Jueves 15
de marzo
de 2012
2 . L a evo lu ció n tem p o ral y
el co m p o rtam ien to esp acial
d e la fu n ció n d e o n d a
están d ad o s p o r la ecu ació n d e
S ch rö d in g er,
i

 x,t 
t
2
 
 
2
2m
 x , t   V  x , t 
ˆ

t  
ˆ 
 
¿Q uién depende del tiem po?
1) S i sólo  ,
tenem os la descripción de S chrödinge r.
2) S i sólo ˆ ,
tenem os la descripción de H eisenberg
3) S i am bos,  y ˆ ,
tenem os la descripción de interacció n.
1 ) E l vecto r d e estad o cam b ia d e acu erd o co n la ecu ació n
  t 
i
t
 H t   t .
2 ) L as variab les d in ám icas están rep rese n tad as p o r o p erad o res
lin eales h erm itian o s q u e co n servan su fo rm a en el tiem p o .
3 ) L as p r o p ied ad es cu án ticas están ex p resad as en las relacio n es
d e co n m u tació n d e lo s o p erad o res b ásico s , las cu ales so n las
m ism as p ara to d o tiem p o .
4 ) E l valo r esp erad o al tiem p o t d e cu alq u ier variab le d in ám ic a es

t
  t  ,  t 
y evo lu cio n a sig u ien d o la ecu ació n d e E h ren fest.
1 ) E l vecto r d e estad o es u n vecto r co n s tan te fijo
d el esp acio d e H ilb ert
d
 0.
dt
2 ) L as variab les d in ám icas están rep rese n tad as p o r
o p erad o res lin eales h erm itian o s q u e satisfacen las
d
ecu acio n es d e m o vim ien to
dt

i

H , 
.


t
3 ) L as p ro p ied ad es cu án ticas están ex p re sad as p o r
las relacio n es d e co n m u tació n q u e p ara o p erad o res
referid o s al m ism o in stan te t so n las m is m as q u e
en la rep resen tació n d e S ch rö d in g er.
4 ) E l valo r esp erad o al tiem p o t d e cu alq u ier variab le
d in ám ica se calcu la d e

t

 ,  t  

ˆ

t  
ˆ 
 
¿Q uién depende del tiem po?
1) S i sólo  ,
tenem os la descripción de S chrödinge r.
2) S i sólo ˆ ,
tenem os la descripción de H eisenberg
3) S i am bos,  y ˆ ,
tenem os la descripción de interacció n.
Suponemos que H  H 0  H 1
E l ham iltoniano H 0 es tal que las ecuacion es
de H eisenberg son fáciles de resolver.
E n la m ayoría de los casos H 1 es una interacción
perturbativa, pero aquí no tenem os que s uponer
nada respecto a su m agni tud.
Suponemos que H  H 0  H 1
 '  t   R  t0 , t    t 
 '  t   R  t0 , t   R
1
 t0 , t 
 '  t   R  t0 , t    t 
 '  t   R  t0 , t   R
1
L a fam ilia d e o p erad o res R  t , t 0  es
u n itaria; es d ecir,
R
†
 t , t0  
R
1
 t0 , t 
y satisface la ecu ació n
i
R  t0 , t 
t
  R  t0 , t  H 0
co n la co n d ició n in icial
R  t0 , t0   1
 t0 , t 
 '  t   R  t0 , t    t 
i
R
t
  RH 0 ;
 '
t
i


i

t
  t 
t
 H t   t    H 0  H 1   t 
 R  
 R H 0
R
t
  R

t
 R H 0   R H 1 
 
i
R H 1  
 
i
H 1 
i
R H 1R
1
R
 '  t   R  t0 , t    t 
i
i
  t 
t
i
R
t
  RH 0
 H t   t    H 0  H 1   t 
 
t
 H 1 
 '  t   R  t0 , t    t 
d  ' t 
dt

R
t
 '  t   R  t0 , t   R
R
1
 R
1
 t0 , t 
R
1
t
 '  t   R  t0 , t    t 
R
i
t
 '  t   R  t0 , t   R
  RH 0

i
R
†
t
  H 0R
†
†
R  R
p ero
1
así q u e
i
R
1
t
 H 0R
1
1
 t0 , t 
 '  t   R  t0 , t    t 
i
d  ' t 
R
t

dt

i

i

i
 RH
 RH
0
0
 '  t   R  t0 , t   R
  RH 0 ;
R
t
R
R
1
R
1
i
1
R
t
  H 0R
 R H 0R
RR
R
i
1
1
t
1
 RR
 H 0     H   
 t0 , t 
1
 R
1
1

