Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto
L a se rie d e T a ylo r d e u n a fu n ció n re a l f  x 
in fin ita m e n te d ife re n cia b le , d e fin id a e n u n
 a  r , a  r , e s
in te rv a lo a b ie rto
d e p o te n cia s


n0
f
n
a
n!
x  a
n
la se rie
df
f  x  f a 
dx
3

1 d f
3! dx
f x

xa
x  a
3
n
1 d f
3
 ... 
x  a
n
xa
1 d f
2 ! dx
x  a
2
1 d f
n ! dx
n
2

xa
n
xa
 n ! dx
n 1
x  a 
2
x  a
n
xa
n
 ...
sin : R  R

f
x 
n 1
y  f
n
1 d f
n ! dx
x  a
n
d sin  x 
dx
sin  0   0
dx
 cos x
x0
sin x  x
n
xa
sin  x   sin  0   x
d sin x
 x   sin  x 
x0
1
x0
sin  x 
x
sin  x 
x
sin  x 
x
sin  x 
x
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
x
sin(x)
0.479
0.389
0.296
0.199
0.100
0.000
x
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
y  f  x   sin x
sin : R  R
f x


n 1
n
1 d f
n ! dx
sin x  sin 0  x
x  a
n
n
xa
2
d sin x
dx

x0
2
x d sin x
2
dx
2
x0
y  f  x   sin x
sin : R  R
sin x  sin 0  x
2
d sin x

dx
d sin x
 cos x
d sin x
dx
dx
2
d sin x
dx
2
x0
2
2
x d sin x
dx
2
x0
 cos 0
x0
2
  sin x
d sin x
sin x  sin 0  x cos 0 
dx
x
  sin 0
2
x0
2
2
sin 0  0  x  0  x
y  f  x   sin  x 
sin : R  R
f x

n
1 d f
 n ! dx
n 1
x  a
n
n
xa
sin  x   sin  0   x
d sin  x 
dx
x d sin  x 
2

x0
2
2
dx

2
x0
1
6
d sin  x 
3
x
3
dx
3
x0
sin : R  R
sin  x   sin  0   x
d sin  x 
y  f  x   sin  x 
d sin  x 
3
dx
3
dx
2
x d sin  x 
2

2
x0
d sin  x 
dx

2
x0
1
d sin  x 
3
x
3
6
dx
3
  cos  x 
dx
sin  x   sin  0   x cos  0  
  cos  0 
3
x0
x
2
2
sin  0  
1
6
x cos  0   x 
3
x
3
6
3
x0
s in  x 
x
x
3
6
s in  x 
x
x
3
6
s in  x 
x
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
x
x
3
6
sin(x)
0.479
0.389
0.296
0.199
0.100
0.000
x-x^3/6
0.479
0.389
0.296
0.199
0.100
0.000
sin x  0
cos x  1
 sin x  0
 cos x   1
sin x  0
cos x  1
sin x  0  x  0 
x
3
3!
0
x
5
5!
0
x
7
7!
0
x
9
9!
 ...
sin x  x 
x
3
3!

x
5
5!

x
7
7!

x
9
9!
1
1 x
1
x  0 .5,
1
x
2
1
1 x
3
8
x 
2
5
 
x O x
3
16
4
 1 .4 1 4 2 1 3 5 6 2
1  1,
1  0 .2 5  1 .2 5,
1  0 .2 5  0 .0 9 3 7 5  1 .3 4 3 7 5,
1  0 .2 5  0 .0 9 3 7 5  0 .0 3 0 5 1 8  1 .3 7 4 2 7

ln : R  R
y  ln  x 
H acer el desarrollo de T aylor del logaritm o
alrededor del 1.
y  ln  x 

ln : R  R
H acer el d esarro llo d e T aylo r d el lo g ari tm o
alred ed o r d el 1 .
ln  1   0
d ln  x 
dx

x
x 1
d ln  x 
1
1
x 1
2
dx
2
x
x 1
d ln  x 
3
dx
1
 

3
x 1
d ln  x 
x 1
2
x
 2
3
x 1
n
dx
   1
n
x 1
 1
2
n 1
 n  1!
x
   1
n
x 1
n 1
 n  1!
y  ln  x 

ln : R  R
ln  x    x  1  
 x  1
2
2

 x  1
3
3

 x  1
4
4
 ...    1 
n 1
 x  1
n
n
 ...

ln : R  R
ln  x    x  1 
y  ln  x 
y  ln  x 

ln : R  R
ln  x    x  1  
 x  1
2
2
y  ln  x 

ln : R  R
ln  x    x  1  
 x  1
2
2

 x  1
3
3
y  ln  x 

ln : R  R
ln  x    x  1  
 x  1
2
2

 x  1
3
3

 x  1
4
4
y  ln  x 

ln : R  R
ln  x    x  1  
 x  1
x-1-(x1)^2/2
2
2

 x  1
3

 x  1
3
4
4
x-1-(x-1)^2/2+(x1)^3/3
x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3(x-1)^4/4
x
ln(x)
x-1
0.500
-0.693
-0.500
-0.625
-0.667
-0.682
0.600
-0.511
-0.400
-0.480
-0.501
-0.508
0.700
-0.357
-0.300
-0.345
-0.354
-0.356
0.800
-0.223
-0.200
-0.220
-0.223
-0.223
0.900
-0.105
-0.100
-0.105
-0.105
-0.105
1.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
1.100
0.095
0.100
0.095
0.095
0.095
1.200
0.182
0.200
0.180
0.183
0.182
1.300
0.262
0.300
0.255
0.264
0.262
1.400
0.336
0.400
0.320
0.341
0.335
1.500
0.405
0.500
0.375
0.417
0.401
f : R  1  R
y  f
x 
1
1 x
H acer el d esarro llo d e T aylo r alred ed o r d el 0 .
f : R  1  R
y  f
1
x 
1 x
H acer el d esarro llo d e T aylo r alred ed o r d el 0 .
d 

dx 


1 x 
1

x0

2 
dx 


1 x 

3 
dx 


1 x 

n 
dx 


1 x 
d
d
d
2
3
n
1
2
1  x 
3 / 2

x0
1
2
x0
13
5 / 2
   1  x 
22
x0
1  3  5 
7 / 2
     1  x 
2  2  2 
1
1
1

x0
 2 n  1  !!
2
n

x0
13
2
2

x0
13 5
2
3
f : R  1  R
y  f
x 
1
1 x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
1
1 x
1
1
2
x
3
8
x 
2
5
16
x  ... 
3
 2 n  1  !!
n !2
n
x  ...
n
f : R  1  R
1
1 x
1
1
2
x
1
y  f x 
3
8
x 
2
5
16
x 
3
35
128
1 x
x
4
ex p : R  R
y  ex p  x   e
x
H acer el d esarro llo d e T aylo r alred ed o r d el 0 .
y  ex p  x   e
ex p : R  R
x
H acer el d esarro llo d e T aylo r alred ed o r d el 0 .
d


dx
d
e
2
dx
d
3
x
x0
 e
x
 
e
x
 e
x
x0
n
dx
x0
 
e
x
1
x0
1
x0
3
dx
d
2
 e
x
n
 
e
1
x
x0
x0
1
y  ex p  x   e
ex p : R  R
x
H acer el d esarro llo d e T aylo r alred ed o r d el 0 .
e 1 x 
x
1
2
x 
2
1
6
x  ... 
3
1
n!
x  ...
n
df
dx
 x0  
df
dx
f
lim
f
f
f
x 
 x0 
f
 x0 
x  x0
 x0    x 
 x0  
f
x  x0
x  x0
 x0  
x 
x 
f
x
df
dx
x0 
df
dx
 x0 
 x0 
df
dx
 x0  
df
lim
f
x  x0
 x0  
df
dx
x 
f
x  x0
 x 0  dx
 x0 
1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
V
S V

