x   a1 cos  2 x   a 2 sin  2 x 

1
x
2
cos
ln



 v1   4
 

v
x
 2 


2

yp x 
1
1
ln  cos 2 x  cos  2 x   x sin  2 x 
2
4
1
1
y  x   ln  cos 2 x  cos  2 x   x sin  2 x   a1 cos  2 x   a 2 sin  2 x 
2
4
R esolver la ecuación
2
dy
3
2
x

1

2
x

4
x
exp
x




2
dx
dx
d y
2
2
dy
d
y
dy
1

2
x
2
3
2
2
2
x

1

2
x

4
x
exp
x



4
x
exp
x






2
2
dx
x
dx
dx
dx
2
2
d y
2
d yh
dx
u 
2
2
1  2 x dy h

0
x
dx
du 1  2 x

u 0
dx
x
2
dy h

dx
du 1  2 x
1


dx    2 x  dx
u
x
x

2
u  c1 x exp  x
2


y h  x   c1  x exp  x
yh  x  
c1
2
exp  x
dy h
2
2
dx
 dx
c
2

ln u  ln x  x  ln c1
 c1 x exp  x

2
2

2
c1
dy
d y 1  2 x 2 dy
3
2
2
2
2
x

1

2
x

4
x
exp
x



4
x
exp
x

y
x

exp
x
 c2










h
2
2
dx
x
dx
2
dx
dx
2
d y
2
1
2
ex p  x 

d et 2

 x ex p  x 2 

1
2
ex p  x 
2

 x ex p  x 2 






d v1   0

dx 

dv2  
d x   1
 v1 
 
 v2 

2

  x ex p  x 

0

1
dv
 1
1  dx

  dv
0 2
  dx

0

 


 4 x 2 ex p  x 2  
 



2
0
4x
 

x ex p  x   



2
2
2



  4 x ex p  x     2 x ex p  x  
1


2x

1
2
4x


2x


   2 x ex p  x 2   d x    ex p  x 2  




y p  x   x ex p  x
2
2
  ex p  x   ex p  x  x
2
2
2
 1
2
dy
d
y
dy
1

2
x
2
3
2
2
2
x

1

2
x

4
x
exp
x



4
x
exp
x







2
2
dx
x
dx
dx
dx
2
2
d y
yh  x  
y p  x   x exp  x
2
y  x   ex p  x
2
2
c1
2
exp  x
  exp  x
 x
2
2
2

c
2
 exp  x
 1 
c1
2
2
 x  1 
2
ex p  x
2
c
2
R esolver la ecuación
2
x
d y
dx
2
dy
3

 4x y  0
dx
para x  0, conociendo que
y1  x   sin x
2
es una solución.
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
x
y  x   y1  x  
x0



1
exp    b    d  d 
2
y1   
  0

2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
2
x
d y
dx
x
y  x   sin x
2

x0
x
 sin x
2

x0
2

dy
3
 4x y  0
dx
x

y  x   y1  x  
x0
y1  x   sin x
 

exp    b    d   d 
2
y1   
  0

1
2


d 
1
exp   
d  
2
2

 sin  
  0



1
 sin  


2
2
exp  ln  d   sin x
x
2

x0
 d
 sin  


2
2

2 d 
 sin  


2
 

2
d   2 d 

2
2 d 
 sin  


2
2

2
d
 sin
2
 sin   cos   d 


2
sin 
2
f g  fg 
d f

2
dx g
g


 cos  D  sin    sin  D  cos    d 
sin 
2
2 d 
 sin  


2
2

cos 
2
sin 
2
d cos 
cos 
 
d  
d  sin 
sin 
2
d y
dx
2
dy
 bx
 c  x  y  0 dada la solución y1  x 
dx
2
x
d y
dx
2

2

x0
y  x   y1  x  

x0
dy
3
 4x y  0
dx
x
y  x   sin x
x
y1  x   sin x
 

exp    b    d   d 
2
y1   
  0

1
2
 d
 sin  


2
2
com o
x

x0
 d
2
1 cos x

2
2
2
2
sin
x
 sin  


finalm ente
1
1
2
2
2
y  x    sin x cot  x    cos x
2
2
2
x
d y
dx
2
dy
3

 4x y  0
dx
y1  x   sin x
y  x   c1 sin x  c 2 cos x
2
2
2
Ecuación diferencial lineal
no homogénea
Resolver la ecuación
homogénea asociada
Encontrar una solución
particular
Ecuación diferencial lineal homogénea
Coeficientes
constantes
Ecuación
característica
Coeficientes
variables
Reducción del orden por la forma
Ecuación del tipo Euler
Inspiración
Reducción del orden por conocer una
solución
Solución mediante series de potencias
Encontrar una solución particular de la ecuación no
homogénea
Coeficientes constantes
Coeficientes
indeterminados
Variación de
parámetros
Coeficientes variables
Variación de
parámetros
2

d 
2
2 m dx
2

2
d 
2
2 m dx
2

1
kx   E 
2
2

1
2
  kx  E    0

2
E 

0
B  0
E 
B
t
  B   0 J   0 0
E
t
E 

0
B  0
B  0
E 
B
t
  B   0 J   0 0

E
t
B  A
E 

0
B  0
E 
B
B  0
t
  B   0 J   0 0
E 

E
B A
t

 A
t
  E   
E 

A
t
A
t
0

A 
E 
0
t 

E 

0
B  0
E 
B
B  0 B   A
t
  B   0 J   0 0
E
t

A 
A
E 
  
0 E
t 
t

E 

0
E 
B
B  0 B   A
t

A 
E 
0
t 

  B   0 J   0 0
B  0
E
t
E
A
t
  

A 
    

t 

    A   0 J   0 0
t


 A
  
2
   A   A   0 J   0 0 
   0 0
2

t

t



2

 A
2
 A   0 0
2
t
2



   0 J     0 0
   A
t


E 

0
B  0
E 
B
B  0 B   A
t

A 
E 
0
t 

  B   0 J   0 0
 A
2
 A   0 0
2
t
2
E
t
E
A
t
  



   0 J     0 0
   A
t


L a n o rm a (g a u g e ) d e L o re n tz:
 0 0

t
A0
E 

E 
0
B
B  0 B   A
t

A 
E 
0
t 

  B   0 J   0 0
B  0
 A
2
 A   0 0
2
t
2
E
t
E
A
t
  



   0 J     0 0
   A
t


L a n o rm a (g a u g e ) d e L o re n tz:
 A
 0 0

t
A0
2
 A   0 0
2
t
2
 0J
E 

0
B  0
E 
  
2
E 
B
B  0 B   A
t

A 
E 
0
t 

  B   0 J   0 0


 A
t
t
E
A
t
  

A  
     


t   0


0
E



0
E 

E 
0
B
B  0 B   A
t

A 
E 
0
t 

  B   0 J   0 0
B  0
  
2

 A
t



E
E
t
 0 0
0

t
A
t
A0
 

    0 0


t 
2

  

t
0
 
2
    0 0
2
t
2


0
  
E 

0
B  0
E 
B
t
 0 0
  B   0 J   0 0
E
    0 0
t
A0
t
 
2
2

t
2
 A


0
2
 A   0 0
2
t
2
 0J
1  f
2
 f 
2
v
2
t
2
 
1  f
2
 f 
2
v
2
t
2
0
1  f
2
 f 
2
v
2
t
2
0
f  r , t     r  exp  i t 
1  f
2
 f 
2
v
2
t
2
0
f  r , t     r  exp  i t 
f  r , t     r  exp  i t 
exp  i t    
2
  k  0
2

2
2
k
2

0

2
v
2
exp  i t   0

2
k
2

0

2
k
2

0
1   2  
1
 
 
1

2
k 0
r
 2
 sin 
 2 2
2
2
r  r   r  r sin    
   r sin   
2
1   2  
1
 
 
1

2
r

sin



k
 0




2
2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
S E P A R A C IÓ N D E V A R IA B L E S
S e p ro p o n e la so lu ció n co m o
  r , ,    R  r  Y  ,  
1   2  
1
 
 
1

2
r

sin



k
 0




2
2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
  r , ,    R  r  Y  ,  
 Y
R
Y 
 
R
Y d  2 dR 
2
RY  0
k



sin

r




2
2
2
2
2
   r sin   
r dr  dr  r sin    
2
1 1 
1 d  2 dR 
2 2
k r 
r
sin  Y  
R dr  dr 
1 1  Y
Y 

0

 sin 
2
2
   si n  Y  

2
1 1  Y
Y 
1 1  
1 d  2 dR 
2 2
0

 si n 
k r 
r
2
2
   s in  Y  
sin  Y   
R dr  d r 
2
1 d  2 dR 
1
 
Y 
1
 Y
2 2
0
r
k r 
 sin 

2
2
R dr 
dr 
Y sin    
   Y sin   
2
1 d  2 dR 
2 2
  k r  l  l  1
r
dr 
R dr 
y
 Y
1
Y 
 
  l  l  1

 sin 
2
2
   Y sin   
Y sin    
1
2
d  2 dR 
2 2
r
  k r R  l  l  1 R
dr 
dr 
d  2 dR 
2 2
r
   k r  l  l  1   R  0
dr 
dr 
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
  k r  l  l  1   R  0
dr
2
2
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
  k r  l  l  1   R  0
dr
2
2
E s cla ro , q u e e l ú n ico p u n to sin g u la r
d e e sta e cu a ció n e s x  0.
S In e m b a rg o , e s a lre d e d o r d e l 0 q u e
n o s in te re sa b u sca r u n a so lu ció n .
¡N o sab em os q u é h acer!
1 d  2 dR 
1
 