1
RH 0R
 H 0 ,   
1

 '  t   R  t0 , t    t 
d  ' t 
 '  t   R  t0 , t   R

i

i
dt
d  ' t 
dt
 H 0 ,   
 H 0 ,    
 
t
1
 t0 , t 
 T
1
 t , t0    t 
 t   T
1
 t , t0   T  t , t0 
  t   T  t , t0  
  T  t , t0    t  T
 '  t   R  t0 , t    t 
 '  t   R  t0 , t   R
1
 t , t0 
1
 t0 , t 
 '  t   R  t0 , t    t   R  t0 , t  T  t , t0  

 '  t   U  t , t0  
donde
U  t , t0   R  t0 , t  T  t , t0 
 T
1
 t , t0    t 
 t   T
1
 t , t0   T  t , t0 
  t   T  t , t0  
  T  t , t0    t  T
 '  t   R  t0 , t    t 
 '  t   R  t0 , t   R
 '  t   R  t0 , t   R
1
 U  t , t0    t  U
 t , t0 
1
 t0 , t 
 t0 , t 
 R  t0 , t  T  t , t0    t  T
1
1
1
 t , t0 
donde
U  t , t0   R  t0 , t  T  t , t0 
 t , t0  R  t0 , t 
1
 T
1
 t , t0    t 
 t   T
1
 t , t0   T  t , t0 
  t   T  t , t0  
  T  t , t0    t  T
 '  t   R  t0 , t    t 
 '  t   R  t0 , t   R
1
 t , t0 
1
 t0 , t 
 '  t   U  t , t0  
 '  t   U  t , t0    t  U
1
donde
U  t , t0   R  t0 , t  T  t , t0 
 t , t0 
U  RT
i
U
R 
 T
 i  R

T 
t
t
t 

p ero
i
T
t
 HT
y
i
R
t
así q u e
U
i t
  R H T  R H 0T
  RH 0
U  RT
i
i
U
t
U
t
  R H T  R H 0T
  R H 0T  R H 1T  R H 0T
  R H 1T   R T T
1
H 1T
pero
T
1
H 1T  H 1
así que
i
U
t
  R T H 1   R T H 1T
1
1
R RT
U  RT
i
i
U
t
U
t
  R T H 1T
  U H 1U
1
R
1
RT
1
U
p ero
H 1  U H 1U
1
así q u e
i
U
t
  U H 1U
1
U   H 1U
U  RT
i
U  t , t0 
t
 H 1U  t , t 0 
con la condición inicial
U  t0 , t0   I
1) E l vector de estado obedece la ecuaci ón dinám ica
i
   t 
t
 H 1  t     t 
2) Las variables dinám icas están represe ntadas por operadores lineales
herm itianos que satisfacen las ecuacione s de m ovim iento
d 
dt

i
 H 0 ,    
 
t
.
3) Las propiedades cuánticas están expre sadas por las relaciones de
conm utación que para operadores referido s al m ism o instante t son
las m ism as que en la representación de S chrödinger o en la
representación de H eisenberg.
4) E l valor esperado al tiem po t de cualq uier variable dinám ica se
calcula de

t
  t , t  t 
I. Introducción
1.1 La ecuación de Schrödinger
1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre
1.2.2 Pozos
1.2.3 Barreras y tuneleo
1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
C onsideram os una partícula
de m asa m en tres dim ensiones,
en un potencial V  r  .
C onsideram os una partícula
de m asa m en tres dim ensiones,
en un potencial V  r  .
E l lagrangiano de dicha partícula es
1
L  T V  m v
2
2
 V r 
1
2
2
2
 m  x  y  z   V  x, y, z 
2
S e definen
los m om entos generalizados p j
asociados con las
coordenadas generalizadas q j
com o
pj 
L
q j
Llam arem os
par de variables canónicas conjugadas
a la coordenada
qj
y a su correspondiente
m om ento generalizado
pj 
L
q j
1
2
2
2
L  m  x  y  z   V  x, y, z 
2
L
px 
 mx
x
L
py 
 my
y
L
pz 
 mz
z
pj 
L
q j
C onsideram os una partícula
de m asa m en tres dim ensiones,
en un potencial V  r  .
x  xˆ ; y  yˆ ; z  zˆ
p x  pˆ x ;
p y  pˆ y ;
p z  pˆ z
x  xˆ ; y  yˆ ; z  zˆ
p x  pˆ x ;
p y  pˆ y ;
p z  pˆ z
 xˆ , yˆ    yˆ , zˆ    zˆ , xˆ   0
 pˆ x , pˆ y    pˆ y , pˆ z    pˆ z , pˆ x   0

