Contenido
• VARIOGRAMA TEÓRICO
• Definición
• Propiedades básicas
• Estudio de modelos de variograma
• VARIOGRAMA EXPERIMENTAL
• Definición
• Cálculo a partir de los datos
• Características básicas
• Ajuste de modelos de variograma
Variograma Teórico-Definición
Es una herramienta que permite
analizar el comportamiento espacial
de una propiedad o variable sobre
una zona dada
Ejemplo:
Detectar direcciones de anisotropía
Zonas de
espacial)
influencia
y su
Variabilidad con la distancia
extensión
(correlación
Variograma Teórico-Definición
Continuidad espacial
B
A
1
5
7
3
8
9
4
2
1
6
2
4
6
3
8
5
7
9
MEDIA = 5
VARIANZA=50/9
HISTOGRAMAS IGUALES
12
10
10
8
8
Variograma
Variograma
12
6
4
6
4
2
2
0
0
0
1
2
Distancia
3
4
0
1
2
Distancia
3
4
Variograma Teórico-Definición
1
0,12
0,8
0,1
Variograma
Variable
Continuidad espacial
0,6
0,4
0,2
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
5
10
15
20
0
25
0
Ubicación
2
4
6
8
10
2
1
1,5
0,8
Variograma
Variable
Distancia
1
0,5
0
-0,5
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
0,6
0,4
0,2
0
1
-1
Ubicación
2
3
4
Distancia
5
6
7
Variograma Teórico-Definición
Continuidad espacial
0,7
0,6
0,4
0,3
0,2
0,1
25
23
21
19
17
15
13
11
Ubicación
0,012
0,01
0,008
0,006
0,004
0,002
Distancia
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
Variograma
9
7
5
3
0
1
Variable
0,5
Variograma Teórico-Definición
Curva de proporción vertical
Unidad 1
Unidad-4
Unidad 2
Unidad-5
Variograma Teórico-Definición
Curva de proporción vertical
Variograma Teórico-Definición
Si Z (x) es estacionaria o intrínseca
1
 (h)  Var [ Z ( x)  Z ( x  h)]
2
xR , hR
n
1
2
 E[ Z ( x)  Z ( x  h)]
2
n
Variograma Teórico-Características
1
2
 h   E[ Z ( x)  Z ( x  h)]
2
• Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los
valores de la propiedad en dos puntos separados por
una distancia |h|
•

es independiente de la localización x
•

depende del módulo y de la dirección del vector h
Variograma Teórico-Características
1
 h   E [ Z ( x)  Z ( x  h)] 2
2
Z x  h1 
x  h1
h1
Detección de
características
que varían según
la dirección y la
distancia
Z x 
x
h
Z x  h
xh
Variograma
Variograma
Variograma Teórico-Características
Distancia
Distancia
Variograma Experimental-definición
1
2


 h  E [Z ( x)  Z ( x  h)]
2
1
 ( h) 
2 N h 
*

( z ( xi )  z ( x j ))2
xi  x j  h
Variograma Teórico
Variograma Experimental
Variograma Experimental-definición
Coordenadas estratigraficas
La correlación espacial se
debe calcular dentro de la
misma unidad estratigráfica
Z  Z base
Z tope  Z base
Variograma Experimental-obtención
1
 ( h) 
2 N h 
*
xi  x j  h

• Se escoge una distancia o lag h
2
1
8
2
6
2.
3.
3.
Distancia
4
4
2.
6
2
2
0
1.
h,2h, 3h,...,nh
versus los valores
Variograma
experimental
8

3
1.
• Se grafica
*
4
4
3h,...,nh
5
0.
para valores de h,2h,
0.
*
variograma experimental
• Se calcula
6
0
• Se escoge una dirección