Y 
1
 Y
2 2
0
r
k r 
 sin 

2
2
R dr 
dr 
Y sin    
   Y sin   
2
1 d  2 dR 
2 2
  k r  l  l  1
r
dr 
R dr 
y
 Y
1
Y 
 
  l  l  1

 sin 
2
2
   Y sin   
Y sin    
1
2
2
 1
 
 
1

 sin 


2
2
   sin   
 sin    

 Y   l  l  1 Y

O tra v e z se p a ra ció n d e v a ria b le s:
Y  ,          
2
 1
 
 
1

 sin 


2
2
sin





sin







 Y   l  l  1 Y ;

Y  ,          
d 
d  1
1 d 
  l  l  1
 sin 

2
2
 sin  d  
d    sin  d 
1
1
2
d 
d  1
1 d 
 l  l  1  0
 sin 

2
2
 sin  d  
d    sin  d 
1
1
2
sin  d 
d 
1 d 
2
0
 sin 
  l  l  1  sin  
2
 d 
d 
 d
2
sin  d 
d 
1 d 
2
 0
 sin 
  l  l  1  sin  
2
 d 
d 
 d
2
d 
sin  d 
2
2
  l  l  1  sin   m
 sin 
d 
 d 
y
1 d 
2
 d
2
 m
2
d 
2
d
2
 m 
    A e
2
 im 
 Be
 im 
¿ C u á le s d e b e n se r la s
co n d icio n e s d e fro n te ra ?
d 
2
d
2
 m  ;
2
    A e
         2 n 
    A e
 im
 Be
    2 n   A e
 im 
 Be
 im 
n  1, 2, 3, ...
 im
 im
e
 i 2  nm
 Be
 im
e
 i 2  nm
i m p lica q u e m d e b e se r u n e n te ro
sin  d 
d 
2
2
 sin 
  l  l  1  sin   m
 d 
d 
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
1
2
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
1
2
E s ta e c u a c ió n p u e d e s e r lle v a d a
a u n a fo rm a c o n o c id a m e d ia n te
e l c a m b io d e v a ria b le
x  co s 
P o r ta n to , d e b e m o s d e b u s c a r
la v a lid e z d e la s o lu c ió n p a ra
1 x 1
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
2
1
H a cie n d o e l ca m b io d e v a ria b le x  cos 
d
d
sin 

d  dx
dx d 
d
d
  sin 
te n e m o s
d
dx
  sin 
2
d
dx
  1  cos 
2
d
 dx
  1  x
2
d
 dx
d 
d 
d 
d   dx
d 
2 d 
  sin 
 1  x 
 sin 

 sin 


d 
d   dx 
d  d
dx 
dx 
d 
d 
d 
2 d 
 1  x 
 sin 
   sin 

d 
d 
dx 
dx 
d 
d  1 d 
2 d 
1 x 

 sin 


 sin  d  
d    dx 
dx 
1
d 
d 
m
1 d 
m
2 d 

1

x



 sin 

2
2
 sin  d  
d   sin   dx 
dx  1  x
1
2
2
d 
d 
m
1 d 
m
2 d 

1 x 


 sin 

2
2


 sin  d  
d   sin   dx 
dx  1  x
1
2
2
L a e cu a ció n q u e d a a h o ra
1 d 
m
2 d 
1

x



l
l

1




2


 dx 
dx  1  x
2
ó b ie n

d 
m 
2 d 
1

x

l
l

1



0






2


dx 
dx  
1 x 
2

d 
m 
2 d 
1

x

l
l

1



0






2


dx 
dx  
1 x 
2
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1

x

E cu ació n aso ciad a d e L eg en d re.
D ifferen tial E q u atio n s. L in ear, N o n lin ea r, O rd in ary, P artial
A .C . K in g , J. B illin g h am an d S .R . O tto
2 .7 T h e A sso ciated L eg en d re E q u atio n
P ág in a 5 2 (6 5 ).

 x  0

1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1

x


 x  0

H aciendo el cam bio de variable
m
2
  x    x  1 u  x 
2
o btenem os
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
T om am os la ec uación de Lege ndre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x ),
2
y la derivam os m veces
( m es un entero positivo); es decir,
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
m
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
dx
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
C om o
d
(1  x )   2 x ,
2
dx
d
2
d
(1  x )   2 ,
2
dx
2
3
dx
(1  x )  0
2
3
tenem os
m
(m  k ) d
2
[(1

x
)
y
''(
x
)]

(
y
'')
(1

x
)

 
m
k
dx
dx
k 0  k 
d
m
k
2
2
 m  (2 m  k ) d
2
y
(1

x
)
k 
k
dx
k 0 

2
 m  (2 m )
 m  ( 2  m  1)
 m  (2 m  2)
2
 y
(1  x )    y
(2 x)    y
(  2)
0
1
2
 (1  x ) y
2
(2 m )
 2 m xy
(1  m )
 m ( m  1) y
(m )
k
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
C om o
d
d
x 1 y
dx
2
dx
x0
2
tenem os que
m
(m  k ) d
[ xy '( x )]     ( y ')
( x) 
m
k
dx
dx
k 0  k 
d
m
1
k
 m  (1  m  k ) d
(x)
k y
k
dx
k 0 

1
 m  (1  m )
 m  (1  m  1)
(1  m )
(m )
 y
(x)    y
 xy
 my
0
1
k
d
m
dx
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
 2 xy
(1  m )
 l ( l  1) y
(2 m )
 2 m xy
 2my
(1  m )
 m ( m  1) y
(m )
(m )
(m )
 (1  x ) y
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 [  m ( m  1)  2 m  l ( l  1)] y
 (1  x ) y
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
2
2
(m )
(m )
d
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
m
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
dx
m
d
n
n
(k )
g
(n  k )
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
(m)
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
d yx
m
P or lo tanto, u  x  
dx
m
y y  x  es la solución
de la e cuación de Legendre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )  0
2
Las soluciones de la ecuación asociada d e Legendre
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
 l  l  1 
2
1

x


 x  0

están dadas com o
  x   1  x
2

m/2
d yx
m
dx
m
donde y  x  son las soluciones de la ecuación de Lege ndre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )  0
2
1  x 
2
2
d y
dx
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0
U na serie de potencias es una serie infinita de la form a

 a x  x 
n
0
n
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
donde a 0 , a1 , a 2 , ... son constantes y x 0 es un núm ero
fijo.
U na serie de potencias

 a x  x 
n
0
n
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
es convergente en x si el lím ite
N
lim
N
 a x  x 
n
0
n0
existe y es finito.
n

U na serie de potencias
 a x  x 
n
n
0
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
N
es convergente en x si el lím ite lim
N

a n  x  x0 
n
ex iste y es finito.
n0
E n cualquier otro caso se dice que la
serie de potencias es divergente.

U na serie de potencias
 a x  x 
n
n
0
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
N
es convergente en x si el lím ite lim
N

a n  x  x0 
n
ex iste y es finito.
n0
E n cualquier otro caso se dice que la se rie de potencias es divergente.
U na serie puede converger para ciertos
valores de x y diverger para otros.
S i la serie de potencias

 a x  x 
n
0
n
 a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0  
2
n0
es convergente para toda x en el intervalo
x  x0  r
y es divergente siem pre que x  x 0  r ,
donde 0  r   , entonces r es llam ado el radio
de convergencia d e la serie de potencias.
L a serie de potencias

 a x  x 
n
n
0
n0
converge absolutam ente en el punto x ,
si la serie


a n  x  x0 
n0
converge.
n



n0
an
x 
x0 
n

La serie de potencias
 a x  x 
n
0
n
converge
n0
absolutam ente en el punto x , si la serie


a n  x  x0 
n0
n



an
x 
x0 
n
n0
converge.
S i la serie converge absolutam ente, ento nces
la serie tam bién converge.
E l inverso no es necesariam ente cierto.
U na de las pruebas m ás útiles para la co nvergencia
absoluta de una serie de potencias es la prueba de
el cociente. S i a n  0, y si, para un valor fijo de x ,
lim
n 
a n 1  x  x0 
a n  x  x0 
n 1
n
 x  x 0 lim
n 
a n 1
an
 x  x0 L ,
entonces la serie de potencias converge absolutam ente
para aquellos valores de x tales que x  x 0 L  1 y
diverge si x  x 0 L  1. S i x  x 0 L  1, la prueba no
nos da ninguna conclusión.
U n a fu n ció n f  x  , d efin id a en u n in tervalo I
q u e co n tien e a x 0 , es an alítica en el p u n to x 0
si f  x  p u ed e ser ex p resad a co m o u n a serie
d e p o ten cias (su serie d e T aylo r)
f x 