 

 xˆ , pˆ x  
 yˆ , pˆ y    zˆ , pˆ z   i


x  xˆ ; y  yˆ ; z  zˆ
p x  pˆ x ;
p y  pˆ y ;
p z  pˆ z
 xˆ , pˆ y    xˆ , pˆ z   0


 yˆ , pˆ x    yˆ , pˆ z   0
 zˆ , pˆ x  
 zˆ , pˆ y   0


x1  xˆ1 ; x 2  xˆ 2 ; x 3  xˆ 3
p1  pˆ 1 ;
p 2  pˆ 2 ;
p 3  pˆ 3
 xi , x j   0


 pi , p j   0


 x i , p j   i  ij


i , j  1, 2, 3
ˆ
H 
pˆ
2
2m
ˆ
ˆ
L  r  pˆ
 V  xˆ , yˆ , zˆ 
pˆ
Hˆ 
pˆ
Hˆ 
2
V
pˆ

V
2m
2

pˆ
2m

 V  xˆ , yˆ , zˆ 
2m
2m
2
x
2
pˆ
 xˆ , yˆ , zˆ 
 xˆ , yˆ , zˆ 
2
y
2m

pˆ
2
z
2m
V
 xˆ , yˆ , zˆ 
Lˆ  rˆ  pˆ
ˆ
ˆ ˆ z  zp
ˆˆ y
L x  yp
ˆˆz
ˆ ˆ x  xp
Lˆ y  zp
ˆ
ˆ ˆ y  yp
ˆˆx
L z  xp
El momento angular de rotación de
un objeto, alrededor de algun punto
de referencia, es la medida de la
duración que el objeto seguirá
rotando sobre este punto, a menos
que actue sobre él un par de
torsión, una torca.
•El momento angular es importante en la
física porque es una cantidad conservada:
en un sistema el momento angular
permanece constante a menos que una
torca externa actue sobre él.
•La torca es el ritmo al que se transfiere
momento angular desde dentro o desde
fuera del sistema.
•Cuando un cuerpo rígido rota, su resistencia
a un cambio en su movimiento de rotación
se mide por su momento de inercia.
E l m om ento angular de una partícula alre dedor
de algun punto, se define com o
L r p
donde r es la posición de la partícula, e xpresada
com o un vector de desplazam iento desde e l
punto de rotación y p es el m om ento lineal de la
partícula.
P ara un sistem a de partículas, tenem os
L
r mv
i
i i
i
donde ri es la posición de la partícula i -esim a,
m edida desde el punto de referencia, m i es su
m asa y v i es su velocidad.
E n la m ecánica cuántica,
el m om ento angular está cuantizado;
es decir, no puede variar continuam ente,
sino sólo en "saltos cuánticos" entre
ciertos valores perm itidos.
E n la m ecánica cuántica, el m om ento angu lar está cuantizado;
es decir, no puede variar continuam ente, sino sólo en
"saltos cuánticos" entre ciertos valores perm itidos.
E l m om ento angular de las partículas
subatóm icas, debido a su m ovim iento
a través del espacio, es siem pre un
m ultiplo entero de .
Los experim entos m uestran que la m ayoría de las
partículas subatóm icas tienen un m om ento angular
intrínseco perm anente, que no se debe a su
m ovim iento a través del espacio.
E l m om ento angular de espín es tá dado siem pre en
unidades de
/2 .
U n electrón en reposo tiene un m om ento angular
intrínseco de
/2 .
E l m om ento angular de una partícula
alrededor de algun punto, se define
en m ecánica cuántica com o
Lˆ  rˆ  pˆ
donde r es la posición de la partícula,
y p es el m om ento lineal de la partí cula.
 Lx , L y   i Lz