C o n sid erarem o s siem p re
la n o rm al h acía afu era
S ea un cam po vectorial:
F :D  R  R
3
3
; F  x , y , z    Fx , F y , Fz 
La divergencia de F es un cam po escalar:
  F : D ´ R  R
3
  F  x, y, z  
 Fx
x

Fy
y

 Fz
z

dV
F



V
para todo V

S V
F  dS


V
d
F



V
para todo V

S V
F  dS


dV
F



V
para todo V

S V
F  dS

S ea F : R  R un cam po vectorial.
3
P ara todo V :
3


F
dV


V

S V
F  dS

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.2 y 3.3
V olum en V
S uperficie cerrada S
T 

S V
F  dS

T
2
nˆ1
nˆ 2
1
nˆ1   nˆ 2   T   1   2
 T  1   2   3   4
N
T 

i 1
i
N
T 

i 1
i
Z
 x, y, z
 x, y, z 
x 
X
dx, y, z 
 dz 
 x  dx, y  dy, z  dz 
 x, y  dy, z  dz 
 x, y  dy, z 
Y
 x  dx, y  dy, z 
 C ubito   1   2   3   4   5   6 
  F ( x , y , z )  kˆ dxdy  F ( x , y , z  dz )  kˆ dxdy
 F ( x , y , z )  ˆj dxdz  F ( x , y  dy , z )  ˆj dxdz
 F ( x , y , z )  iˆ dydz  F ( x  dx , y , z )  iˆ dydz
   F z ( x , y , z )  F z ( x , y , z  d z )  d xd y 
   F y ( x , y , z )  F y ( x , y  d y , z )  d xd z 
   F x ( x , y , z )  F x ( x  d x , y , z )  d yd z 

 C u b ito    F z ( x , y , z )  F z ( x , y , z  d z )  d xd y 
   F y ( x , y , z )  F y ( x , y  d y , z )  d xd z 
   F x ( x , y , z )  F x ( x  d x , y , z )  d yd z 
 Fz ( x , y , z ) 

   Fz ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 
dz  dxdy 
z


Fy ( x, y , z ) 

   Fy ( x, y , z )  Fy ( x, y, z ) 
dy  dxdz 
y


 Fx ( x , y , z ) 

   Fx ( x , y , z )  Fx ( x , y , z ) 
dx  dydz 
x


 C ubito
 Fz ( x , y , z ) 

   Fz ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 
dz  dxdy 
z


Fy ( x, y , z ) 

   Fy ( x, y , z )  Fy ( x, y , z ) 
dy  dxdz 
y


 Fx ( x , y , z ) 

   Fx ( x , y , z )  Fx ( x , y , z ) 
dx  dydz 
x



 Fz ( x , y , z )
z
dzdxdy 
Fy ( x, y , z )
y
dydxdz 
 Fx ( x , y , z )
x
dxdydz 
 Cubito 
 C ubito
 Fz ( x , y , z )
z
dzdxdy 
Fy ( x, y , z )
y
dydxdz 
 Fx ( x , y , z )
x
dxdydz
  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 



 dxdydz
x
y
z


 C ubito   1   2   3   4   5   6 
ˆ
ˆ
ˆ
  F ( x , y , z )  kdxdy
 F ( x , y , z  dz )  kdxdy
 F ( x , y , z )  ˆjdxdz  F ( x , y  dy , z )  jdxdz

ˆ
ˆ
 F ( x , y , z )  idydz
 F ( x  dx , y , z )  idydz

   F z ( x , y , z )  F z ( x , y , z  dz )  dxdy    F y ( x , y , z )  F y ( x , y  dy , z )  dxdz 
   F x ( x , y , z )  F x ( x  dx , y , z )  dydz 
 Fz ( x , y , z ) 

   Fz ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 
dz  dxdy 
z


Fy ( x, y , z ) 

   Fy ( x, y , z )  Fy ( x, y , z ) 
dy  dxdz 
y


 Fx ( x , y , z ) 

   Fx ( x , y , z )  Fx ( x , y , z ) 
dx  dydz 
x



 Fz ( x , y , z )
z
dzdxdy 
Fy ( x, y , z )
y
dydxdz 
 Fx ( x , y , z )
x
  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 



 dxdydz
x
y
z


dxdydz 
N
 T  lim

N 
i 1
dV i  0
C ubito i

  Fx ( xi , y i , z i )  F y ( xi , y i , z i )  Fz ( xi , y i , z i ) 
 lim  


dV i 

N 
x
y
z

dV i  0 i  1 
N
  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 
  


 dV
x
y
z

V 
T
  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 
  


 dV
x
y
z

V 
T 

S V
F  dS

  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 
   x   y   z  dV

V 
 
S V
F  dS

  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 


 dV
 
x
y
z

V 
  F ( x, y, z ) 
 Fx ( x , y , z )
x

Fy ( x, y , z )
y
   F dV  
V
S V

F  dS

 
S V
F  dS

 Fz ( x , y , z )
z
  F ( x, y, z ) 
 Fx ( x , y , z )
x

Fy ( x, y , z )
y

 Fz ( x , y , z )
z
 C ubito
  Fx ( x , y , z )  F y ( x , y , z )  Fz ( x , y , z ) 



 dxdydz
x
y
z


 C ubito     F ( x , y , z )  dV


   F d V  
V
S V
F  dS

F  0
   F d V  
V
S V
F  dS

F  0
S ea F : R  R un cam po vectorial.
3
3
P ara todo V :


F
dV


V

S V
F  dS

   F d V  
V
S V
F  dS

F  0
   F d V  
V
S V
F  dS

F  0
n
F :D  R  R
n
F 
n

i 1
 Fi
 xi
D efin ició n física d e la d iverg en cia:
1
 d iv F   x   lim


V  0  V

F  nˆ d S
S r,x
d o n d e S  r , x  rep resen ta a u n a esfera
d e rad io r cen trad a en x d e vo lu m en  V
rˆ
ˆ


ˆ





x
r

 
y  

 
 
z 
 
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
r0
0 
z  r cos 
0    2
P  xiˆ  yjˆ  zkˆ  r sin  co s  iˆ  r sin  sin  ˆj  r co s  kˆ
P
r
P

P

P
r
 sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
 r co s  co s  iˆ  r co s sin  ˆj  r sin  kˆ
  r sin  sin  iˆ  r sin  co s  ˆj
1
P

 r
P

 r sin 
P  xiˆ  yjˆ  zkˆ  r sin  co s  iˆ  r sin  sin  ˆj  r co s  kˆ
P
r
P

P

 sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
 r co s  co s  iˆ  r co s sin  ˆj  r sin  kˆ
  r sin  sin  iˆ  r sin  co s  ˆj
rˆ  sin  co s  iˆ  sin  sin  ˆj  co s  kˆ
ˆ  co s  co s  iˆ  co s sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  co s  ˆj
rˆ  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ
ˆ  cos  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ
ˆ   sin  iˆ  cos  ˆj



rˆ  ˆ  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ  cos  cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ 
 sin  cos  cos   sin  cos  sin   sin  cos  
2