 a x  x 
n
n
0
n0
q u e tien e u n rad io d e c o n verg en cia m ayo r
q u e cero .
•Los polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los
polinomios, el seno, el coseno y la
exponencial también son analíticas en todos
lados
•Cocientes de dos de estas funciones son
analíticas en todos los puntos en los cuales
el denominador no se hace cero
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y   x
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coefic ientes
p  x  y q  x  , así com o   x  son funciones
analíticas en x 0 .
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes p  x  y q  x  , así com o   x  son funcione s analíticas en x 0 .
E s decir,
px 


p n  x  x0 
n
n0
qx 


q n  x  x0 
n
  n  x  x0 
n
n0
y
 x 

n0
son convergentes para x  x 0  r con r  0.
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y   x
U n punto x 0 es llam ado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coefic ientes
p  x  y q  x  , así com o   x  son funciones
analíticas en x 0 .
S i un punto no es un punto ordinario,
se le llam a punto singular.
S i x 0 es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo o rden
2
d y
dx
2
dy
 px
 q  x y    x,
dx
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única form a com o una serie de potencias
yx 

 a x  x 
n
0
n
,
x  x0  R
n0
donde el radio de convergencia R  r .
dy
 y
dx
alred ed o r d e
x0  0
dy
dx
 y alrededor de x 0  0
E s claro, que todos los puntos
del plano com plejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
dy
 y alrededor de 0
dx
yx 

a
n
x
a n 1 
n
n0
dy


dx

 na

n 1

n0

n 1
na n x

n
x
n 1

na n x
a


n0
n0
x 0
n
n
a 0 a1
a
a
a0
a
,
 0 , 2 
,..., 0 ,...
1 2 1 2 3
1 2  3
n!
y  x   a0 


n 1

n 1
n0

n
n
n

1
a
x

a
x



 n
n 1
n0
n 1
a0 ,
an
0
n0
  n  1  a n  1  a n  x  0
n
x
n
n!
 a0e
x
U na de las pruebas m ás útiles para la co nvergencia
absoluta de una serie de potencias es la prueba de
el cociente. S i a n  0, y si, para un valor fijo de x ,
lim
n 
a n 1  x  x0 
a n  x  x0 
n 1
n
 x  x 0 lim
n 
a n 1
an
 x  x0 L ,
entonces la serie de potencias converge absolutam ente
para aquellos valores de x tales que x  x 0 L  1 y
diverge si x  x 0 L  1. S i x  x 0 L  1, la prueba no
nos da ninguna conclusión.
dy

y  x   a0 
 y alred ed o r d e 0 ;
dx
n0
an 
a n 1
n 
n
n!
 a0e
a0
n!

an
lim
x
n!
 n  1!
a n 1
an
 lim
n 

1
n 1
1
n 1
 0
¡L a serie co n verg e p ara to d o x  R !
x
2
d y
dx
2
 y  0
alred ed o r d e
x0  0
2
d y
dx
2
 y  0 alrededor de x 0  0
E s claro, que todos los puntos
del plano com plejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
yx 
2
d y
dx
2


an x
n
n0
 y  0
dy


alred ed o r d e
dx
x0  0
d y



n2
n 1

n0

2
dx
na n x

2



na n x
n 1
n  n  1 a n x
n2
n0
n  n  1 a n x
n2


n  n  1 a n x
n2

an x  0
n
n0

n
n0
n0


  n  2   n  1 a n  2 x


n2


n 1


an x  0
n
n0
  n  2   n  1  a n  2  a n  x  0
 n  2   n  1 a n  2  a n
n
 0  an 2  
an
 n  2   n  1
2
d y
dx
2
 y  0
alred ed o r d e
x0  0
an 2  
an
 n  2   n  1
a0
a 0 , a1 , a 2  
a4  
a2
43
2 1

a0
4!
, a3  
, a5  
...
a 2 n    1
a0
n
a 2 n 1    1
 2 n !
n
a1
 2 n  1!
a1
3 2 1
a3
5 4

,
a1
5!
2
d y
dx
2
 y 0
alrededor de

y1  x   a 0    1 
n
y 2  x   a1    1 
n0
2n
 2 n !
n0

x
n
x0  0
x
 a 0 cos x
2 n 1
 2 n  1!
y  x   a 0 cos x  a1 sin x
 a1 sin x
2
d y
dx
2
 x
dy
 2y  0
dx
alred ed o r d e
x0  0
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
E s claro, que todos los puntos
del plano com plejo C son
puntos ordinarios de esta
ecuación.
2
d y
dx
 x
2
dy
 2 y  0 alrededor de x 0  0
dx

yx 

an x
n
n0
dy


dx

n 1
n0

2
d y
dx
nan x
2


n  n  1 a n x
n0

 n  n  1 a
n2
n2
n
x
n2

 x  nan x
n 1
n 1

 2 an x
n0
n
 0


n  n  1 a n x
n2
n2
 x  na n x
n 1
n 1

 n  n  1 a

n
x
n2


n2
 na
n 1

  n  2   n  1 a

 2 an x  0
n
n0

x  2 an x  0
n
n
n
n0

x 
n
n2
n0
 n  2a
n0

  n  2    n  1  a
n0
 a n  x  0
n
n2
x 0
n
n
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0

  n  2    n  1  a
 a n  x  0
n
n2
n0
an  2  
an
n 1

  n  2    n  1  a
n2
n0
a2  
a0
a4  
a2
a6  
a4
 a n  x  0  a n  2  
n 1
;
1

3
a0
31

5
an
n
;
a0
5  31
;
a3  
a1
a5  
a3
a7  
a5
;
2

4
a1
42

6
;
a1
642

a 2 n    1
n
a0
 2 n  1  !!
n  1, 2, 3,... ;
;
a 2 n 1    1
n  1, 2, 3
n
a1
 2 n  !!
2
d y
dx
a 2 n    1
n
2
a0
 x
 2 n  1  !!
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
; n  1, 2, 3,...
y1  x   1 

a 2 n 1    1 
  1
a1
n
 2 n  !!
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
; n  1, 2, 3
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
y2  x  
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!

n
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !! x
2n
n 1
an 
  1
lim
n 
 lim
n 
;
an 
  1
n 1
 2 n  1  !!
n

1
 
 2 n  1  !!
1
1  2n
  1
 2 n  !!
n
n
 2 n  1  !!
  1
  1 2 n 1
y2  x   x  
x
n  1  2 n  !!
n

 lim
n 
 2 n  1  !!
(2 n  1)!!
0
lim
n 
n 1
 2 n  2  !!
n
  1
 2 n  !!
 lim
n 
1
2  n  1
 lim
n 
 2 n  !!
(2 n  2)!!
0


el radio de convergencia es infinito.
el radio de convergencia es infinito.
y1  x   1 

  1
n
  2 n  1  !!
x
2n
n 1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
  1 2 n 1
x
x
n  1  2 n  !!
n

y2  x  
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
 2 y  0 alrededor de x 0  0
2
e
x

2
x
 x E rfi[
2
2
2
e
x

2
 x (2  
2
2 2e
x
2
( x )
2
x
3/2
2
2
2
 2  (1 
2 2
x
x
2
]
))
x2
2
x2
2
2
x2
2 x2
2
3 2
x2
2
x2 Erfi
2
x2
2
1
x2
2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
x2
2
x
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
0.4
0.6
4
6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
6
4
2
2
0.2
4
6
2
x
d y
dx
2

dy
 xy  0
dx
alred ed o r d e
x0  1
2
d y
dx
2

1 dy
x dx
 y  0 alrededor de x 0  1
E s claro , q u e el p u n to x  0
N O es u n p u n to o rd in ario d e la
ecu ació n . S in em b arg o , to d o s
lo s d em ás p u n to s si so n p u n to s
o rd in ario s, en p articu lar, x  1
es u n p u n to o rd in ario d e esta
ecu ació n .
2
x
d y
dx
2

dy
dx

yx 
 a  x  1
 xy  0 alrededor de x 0  1
n
n
n0

dy

dx
 na  x  1 
n
n0

2
d y
dx
n 1
2


 n  n  1 a  x  1
n
n0
x  n  n  1 a n  x  1
n0
n2
n2


 na  x  1 
n
n0
n 1

 x  a n  x  1  0
n0
n

x  n  n  1 a n  x  1
n2


n0
1 

n0

x  1  n  n  1 a n  x  1
n2

n  n  1 a n  x  1

n2
n0
 n a  x  1
n 1
n
n0
n
 1  x  1   a n  x  1   0
  x  1  n  n  1 a n  x  1
n2



n a n  x  1
n0
  a n  x  1   x  1  a n  x  1  0
n
n0


n  n  1 a n  x  1
n2




n  n  1 a n  x  1
n2
  a n  x  1 
n0
n
n0
n2
n

 a  x  1
n
n0
n 1



n 1
n 1
 0
n
n0


 x  a n  x  1  0

n0


n0

n0

na n  x  1 
n 1
n a n  x  1
n 1
n 1

 n  n  1 a  x  1
n2
n


n2

 na  x  1 
n 1
n

n2
 a  x  1
 x  1
   n  1 a n 1  x  1 
n
n0
n

 a  x  1
n 1
n
0
n0
  n  1  na  x  1 
n
n 1
 a  x  1
n
  n  2   n  1 a
n
n


n0
n2
 x  1
n 1
n 1




n 1

n 1

  n  1 a  x  1
n
n
n0


n2
n0

2a2 
n

n 1
  n  2   n  1 a
 n  n  1 a  x  1
n 1
n 1
0
n 1


  n  1  na  x  1 
n 1
n
 a1 
n 1

 a0 
n
 a  x  1
n
 a  x  1
n
n 1
n


 a  x  1
n 1
n 1
n
0

2a2 
  n  2   n  1 a  x  1
n2
n 1

  n  1 a  x  1
n 1
n 1
n

 a0 
n


  n  1  na  x  1 
n 1
n 1
 a1 
n 1
 a  x  1
n
n
n


 a  x  1
n 1
n
0
n 1
a 0  a1  2 a 2 

   n  2  n  1  a
n 1
  n  1  na n  1   n  1  a n  1  a n  a n  1   x  1   0
n
n2
a 0  a1  2 a 2 

   n  2   n  1  a
n 1
a2  
  n  1  na n  1   n  1  a n  1  a n  a n  1   x  1   0
n
n2
a 0  a1
2
 n  2  n  1  a n  2   n  1  na n  1   n  1  a n  1  a n  a n  1  0
 n  2  n  1  a n  2   n  1 
an  2  
n 1
n2
a n 1 
2
a n 1  a n  a n 1  0
a n  a n 1
 n  1  n  2 
a2  
a3  
2
a4  
3
a5 
4
a0
an 2  
2
a1  a 0
a2 
a3 