 L y , Lz   i Lx


 Lz , Lx   i
Ly
D em ostrar que
 Lˆ x , Lˆ y   i Lˆ z


 Lˆ y , Lˆ z   i Lˆ x


 Lˆ z , Lˆ x   i Lˆ y


D em ostrar que
 Lˆ x , Lˆ y   i Lˆ z


 Lˆ y , Lˆ z   i Lˆ x


 Lˆ z , Lˆ x   i Lˆ y


D em ostración:
ˆ
L   x , y , z    pˆ x , pˆ y , pˆ z 
iˆ
ˆj
kˆ
ˆ
L  x
y
z   ypˆ z  zpˆ y , zpˆ x  xpˆ z , xpˆ y  ypˆ x 
pˆ x
pˆ y
pˆ z
D em ostrar que
 Lˆ x , Lˆ y   i Lˆ z


 Lˆ y , Lˆ z   i Lˆ x


 Lˆ z , Lˆ x   i Lˆ y


ˆ
L   ypˆ z  zpˆ y , zpˆ x  xpˆ z , xpˆ y  ypˆ x 
C alculam os ahora el conm utador
 Lˆ x , Lˆ y    ypˆ z  zpˆ y , zpˆ x  xpˆ z 


 
 Lˆ x , Lˆ y    ypˆ z  zpˆ y , zpˆ x  xpˆ z 


 
U sam os la propiedad de los conm utadores
[ A  B , C  D ]  [ A, C ]  [ A, D ]  [ B , C ]  [ B , D ]
y encontram os
 Lˆ x , Lˆ y    ypˆ z , zpˆ x    ypˆ z , xpˆ z    zpˆ y , zpˆ x    zpˆ y , xpˆ z 

 



 Lˆ x , Lˆ y    ypˆ z , zpˆ x    ypˆ z , xpˆ z    zpˆ y , zpˆ x    zpˆ y , xpˆ z 

 



U sam os ahora que
[ A B , C ]  A[ B , C ]  [ A , C ] B
y nos queda
 Lˆ x , Lˆ y   y  pˆ z , zpˆ x    y , zpˆ x  pˆ z  y  pˆ z , xpˆ z  


  y , xpˆ z  pˆ z  z  pˆ y , zpˆ x    z , zpˆ x  pˆ y 
 z  pˆ y , xpˆ z    z , xpˆ z  pˆ y
 Lˆ x , Lˆ y   y  pˆ z , zpˆ x    y , zpˆ x  pˆ z  y  pˆ z , xpˆ z    y , xpˆ z  pˆ z 


 z  pˆ y , zpˆ x    z , zpˆ x  pˆ y  z  pˆ y , xpˆ z    z , xpˆ z  pˆ y
U san d o ah o ra la p ro p ied ad
[ A , B C ]  [ A , B ]C  B [ A , C ]
d e lo s co n m u tad o res, o b ten em o s
 Lˆ x , Lˆ y   yz  pˆ z , pˆ x   y  pˆ z , z  pˆ x  z  y , pˆ x  pˆ z   y , z  pˆ x pˆ z 


2
 yx  pˆ z , pˆ z   y  pˆ z , x  pˆ z  x  y , pˆ z  pˆ z   y , x  pˆ z 
2
 z  pˆ y , pˆ x   z  pˆ y , z  pˆ x  z  z , pˆ x  pˆ y   z , z  pˆ x pˆ 
y
 zx  pˆ y , pˆ z   z  pˆ y , x  pˆ z  x  z , pˆ z  pˆ y   z , x  pˆ z pˆ y
 Lˆ x , Lˆ y   yz  pˆ z , pˆ x   y  pˆ z , z  pˆ x  z  y , pˆ x  pˆ z   y , z  pˆ x pˆ z 


2
 yx  pˆ z , pˆ z   y  pˆ z , x  pˆ z  x  y , pˆ z  pˆ z   y , x  pˆ z 
2
 z  pˆ y , pˆ x   z  pˆ y , z  pˆ x  z  z , pˆ x  pˆ y   z , z  pˆ x pˆ 
y
 zx  pˆ y , pˆ z   z  pˆ y , x  pˆ z  x  z , pˆ z  pˆ y   z , x  pˆ z pˆ y
U sam os ahora los conm utadores ya conocid os
 x , pˆ x   i
 y , pˆ y   i


 z , pˆ z   i
y todos los dem ás conm utadores son cero,
para llegar a
 Lˆ x , Lˆ y   yz  pˆ z , pˆ x   y  pˆ z , z  pˆ x  z  y , pˆ x  pˆ z   y , z  pˆ x pˆ z 