2

 sin  cos  cos   sin   sin  cos  
2
2
 sin  cos   sin  cos   0
ˆ  ˆ  0
ˆ  rˆ  0
rˆ
ˆ


ˆ
n
F :D  R  R
n
F 
n

i 1
 Fi
 xi
D efin ició n física d e la d iverg en cia:
1
 d iv F   x   lim


V  0  V

F  nˆ d S
S r,x
d o n d e S  r , x  rep resen ta a u n a esfera
d e rad io r cen trad a en x d e vo lu m en  V
1
 div F   x   lim


V  0  V

S r,x
ˆ
F  ndS


s  
r
r sin   
r
 V  r sin   r    
2
ˆ
 F  ndS
  F  r ,  ,    nˆ   r    r sin     


S1


2
2
  F  r ,  ,       rˆ  r sin        Fr  r ,  ,   r sin     


ˆ
 F  ndS


  F  r ,  ,    nˆ   r    r sin    


S2


2
  F  r ,  ,    rˆ  r sin     





 Fr  r ,  ,   r sin        r
2
r  r


r

r  r


 F r  r ,  ,   r sin     

2
F r  r ,  ,   r sin     
2



r  r
ˆ
 F  ndS
  F  r ,  ,    nˆ    r  r sin     


S3
   r sin   r      F
 F  r ,  ,    ˆ

 r ,  ,   r sin   r  
ˆ
 F  ndS


  F  r ,  ,    nˆ    r  r sin    


S4


  F  r ,  ,    ˆ   r sin   r   


 F  r ,  ,    r sin   r      
  



  
  F  r ,  ,    r sin   r   
 F  r ,  ,    r sin   r   
  

ˆ
 F  ndS
  F  r ,  ,    nˆ   r     r  


S1
  F  r ,  ,       ˆ   r  r      F  r ,  ,   r  r  


 F  nˆ d S


  F  r ,  ,    nˆ   r     r 


S2

  F  r ,  ,    ˆ   r  r  


 F  r ,  ,   r  r     



  

  
  F  r ,  ,   r  r   
 F  r , ,   r  r   

  

 Fr  r ,  ,   r sin     
2


Fr  r ,  ,   r sin        r
2


r

Fr  r ,  ,   r sin     
2

 F  r ,  ,   r sin   r  
F  r ,  ,    r sin   r      


 F  r ,  ,    r sin   r   
 F  r ,  ,   r  r   
 F  r ,  ,   r  r     


 F  r , ,  r  r   




2

 r
Fr  r ,  ,   r sin      

r 
 
 

 F  r ,  ,    r sin   r    


 F  r ,  ,   r  r    

 



2
 r sin  Fr  
 rF  
 r  
r
sin

F





 

r



1
 div F   x   lim


V  0  V


ˆ
F  ndS
S r,x 
ˆ
F  ndS

S r,x
 



2
 r sin  Fr  
 rF  
 r  
 r sin  F  





r






1
V

ˆ
F  ndS

S r,x 
r 
 


2
 r sin  Fr  
 rF
 r sin  F  

2


r sin   r       r

 




 



2
ˆ
F  ndS
 2
 r sin  F    rF  
  r sin  Fr  

V S r,x
r sin    r



1
1
1
 div F   x   lim


V  0  V

ˆ
F  ndS
S r,x
 



2
 div F   x   2
 r sin  F    rF  
  r sin  Fr  


r sin    r



1
1 
1

1

 div F   x   2
 r 2 Fr  
 rF 
 sin  F  




r r
r sin   
r sin   
 
1 
1

1

 div F  P  2
 r Fr  
 rF 
 sin  F  





r r
r sin   
r sin    
2
C oordenadas cartesianas
 
 Fx
Fy
 Fz
 div F  P 




z
y
x
C oordenadas esféricas
 
1 
1

1

 div F  P  2
 r Fr  
 rF 
 sin  F  





r sin    
r sin   
r r
2
C oordenadas cilíndricas

1 
1 
 div F  P 
  F  
 F    F z 




z
 
 
 
C alcular el flujo

G  dS , del cam po vectorial
C ubo
G  x, y, z    x, y, z 
a través del cubo de lado 2 con centro en el origen

G  dS 

  G dV
y
z
G  x, y, z    x, y, z 
V  cubo 
C ubo
pero
 G 
x
x

y

z
111 3
así que

C ubo
G  dS 

V  cubo 
  G dV 

V  cubo 
3 dV  3

V  cubo 
dV  3  8  24
C alcular el flujo

G  dS , del cam po vectorial
C ubo
G  x, y, z    x, y, z 
a través de cualquier superficie cerrada
 G  dS     G dV
G  x, y, z    x, y, z 
V S
S
pero
 G 
x
x

y
y

z
z
111 3
así que

S
 V olum en 


G  dS     G dV   3 dV  3  dV  3  encerrado


V S
V S 
V S 
 por S



C alcular el flujo

G  dS , del cam po vectorial
C ubo
G  x, y, z    x, y, z 
a través del cubo de lado 2 con centro en el origen
Para calcularlo, calculam os el flujo de cada una de
las seis caras y sum am os

C ara 1
ˆ
G  ndS
G  x, y, z    x, y, z 
La param etrización de esta superficie es
r  u , v   1, u , v 
1 u 1
1 v 1
La param etrización de esta superficie es
r  u , v   1, u , v 
1 u 1
1 v 1
La norm al "hacía afuera" es
r  u , v 
u

r  u , v 
v
  0,1, 0    0, 0,1   ˆj  kˆ  iˆ
1 1

C ara 1
1 1


ˆ
G  ndS

 1, u , v   1, 0, 0   dudv 
1 1
1
1
  dudv   du  dv  2  2  4
1 1
1
1

C ara 2
ˆ
G  ndS
G  x, y, z    x, y, z 
La param etrización de esta superficie es
r  u , v     1, u , v 
1 u 1
1 v 1
La param etrización de esta superficie es
r  u , v     1, u , v 
1 u 1
1 v 1
La norm al "hacía afuera" es
r  u , v 
v

r  u , v 
u
  0, 0,1    0,1, 0   kˆ  ˆj   iˆ
1 1


ˆ
G  ndS

1 1
C ara 2
1 1

   1, u , v     1, 0, 0   dudv 
1
1
  dudv   du  dv  2  2  4
1 1
1
1
1 1

ˆ
G  ndS

    u ,1, v    0,1, 0   dudv    dudv  4
1 1
C ara 3
1 1
1 1
1 1

ˆ
G  ndS

    u ,  1, v    0,  1, 0   dudv    dudv  4
1 1
C ara 4
1 1

ˆ
G  ndS

1 1
C ara 6
ˆ
G  ndS

1 1
1 1
    u , v ,1    0, 0,1   dudv    dudv  4
1 1
C ara 5

1 1
1 1
1 1
    u , v ,  1    0, 0,  1   dudv    dudv  4
1 1
1 1

C alcular el flujo
G  dS , del cam po vectorial
C ubo
G  x, y, z    x, y, z 
a través del cubo de lado 2 con centro en el origen