12
a6  
a7 
3
a 0  a1
210
a 2  a1
a0
12
60
180
13a0
3


a1
8
2 7 1 a1
2520
 
n2
a2 
6
9 a1
13a0
 
2
n 1
12

a2
a1
6
a n 1 
3
a n  a n 1
 n  1  n  2 
 
a2
3

a 0  a1
6
2
x
d y
dx
a2  
y1  x   1 

2
dx
a 0  a1
2

( x  1)
2
 xy  0 alred ed o r d e x 0  1
3

( x  1)
6
( x  1)
2
2

n 1
an  2  
;
2
( x  1)
y2  x   x  1 
dy

( x  1)
12
( x  1)
6
3

a n 1 
n2
4
5

6
4

 n  1  n  2 
13( x  1)
12
( x  1)
a n  a n 1
6

13( x  1)
180
9( x  1)
60
5

5

210
( x  1)
8
6

271( x  1)
2520
5

2
x
d y
dx
y1  x   1 
( x  1)
y2  x   x  1 
2

2

dy
dx
( x  1)
2
 x y  0 alrededor de x 0  1
3

( x  1)
6
( x  1)
2
2

4

( x  1)
12
( x  1)
6
3

5

13( x  1)
12
( x  1)
6
4

6

13( x  1)
180
9( x  1)
5
60
y1  x   J 0  x 
y 2  x   Y0  x 

( x  1)
8
5

210
6

271( x  1)
2520
5

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.9
0.2
1.0
1.1
1.2
E 

0
B  0
E 
B
t
  B   0 J   0 0
E
t
E 

0
E 0
E 

0
E 0
  E  0    ta l q u e E   

      
  
2

0

0
E 

0
; E 0   
2
  0
2

0
  0
2
1   2  
1
 
 
1
 
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r  r   r  r sin    
   r sin   
2
1   2  
1
 
 
1
 
2
   2
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
S E P A R A C IÓ N D E V A R IA B L E S
S e p ro p o n e la so lu ció n co m o
  r , ,    R  r  Y  ,  
1   2  
1
 
 
1
 
2
   2
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
S o lu ció n p ro p u e sta :
  r , ,    R  r  Y  ,  
Y d  2 dR 
R
 
Y 
R
 Y
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r dr  dr  r sin    
   r sin   
2
Y d  2 dR 
R
 
Y 
R
 Y
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r dr  dr  r sin    
   r sin   
2
1 d  2 dR
r
R dr 
dr
 
Y 
1
 Y

0

 sin 

2
2
   Y si n   
 Y sin    
1
2
1 d  2 dR 
1
 
Y 
1
 Y
0
r

 sin 

2
2
R dr 
dr  Y sin    
   Y sin   
2
1 d  2 dR 
r
  l  l  1
R dr 
dr 
y
 
Y 
1
 Y
  l  l  1
 sin 

2
2
Y sin    
   Y sin   
1
2
d  2 dR 
r
  l  l  1 R
dr 
dr 
d  2 dR 
r
  l  l  1 R  0
dr 
dr 
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0
2
d R
dr
2

2 dR
r dr

l  l  1
r
2
R 0
E s cla ro , q u e e l ú n ico p u n to sin g u la r
d e e sta e cu a ció n e s x  0.
S In e m b a rg o , e s a lre d e d o r d e l 0 q u e
n o s in te re sa b u sca r u n a so lu ció n .
¡N o sab em os q u é h acer!
1 d  2 dR 
1
 
Y 
1
 Y
0
r

 sin 

2
2
R dr 
dr  Y sin    
   Y sin   
2
1 d  2 dR 
r
  l  l  1
R dr 
dr 
y
 
Y 
1
 Y
  l  l  1
 sin 

2
2
Y sin    
   Y sin   
1
2
2
 1
 
 
1

 sin 


2
2
   sin   
 sin    

 Y   l  l  1 Y

O tra v e z se p a ra ció n d e v a ria b le s:
Y  ,          
2
 1
 
 
1

 sin 


2
2
sin





sin







 Y   l  l  1 Y ;

Y  ,          
d 
d  1
1 d 
  l  l  1
 sin 

2
2
 sin  d  
d    sin  d 
1
1
2
d 
d  1
1 d 
 l  l  1  0
 sin 

2
2
 sin  d  
d    sin  d 
1
1
2
sin  d 
d 
1 d 
2
0
 sin 
  l  l  1  sin  
2
 d 
d 
 d
2
sin  d 
d 
1 d 
2
 0
 sin 
  l  l  1  sin  
2
 d 
d 
 d
2
d 
sin  d 
2
2
  l  l  1  sin   m
 sin 
d 
 d 
y
1 d 
2
 d
2
 m
2
d 
2
d
2
 m 
    A e
2
 im 
 Be
 im 
¿ C u á le s d e b e n se r la s
co n d icio n e s d e fro n te ra ?
d 
2
d
2
 m  ;
2
    A e
         2 n 
    A e
 im
 Be
    2 n   A e
 im 
 Be
 im 
n  1, 2, 3, ...
 im
 im
e
 i 2  nm
 Be
 im
e
 i 2  nm
i m p lica q u e m d e b e se r u n e n te ro
sin  d 
d 
2
2
 sin 
  l  l  1  sin   m
 d 
d 
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
1
2
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
1
2
E s ta e c u a c ió n p u e d e s e r lle v a d a
a u n a fo rm a c o n o c id a m e d ia n te
e l c a m b io d e v a ria b le
x  co s 
P o r ta n to , d e b e m o s d e b u s c a r
la v a lid e z d e la s o lu c ió n p a ra
1 x 1
d 
d 
m
0
 sin 
  l  l  1 
2
 sin  d  
d 
sin 
1
2
1
H a cie n d o e l ca m b io d e v a ria b le x  cos 
d
d
sin 

d  dx
dx d 
d
d
  sin 
te n e m o s
d
dx
  sin 
2
d
dx
  1  cos 
2
d
 dx
  1  x
2
d
 dx
d 
d 
d 
d   dx
d 
2 d 
  sin 
 1  x 
 sin 

 sin 


d 
d   dx 
d  d
dx 
dx 
d 
d 
d 
2 d 
 1  x 
 sin 
   sin 

d 
d 
dx 
dx 
d 
d  1 d 
2 d 
1 x 

 sin 


 sin  d  
d    dx 
dx 
1
d 
d 
m
1 d 
m
2 d 

1

x



 sin 

2
2
 sin  d  
d   sin   dx 
dx  1  x
1
2
2
d 
d 
m
1 d 
m
2 d 

1 x 


 sin 

2
2


 sin  d  
d   sin   dx 
dx  1  x
1
2
2
L a e cu a ció n q u e d a a h o ra
1 d 
m
2 d 
1

x



l
l

1




2


 dx 
dx  1  x
2
ó b ie n

d 
m 
2 d 
1

x

l
l

1



0






2


dx 
dx  
1 x 
2

d 
m 
2 d 
1

x

l
l

1



0






2


dx 
dx  
1 x 
2
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1

x

E cu ació n aso ciad a d e L eg en d re.
D ifferen tial E q u atio n s. L in ear, N o n lin ea r, O rd in ary, P artial
A .C . K in g , J. B illin g h am an d S .R . O tto
2 .7 T h e A sso ciated L eg en d re E q u atio n
P ág in a 5 2 (6 5 ).

 x  0

1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
  l  l  1 
2
1

x


 x  0

H aciendo el cam bio de variable
m
2
  x    x  1 u  x 
2
o btenem os
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
T om am os la ec uación de Lege ndre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x ),
2
y la derivam os m veces
( m es un entero positivo); es decir,
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
m
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
dx
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
C om o
d
(1  x )   2 x ,
2
dx
d
2
d
(1  x )   2 ,
2
dx
2
3
dx
(1  x )  0
2
3
tenem os
m
(m  k ) d
2
[(1

x
)
y
''(
x
)]