2
 yx  pˆ z , pˆ z   y  pˆ z , x  pˆ z  x  y , pˆ z  pˆ z   y , x  pˆ z 
2
 z  pˆ y , pˆ x   z  pˆ y , z  pˆ x  z  z , pˆ x  pˆ y   z , z  pˆ x pˆ 
y
 zx  pˆ y , pˆ z   z  pˆ y , x  pˆ z  x  z , pˆ z  pˆ y   z , x  pˆ z pˆ y
 x , pˆ x   i
 y , pˆ y   i


 Lˆ x , Lˆ y   yz  0   y   i


 z , pˆ z   i
 pˆ x  z  0  pˆ z   0  pˆ x pˆ z
 yx  0  
2
 y  0  pˆ x  x  0  pˆ z   0  pˆ x pˆ z  z  0   z  0  pˆ x  z  0  pˆ y 
  0  pˆ x pˆ y  zx  0   z  0  pˆ x  x  i
 pˆ y   0  pˆ x pˆ y
 Lˆ x , Lˆ y   yz  0   y   i


 pˆ x
 z  0  pˆ z   0  pˆ x pˆ z  yx  0   y  0  pˆ x 
2
 x  0  pˆ z   0  pˆ x pˆ z  z  0   z  0  pˆ x  z  0  pˆ y   0  pˆ x pˆ y 
 zx  0   z  0  pˆ x  x  i
 Lˆ x , Lˆ y   i


 pˆ y
  0  pˆ x pˆ y
ˆ
ˆ
ˆ
xp

yp

i
L
 y
x 
z
 ˆ

ˆ
R esum iendo,  L x , L y 


ˆ
 i Lz
 ˆ

ˆ
 Lx , L y 


ˆ
 i Lz
P ara los dem ás conm utadores,
se procede de la m ism a m anera,
con los cam bios evidentes.
 Lˆ x , Lˆ y   i Lˆ z


 Lˆ y , Lˆ z   i Lˆ x


 Lˆ z , Lˆ x   i Lˆ y


 Lx , L y   i Lz ;  L y , Lz   i Lx ;




 L , Li   0 ;


i  x, y, z
2
donde
L  L L L
2
2
x
2
y
 Lz , Lx   i
2
z
Ly
D em ostrar que  Lˆ2 , Lˆi   0 para i  x , y , z


T enem os que
 Lˆ2 , Lˆ x    Lˆ  Lˆ , Lˆ x 

 

U sando la siguiente propiedad de los con m utadores
[ A B , C ]  A[ B , C ]  [ A , C ] B
nos queda
 Lˆ2 , Lˆ x    Lˆ  Lˆ , Lˆ x   Lˆ   Lˆ , Lˆ x    Lˆ , Lˆ x   Lˆ

 


 

 Lˆ2 , Lˆ x    Lˆ  Lˆ , Lˆ x   Lˆ   Lˆ , Lˆ x    Lˆ , Lˆ x   Lˆ

 


 

U sando ahora las relaciones de conm utación
 Lˆ x , Lˆ y   i Lˆ z


 Lˆ y , Lˆ z   i Lˆ x


 Lˆ z , Lˆ x   i Lˆ y


obtenem os

 

ˆ
ˆ
2 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 L , L x   L  0,  i L z , i L y  0,  i L z , i L y  L 


  i Lˆ y Lˆ z  i Lˆ z Lˆ y  i Lˆ z Lˆ y  i Lˆ y Lˆ z  0
D em ostrar que  Lˆ2 , Lˆi   0 para i  x , y , z


P ara las otras com ponentes, se procede igual.
 Lˆ2 , Lˆ y    Lˆ  Lˆ , Lˆ y   Lˆ   Lˆ , Lˆ y    Lˆ , Lˆ y   Lˆ 

 


 


 

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 L  i L z , 0,  i L x  i L z , 0,  i L x  L 
  i Lˆ x Lˆ z  i Lˆ z Lˆ x  i Lˆ z Lˆ x  i Lˆ x Lˆ z  0
2 ˆ 

ˆ
D em ostrar que L , Li  0 para i  x , y , z


 Lˆ2 , Lˆ z    Lˆ  Lˆ , Lˆ z   Lˆ   Lˆ , Lˆ z    Lˆ , Lˆ z   Lˆ 

 


