SUBTEMA 2.4.2. RESOLUCION
DE PROBLEMAS DEL TEOREMA
DE VARIGNON.
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1.- Una viga de 4 m de longitud
soporta dos cargas, una de 200 N y
otra de 400 N como se ve en la
figura. Determinar los esfuerzos de
reacción a que se encuentran
sujetos
los
apoyos,
considere
despreciable el peso de la viga.
400 N
200 N
1m
2m
1m
Diagrama de cuerpo libre:
400 N
200
N
1m
2m
1m
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Para que la viga esté en equilibrio de
traslación y de rotación tenemos que:
Aplicando la primera condición del
equilibrio tenemos:
ΣFy = 0 = RA + RB + (-F1)+ (-F2)=
0…….. (1)
ΣFy = 0= RA + RB = F1 + F2
ΣF y= RA + RB = 200 N + 400 N
ΣFy= RA + RB = 600 N ecuación 1.
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Aplicando la segunda condición del equilibrio y
eligiendo el soporte A para calcular momento de
torsión tenemos:
ΣMA= RB (4 m)- 400 N (3 m) – 200 N (1 m) = 0
ΣMA= RB (4 m)- 1200 N.m-200 N.m = 0
ΣMA= RB (4 m)- 1400 N.m= 0
ΣMA= RB (4 m)= 1400 N.m.
despejando RB tenemos:
RB = 1400 N.m = 350 N
4m
Sustituyendo el valor de RB en la ecuación 1 para
hallar RA tenemos:
RA = 600 N - RB
RA = 600 N – 350 N = 250 N
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2.- Sobre una barra uniforme de 5
metros se coloca un peso de 60 N a
3 metros del punto de apoyo como
se ve en la figura. Calcular a) El
peso que se debe aplicar en el otro
extremo para que la barra quede en
equilibrio. b) La Tensión que
soporta el cable que sujeta la barra.
considere despreciable el peso de la
barra.
T
3m
60 N
2m
P=?
Diagrama de cuerpo libre.
T=¿
r1 = 3 m
r2 = 2 m
O
P2 = ¿
60 N
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a) Para que el cuerpo esté en
equilibrio de traslación y rotación
tenemos que:
Aplicando la primera condición del
equilibrio.
ΣFy = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1)
Sustituyendo en la ecuación 1 :
ΣFy = T- 60 N-P2= 0
T = 60 N + P2.
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b) Para calcular el valor de la tensión debemos conocer
el peso que equilibrará al sistema, de donde al sustituir
en la ecuación 2, tenemos que la suma de momentos
en el punto O es igual a:
Aplicando la segunda condición del equilibrio y
calculando momentos de torsión respecto al punto O
donde se aplica la tensión tenemos_
ΣMo= P1r1-P2r2= 0
P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos:
P2 = P1r1
P2 = 60 N x 3 m = 90 N
r2
2m
Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la
tensión del cable es:
T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N
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3.- Una viga uniforme de peso
despreciable soporta 2 cargas de
300 N y 400 N en los extremos
izquierdo
y
derecho
respectivamente como se ve en la
figura. Calcular a) ¿Cuál es el valor
de la fuerza de reacción R que se
ejerce para equilibrar la viga? b)
¿Dónde debe colocarse la fuerza de
reacción respecto al punto A?.
A
6m
R
C2 = 400 N
Diagrama de cuerpo libre:
A
6m
rR=¿
C 1 = 300 N
C2 =
400 N
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Solución: Para que el cuerpo esté
en equilibrio de traslación y de
rotación tenemos:
ΣFy = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 ….
(1)
ΣMA = 0 = R rR + (-C2r2)…. (2)
Sustituyendo en 1:
ΣF = R – 300 N- 400 N= 0
R = 700 N
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b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos
respecto al punto A:
ΣMA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0
ΣMA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0
ΣMA = 700 N (rR) = 2400 N.m
despejando rR tenemos:
rR = 2400 N.m = 3.43 m
700 N
por lo tanto, la reacción tiene un valor de 700 N,
que equivale a la suma de las dos cargas y queda
colocada a 3.43 m del punto A.
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4.- Una viga de 6 metros de
longitud, cuyo peso es de 700
Newtons, soporta una carga de
1000 Newtons, que forma un
ángulo de 60° y otra de 500
Newtons, como se ve en la figura
siguiente. Determinar las fuerzas de
los soportes A y B que la sostienen.
F1 = 1000 N
F2 = 500 N
1m
60°
6m
A
B
Diagrama de cuerpo libre.
F1 = 1000 N
P = 700 N
B
A
60°
1m
2m
3m
F2 = 500 N
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Solución: Aplicando la primera
condición del equilibrio:
ΣFy = A + B – F1sen 60° – P – F2 = 0.
ΣFy = A + B – 1000 N (0.8660) – 700 N –
500 N = 0.
ΣFy = A + B – 866 N – 700 N – 500 N = 0
ΣFy = A + B – 2066 N = 0.
A + B = 2066 N (ecuación 1).
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Aplicando la segunda condición del equilibrio y
eligiendo el punto A, para calcular momentos de
torsión:
ΣMA = B (6 m) – 866 N ( 1 m) – 700 N (3 m) – 500 N ( 6
m) = 0.
Efectuando las multiplicaciones:
ΣMA = B (6 m) – 866 N .m – 2100 N.m – 3000 N.m)= 0.
Efectuando la suma algebraica:
ΣMA = B (6 m) – 5966 N.m = 0.
B (6 m) = 5966 N.m . Despejando a B tenemos:
B = 5966 N.m = 994.33 N.
6m
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Regresando a la ecuación 1 y
sustituyendo el valor del soporte B
para hallar el valor del soporte A:
A + B = 2066 N (ecuación 1).
Despejando A tenemos:
A = 2066 N – B.
A = 2066 N – 994.33 N = 1071.67 N.
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