C ubo
G  dS  24
1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales

dV
F



V
para todo V

S V
F  dS

n
F :D  R  R
n
F 
n

i 1
 Fi
 xi
D efin ició n física d e la d iverg en cia:
1
 d iv F   x   lim


V  0  V

F  nˆ d S
S r,x
d o n d e S  r , x  rep resen ta a u n a esfera
d e rad io r cen trad a en x d e vo lu m en  V
C oordenadas cartesianas
 
 Fx
Fy
 Fz
 div F  P 




z
y
x
C oordenadas esféricas
 
1 
1

1

 div F  P  2
 r Fr  
 rF 
 sin  F  





r sin    
r sin   
r r
2
C oordenadas cilíndricas

1 
1 
 div F  P 
  F  
 F    F z 




z
 
 
 
D em uestra que el teorem a de la divergenc ia
es cierto para el cam po vectorial
F  x , y , z    2 xy ,  y , z  xy 
2
usando el volum en y la superficie genera dos
por el cilindro
y los planos
x  y 9
2
2
z  0 y z  5.
F  x , y , z    2 xy ,  y , z  xy 
2
1
0
1
1
0
1
1
0
1
x  y 9
2
2
z 0 y z 5


F
dV


V
para todo V

S V
F  dS

F
 x , y , z    2 xy ,  y
2
, z  xy 
 F  2y  2y 1 1
dV

V
x  y 9
2
V 
2
z 0 y z 5
F
 x , y , z    2 xy ,  y
2
, z  xy 
 F  2y  2y 1 1
dV

V
V 

2
9
z 0 y z 5
  0    3, 0    2  , 0  z  5
F
 x , y , z    2 xy ,  y
2
, z  xy 
5 3 2
 
0 0
3
 d  d  d z  5  2
0
9
 1 0     4 5
2

0
d


F
dV


V
para todo V

S V
F  dS

 3 cos u , 3 sin u , v 
con
  3 sin u , 3 cos u , 0 
i


n   3 sin u


0

y
j
3 cos u
0
 3  cos u , sin u , 0 
u   0, 2 

v   0, 5 
 0, 0,1 
k

0   3 cos u , 3 sin u , 0 

1 
 3 co s u , 3 sin u , v 
co n
u   0, 2 

v   0, 5 
F  x , y , z    2 xy ,  y , z  xy 
2
 (18 sin u cos u ,  9 sin u , v  9 sin u cos u )
2
F  n  (18 sin u cos u ,  9 sin u , v  9 sin u cos u )  3  cos u , sin u , 0  
2
 54 sin u cos u  27 sin u
2
3
E l flu jo d e cam p o eléctrico a
través d e cu alq u ier su p erficie
cerrad a es p ro p o rcio n al a la
carg a eléctrica en cerrad a en
el vo lu m en .
E l flujo de cam po eléctrico a través de cualquier superficie cerrada
es proporcional a la carga eléctrica enc errada en el volum en.
E  x, y, z  
1
q
4  0 r

S V


2
rˆ
E sfera d e rad io R
1

q
4  0 R
1
q
4  0 R
1
2
2 
R
2
  sin  d  d 
0 0
q
4  0 R
2
ˆr  rR
ˆ 2 sin  d  d 
2
R 4 
2
q
0

L a ley d e G au ss: F lu jo d e cam p o electro stático 

S V

S V
E  dS 
 Q V
0

E  dS 

0
  d V
V
   E d V
V
   E d V
V
E 

1

0

1
0
  d V
V
P rim era ecu ació n d e M ax w ell
 Q V
0
E l cam p o electro stático es co n servativo .
E s d ecir,
E  0
ó
E   
S u stitu yen d o esto en   E 
ten em o s
      

0

0
E l potencial electrostático satisface         4 
¿Q ué es eso?
E n coordenadas cartes ianas
    
  
,
,

 x y z 
y luego
         
    
,
,
,
,


 x y z   x y z 
 
2

x
2
 
2

y
 
2
2
  
2
x
2
 
2

z
 
2
2

y
2
 
2

z
2
es el laplaciano
E l p o ten cial electro stático satisface la ecu ació n
 
2
x
2
 
2

y
2
ó
  
2

0
 
2

z
2


0
   x , y , z    4 f  x , y , z 
2
es la ecuac ión de P o iss on
* E s una ecuación diferencia l parcial
* E s de segundo orden
* E s lin ea l
N o h ay m o n o p o lo s m ag n ético s:
F lu jo d e cam p o m ag n ético  0

S V

S V
B  dS  0

B  dS 

   B d V
V
B  0
   B d V
V
0
F :D  R

C
F  dl 
 R
3

S C
3
  F  dS

p ara to d a C
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
C
C
C
F :D  R  R
3

C
F  dl 

3
  F  dS
S C 
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
C


C
F  dl
C2
C1
 

C1
F  dl 

C2
F  dl
 
 F  dl
C1

 F  dl
C2

 F  dl
C3

 F  dl
C4
N
 
  F  dl
i 1 C
i
N
 
  F  dl
i 1 C
i

F  dl 
Ci
Fx  x , y , z   x 
Fy  x  x, y , z  y
 Fx  x , y   y , z   x
 Fy  x, y, z  y
y
 x, y, z 
x
 F  dl
 Fx  x , y , z   x  Fx  x , y   y , z   x
Ci
 Fy  x   x, y , z   y  Fy  x, y , z   y
 Fx
Fx  x , y   y , z   Fx  x , y , z  
y
Fy  x   x, y , z   Fy  x, y , z  
 F  dl
Fy
x
y
x
 Fx  x , y , z   x  Fx  x , y , z   x 
Ci
 Fy  x, y , z   y 
Fy
x
 Fx
y
yx
xy  Fy  x, y , z  y
 F  dl
 Fx  x , y , z   x  Fx  x , y , z   x 
Ci
 Fy  x, y , z   y 
F
Ci

Ci
 dl  
 Fx
y
yx 
Fy
x
Fy
x
y
yx
xy  Fy  x, y , z  y
 x y
  F y  Fx
F  dl  

y
 x
 Fx

 xy

S ea F : D  R  R un cam po vectorial diferenciable,
3
3
el cam po vectorial
F :R  R
3
3
definido com o
F 
iˆ
ˆj
kˆ


x
y
Fx
Fy
  Fz  F y  Fx  Fz  F y  Fx 


,

,


z
z z
x x
y 
 y
Fz

se llam a rotacional de F

Ci

  F y  Fx

F  dl  
y
 x


 xy


F  dl    F  kˆ  x  y
Ci

Ci


F  dl    F  nˆ  S


F  dl    F

i
 nˆ i  S i
Ci
N
F
 dl 
F
N
 dl 
i 1 C
i
C
N
   F 
i 1
 F  dl
C

i
 nˆ i  S i 
   F 
i 1
    F   nˆ d S
S C

ˆ
    F   ndS
S C 
i
 nˆ i  S i
F :D  R  R
3

C
F  dl 

3
  F  dS
S C 
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
F :D  R  R
n
n
D efin ició n física d el ro tacio n al:


1
 ro t F  nˆ   x   lim


S  0  S

C  S 
F  dl
C o o rd en ad as cartesian as
 F y  Fx
  Fz
 Fz  F y
 Fx 
ro t F  

,

,



y

z

z

x

x

y


C o o rd en ad as esféricas
 
 F 
ro t F 
 sin  F  

 rˆ 
r sin    
 
1
 ˆ
1  1  Fr

 

 rF    
r  sin   
r

1 
 
 rF
r  r

 Fr 

ˆ

 
C o o rd en ad as cilín d ricas
 1  Fz
 F 
ro t F  

 ˆ 
z 
  
  F
 Fz
 


 z
1  


  
 ˆ
 

  F 
 F 
ˆ

k

 
F :D  R  R
3
3
P1  P2
P2
 F  r   dl
P1
b

 F    t   
a
d t 
dt
dt
U n cam p o vecto rial es co n servativo si la in teg ral
d e lin ea en tre cu alesq u iera d o s p u n to s P1 y P2 es
in d ep en d ien te d e la trayecto ria
F :D  R  R
3
3
U n cam po vectorial es conservativo
si y sólo si
F  0
F :D  R  R
3

C
F  dl 

3
  F  dS
S C 
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P.
Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
F :D  R  R
3
3
U n cam po vectorial es conservativo
si y sólo si   F  0

C
F  dl 

S C 
  F  dS  0
1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
S ea  : D  R  R .
3
V erificar que el rotacional del
gradiente siem pre es cero.
S ea  : D  R  R .
3
V erificar que el rotacional del
gradiente siem pre es cero.
     x ,  y ,  z      x ,  y  ,  z 
i
j
     x
y
 x
 y
k
z 
 z
   yz    zy  ,  xz    zx  ,  yx    xy  
  0, 0, 0 
S ea F : D  R  R .
3
3
V erificar que la divergencia del
rotacional siem pre es cero.
S ea F : D  R  R .
3
3
V erificar que la divergencia del
rotacional siem pre es cero.
kˆ
iˆ
ˆj
  F  x
y
z 
Fx
Fy
Fz
   y Fz   z F y ,  z Fx   x Fz ,  x F y   y Fx 
S ea F : D  R  R .
3
3
V erificar que la divergencia del
rotacional siem pre es cero.
    y Fz   z F y ,  z Fx   x Fz ,  x F y   y Fx  
  x   y Fz   z F y    y   z Fx   x Fz    z   x F y   y Fx  
  yx F z   zx F y   zy F x   xy F z   xz F y   yz F x
  yx F z   zx F y   zy F x   xy F z   xz F y   yz F x
0
F :D  R  R
3

C
F  dl 

S C 
3
  F  dS
  t    4 cos t , 4 sin t , 4 
 '  t     4 sin t , 4 cos t , 0 
t   0, 2 

t   0, 2 

  t    4 cos t ,  4 sin t , 4 
 '  t     4 sin t ,  4 cos t , 0 
t   0, 2 

F  x, y, z     y, x, 2 
F    t     4 sin t , 4 co s t ,  2 
F    t     '  t  
  4 sin t , 4 co s t ,  2     4 sin t ,  4 co s t , 0 
  1 6 sin t  1 6 co s t   1 6
2
2
  t    4 cos t ,  4 sin t , 4 
 '  t     4 sin t ,  4 cos t , 0 
F  x, y, z     y, x, 2 
F    t     '  t    16
2
 16 dt   32
0
t   0, 2 

F :D  R  R
3

C

C
F  dl 

3
  F  dS
S C 
F  dl   32 
r  u , v    v cos u , v sin u , v 
u   0, 2 

v   0, 4 
r  u , v    v cos u , v sin u , v 
u   0, 2 
r
u
r
v
r
u

v   0, 4 
   v sin u , v cos u , 0 
  cos u , sin u ,1 

r
v
iˆ
  v sin u
cos u
ˆj
v cos u
sin u
kˆ
0 
1
  v cos u , v sin u ,  v sin u  v cos u   v  cos u , sin u ,  1 
2
2
F  x, y, z     y, x, 2 
F  x, y, z     y, x, 2 
F 
iˆ
ˆj
kˆ
iˆ
ˆj
kˆ






x
y
z
x
y
z
Fx
Fy
Fz
y
x
2

  0, 0, 2 
F  x, y, z     y, x, 2 
  F  x , y , z    0, 0, 2 
r  u , v   v  co s u , sin u ,1 
u   0, 2 

v   0, 4 
n  v  co s u , sin u ,  1 
  F  r  u , v     0, 0, 2 
F  r  u , v    v  co s u , sin u ,  1 
  0, 0, 2   v  co s u , sin u ,  1 
 2v
F  x, y, z     y, x, 2 
  F  r  u , v    n   2 v
2


0
r  u , v   v  co s u , sin u ,1 
u   0, 2 
v   0, 4 
n  v  co s u , sin u ,  1 
4
du  2 v  2   v
0

2

4
0
  32 
F :D  R  R
3

F  dl 
C

C
F  dl   32  ;

3
  F  dS
S C 

S C 
  F  dS   32 
S ea
 :D  R  R
3
un cam po escalar.
E ntonces


dV


V S 
ˆ

n
dS

S
donde V es un volum en arbitrario
y S es la superficie que lo rodea


dV


V S 
ˆ

n
dS

S
E n el teorem a de la divergencia ponem os



c
dV




V S 
ˆ

c

n
dS



S
donde c es un cam po vectorial constante
   d V

V S 
     c  d V
V S

  nˆ d S
S

   c   nˆ d S
S
P ero
   c     c     c
y com o c es un cam po vectorial constante,
   c      c
   d V

V S 
  nˆ d S
S
     c  d V 
V S 
ˆ

c

n
dS



S
   c      c
S u stitu yen d o
    cd V
V S


 c   nˆ d S
S
c     d V  c    nˆ d S
V S

S
S ea R una región cerrada del plano X Y lim itada
por una curva sim ple y cerrada C
S ean M y N dos funciones continuas de x e y con
derivadas continuas en todo R

C
 N
M 

 M dx  N dy    
 dxdy
x
y 
R C  
donde C se r ecorre en el sentido positivo.
S ea R u n a reg ió n cerrad a d el p lan o X Y lim it ad a p o r u n a
cu rva sim p le y cerrad a C . S ean M y N d o s fu n cio n es
co n tin u as d e x e y co n d erivad as co n tin u as en to d o R

C
 N
M 

 M d x  N d y    
 d xd y d o n d e C s e
x
y 
R C  
reco rre en el sen tid o p o sitivo .
Y
C
R
X
F :D  R  R
3