 


 

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 L  i L y ,  i Lx , 0  i L y , i Lx , 0  L 
  i Lˆ x Lˆ y  i Lˆ y Lˆ x  i Lˆ y Lˆ x  i Lˆ x Lˆ y  0
 
 
 
 
 
 
Lx   y
z
x
 y
 ; Lz   x
; Ly   z

i  z
y 
i  x
z 
i  y
x 
 Lx , L y   i Lz ;


 L y , Lz   i Lx ;


 L , Li   0 ;


i  x, y, z
2
donde obviam ente
L L L L
2
2
x
2
y
2
z
 Lz , Lx   i
 L2 , L   0


Ly
E l m om ento angular de una partícula alre dedor de
algun punto, se define en m ecánica cuántica com o
Lˆ  rˆ  pˆ
donde r es la posición de la partícula, y p es el
m om ento lineal de la partí cul a.
En la representación de coordenadas
r  rˆ  r
p  pˆ   i 
E n m ecánica cuántica el m om ento angular
es un operador.
E n la representación de coordenadas está
dado com o
Lˆ   i r  
E n m ecánica cuántica el m om ento angular es un operador.
E n la representación de coordenadas está dado com o




Lˆ x   y
 z

i  z
y 
Lˆ y 
 
 
 x
z

i  x
z 
Lˆ z 
 
 
 y
x

i  y
x 
ˆ
L  i r  
ˆ
L
ˆr  r
ˆ
r p
y
ˆp   i 
ˆ
L  r  pˆ
rˆ  r
y
pˆ   i 


 
ˆ
L x  i  sin 
 co t  co s 


 



 
ˆ
L y  i   co s 
 co t  sin 


 

Lˆ z   i


ˆ
L  r  pˆ
rˆ  r
L 
2
pˆ   i 
 
1

1
 



2
2
2 
tan   
sin    
 
2
2
y
2
ˆ
L f f
2
ˆ
Lz f   f
Lˆ z f 
i
 f  ,  

mf

m f  ,  
f   ,    g    ex p  im  
Lˆ z f  m f
f   ,    g    exp  im 
P or las condiciones de periodicidad
f  ,   = f  ,   2

tenem os que necesariam ente m debe ser un
entero; es decir,
m  0,  1,  2, ...
L a ecu ació n d e valo res p ro p io s
Lˆ z f 
mf
tien e co m o so lu ció n
f 

A ex p  im  
co n
m  0,  1,  2, ...
ˆL2 f  
 
1 
1
 


f 

2
2
2 
tan    sin    
 
2
2
2
f   ,    g    exp  im 
2
l  l  1 f
Lˆ f  
2
2
2
 2
1

1
 


f 

2
2
2 
tan   
sin    
 
2
l  l  1 f
f   ,    g    exp  im  

2
2
 2
1

1
 


g    exp  im   

2
2
2 
tan   
sin    
 
2
l  l  1  g    exp  im  
2
2

exp
i
m

m
exp  im   


d g
dg
  exp  im  


g   l  l  1  g exp  i m  
2
2


d

tan

d

sin



2
 d 2g

1 dg
m



g   l  l  1 g
2
2
tan  d  sin  
 d
2
d g
d
2
2

m 

  l  l  1 
g 0
2
tan  d 
sin  

1
dg
x  co s 
dg
d

dg dx
dx d
  sin 
dg
dx
  1 x
2
dg
dx
2
d g
d
2
2

m 
dg
2 dg

  l  l  1 
  1 x
 g  0; x  cos  ;
2
tan  d  
sin  
d
dx
1
dg
2
d g
d
2
d  dg 
d  dg  dx





d  d  dx  d  d
d 
2 dg 
  1 x
 1 x

dx 
dx 
2
 1  x
 1  x
2
2
 dx
d g
2

2
2
 dx
d g
2
 x
 1
1 x 
 2
2
dg
dx
 dg


2
1  x  dx
2 x
2
d g
d
x  cos  ;
1  x
1  x
1  x
2
2
 dx
d g
2
x
2
2


m

  l  l  1 
g 0
2
tan  d 
sin  

1
dg
d
dg
dg
  1 x
2
dg
dx

dx
2
;
d g
d
2
 1  x

2 dg 
 1 x



2
dx 
1 x 
x
2
2
2

2

d g
dg
dg
2

m 
 2x
 l  l  1 
g 0
2
2 
dx
dx 
1 x 
2
dg
2
 x
dg
dx
2

m 
g 0
 l  l  1 
2 
1 x 

2

m 
x
x
  l  l  1 
g 0
2
2 
dx
dx
dx 
1 x 
2
d g
 dx
d g
2

dg
m
2 d g
1  x  dx 2  2 x dx   l  l  1   1  x 2

2

g 0

E sta ecuación diferencial tiene
soluciones no singulares solam ente
si l y m son núm eros enteros
con  l  m  l
2
1  x  dx
2
d g
2
2