( z ( xi )  z ( x j ))2
Variograma Experimental-obtención
Datos Igualmente espaciados:
N ( h)
1
2
 *(h) 
(
z
(
x
)

z
(
x

h
))
 i
i
2 N h i 1
h
x1
 * h  
x2
x3
x4
x5
x6

1
zx1   z x2 2  zx2   zx3 2  zx3   zx4 2  zx4   z x5 2  zx5   zx6 2
2*5

 * 2h  
1
zx1   zx3 2  zx2   zx4 2  zx3   zx5 2  zx4   zx6 2
2*4
 * 3h  
1
zx1   z x4 2  zx2   zx5 2  zx3   zx6 2
2*3




Variograma Experimental-obtención
Datos Igualmente espaciados:
1 N ( h)
2
 (h) 
(
z
(
x
)

z
(
x

h
))
 i
i
2 N h i 1
*
h
kh,0, k  0,1,2,
0, kh, k  0,1,2,
kh, jh, k , j  0,1,2,
Variograma Experimental-obtención
Datos Irregularmente espaciados:
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia
h
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección 
Variograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
Para cada lag
h
se define una tolerancia
h
y se utilizan
únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o
igual a
h  h y menor que h  h
z  x3 
z  x2 
z  x1 
z  x5 
z  x4 
h
2h
3h
Variograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
El valor de
h
se escoge como el 50% del valor del
lag h. De esta forma:
• Las clases de distancia no se superponen
• No hay valores de la variable fuera de una clase de
distancia
Variograma Experimental-distancia
h 1
h  0.5
0
0
1.2
1
2.4
2.8
2
3
4.9
4
5
h 1
h  1
0
1.2
2.4
2.8
4.9
0
1.2
2.4
2.8
4.9
h 1
h  0.1
6
Variograma Experimental-distancia
 h  0 .5 h
 h  0 .5 h
 h  0 .5 h
Variograma Experimental-dirección
• Clases de dirección :
Para cada dirección  se define una tolerancia  
y se utilizan únicamente los puntos que se
encuentran entre las direcciones
  
y
  
Variograma Experimental-dirección
  

puntos aceptados
puntos descartados

  
Variograma Experimental-dirección
  


  
b
puntos aceptados
puntos descartados
b = ancho de banda
Variograma Experimental-distancia & dirección


clase de distancia h
clase de distancia 2h
clase de distancia 3h
Variograma Experimental-obtención



Variograma Experimental-obtención
Número n de lags
n:
Valor del lag h
Cuando se calcula el variograma sobre un
dominio D se escoge n de forma tal que:
n*h < | D | / 2
Valor de  y  
h:
Distancia promedio entre los pozos
A partir del variogram cloud
A partir del variograma omnidireccional
:
Se escoge como la dirección de anisotropía
de la variable. Se puede obtener a partir
de:
Información geológica, petrofísica, etc
Mapa de variograma
Variograma Experimental-lag
Lag h muy grande
0
1.2
2.4
2.8
4.9
Lag h pequeño, n muy grande
0
1.2
Lag h adecuado, valor de n
2.4
?
2.8
4.9
Variograma Experimental-lag
Variograma Omnidireccional
Variograma Omnidireccional:
Es aquel que no depende de la dirección
Se obtiene al escoger la tolerancia angular  
de forma tal que las direcciones    y   
sean opuestas y perpendiculares a la dirección 
Se puede pensar como el promedio del variograma
experimental en todas las direcciones posibles
Variograma Omnidireccional
Variograma direccional
Variograma omnidireccional
Variogram Cloud
Variogram Cloud:
 *( h ) 
1
2 N h 
1

N h 

( z ( xi )  z ( x j ))2
xi  x j  h

xi  x j  h
30
( z ( xi )  z ( x j ))2
2
25
20
15
10
Al graficar el valor de
los pares versus la
distancia se obtiene el
variogram cloud
5
0
0
1
2
3
4
Distancia
5
6
7
Variogram Cloud
Variogram Cloud:
Permite
detectar
valores
atípicos o cambios bruscos
Permite escoger un
inicial del lag
valor
300
250
200
150
100
Permite observar la dispersión
alrededor del valor de
*
50
0
0
1
2
3
4
Distancia
5
6
7
Variogram Cloud
Mapa de Variograma
Mapa de Variograma :
Es una herramienta que
permite determinar las
direcciones de anisotropía
de la variable en estudio
Mapa de Variograma
Definir una malla (2n+1)*(2n+1)
Definir el valor del lag h
Asignar a cada bloque el valor
0
de
h
0
*
Mapa de Variograma
Variograma Experimental-tolerancia angular
Tolerancia angular