C
F  dl 

S C 
3
  F  dS

C
 N
M 

 M dx  N dy    
 dxdy
x
y 
RC  
F :D  R  R
3
3

;
F  dl 

S C
C
  F  dS

P o n em o s
F
ˆ  x, y  
 x , y , z   iM
ˆjN
 x, y 
ten em o s en to n ces

F  dl 
C


ˆ
 iM

 x, y  
C
  M dx  N dy 
C
ˆjN
ˆ x
 x , y     id

ˆ z 
ˆjd y  kd

C
 N
M 

 M dx  N dy    
 dxdy
x
y 
RC  
F :D  R  R
3
3
;
 F  dl
C


  F  dS
S C 
P onem os
ˆ  x , y   ˆjN  x , y 
F  x , y , z   iM
tenem os entonces
F 
iˆ
ˆj
kˆ


x
y
 N M 
ˆ
k


z

x

y


M  x, y 
N  x, y 

0

C
 N
M 

 M dx  N dy    
 dxdy
x
y 
RC  
F :D  R  R
3
3
;
 F  dl
C



  F  dS
S C 
 N M  ˆ  N M 
ˆ
ˆ
  F k  k 


k  

y 
y 
 x
 x

 N M 
ˆ


F

n
dS   

 dxdy

x
y 
S C 
R C  
T enem os el cam po de fuerza en el plano
F ( x , y )  ( y  3 x ) iˆ  (2 y  x ) ˆj
C alcula el trabajo realizado por esta fu erza
al m over una partícula a lo largo de la elipse
4x²  y²  4
en la dirección contraria a las m anecillas del reloj.
S ugerencia: H ay una form a m uy fácil, y u na,
la directa, difícil.
T enem os el cam po de fuerza en el plano F ( x , y )  ( y  3 x ) iˆ  (2 y  x ) ˆj
C alcula el trabajo realizado por esta fu erza al m over una partícula a lo
largo de la elipse 4 x ²  y ²  4
en la dirección contraria a las m anecillas
del reloj. S ugerencia: H ay una form a m uy fácil, y una, la directa, difícil.
E l trabajo está dado por la integral de línea
W 

elipse
F ( x , y )  dl 

elipse
( y  3 x ) dx  (2 y  x ) dy
T eorem a de G reen:

 M dx  N dy  
C
 N M 
   x   y  dxdy

R C  
E l trab ajo está d ad o p o r la in teg ral d e lín ea
W 

F ( x, y )  dl 
elip se

( y  3 x)dx  (2 y  x)dy
elip se
 


 ( y  3 x ) dx  (2 y  x ) dy     x (2 y  x )   y ( y  3 x )  dxdy

elipse
elipse 
W 
   1  1  dxdy   2 
elipse
elipse
W   2   ab    2    1  2 
W   4
dxdy   2   área de la elipse 
T enem os el cam po de fuerza en el plano F ( x , y )  ( y  3 x ) iˆ  (2 y  x ) ˆj
C alcula el trabajo realizado por esta fu erza al m over una partícula a lo
largo de la elipse 4 x ²  y ²  4
en la dirección contraria a las m anecillas
del reloj. S ugerencia: H ay una form a m uy fácil, y una, la directa, difícil.
E l trabajo es  4 
A 

d yd x
E lip se
3
2
x
2
1

y
1
2
4
1
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
x
2
a
2

y
2
b
2
1

b a x
2
y
2
a
y por tanto es la región
b a x
2
a  x  a ;

a
2
b a x
2
 y
a
2
b a x
2
a  x  a ;

2
b a x
2
 y
a
b
2
a x
2
b
2
a x
a
a
a
a


d yd x  4 

0
0
a

b
2
a x
2
a

4b 
a 4
a   ab
2
2
a
2
d yd x 
4b
a
a

0
a  x dx
2
2

a  x dx
2
2
x  a cos   dx   a sin  d 
a
2
 sin  d 
2
1 1
 sin  d     2  2 cos 2
2
 1
 1

 d    sin 2   sin  cos 
2 4
2 2

x  a cos   cos  
x
a x
2
 sin  
a
2
2
2 
a 
x
x
a

x
 

 arccos   

2
2 
a
a


a
2
a 
 x x

 arcco s   
2 
a


2

a
2
2
arcco s 1  
a
2
2
a x 
 
2
a
 0

0
a  x dx 
2
2
2
arcco s  0  
a
2
a

4
a
2

4
a
2
T enem os el cam po de fuerza en el plano
F ( x , y )  ( y  3 x ) iˆ  (2 y  x ) ˆj
C alcula el trabajo realizado por esta fu erza
al m over una partícula a lo largo de la elipse
4x²  y²  4
en la dirección contraria a las m anecillas del reloj.
S ugerencia: H ay una form a m uy fácil, y u na,
la directa, difícil.
3
  t    co s t , 2 sin t 
t   0, 2 

2
1
0
 '  t     sin t , 2 co s t 
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
  t    cos t , 2 sin t 
t   0, 2 

 '  t     sin t , 2 cos t 
F ( x , y )  ( y  3 x ) iˆ  (2 y  x ) ˆj
F    t     2 sin t  3 cos t , 4 sin t  cos t 
F    t     '  t    2 sin t  3 cos t , 4 sin t  cos t     sin t , 2 cos t 
  2 sin t  3 sin t cos t  8 sin t cos t  2 cos t   2  5 sin t cos t
2
2
   2  5 sin t cos t  dt   4 
0
2
T enem os el cam po de fuerza en el plano F ( x , y )  ( y  3 x ) iˆ  (2 y  x ) ˆj
C alcula el trabajo realizado por esta fu erza al m over una partícula a lo
largo de la elipse 4 x ²  y ²  4
en la dirección contraria a las m anecillas
del reloj. S ugerencia: H ay una form a m uy fácil, y una, la directa, difícil.
E l trabajo es  4 
S ea R una región cerrada del plano X Y lim itada
por una curva sim ple y cerrada C
S ean M y N dos funciones continuas de x e y con
derivadas continuas en todo R

C
 N
M 

 M dx  N dy    
 dxdy
x
y 
R C  
donde C se r ecorre en el sentido positivo.


F
dV


V
para todo V

S V
F  dS

   F d V


S V
V
F  dS

F  f g
    f  g  d V 
V
 
S V
f  g   nˆ d S

  f g   f g  f  g
2

f


g
d
V


V

V
f  gdV 
2

S V
f  g  nˆ d S

S ea  : R
n
 R
S ea uˆ u n vecto r u n itario en R
n
L a d erivad a d ireccio n al d e 
co n resp ecto a uˆ es

 uˆ
 x   lim
0
  x   uˆ     x 

S ea  : R  R
n
S ea uˆ un vector unitario en R
n
S i  es diferenciable en x , entonces

 uˆ
    uˆ
S ea  : R  R
n
S i  es d iferen ciab le en x , en to n ces

x

y

z
    iˆ
    ˆj
    kˆ
  f   g d V 

V

S V
V
2
f  g  nˆ d S

g
 nˆ
f  g  nˆ d S 

f  g dV 
2

S V
V
 g  nˆ 

f  gdV 

S V
f

g
 nˆ

f


g
dV


V
dS

S V
f

g
 nˆ
dS

f  g dV 
2
V
2
f dV 
V
V
 
V
  g dV 
  f
V

S V
V
 g 
 
  f
  g dV 

S V
f

g

g
 nˆ
f
 nˆ
dS
dS
f 
 g
f  g  g  f  dV    f
g
 dS
 nˆ
 nˆ 
S V  
2
2
f 
 g
f  g  g  f  dV    f
g
 dS
 nˆ
 nˆ 
S V  
2
2
S ea un volum en V y S  V

la superficie cerrada .
C onsiderem os la ecuación de P oisson
 u  x, y, z   h  x, y, z 
2
con la condición a la frontera S
ux   x
para toda x  S .
S uponiendo que la solución existe, dem os trar que
es única
S upongam os que hay dos soluciones difere ntes
u1  x 
y
u2  x 
L a función v  x   u 1  x   u 2  x  satisface la
ecuación de L aplace
 v0
2
en el volum en V , junto con la condición a la
frontera v  x   0 en S
E n la p rim era id en tid ad d e G re en

f  g dV 
2
  f
V

  g dV 
S V
V
f

g
 nˆ
dS
h acem o s
f  g  v
o b ten ien d o
 v 
2
v dV 
V
 v 
V
  v   v d V
S V
V
2
v dV 
  v
V
2
dV 



