Aplicaciones de las
Ecuaciones Cuadráticas
•
Ejemplo 1 (Jardinería): Un jardín
rectangular es 60 por 80 pies. Parte del
jardín ha sido removido para instalar una
acera de ancho uniforme alrededor de el. El
área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín.
Indique el ancho de la acera.
Ejemplo 1 (Jardinería) …
1. Planteamiento del problema.
Como no sabemos el ancho de la acera,
llamamos a su ancho x.
x
x
x
x
Acera
60 – 2x
60 pies
80 – 2x
x
x
x
x
80 pies
Jardín
viejo
Jardín
nuevo
Ejemplo 1 (Jardinería) …
2. Traduzca en una ecuación. El área
de un rectángulo es largo por ancho.
Área del jardín viejo = 60 ∙ 80;
Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x)
Debido a que el área del nuevo jardín
es ½ del viejo jardín, tenemos:
(60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80
3.
Solucionar la ecuación:
1
 60  2 x   80  2 x    60  80 
2
4800  120 x  160 x  4 x  2400
2
4 x  280 x  2400  0
2
x  70 x  600  0
2
 x  10   x  60   0
x  10
o
Multiplicando en ambos miembros.
Agrupando y transponiendo términos.
Dividiendo entre 4
Factorizando
x  60
Usando el principio de cero
como producto
4.
Comprobación: Sustituimos en la ecuación original.
P a ra x  10
P a ra x  60
A n ch o  60  2 x
A n ch o  60  2 x
 60  2  10  60  20
 60  2  60  60  120
A n ch o  40 p ie s
A n ch o   60
L a rg o  80  2 x
L a rg o  80  2 x
 80  2  10  80  20
L a rg o  60 p ie s
Solución verdadera porque el ancho
y largo dan números positivos
 80  2  60  80  120
L a rg o   40
x = 60 no puede ser porque el ancho y
largo dan negativo y no puede ser
negativo.
5. Respuesta:
El ancho de la acera es de 10 pies.
•
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) :
Una escalera se reclina contra un edificio,
como se indica en el dibujo. La escalera
mide 20 pies de largo. La altura donde se
apoya la escalera es 4 pies mayor que la
distancia (d) de la escalera al edificio.
Encuentre la distancia d y la altura donde
se apoya la escalera.
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
1. Planteamiento del problema.
Primero hacemos un dibujo y lo identificamos.
Queremos encontrar d y d + 4.
20 ft
20 ft
d+4
d 4
d
d
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
2.
Traduzca en una ecuación.
Usando el Teorema de Pitágoras, dado que
se forma un triángulo rectángulo en la
figura, tenemos:
c  a b
2
2
2
20  d   d  4 
2
2
2
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
3. Resolver la ecuación.
20  d   d  4 
2
2
2
400  d  d  8d  16
2
2
2d  8d  384  0
2
d  4d  192  0
2
d
 16   d  12   0
d  16  0
o
d  16
o
Elevando al cuadrando.
Agrupando y transponiendo términos.
Dividiendo por 2.
Factorizando.
d  12  0
d  12
Usando los productos nulos.
Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …
4.
Resultado final.
La distancia d es 12 pies y la altura a la que
se apoya la escalera es 12 + 4 (d + 4), o 16
pies.

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) .
Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene
una longitud de 10 ft.
Encuentre la distancia d y la distancia d + 4.
Usando el mismo razonamiento del problema
anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a
la ecuación
102 = d2 + (d + 4)2.
Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …
Usando la fórmula cuadrática:
100  d  d  8d  16
2
2
2d  8d  84  0
2
Agrupando términos.
d  4d  42  0
Multiplicando por ½, o dividiendo entre 2
2
d 
b 
Elevando al cuadrando
b  4ac
2

4 
4  4 1    4 2 
2
2 1
2a

4 
16  168

4 
2

4 
4  46 
2
 2 
46
184
2

4  2 46
2
Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …
Dado que  2 
d  2 
26  0 y
46  2, e n co n tra m o s q u e
46   2  6.782  4.782 p ie s
d  4  4.782  4  8.782 p ie s
Respuesta:
d = 4.782 pies.
d + 4 = 8.782 pies.
•
Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente) :
La temperatura T, a la cual hierve el agua, se
relaciona con la altitud h, en metros sobre el nivel
del mar, mediante la fórmula:
h  1000 100  T
Válida entre 95
 T  100
  580 100
T
2
.
La elevación aproximada del Monte Everest es de
8840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el
agua en la cima de esa montaña ?
•
Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)
1.- Obtención de la ecuación:
Se sustituye h = 8840 en la fórmula, esto es:
8840  1000 100  T
  580 100
Ahora se sustituye temporalmente
resultando: 8840  1000 x  580 x 2
T
2
x  100  T
,
Que también se puede representar como:
580 x
2
 1000 x  8840  0
Dividiendo entre 10, tenemos:
58 x
2
 100 x  884  0
•
Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)
2.- Solución de la ecuación:
Se aplica la ecuación cuadrática con: a = 58, b = 100, c = -884.
x 
x 
 100 
 100 
100  2  4 58   884 
 2 58 
10000   205088
116
x 
 100 
215088
116
x 
 100  463
116

x1 
x2 
363 . 77
116
 563
116
 3 . 135
  4 . 86
•
Ejemplo 4 (Temperatura del agua hirviente)
3.- Solución del problema:
Se sustituyen los resultados en la expresión x = 100 – T, y
obtenemos:
100 – T = 3.135 y 100 – T = -4.86
Por lo que T toma los Valores: T = 96.86, y T = -104.86
Examinando con detenimiento el problema, en el enunciado se
señala que la fórmula es válida para 95  T  100, por lo que la
solución T = -104.86 no es válida y se debe desechar.
En conclusión, la temperatura a la que hierve el agua en la cima de
monte Everest es:
T = 96.86 °C.
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