(
y
'')
(1

x
)

 
m
k
dx
dx
k 0  k 
d
m
k
2
2
 m  (2 m  k ) d
2
y
(1

x
)
k 
k
dx
k 0 

2
 m  (2 m )
 m  ( 2  m  1)
 m  (2 m  2)
2
 y
(1  x )    y
(2 x)    y
(  2)
0
1
2
 (1  x ) y
2
(2 m )
 2 m xy
(1  m )
 m ( m  1) y
(m )
k
d
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
C om o
d
d
x 1 y
dx
2
dx
x0
2
tenem os que
m
(m  k ) d
[ xy '( x )]     ( y ')
( x) 
m
k
dx
dx
k 0  k 
d
m
1
k
 m  (1  m  k ) d
(x)
k y
k
dx
k 0 

1
 m  (1  m )
 m  (1  m  1)
(1  m )
(m )
 y
(x)    y
 xy
 my
0
1
k
d
m
dx
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
m
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
d
n
n
(k )
g
(n  k )
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
 2 xy
(1  m )
 l ( l  1) y
(2 m )
 2 m xy
 2my
(1  m )
 m ( m  1) y
(m )
(m )
(m )
 (1  x ) y
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 [  m ( m  1)  2 m  l ( l  1)] y
 (1  x ) y
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
2
2
(m )
(m )
d
n
( fg )     f
n
dx
k 0  k 
m
d
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )] ;
2
dx
m
d
n
n
(k )
g
(n  k )
m
dx
[(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )]
2
m
 (1  x ) y
2
(2 m )
 2( m  1) xy
(1  m )
 ( l  m )( l  m  1) y
(m)
(1  x ) u ''  x   2  m  1  xu '  x    l  m   l  m  1  u  x   0
2
d yx
m
P or lo tanto, u  x  
dx
m
y y  x  es la solución
de la e cuación de Legendre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )  0
2
Las soluciones de la ecuación asociada d e Legendre
1  x 
2
d  x
2
dx
2
 2x
d x
dx
2

m
 l  l  1 
2
1

x


 x  0

están dadas com o
  x   1  x
2

m/2
d yx
m
dx
m
donde y  x  son las soluciones de la ecuación de Lege ndre
(1  x ) y ''( x )  2 xy '( x )  l ( l  1) y ( x )  0
2
1  x 
2
2
d y
dx
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0
1  x 
2
2
d y
dx
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0
P or tanto, proponem os qu e la solución se puede escribir com o

y(x) 

an x
n
n0
T enem os
dy
dx




2
na n x
n 1
y
d y
dx
n0
2


n  n  1 a n x
n2
n0
y sustituyendo en la ecuación diferencia l ,

1  x   n  n  1  a
2
n0
x
n
n2

 2 x  na n x
n0
n 1

 l  l  1  a n x  0
n
n0

1  x   n  n  1  a
2
x
n
n0
n2

 2 x  na n x
n 1
n0

 l  l  1  a n x  0
n
n0
que se reescribe com o


n2
n  n  1 a n x
n2



n0


n  n  1  a n x  2  na n x  l  l  1   a n x  0
n
n
n
n0
n0
ó


n
n
n

2
n

1
a
x

n
n

1
a
x








n2
n
n0
n0


 2  na n x  l  l  1   a n x  0
n
n
n0
n0
ó


n0
  n  2   n  1  a n  2  n  n  1  a n  2 na n  l  l  1  a n  x  0
n


n0
  n  2   n  1  a n  2  n  n  1  a n  2 na n  l  l  1  a n  x  0
n
P or lo tanto,
 n  2   n  1 a n  2
 n  n  1  a n  2 na n  l  l  1  a n  0
ó bien
an 2 
n  n  1  2 n  l  l  1
 n  2   n  1
ó
an 2 
n  n  1  l  l  1
 n  2   n  1
an
an
an  2 
n  n  1  l  l  1
 n  2   n  1
an
Los prim eros coeficientes, a 0 y a1 , son arbitrarios.
Los siguientes
a2  
a3 
a4 
...
l  l  1
2!
a0
2  l  l  1
3!
a1  
2  2  1  l  l  1
 2  2   2  1
 l  1  l  2 
3!
a2 
a1
6  l  l  1  l  l  1  l  l  1  l  2   l  3 
a0  

43
2!
4!


an  2 
n  n  1  l  l  1
 n  2   n  1
an
E n general, para k  1, 2, 3,... tenem os
a 2 k    1
k
( l  2 k  1)( l  2 k  3)...( l  1) l ( l  2)...( l  2 k  2)
 2 k !
a0
y
a 2 k  1  (  1)
k
( l  2 k )( l  2 k  2)...( l  2)( l  1)( l  3)...( l  2 k  1)
 2k
 1!
a1
1  x 
2
2
d y
dx
2
 2x
dy
dx
 l  l  1 y  0
T enem os ento nces dos soluciones
u (x)  1 
l  l  1
x 
2
 l  2  l  l  1  l  3 
1
   1
k
4
 l  4   l  2  l  l  1  l  3   l  5 
l  2k
 1  l  2 k  3 
k 1
x  . .. 
6
6!
4!
2!

x 
 l  1 l  l  2   l  2 k
 2 k !
 2
x
2k
y
v( x)  x 
 l  1  l  2 
x 
3
 l  3   l  1  l  2   l  4 
 x
   1
k 1
k
l  2k  l  2k
5
 l  5   l  3   l  1  l  2   l  4   l  6 
7!
5!
3!

x 
 2
 l  2   l  1  l  3   l  2 k
 2 k  1!
 1
x
2 k 1
x  ... 
7
1  x 
2

u ( x)  1 
   1
k
l  2k
2
d y
dx
2
 2x
dx
v( x)  x 
   1
k 1
k
 l  l  1 y  0
 1  l  2 k  3 
k 1

dy
l  2k  l  2k
 2
 l  1 l  l  2   l  2 k
 2 k !
 l  2   l  1  l  3   l  2 k
 2 k  1!
 2
 1
x
2k
x
2 k 1
1. S i l no es un entero positivo, tenem os dos
series infinitas que convergen para x  1.
2. S i l es un entero positivo, una de las dos series
infinitas term ina para dar un sim ple polinóm io.
1  x

u ( x)  1 
   1
k
2
l  2k

2
d y
dx
2
 2x
dx
v( x)  x 
   1
k
 l  l  1 y  0
 1  l  2 k  3 
k 1

dy
l  2k  l  2k
 2
k 1
 l  1 l  l  2   l  2 k
 2 k !
 l  2   l  1  l  3   l  2 k
 2 k  1!
 2
 1
x
2k
x
2 k 1
E scribiendo la solución y  x   A Pn  x   B Q n  x 
se tiene que Pn  x  
y Pn  x  
vn  x 
v n 1 
un  x 
u n 1 
para n par,
para n im par.
Q n  x  es una serie infinita que
converge para x  1.
L os polinom ios Pn  x  son los
polinom ios de L egendre
y puede ser escritos com o
n
]
2
 2 n  2 r ! x
Pn  x      1  n
2 r ! n  r  ! n  2 r  !
r0
[
n2r
r
 ''( x ) 
2x
1 x
2
 '( x ) 
1
1 x
2
[ l ( l  1) 
m
2
1 x
2
] ( x )  0
E l único punto singular es x  1.
P or lo tanto, podem os resolver
la ecuación con series alrededor
de x  0, ya que x  0 es un punto
ordinario.
L a e c u a c ió n e s la g e n e ra liza d a d e L e g e n d re
d 
2
1

x



dx 
2

dP 
m 
 l  l  1 
P  0
2 

dx  
1 x 
y s u s s o lu c io n e s s e lla m a n fu n c io n e s a s o c ia d a s
d e L e g e n d re .
E s ta s s o n "fu n c io n e s e s p e c ia le s " q u e h a n s id o
e xte n s a m e n te e s tu d ia d a s y q u e s u s p ro p ie d a d e s
p u e d e n s e r c o n s u lta d a s .
L a e c u a c ió n g e n e ra liza d a d e L e g e n d re
d 
2
1

x



dx 
2

dP 
m 

l
l

1

P

0




2
d x  
1 x 
tie n e s o lu c io n e s q u e n o s o n s in g u la re s e n
 -1,1
s ó lo s i l y m s o n e n te ro s c o n  l  m  l .
L a s o lu c ió n s e o b tie n e p o r e l m é to d o d e s e rie s .
L a e cu a ció n e s la g e n e ra liza d a d e L e g e n d re
2

d 
m
2 dP 
1 x 
 l  l  1 

2


dx 
dx  
1 x

P  0

S u s so lu cio n e s se lla m a n fu n cio n e s a so cia d a s
d e L e g e n d re y e stá n d a d a s p o r la e xp re sió n
Pl
m
x 
  1
l
m
2 l!
1  x 
2
m/2
d
lm
dx
lm
x
2
 1
l
L a so lu ció n d e la p a rte a n g u la r q u e d a
Pl
m
 cos   e
im 
d o n d e l y m so n e n te ro s
y
se cu m p le q u e
l  m  l
O rto g o n a lid a d d e la s fu n cio n e s a n g u la re s
 Pk
n
 cos   e

in
, Pl

2
d

sin



0
0
m
 cos   e
d  Pk
n
 im 
 cos   e


 d
0

in
Pl
m
 cos   e
2
sin  P
n
k
 cos   Pl  cos   
m
0
d e
 im 
i  n  m 
 P  cos   e
n
k
in
, Pl
m
 cos   e

 im
2
   d
sin  P
n
k
i nm 
 cos   Pl  cos    d  e  
m
0
0
Si n  m
2
e
2
i  n  m 
0
d 
1
in  m 
e
i  n  m 
a sí q u e
2
e
0
i  n  m 
 2
d  
 0
nm
n m