S V
v

v

v
 nˆ
v
 nˆ
dS
dS
 v 
2
v dV 
V
  v
2
dV 
V
p ero
 v 0
2
y
v so b re S es cero , así q u e
  v
V
y
v  0
2
dV  0

S V
v

v
 nˆ
dS
v  0
im plica que v es una constante en todo el volum en V .
C om o la condición de frontera sobre S es v  0,
entonces la solución es
v0
y por lo tanto, la solución es única,
u1  u 2
U n cam p o vecto rial
F :R  R
3
3
se le llam a I R R O T A C IO N A L
si se satisface
F  0
O b viam en te u n cam p o irro tacio n al es u n
cam p o co n serva t ivo (es o tro n o m b re)
S i ten em o s u n cam p o vecto rial irro tacio n al
F :R  R
3
3
satisface la p ro p ied ad
F  0
y en to n ces ex iste u n cam p o escalar,
 :R  R
3
tal q u e
F  
S i tenem os un cam po vectorial irrotacion al
F : R  R satisface la propiedad   F  0
3
3
y entonces existe un cam po escalar,
 : R  R tal que F   
3
E n otras palabras, para todo cam po escalar
 :R  R
3
se cum p l e
    0
S i tenem os un cam po vectorial irrotacion al
F : R  R satisface la propiedad   F  0
3
3
y entonces existe un cam po escalar,
 : R  R tal que F   
3
¿C óm o encontram os  ?



dl


P


P



2
1

C
donde C es una curva seccionalm ente
suave que va de P1 a P2 .
S i ten em o s u n cam p o vecto rial irro tacio n al
F :R
3
 R
3
satisface la p ro p ied ad   F  0
y en to n ces ex iste u n cam p o escalar,
 : R  R tal q u e
3
F  
¿C óm o encontram os  ?
P or uno de los teorem as fundam entales
del cálculo vectorial
Px
 x 

P0
F  dl
E l cam po electrostático de una carga pun tual
1
0
1
1
E r

rˆ
r
2
0
1
1
0
1
E r

rˆ
r
2
E  0
E r

rˆ
r
2
Pr 
 r   

E  dl
P0
r
 r   
r0
rˆ
r
2
r
ˆ  
 rdr
r0
dr
r
2
r
1 1
1
    
r r0
 r  r0
T om ando el punto de referencia en el inf inito,
o sea, r0   tenem os
 r  
1
r
E l C am p o electro stático
E r  
rˆ
r
 r  
2
1
r
¿E  r      ?
E l g rad ien te en co o rd en ad as esféricas es
f
1 f ˆ
1
f
g rad f 
rˆ 
 
ˆ
r
r 
r sin   
así q u e
E r   
f
r
rˆ 
rˆ
r
2
A u n cam p o vecto rial
V :R  R
3
3
se le llam a S O L E N O ID A L si
satisface la p ro p ied ad
 V  0
S i un cam po vectorial
V :R  R
3
3
es S O LE N O ID A L,
entonces existe un cam po vectorial
A : R  R tal que
3
V  A
3
Si
V : R  R es un cam po vectorial y
3
3
 V  0
entonces existe A : R  R que cum ple
3
V  A
3
Si div V  0, entonces existe A tal que V    A
P o n em o s arb itrariam en te A x  0, y co m o V    A ,
V
x
,V y ,V z  
Vy  
 Az
x
iˆ
ˆj
kˆ



x
y
z
0
Ay
Az

Vz 
Ay
x
Vy  
V
V
y
y
dx 
 Az

Vz 
x
 Az
x
dx
dx  g  y , z    A z
A z    V y dx  g  y , z 
V
V
z
z
dx 
Ay
x

dx  f
Ay
x
dx
 y, z  =Ay
A y   V z dx  f
 y, z 
A z    V y dx  g  y , z 
V
x
,V y ,V z  
A y   V z dx  f
iˆ
ˆj
kˆ



x
y
z
0
Ay
Az

 V y
V z 
Vx 

 

 dx  h  y , z 
y
z
z 
 y
 Az
Ay
 y, z 
 V y
V z 
Vx 

 

 dx  h  y , z 
y
z
z 
 y
 Az
C om o div V 
Ay
V x
x

V y
y

V z
z
 V y
V z 
 


x
z 
 y
V x
y sustituyendo en la de arriba
Vx 

Vx
x
dx  h  y , z 
 0, podem os poner
C onocida una A que satisface V    A ,
todas las dem ás son de la form a
A  u
donde u es cualquier función escalar.
1) E s obvio que añadir  u no cam bia que V    A ,
ya que    u  0
C onocida una A que satisface V    A ,
todas las dem ás son de la form a A   u
donde u es cualquier función escalar.
2) S i V    A1 y V    A2 entonces


  A1  A2  0 y ya sabem os que eso
im plica que A1  A2   u
S ea
V :R  R
3
3
tal que
V
 x, y, z    x
2
 yz ,  2 yz , z  2 zx
2
E ncuentra A tal que V    A.



Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
P rim ero d eb em o s cercio rarn o s q u e V
es u n cam p o so len o id al.
d iv V 

x

x
2
 yz  

y
  2 yz  
 2x  2z  2z  2x  0
¡V es u n cam p o so len o id al!

z

z
2
 2 zx  


Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
iˆ
ˆj
kˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az



2
2
 iˆ x  yz  ˆj   2 yz   kˆ z  2 zx
H ay m uchas A´s que satisfacen esta ecuaci ó n .
E ncontrarem os una y luego la generalizar em os.



Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
iˆ
ˆj
kˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az



2
2
 iˆ x  yz  ˆj   2 yz   kˆ z  2 zx

T o m an d o A x  0 , ten em o s d e las co m p o n en te Y y Z

 Az
x
Az 
  2 yz
 2 yzd x
A z  2 yzx  f 1  y , z 
Ay
x
Ay 
 z  2 zx
2
z
2

 2 zx d x
A y  z x  zx  f 2  y , z 
2
2


Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
iˆ
ˆj
kˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az



2
2
 iˆ x  yz  ˆj   2 yz   kˆ z  2 zx
A z  2 yzx  f 1  y , z 
A y  z x  zx  f 2  y , z 
2
P ara la co m p o n en te X ten em o s
 Az
y

2 zx 
 f1
y
Ay
z
 f1
y
 x 
2
 x  yz
2
 2 zx  x 
2
f 2
z
f 2
z
 x  yz
2

 x  yz
2
2


Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
 f1
y
f2
 x 
2
z

 x  yz
2
U n a so lu ció n p articu lar o b via es
f1  0

f 2
z
f2 
y
dz 
1
2
yz
 yzd z
2

f2
z
  yz
 f1
y

f2
z
  yz


Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
A x  0 ; A z  2 yzx  f 1  y , z 
f1  0
y
f2 
1
yz
; A y  z x  zx  f 2  y , z 
2
2
2
P or lo tanto,
1 2 ˆ
 2
2
ˆ
A  x , y , z   j  z x  zx  yz   k  2 xyz 
2