CARACTERÍSTICAS
BÁSICAS
Variograma-Características Básicas
1) RANGO Y SILL
2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS
4) ANISOTROPÍAS
Variograma-Rango & Sill
Rango:
2,5
Distancia a la cual el
variograma se estabiliza
1,5
Sill :
1
0,5
Distancia
42
39
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
0
Variograma
2
Valor constante que toma el
variograma en distancias
mayores al rango
Variograma-Rango & Sill
Si para una distancia dada d las variables Z(x) y
Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma
es constante
1
 h   E [ Z ( x)  Z ( x  h)] 2   2  E [ Z ( x)Z ( x  h)]
2
2

Rango:
Distancia a partir de la cual
no hay correlación
Sill:
Varianza de la función aleatoria Z
Variograma-Rango & Sill
Comportamiento
COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
Permite estudiar cuán rápido puede variar la
variable en estudio a pequeñas distancias.
Básicamente el variograma presenta las 4 formas
siguientes:
1) DISCONTINUO
2) LINEAL
3) CUADRÁTICO
4) HÍBRIDOS
Comportamiento discontinuo
Efecto pepita o nugget effect
1
 h   var [ Z ( x)  Z ( x  h)]
2
 0  0
Puede
ocurrir
que
para
distancias cercanas a cero el
valor del variograma no se
aproxima a cero
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
1) Variable muy irregular a distancias cortas
h0
Z(x) y Z(x+h) difieren mucho
1
 h   E [Z ( x)  Z ( x  h)] 2
2
no se aproxima a cero
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
2) Errores de medición en
las variables
Zobs x  Z x   x
3,5
3
2
1,5
Valores
reales
1
0,5
Distancia
18
16,5
15
13,5
12
10,5
9
7,5
6
4,5
3
0
1,5
obs
Valores
observados
2
0
 Z h   Z h   
2
Variograma
2,5
Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
3) presencia de estructuras o
ausencia de valores en distancias
inferiores a las que se tomaron las
muestras
Comportamiento Lineal
Comportamiento lineal
Indica
que
para
distancias pequeñas, el
variograma tiene un
comportamiento lineal.
3
2,5
2
1,5
1
0,5
9
10
,5
7,
5
6
4,
5
3
1,
5
0
0
Variograma
Representa variables
continuas
pero
no
diferenciables. Así, la
propiedad
puede
cambiar rápidamente
de un punto a otro.
3,5
Distancia
Comportamiento Lineal
3,5
3
Comportamiento lineal
Variograma
La variabilidad de la
propiedad dependerá de
la pendiente de la recta
en el origen
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia
A mayor pendiente,
mayor variabilidad
2,5
Variograma
A menor pendiente,
menor variabilidad
3
2
1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia
Comportamiento Cuadrático
Comportamiento Cuadrático
Indica que para distancias
pequeñas, el variograma tiene
un comportamiento cuadrático.
3,5
3
2
1,5
1
0,5
Distancia
37
34
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
0
1
Representa variables sumamente
continuas
e
infinitamente
diferenciables. Así, la propiedad
NO puede cambiar rápidamente
de un punto a otro.
Variograma
2,5
Comportamiento Híbrido
Comportamiento Híbrido:
8
Variación más suave a
distancias cortas
6
Variograma
Variación más fuerte a
distancias grandes
7
5
4
3
2
Indica
presencia
de
estructuras actuando a
diferentes escalas
1
0
0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia
Comportamiento-grandes distancias
Comportamiento
distancias :
a
grandes
INDICA LA PRESENCIA DE
UNA DERIVA O DRIFT
Variograma
NO TODOS LOS VARIOGRAMAS
POSEEN UN RANGO Y UN SILL
FINITO
VARIABLE NO ESTACIONARIA
Distancia
Comportamiento-grandes distancias
Drift
EZ x   mx 
1
1
2
2
 h   EZ x  h   Z x   mx  h   mx 
2
2
Sesgo
Estimación del variograma
Variograma Teórico
Comportamiento-grandes distancias
D1=E-O
D2=N-S
Anisotropías
Anisotropías :
Generalmente cuando el variograma experimental
es calculado en distintas direcciones presenta
distintos comportamientos con la variación de la
distancia.
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Híbrida
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Geométrica :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones
presenta
el
mismo sill pero rangos
distintos
Menor continuidad espacial
en la dirección de menor
rango
2,5
2
Variograma
Mayor continuidad espacial
en la dirección de mayor
rango
3
N-S
1,5
E-O
1
0,5
0
0,0
0,9
2,0
3,0
4,1
5,1
6,2
7,2
Distancia
8,3
9,3 10,4 11,4
Anisotropía Geométrica
3
2,5
Variograma
2
N-S
1,5
E-O
1
0,5
0
0,0
0,9
2,0
3,0
4,1
5,1
6,2
7,2
Distancia
8,3
9,3 10,4 11,4
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Zonal :
3,5
3
2,5
Variograma
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones
presenta
el
mismo rango pero diferente
sill
2
1,5
1
Presencia de diferentes
estructuras
0,5
0
0
0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Anisotropía Zonal
3,5
3
Variograma
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Anisotropía Híbrida
Anisotropía Híbrida :
Presencia de diferentes
estructuras
4,5
4
3,5
Variograma
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones
presenta
rangos diferentes y
distintos sill.
3
2,5
2
1,5
1
0,5
Característico de variogramas
horizontales y verticales
0
0
0,6 1,2 1,8 2,4
3
3,6 4,2 4,8 5,4
Distancia
6
6,6 7,2