0
e

in  m 
1
i 2  n m 

1  0
 P  cos   e
n
k
in
, Pl
m
 cos   e

 im
   d
2
sin  P
n
k
i nm 
 cos   Pl  cos    d  e  
m
0

 d  sin  Pk
n
0
 co s   Pl
 co s  
n
0
x  co s 
d x   sin  d 

  0  x  co s  0   1
y
    x  co s  

1
1
  d xPk
n
1
1
 x  Pl
n
x 

1
n
d xPk
 x  Pl
n
x
L a s fu n cio n e s g e n e ra liza d a s d e
L e g e n d re cu m p le n :
1

1
n
k
dx P
 x  Pl  x  
n
2  l  n !
 2l  1  l  n !
 kl
 Pk
n
 cos   e

in 
, Pl

2
d

sin



0
0


m
 cos   e
d  Pk
n
 im 
 cos   e
in 
Pl
m
 cos   e
2
 d
sin  P
n
k
 cos   Pl  cos   
m
0
 4

0
 l  m !
 nm  kl
 2l  1  l  m !
d e
 im 
i  n  m 
L a so lu ció n a la p a rte á n g u la r q u e d a
Yl
m
 ,   
 2l  1  l  m ! m
im 
Pl  cos   e
4
 l  m !
d o n d e l y m so n e n te ro s
y
se cu m p le q u e
l  m  l
L a s fu n cio n e s
Yl
m
 ,   
 2l  1  l  m ! m
im 
Pl  cos   e
4
 l  m !
d o n d e l y m so n e n te ro s
y
se cu m p le q u e
lm l
so n lo s a rm ó n ico s e s fé r ico s
Lˆ 
 
 
1

 sin 

2
2
sin    
   Y sin   
2
1
Lˆ Y   l  l  1  Y
Yl
m
 ,   
 2l  1  l  m ! m
im 
Pl  co s   e
4
 l  m !
d o n d e l y m s o n e n te ro s y s e c u m p le q u e
l  m  l
y   P  x  y   Q  x  y    x 
E l punto x 0 es un punto or dinario de la ecuación
diferencial si tanto P  x  com o Q  x  s on analíticas en x 0 .
y   P  x  y   Q  x  y    x 
S i cualquiera de las dos funciones, P  x  y Q  x  ,
no son analíticas, entonces el punto x 0 es singular.
S i x  0 es un punto ordinario de la ecuació n
y   P  x  y   Q  x  y  0
entonces la solución general en un intervalo
conteniendo al cero, tiene la form a
yx 

a
x  c1 y 1  x   c 2 y 2  x 
n
n
n0
donde c1 y c 2 son constantes arbitrarias y y1  x  y
y 2  x  son funciones linealm ente independiente s
y analíticas en x  0
y   P  x  y   Q  x  y  0
La solución general tiene la form a
yx 

a
n
x
n
n0
¿C óm o determ inam os los coeficientes a n ?
P aso 1 :
S u stitu im o s la p ro p u esta so lu ció n
yx 

a
n
x
n
n0
en la ecu ació n d iferen cial o rig in al
y   P  x  y   Q  x  y  0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
dy  x 
dx

d


dx
n0
?
n

an x  
n0
d  an x
dx
n




n0
an
d x
dx
n




n0
nan x
n 1
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
d yx
2
dx

2
 na
n0
d
na

dx
n
x
?
n 1
n0




d x
n
n 1
dx




d nan x
dx
n0


 n  n  1 a
n0
n 1
n
x
n2


y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
P aso 1:

 n  n  1 a
n0
n
x
n2

 P  x   na n x
n0
n 1

 Q  x   an x  0
n
n0
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n
n0
P aso 2:
A grupam os las potencias de x e igualam os a
cero los coeficientes (D ado que las pote ncias
de x son linealm ente independientes)
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
P aso 3
S e resuelven las form ulas de recurrencias que
se obtiene al igualar las potencias de x a cero.
S e determ inan a j  j  2, 3, 4,...  en térm inos
de a 0 y a1
n
y   P  x  y   Q  x  y  0 ;
yx 

a
n
x
n0
P aso 4
Los coeficientes a j  j  0,1, 2, 3, 4,... 
se sustituyen en la serie y se trata de
determ inar una form a analítica.
n
Ejemplos: 1, 2
Ejemplo: La ecuación de Legendre
Resolver la ecuación diferencial de
Legendre
(1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0
mediante el uso de series de potencias.
2
x
d y
2
dx

x
2

2
x
dy
 y0
dx
n  n  1 a n x
n2
n0

x 
n
n
n0
n
x 


n2
x 
 na
x 
n
 na

an x  0
n
n0
a
n
x 0
n
x 0
n

x 
n
n
a
n
n0

n

n0
n 1

n2
n

n
n2
 n  n  1 a
 na


n
n0

 n  n  1 a
 x  na n x
n 1
n0

 n  n  1 a


x 
n
n
n2
a
x  a1 x  a 0  a1 x  0
n
n
n2
 n  n  1   n  1  a n x  2 a1 x  a 0  0
n
2
x
d y
2
dx
2
dy
x
 y0
dx
f
y 
x
dy
1 df

dx
d y
dx
2

1 d f
x dx
d f
dx
2
2
d f
dx
2
2
2
df
2 df

2

df
dx
2
x dx
2
dx
2
x
f
x
2
2
x

x dx
2
2
f

x
f
x
0
f
x
df
dx

3
f
x

f
x
0
U sarem os ahora el m étodo de series de po tencias. E scribim os la ecuacion com o
(1 - x ²) y ´´-2 xy ´  a ( a  1) y  0
E s claro que el 0 es un punto ordinario de la ecuación, ya que los coeficientes son analíticos a lrededor de 0.
P or tanto, proponem os que la solución se puede escribi r com o

y( x) 
a
k
x
k
k 0
Usaremos ahora el método de series de potencias.
Escribimos la ecuación como
(1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0
Es claro que el 0 es un punto ordinario de la
ecuación, ya que los coeficientes son analíticos
alrededor de 0.
Por tanto, proponemos que la solución se puede
escribir como y(x)=∑_{k=0}^{∞}a_{k}x^{k}
L a so lu ció n g e n e ra l d e la e cu a ció n d e L a p la ce e n
co o rd e n a d a s e sfé rica s
1   2  
1
 
 
1
 
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r  r   r  r sin    
   r sin   
2
es
  r , ,  


l0
B lm 

l
  Alm r  r l 1  Ylm   ,  

ml 
l
1   2  
1
 
 
1
 
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r  r   r  r sin    
   r sin   
2

B lm 

l
  r ,  ,       Alm r  l  1  Ylm   ,  
r 
l 0 m l 
l
P a ra d e te rm in a r u n a so lu ció n p a rticu la r,
n e ce sita m o s co n d icio n e s a la fro n te ra .
P o r e je m p lo , q u e e l p o te n cia l se a
co n sta n te so b re u n a e sfe ra d e ra d io R,
e s d e cir, q u e
  r  R , ,   V0
 
1
 
 
1
1   2  
0
 2
 sin 
 2
r
2
2
2
   r sin   
 r  r sin    
r r 
2
  r , ,   


l0
B lm 

l
  Alm r  r l  1  Ylm   ,  

m l 
l
C o n d ic ió n d e fro n te ra   r  R ,  ,    V 0
e s d e cir, e l p o te n cia l e s co n sta n te so b re
u n a e sfe ra d e ra d io R .
D e b e m o s a ñ a d ir e l q u e la so lu ció n se a
fin ita ta n to e n e l in fin ito
e n e l o rig e n
r
   co m o
 