m 
 2x
  l  l  1 
g 0
2 
dx
1 x 

dg
E sta ecuación diferencial tiene solucion es
no singulares solam ente si l y m son
núm eros enteros con  l  m  l :
Pl
m
x 
  1
l
m
2 l!
1  x 
2
m /2
d
lm
dx
lm
x
2
 1
l
2
L fl
f l  Yl
m
m
m

2
l  l  1 f l
 ,    
m
 2l  1  l 
m !
l 
m !
4
donde
    1
m
Lz fl
para m  0,
  1 para m  0,
l  0,  1,  2,... y  l  m   l
m

m fl
exp  im   Pl
m
m
 cos  
Y
0
0
Y1
Y
1
1
2



1
Y1 
0
4
3
4
15
8
sin  e
 i
sin  cos  e
 i
Y
0
2
Y
2
2


3
4
cos 
15
32 
15
32 
 3 cos   1 
2
sin  e
2
 2 i
Real spherical harmonics Ylm, for l=0 to 4 (top to bottom) and m=0 to 4 (left to right). The negative
order harmonics Yl-m are rotated about the z axis by 90/m degrees with respect to the positive order
ones
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics
2
m
ˆ
L Yl   ,    l  l  1 
2
Yl
m
 ,  
m
m
ˆ
L z Yl   ,    m Yl   ,  
l  0,  1,  2, ... y  l  m   l
E n la m ecánica cuántica,
el m om ento angular está cuantizado;
es decir, no puede variar continuam ente,
sino sólo en "saltos cuánticos" entre
ciertos valores perm itidos.
E n la m ecánica cuántica,
el m om ento angular está cuantizado;
pero no sólo eso, sino que la
proyección del m om ento angular
tam bién está cuantizada. A esto
se le llam a "cuantización espacial"
¿S e conserva el m om ento angular?
Y a sabem os que una cantidad se conserva,
si y sólo si, conm uta con el ham iltonian o.
V eam os que sucede en el caso del
m om ento angular.
¿S e conserva el m om ento angular?
ˆ

ˆ
¿ H ,L ?


 H , Li 
 p

 
, L i   V , L i 
 2m

2
 H , Li 

 p
, L i   V , L i 
 

 2m
2
 p

, Li   0

 2m

2
 H , Li 

 p
, L i   V , L i 
 

 2m
2
En general
V , L i   0
 p i  t  , q j  t     i  ij


 p , q    i np


n
 q , p   i nq


n
n 1
n 1
   q , p  , q    i
   q , p  , p   i

p

q
 H , Li 
 p

 
, L i   V , L i 
 2m

2
V , L x   V , yp z  zp y   V , yp z   V , zp y 
 y V , p z   V , y  p z  z V , p y   V , z  p y
 V
V 
 y V , p z   z V , p y    i  y
z
  i
y 
 x
r  V x
 H , Li 
 p

 
, L i   V , L i 
 2m

2
V , L    i r   V   i r  F


 p

 H , L i    , L i   V , L i   0
 2m

2
si r  F  0;
es decir, en el caso del cam po central.
 p
2 
2
H , L   


,
L

V
,
L
 



 2m

2
2
 p

2
,L   0

 2m

2
 p
2 
2
H , L   


,
L

V
,
L
 



 2m

2
2
3
V , L  


2
 V , L
i 1
3
2
i


  L  V , L   V , L  L 
i
i
i
i 1
3
 i
 L r  V   r  V  L   0
i
i 1
en general.
i
i
i
i
3
V , L    i


2
 L r  V 
i
i 1
i
 r  V
 i Li  
 p
2 
2
H , L   


,
L

V
,
L

0





 2m

2
2
si r  F  0;
es decir, en el caso del cam po central.
0
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