COMENTARIOS
COVARIANZA VS VARIOGRAMA
• El variograma se puede utilizar para modelar
fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por
el desconocimiento de la media.
• Cuando la media es constante pero desconocida
no se necesita para el cálculo del variograma, pero
si para el de la covarianza.
•Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria)
la covarianza no está definida en 0, sin embargo el
variograma si y es idénticamente nulo
Comentarios
CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA
Fuente información 1
• La correlación estadística usual es
calculada a distancia cero (dos
observaciones en el mismo punto
del espacio) y puede no ser
representativa
• El variograma toma en cuenta el
espaciamiento y por lo tanto permite
”correlacionar espacialmente”
Fuente información 2
Comentarios
LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
• Es un estadístico de 2 puntos
• Utilizar técnicas multipuntos y
reconocimiento de patrones
Comentarios
LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
• Es extremadamente
sensible a valores
extremos
7
7
10
10
11
12
13
14
12
11
12
25
14
12
13
13
10
11
9
8
2
11
9
8
60
Variograma
Variograma
8
6
4
2
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
Distancia
5
6
1
2
3
4
Distancia
5
6

*
DEL VARIOGRAMA
EXPERIMENTAL AL
MODELO DE VARIOGRAMA

Ajustar
POR QUE HAY QUE CONSTRUIR
MODELOS DE VARIOGRAMA ?
5
4
3
Variograma
experimental
2
1
El variograma experimental no
se puede evaluar en distancias o
direcciones intermedias
4
2
2.
4
2.
8
3.
2
3.
6
0
0.
4
0.
8
1.
2
1.
6
0
Distancia
Una interpolación entre los puntos del
variograma experimental no garantiza la
existencia y unicidad de la solución del
sistema de kriging
6
5
4
Variograma
experimental
3
Modelo de
variograma
2
La interpolación no satisface las
condiciones que todo variograma debe
satisfacer
1
Distancia
4
2
2.
4
2.
8
3.
2
3.
6
0
0
0.
4
0.
8
1.
2
1.
6
variograma experimental
6
*
El variograma experimental no satisface
las condiciones que todo variograma
debe satisfacer
Variograma Teórico-propiedades
LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE
DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN
VARIOGRAMA
1)
 0  0
2)
  h   h
El variograma calculado en la dirección de
calculado en la dirección de
h
es igual al variograma
-h
-h
h
Variograma Teórico-propiedades
3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional
x1 , x2 , x3 ,, xn
Para cualquier n, cualesquiera
valores
1 , 2 , 3 ,, n
n
tales que

i 1
i
0
puntos en el espacio y cualesquiera
se tiene que
  i  j  xi  x j   0
n
n
i 1 j 1
Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones
lineales de funciones aleatorias


var  Z     
Variograma Teórico-propiedades
4) Relación con la función de covarianza
Variograma
Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que
 h  C0  Ch
Variograma
Covarianza
Distancia
Variograma Teórico-propiedades
4) Si

es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces
lim
h 
 h
h
2
0
En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que
Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias
Criterio para detectar un comportamiento no estacionario
 h   c h
2
Variograma Teórico-propiedades
4) Combinacion lineal de variogramas
Si
 1 h,  2 h,  3 h, ,  N h
son modelos de variograma y
 1 ,  2 ,  3 , ,  N
son valores positivos entonces
n
 h     i  i h 
i 1
Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures)
Permite modelar la anisotropía zonal
Variograma Teórico-propiedades
2.5
2
1.5
1
0.5
4.5
4
0
0
3.5
1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
3
2.5
+
=
2
1.5
1
2.5
0.5
0
2
0
1.5
1
0.5
0
0
1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9
Variograma Teórico-propiedades
Modelar la anisotropía zonal
3,5
3
Variograma
2,5
 h   1 h1 , h2    2 h3 
2
1,5
1
0,5
0
0
0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia

MODELOS DE
VARIOGRAMA
Modelos de Variograma
Modelos de variograma isotrópicos más comunes:
Modelo Efecto Pepita Puro
Modelo Esférico
Modelo Exponencial
Modelo Gaussiano
Modelo Cúbico
Modelo Seno Cardinal
Modelo Potencia
Modelo Efecto Pepita Puro

0
 h   

 
s

si h  0
si h  0
Este modelo representa a un
fenómeno
completamente
aleatorio, en el cual no hay
correlación espacial
No importa cuán cerca se
encuentren los valores de
las variables, siempre serán
no correlacionados
Variograma
S
Distancia
Modelo Esférico
3





h 1 h

a 2 a3
s
si
si h  a
h a
Rango s y sill a
Variograma
 
 3
 s
  2
 


  h   






Comportamiento lineal en el origen
Pendiente igual a 1.5 s / a
Representa fenómenos continuos
pero no diferenciables
Es uno de los modelos de
variograma más utilizados
Distancia
Modelo Exponencial
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a
3a
Comportamiento lineal en el origen
Pendiente igual a
Variograma

 h 

 h   s1  exp   
 a 

3s/a
Representa fenómenos continuos
pero no diferenciables
Distancia
Modelo Gaussiano

 h 2 
 h  s1  exp  2  

 a 



Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a
3a
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Comportamiento cuadrático en el origen
Distancia
Representa
fenómenos
continuos
infinitamente diferenciables (sumamente
continuos)
Modelo Cúbico





  h   








s 7


2
3
5

7
h
h
h
h 
 8.75 3  3.5 5  0.75 7  si h  a
2
a
a
a
a 

s si
h a
Comportamiento cuadrático en el origen
Representa fenómenos bastante continuos
Variograma
Rango a y sill s
Distancia
Modelo Seno Cardinal
 seno  h /a  

 h   s1 
h / a 

Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a
3a
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Comportamiento cuadrático en el origen
Se utiliza para representar fenómenos
continuos con periodicidades
Distancia
Modelo Potencia
 h   s h
p
0 p2
El comportamiento en el origen
depende del valor de p
Variograma
s se denomina factor de escala
s=2.5, p=0.4
s=0.4, p=1.8
s=1.15, p=1
Representa fenómenos no
estacionarios
Distancia