1
 
 
1
1   2  
0
 2
 sin 
 2
r
2
2
2
   r sin   
r  r   r  r sin    
2

B lm 

l
  r ,  ,       Alm r  l  1  Ylm   ,  
r 
l 0 m l 
l
A n a lic e m o s la s o lu c ió n p a ra r  R .
S i q u e re m o s q u e   0 c u a n d o r  
d e b e m o s te n e r Alm  0 p a ra to d o s
l y m.
A s í q u e p a ra r  R ,
   r , ,  

l

l0 m  l
B lm
r
l 1
Ylm   ,  
 
1
 
 
1
1   2  
0
 2
 sin 
 2
r
2
2
2
   r sin   
r  r   r  r sin    
2

B lm 

l
  r ,  ,       Alm r  l  1  Ylm   ,  
r 
l 0 m l 
l
A n a lice m o s la so lu ció n p a ra r  R .
S i q u e re m o s q u e  se a fin ito cu a n d o r  0
d e b e m o s te n e r B lm  0 p a ra to d o s
l y m.
A sí q u e p a ra r  R ,
  r , ,  

l

l0 m  l
Alm r Ylm   ,  
l
1   2  
1
 
 
1
 
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
  r , ,   

B lm 

l
  Alm r  r l  1  Ylm   ,  

m l 
l

l0
   r , ,



l
 
l0 m  l
  r , ,



l
 
B lm
r
l 1
Ylm   , 

Alm r Ylm   , 
l

l0 m  l
   r  R , ,



l
 
l0 m  l
  r  R , ,



l
 
l0 m  l
B lm
R
l 1
Ylm   , 

Alm R Ylm   , 
l
 V0

 V0
   r  R , ,



l
B lm

R
l0 m  l
  r  R , ,



l

l 1
Ylm   , 

Alm R Y lm   , 
l
 V0

 V0
l0 m  l
P o r ta n to ,
B00
R
 V0
A0 0  V 0
y
   r , ,



l

l0 m  l
  r , ,



l

l0 m  l
B lm
r
l 1
Ylm   , 

Alm r Y lm   , 
l

V0 R
r

 V0
Y0 0   , 


V0 R
r
1   2  
1
 
 
1
 
 0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
S o lu ció n g e n e ra l:   r ,  ,   


l0
B lm 

l
  Alm r  r l 1  Ylm   ,  

ml 
l
C o n la co n d ició n d e fro n te ra   r  R   V 0 ,
m á s la s co n d icio n e s n e ce sa ria s d e b id o a l sig n ifica d o
d e  , te n e m o s
 V0 R

  r , ,    r
 V
 0
r  R
r  R
1   2  
1
 
 
1
 
 0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
 V0 R

¿ D e v e rd a d e s   r ,  ,     r
 V
 0
r  R
u n a s o lu c ió n ?
r  R


 V0 R  
 V0 R  
2  V0 R 











1 
1

1
r
r
r




 r2 
 sin  



2
2
2
2
2
r r 
r


 r sin    
 r sin 









1

 

V0 R 
2
 r   V0 R   2  1   V0 R 
r
 2
 2
  1  0
r  2   2
r r 
r 
r r   r  
r r




1   2  
1
 
 
1
 
 0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
 V0 R

¿ D e v e rd a d e s   r ,  ,     r
 V
 0
r  R
u n a so lu ció n ?
r  R
 V 0  
 V 0 
1   2  V 0  
1
 
1
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
1   2  
1
 
 
1
 
 0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r r 
 r  r sin    
   r sin   
2
 V0 R

¿ D e v e rd a d cu m p le   r ,  ,     r
 V
 0
r  R
r  R
la co n d ició n d e fro n te ra ?
 V0 R

  r  R , ,    R
 V
 0
r  R
V 0
 
V0

r  R
r  R
r  R
1   2  
1
 
 
1
 
0
r
 2
 sin 
 2
2
2
2
r  r   r  r sin    
   r sin   
2
 V0 R

  r , ,    r
 V
 0
r  R
e s u n a so lu ció n y cu m p le
r  R
co n la s co n d icio n e s d e fro n te ra .
D a d o q u e la so lu ció n e s ú n ica , e sta e s la so lu ció n
P x
2
d y
dx
2
 Q x
dy
dx
 R x y  0
donde
P  x ,Q  x  y R  x 
son polinom ios que no tienen
factores com unes.
P x
2
d y
dx
2
 Q x
dy
dx
 R  x  y  0 donde
P  x  , Q  x  y R  x  so n p o lin o m io s q u e n o tien e facto re s co m u n es.
U n p u n to
x0
tal q u e
P  x0   0
es u n p u n to o rd in ario .
P x
2
d y
dx
2
 Q x
dy
dx
 R  x  y  0 d o n d e P  x  , Q  x  y R  x  so n p o lin o m io s q u e n o tien e facto res co m u n es.
U n p u n to x 0 tal q u e P  x 0   0 es u n p u n to o rd in ario .
C om o P  x  es continuo, existe un intervalo
en el cual P  x  nunca es cero.
P or tanto, podem os dividir por P  x  ,
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
donde p  x  
 qx y  0
Q x
P x
y qx 
son funciones continuas.
R x
P x
P x
2
d y
dx
2
 Q x
dy
dx
 R  x  y  0 donde
P  x  , Q  x  y R  x  so n p o lin o m io s q u e n o tien e facto re s co m u n es.
U n p u n to
x0
tal q u e
P  x0   0
es u n p u n to sin g u lar.
P x
2
d y
dx
2
 Q x
dy
dx
 R  x  y  0 donde P  x  , Q  x  y R  x  son polinom ios que no tiene factores com unes.
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y  0
U n punto x 0 tal que P  x 0   0 es un punto singular.
C o m o al m en o s u n o d e lo s Q  x 0  y P  x 0 
es d istin to d e cero , en to n ces al m en o s u n o
d e lo s d o s co eficien tes p  x  o q  x  n o
está aco tad o co n fo rm e x  x 0 y el
teo rem a 3 .2 .1 n o se ap lica.
B usquem os soluciones de la form a
yx 

 a x  x 
n
n
0
n0
y supongam os que la serie converge
en el intervalo x  x 0   con  > 0.
P x
2
d y
dx
2
 Q x
dy
dx
 R x y  0

2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y  0
co n
px 
Q x
P x
y qx 
R x
P x
2
d y
dx
2
 px
dy
dx
 qx y  0
U n punto x 0 es un punto ordinario
si p  x  y q  x  son funciones
analíticas en x 0 .
S i x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial
P x
2
d y
dx
2
dy
 Q x
 R  x  y  0;
dx
es decir, si p  Q / P y q  R / P son analíticas en x 0 ,
entonces la solución general es
yx 

 a x  x 
n
0
n
 a 0 y1  x   a 2 y 2  x  ,
n0
donde a 0 y a1 son constantes arbitrarias, y y1 y y 2 son dos
soluciones en series de potencias que so n analíticas en x 0 .
L as soluciones y1 y y 2 constituyen un conjun to fundam ental de
soluciones. E l radio de convergencia d e estas soluciones es al
m enos tan grande com o el m ínim o radio de convergencia de las
series de p y q .
Solución mediante
series.
0.4
Proponemos como solución
dy

dx

 na
n
x
n
n.
a
x
0 n
0.2
n 1
n0
¢
Proponemoscomosoluci\ on
8
6
4
2
2
0.2
0.4
4
d  2 dR 
r
  l  l  1 R
dr 
dr 
d  2 dR 
r
  l  l  1 R  0
dr 
dr 
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0
S e p ro p o n e u n a se rie co m o so lu ció n :
R r  

a
n0
n
r
n
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0 ; R  r  

anr
n
n0

d 
n 

  an r  
dr
dr  n  0

dR


 na
n
r
n 1
n0
d  
d
n 
2
3
a 0  a1 r  a 2 r  a 3 r  ...  

  an r  
dr  n  0
 dr
 a1  2 a 2 r  3 a 3 r  4 a 4 r  ....
2
3
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0 ; R  r  


anr
n
n0

d  

n
n 1
r
 r
a
r

r
na
r


n
 n 
dr
d r  n0
n0

dR


na n r
n
n0
d  
d
n 
2
3
r
a 0  a1 r  a 2 r  a 3 r  ...  

  anr   r
dr  n  0
dr

 r  a1  2 a 2 r  3 a 3 r  4 a 4 r  .... 
2
3
 a1 r  2 a 2 r  3 a 3 r  4 a 4 r  ....
2
3
4
2
r
2
d R
dr
2
d R
dr
2
a

dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0 ; R  r  
n

 n  n  1 a
n0
 2 a 2 r  3 a 3 r  4 a 4 r  ....  
2
1

anr
n0
d  
n 1 

  na n r  
d r  n0

d

3
 2 a 2  6 a 3 r  1 2 a 4 r  ...
2
n
r
n2
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dr

2
r
r
2
d R
2
 r
2
 l  l  1 R  0 ; R  r  

n2



d
 a1  2 a 2 r  3 a 3 r  4 a 4 r  ....  
n0
n0
2
 2a
3
 6 a 3 r  12 a 4 r  ... 
2
2
 2 a 2 r  6 a 3 r  12 a 4 r  . . .
2
3
n
n  n  1 a n r
dr
2
anr
n0
n  n  1 a n r


2
dr
 r
dR
4
n
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dr

 n  n  1 a
n0
dR
 l  l  1 R  0 ; R  r  
n

r  2  na n r  l  l  1   a n r  0
n
n
n
n0
n0

  n  n  1   2 n  l  l  1   a
n0

anr
n0

n

r 0
n
n
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0 ; R  r  


anr
n
n0

  n  n  1   2 n  l  l  1   a
r 0
n
n
n0
co m o la s p o te n cia s d e r so n
lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s,
n e ce sa ria m e n te
n  n  1  2 n  l  l  1  0
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
 l  l  1 R  0 ; R  r  
2
n
2

n1  l
y
n2   l  1

anr
n
n0
n  n  l  l  1  0
 1  1  4l  l  1

im p lica q u e

1 
4l  4l  1
2
2

 1   2l  1
2
2
r
2
d R
dr
2
 2r
dR
dr
Rl  r   A r 
 l  l  1 R  0
B
l
r
l 1
L a e cu a ció n d e L a p la ce e n
co o rd e n a d a s cilín d rica s e s:
1    
1  
 
  