2


Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
1
 2
2
2 
ˆ
A  x , y , z   j  z x  zx  yz   kˆ  2 xyz 
2


iˆ
ˆj
kˆ
  A  x
y
z
0
z x  zx 
2
2
1
yz
2

2 xyz
2

 2 xz  2 xz  x  yz ,  2 yz , z  2 xz
2
2



Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
1
 2
2
2 
ˆ
A  x , y , z   j  z x  zx  yz   kˆ  2 xyz    u
2




Sea V : R  R tal que V  x , y , z   x  yz ,  2 yz , z  2 zx .
3
3
2
2
Encuentra A tal que V    A.
1
 2
2
2 
ˆ
A  x , y , z   j  z x  zx 
yz   kˆ  2 xyz    u
2


1

2
2
2 
ˆ
A1  x , y , z   j  z x  zx  yz   kˆ  2 xyz   2 xiˆ
2


1
 2
2
2 
ˆ
A2  x , y , z   j  z x  zx  yz   kˆ  2 xyz   cos xiˆ
2


Si
V : R  R es un cam po vectorial y
3
3
 V  0
entonces existe A : R  R que cum ple
3
V  A
T am bién
A  A  A   u
3
S ea a : R  R
3
3
u n cam p o vecto rial co n stan te.
S ea r   x , y , z  y sea S u n a su p erficie ad ecu ad a.
D em o strar q u e
 2 a  d S
S

  a  r   dl
C S 
d o n d e C  S  es la fro n tera d e S
F :D  R  R
3

C
F  dl 

S C 
3
  F  dS
 2 a  d S

C S 
S
 F  dl
C
  a  r   dl


  F  dS
S C 
F  ar

C
a  r  dl 

S C 
   a  r   dS
 2 a  d S

C S 
S
 F  dl
C

 GH
  a  r   dl


  F  dS
S C 
      H   H    G      G   G    H
   a  r       r   r    a      a   a    r
   a  r       r   r    a      a   a    r
 r  xx   y y  zx  111  3
 r  3
   a  r       r   r    a      a   a    r
  a   xax   ya y   zaz  0
 a  0
   a  r       r   r    a      a   a    r
r   a
  x, y , z     x ,  y ,  z  a


  x x  y y  z z  a  0
r   a
0
   a  r       r   r    a      a   a    r
a   r
  a x , a y , a z     x ,  y ,  z   x, y, z 


  ax x  a y y  az z   x, y, z  
  ax x x  a y y x  az z x, ax x y  a y y y  az z y, a x x z  a y y z  az z z 
  ax , a y , az   a
a   r
a
   a  r       r   r    a      a   a    r
   a  r   3a  a  2 a
 2 a  d S
C S 
S
 F  dl
  a  r   dl



  F  dS
S C 
C
F  ar
 a  r  dl
C


   a  r   dS
S C 
   a  r   2a
S ea a : R  R
3
3
u n cam p o vecto rial co n stan te.
S ea r   x , y , z  y sea S u n a su p erficie ad ecu ad a.
D em o strar q u e
 2 a  d S
S

  a  r   dl
C S 
d o n d e C  S  es la fro n tera d e S
F  x , y , z    x  xz  yz , xyz  y , x z
3
2
1
3
1
7
2
0
5

1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
x  y   z  8  9
2
2
2
8 z
x  y 9
2
2
0 z8
  t   3  co s t , sin t , 0 
 '  t   3   sin t , co s t , 0 
F  x , y , z    x  xz  yz , xyz  y , x z
3
2
3
7
2
5

F    t     2 7 co s t , 2 1 8 7 sin t , 0 
3
7
F    t     '  t    2 7 co s t , 2 1 8 7 sin t , 0   3   sin t , co s t , 0 
3
7
   8 1 co s t sin t  6 5 6 1 co s t sin t 
3
2

0
7
  8 1 co s t sin t  6 5 6 1 co s t sin t  d t  0
3
7
S ea F : D  R  R
3
3
tal q u e F  x , y , z    yz , xz , xy  .
D em o strar q u e es u n cam p o co n servativo ,
y en caso d e ser cierto , d eterm in ar el
p o ten cial escalar aso ciad o .
F  x, y, z  
 yz , xz , xy 
iˆ
ˆj
kˆ
  F  x
y
z
Fx
Fy
Fz
iˆ
ˆj
kˆ
  F  x
y
 z   x  x, y  y, z  z   0
yz
xz
xy
F  x, y, z  
 yz , xz , xy 
P
 
 F  dl
P0
  t   P0  t  P  P0 
t   0,1 
  x0 , y0 , z 0   t  x  x0 , y  y 0 , z  z 0  
  x0  t  x  x0  , y 0  t  y  y 0  , z 0  t  z  z 0  
 '  t    x  x0 , y  y0 , z  z 0 
  y0  t  y  y0    z0  t  z  z0   , 


F    t      x 0  t  x  x 0    z 0  t  z  z 0   , 


  x  t  x  x   y  t  y  y  
0
0
0
 0

F    t     '  t   3 t ( x  x 0 )( y  y 0 )( z  z 0 )
2
 t (  2 x 0 ( y  y 0 )( z  z 0 )  2( x  x 0 ) y 0 ( z  z 0 )  2( x  x 0 )( y  y 0 ) z 0 )
 x0 y0 ( z  z 0 )  x0 ( y  y 0 ) z 0  ( x  x0 ) y 0 z 0
F  x, y, z  
 yz , xz , xy 
1
 F    t     '  t  dt 
0
 xyz  2 x 0 yz  2 xy 0 z  4 x 0 y 0 z  2 xy z 0  4 x 0 yz 0  4 xy 0 z 0  7 x 0 y 0 z 0
1
 F    t     '  t  dt  xyz
0
V erificar el teorem a de G reen.

xy dx  x ydy
2
2
C
C parabola y  x de
2
  1,1 
a 1,1 
y segm ento de línea de 1,1  a
  1,1  .
S ea R u n a reg ió n cerrad a d el p lan o X Y lim it ad a p o r u n a
cu rva sim p le y cerrad a C . S ean M y N d o s fu n cio n es
co n tin u as d e x e y co n d erivad as co n tin u as en to d o R

C
 N
M 

 M d x  N d y    
 d xd y d o n d e C s e
x
y 
R C  
reco rre en el sen tid o p o sitivo .
Y
C
R
X
V erificar el teo rem a d e G reen .

xy d x  x yd y
2
2
C
C p arab o la y  x
2
de
  1,1 
a 1,1 
y seg em en to d e lín ea d e 1,1  a
 xy
2
  1,1  .
dx  x ydy 
2
C
1

 x
5
dx  2 x dx  
5
1
1
 xdx
1
1
1
   x dx 
5
1

1
xdx  0
V erificar el teo rem a d e G reen .

xy d x  x yd y
2
2
C
C p arab o la y  x
2
de
  1,1 
a 1,1 
y seg em en to d e lín ea d e 1,1  a

xy   2 xy

y
1
2
1
;
1

  1,1  .
 x y    2 xy

x
2
1
4  dx  dy xy  4  xdx  ydy  0
1
x
2
1
x
2
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Los teoremas integrales