DE MODELOS ISOTRÓPICOS
A MODELOS ANISOTRÓPICOS
Modelo Anisotrópicos
Los ejes de anisotropía coinciden con los
ejes de coordenadas
Y
Ry
Rx
 1 h 
X
Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1

 h   s 1 


hy2 
hx2


Rx2
R y2 

Variograma anisotrópico de sill s con rango Rx
en la dirección del eje X y rango Ry en la dirección
del eje Y
Modelo Anisotrópicos
Los ejes de anisotropía NO coinciden con los
ejes de coordenadas
Y
Y’
Rx
Ry

X
X’
1) Transformar los puntos del sistema
de coordenadas XY al sistema de
coordenadas X’Y’
h '  Rh R = matriz de rotación
2) Proceder como antes para ajustar la
longitud de los ejes de anisotropía
Th '
T
= matriz para transformar
las distancias
3) Evaluar el variograma isotrópico en el
resultado.
 h  s 1  TRh 
Es un variograma anisotrópico en la dirección

con eje mayor igual a Rx y eje menor igual a R y
VARIOGRAMA CRUZADO
comportamiento espacial en conjunto
 ZY
Variograma Cruzado
Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma
cruzado de ellas se define como :
1
 ZY (h)  E[( Z ( x)  Z ( x  h)) (Y ( x)  Y ( x  h))]
2
Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental
1
 ( h) 
2 N h 
*
ZY
 ( z( x )  z( x )) ( y( x )  y( x ))
i
xi  x j  h
j
i
j
Variograma Cruzado-propiedades
1)
 ZY 0  0
2)
 ZY  h   ZY h
3)
 ZY h   YZ h
El variograma cruzado es una función simétrica
4) Relación con la función de covarianza cruzada
 ZY (h)  CZY 0 
1
CZY h   CYZ h 
2
CZY h  E Z x  mZ Y x  h  mY 
Variograma Cruzado-propiedades
4) Desigualdad de Hölder
 ZY h 2   Z h  Y h
Consecuencias:
El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada
uno de los variogramas individuales
El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el
cuadrado del sill del variograma cruzado
2
SZY
 SZ SY
Variograma Cruzado-propiedades
4) Modelo lineal de coregionalización
Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas
individuales
 Z h  u1  1 h  u2  2 h    um  m h
 Y h  v1  1 h  v2  2 h    vm  m h
 YZ h  w1  1 h  w2  2 h    wm  m h
u j  0 vj  0
u j v j  w2j  0
 j , j  1,, m
modelos de variogramas
VARIOGRAMA DE
FUNCIONES INDICADORAS
Modelando el comportamiento
espacial de Facies
F
Funciones Indicadoras
La función indicadora de la facies F se define como
1 si x  F

1F  x   
 0 si no

Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una
función aleatoria que puede ser estacionaria o no.
En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria
1
2


h

E 1F  x  h   1F  x 
F
2
Funciones Indicadoras
Propiedades
1)
E 1F x  P( x  F )  p  0,1
var 1F x   p 1  p 
2)
 F h  0.5
El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5
3) Relación con la función de covarianza

F
h  CF 0  CF h
CF h  E1F x  h  p1F x  p
CF 0  var 1F x   p 1  p   0.25
Funciones Indicadoras
4) Desigualdad Triangular
 F h1  h2    F h1    F h2 
En particular
 F 2h  2 F h
Consecuencia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma
no puede ser el variograma de una función indicadora
h
p
p 1
Funciones Indicadoras
5) Rango y Anisotropías
Variograma
 F h  P( x  F y x  h  F )
R2
R1
Distancia
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CURSO DE VARIOGRAMA