0

 2
2
2
      
z
2
2
2
1    
1  
 
2
  

0

 2
2
2
      
z
2
2
P ro p o n e m o s la so lu ció n
d e v a ria b le s se p a ra d a s
   , , z   R       Z  z 
1    
1  
 
2
  



 0;    ,  , z   R        Z  z 


2
2
2
      
z
2
2
 Z d  dR  R Z d 
d Z
 R
0

 2
2
2
 d   d    d
dz
2
2
d  dR 
1 d 
1 d Z

0


2
2
2
R  d   d     d
Z dz
1
2
2
d  dR 
1 d 
1 d Z

0


2
2
2
R  d   d     d
Z dz
2
1
2
Tenem os
2
1 d Z
Z dz
2
 k
2
y
d  dR 
1 d 
2
 k


2
2
R  d   d     d
1
2
2
1 d Z
Z dz
2
 k
2
2
d Z
dz
2
k Z 0  k 0
2
2

Z  z   Ae
 kz
 Be
 kz
2
d  dR 
1 d 
2
 k


2
2
R  d   d     d
2
1
 d 
dR 
1 d 
2
2
0

k  
2
R d  d 
 d
1 d 
2
2
 d
2
 
2
y
 d 
dR 
2
2

  k  
R d  d 
2
1 d 
2
 d
d 
2
 
2
2
d
2
 
  
2

A exp   i    B exp   i 
    2


      e s u n e n te ro
 d 
dR 
2
2


k




R d  d 

2
2
d R
R d
2

 dR
R d
2
 k  
2
2
2
2

d R
1 dR
 
2

 k  2 R  0
2
d
 d 
 
2
2
d R
d
2
 2 2 

 k  2 R  0
 d 
 
1 dR
 1
k 
 

x

x  k
2
d R
dx
2
2

 

 1  2  R  0
x dx 
x 
1 dR
2
d R
dx
2

 

 1  2  R  0
x dx 
x 
1 dR
2
e s la e c u a c ió n d e B e s s e l
y s u s s o lu c io n e s s e lla m a n
fu n c io n e s d e B e s s e l
2
x
2
d R
dx
2
 x
dR
dx
  x 
2
2
R  0
e s la e cu a ció n d e B e sse l
y su s so lu cio n e s se lla m a n
fu n cio n e s d e B e sse l
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
  x 
2
2
y 0
2
x
2
d y
dx
2
 x
dy
dx
  x 
2
2
y 0
D ad o q u e x  0 es u n p u n to sin g u lar reg u lar
d e la ecu ació n d e B essel, sab em o s q u e
ex iste al m en o s u n a so lu ció n d e la fo rm a

y 
c
n0
n
x
nr
2
x
2
d y
dx
2
x
dy
dx
  x 
2
2
y 0

y 
P ro p o n e m o s la so lu ció n
c
n
x
nr
n0
S u stitu ye n d o e n la e cu a ció n d e B e sse l,

 c  n  r   n  r  1 x
nr
n
n0

  cn x
n0
nr2


2
c
n0
n
x
nr


 c n  r  x
n
n0
0
nr


 c n  n  r  n  r  1  x
nr


n0
 cn  n  r  x
nr
n0
c 0 r  r  1  x  c 0 rx  c 0 x
r

x
r

n 1
x
c
n0
2

 cn x
n0
nr2


2
 cn x
nr
0
n0
r
2
n


cn   n  r   n  r  1   n  r     x 

r
r

n
x
n2
0
c 0 r  r  1  x  c 0 rx  c 0 x
r

x
r

n 1
r
2
r

2
n
r
n2
c n   n  r   n  r  1    n  r     x  x  c n x
0
n0
c0  r  r  r  
2
2
x
r


x
r
 c   n  r   n  r  1    n  r   
n
n 1

x
r
c
n0
n
x
n2
0
2
x 

n
c0  r  r  r  
2
x
r
2
x 
r


n 1
n0
2
n
r
n2


c
n

r
n

r

1

n

r


x

x
c
x

 

 n 
 n 0


2 n

c0  r    x  x  cn  n  r    x 


n 1
2
2

x
r
c
n0
n
x
r
n2
r
0
2


2 n
r
n2

c0  r    x  x  cn  n  r    x  x  c n x


n 1
n0
2
2
r
2
r
E cu a ció n in d icia l:
P o r ta n to , te n e m o s
r1  
y
r2  
r 
2
2
0


2 n
r
n2

c0  r    x  x  cn  n  r    x  x  cn x


n 1
n0
2
2
r
2
r
r 

x  cn  n  

n 1

x


2

n

n2

  x  x  cn x
0

n0
2

 c n  n  2  x
n
n
 x
n 1

x   1  2  c1 x 




c
n
x
n2
0
n0

 c n  n  2  x
n
n2

n

c
n0
n
x
n2

0

 
x  1  2  c1 x 

 
x  1  2  c1 x 

 
x  1  2  c1 x 


 c n  n  2  x
n

n

n2

 c  k  2   k  2  2  x
c
n
n0
k2
k2


k 0
c
  c  k  2   k  2  2   c
k 0
k
k 0

k2
x
n2
k
 x
k2
x

0

k2

0


0

 
x  1  2  c1 x 


  c
k2
k
k 0
1  2  c1
 2   k  2  2   c k  x
0
c k  2  k  2   k  2  2
 ck  2 
k2
k
 ck
  ck
 2   k  2  2
0


0

 
x   1  2  c1 x 

1  2  c1

  c
k2
k
 2   k  2  2
k 0
 0
ck  2 
k
  c k  x
 ck
k2
 2   k  2  2
S i s e p o n e c1  0
e n to n c e s
c 3  c 5  c 7  ...  0
E s d e c ir,
c 2 n  1  0 p a ra n  0,1, 2, ...





x   1  2  c1 x 



  c
k2
k
 2   k  2  2
k 0
1  2  c1  0
ck  2 
k
  c k  x
k2
 ck
 2   k  2  2
H a c ie n d o k  2  2 n , n  1, 2, 3
c2 n  
c2 n  2
2 nn 
2

P o r ta n to ,
c2  
c4  
c6  
c0
2  1  1  
2
c2

2  2 2 
2
c4
2  3  3  
2




c0
2  1  2  1  
4
c0
2  1  2  3  1  
6
...
  1 c0
2n
2 n !  1     2    ...  n   
n
c2 n 
2  
  2    3   




 
x  1  2  c1 x 


  c
k2
k
 2   k  2  2
k 0
  c k  x
  1 c0
2n
2 n ! 1     2    ...  n   
n
c2 n 1  0
;
c2 n 
c0 
1
2  1  


k2




x   1  2


 c1 x


  c
k2
k
 2   k  2  2

k 0
  1 c0
;
2n
2 n !  1     2    ...  n   
c k  x
k2

  0

n
c 2 n  1  0; c 2 n 
  1
2 n 
2
n !  1     2    ...  n     1   
n
c2 n 
n  0,1, 2, 3, ...
c0 
1
2  1  

  1
2 n 
2
n !  1  

n

 n

x   1  2


 c1 x


  c
k2
k
 2   k  2  2
k 0
  1
2 n 
2
n !  1  

c k  x
k2

  0

n
c2 n 
 n
n  0,1, 2, 3, ...
;
  1
J  x   
n  0 n !  1  

n
x
 
 n  2 
2 n 
J
x 
  1
 n !  1  
n0

n
 x
 
 n  2 
2 n 
S i   0, la se rie co n v e rg e
a l m e n o s e n e l in te rv a lo
[0,  ).
P a ra r2   , se o b tie n e d e la
m ism a m a n e ra
  1
J   x   
n  0 n !  1  

n
x
 
 n  2 
2 n 
L a s fu n c io n e s
J
x 
J 
  1
 n !  1  
n0
x 
n

 x
 
 n  2 
  1
 n !  1  
n0

n
2 n 
 x
 
 n  2 
2 n 
s o n la s fu n c io n e s d e B e s s e l
d e p rim e ra c la s e d e o rd e n 
y o rd e n   , re s p e c tiv a m e n te .
J0  x
J1  x 
J 1  x 
J2 x
J 2  x 
J 10  x 
J 0 .3  x 
J  0 .2  x 
2

d R 1 dR
 

 1  2  R  0
2
dx
x dx 
x 
2
L a s o lu c ió n , q u e s e e n c u e n tra p o r e l
m é to d o d e s e rie s d e p o te n c ia s , e s
R  x   A J   x   B N   x 
d o n d e .....
R  x   A J   x   B N   x 
F u n c io n e s d e B e s s e l d e p rim e ra c la s e :
  1

m
 x
J  x   
 
m
!

m



1

 2 
m 1
2 m 
F u n c io n e s d e B e s s e l d e s e g u n d a c la s e o d e N e u m a n n :
N  x  
J   x  co s    J   x 
sin  
donde

z 
t
0
z 1
t
e dt
(P a ra e n te ro s :   n    n  1  ! )
L a e cu a ció n d e L a p la ce e n co o rd e n a d a s
cilín d ric a s
1    
1  
 
  

 0

 2
2
2
      
z
2
2
2
tie n e co m o so lu ció n g e n e r a l
  r , , z  


 

   
 A J   kr   B N   kr   e e
kz
i 
dk
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