UNIDAD I
En el gran premio de F1 de España en 2008, los autos
de Fernando Alonso y Kimi Raikkonen están uno al lado
del otro al inicio de la carrera, la velocidad del auto
conducido por Kimi Raikkonen se denota por (Vr)
mientras que la velocidad el auto conducido por
Fernando Alonso se denota por (Va). En la siguiente
tabla se observan las velocidades de cada vehículo
durante los primeros 10 segundos.
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vr
0
30
48
57
69
81
93
104
111
121
129
Va
0
33
58
78
92
106
120
129
140
147
153
¿cuántos metros aventaja el auto de Fernando Alonso al
de Kimi Raikkonen después de 10 segundos?
Para poder resolver éste problema, necesitamos conocer:
1) La fórmula de la velocidad
2) La fórmula de la distancia
3) ¿La velocidad cambia si la expresión está dada en
km/h o m/s?
4) Cómo se representa en un plano el tiempo y la
velocidad?
5) Menciona algunas figuras geométricas que expresen
área
6) ¿Cuál es la fórmula de cada una de ellas?
7) ¿Habrá una herramienta matemática que solucione
el problema?
8) ¿El resultado obtenido es exacto?
Iremos contestando éstas preguntas poco a poco.
1) La fórmula de la velocidad es v = d/t, su unidad de medida
principal es m/s.
2) Despejando la distancia de la fórmula de la velocidad
encontramos que d = (v)(t)
3) Si convertimos la velocidad de km/h a m/s, no cambia la
velocidad, lo que cambia es la expresión y la magnitud.
4) El tiempo se representa en el eje de las abscisas y la
velocidad en el eje de las ordenadas.
5) Algunas figuras geométricas que expresen área pueden ser:
círculo, triángulo, rectángulo, cuadrado, trapecio, etc.
6) La fórmula de cada una de las figuras anteriores es: πr2,
b(h)/2; b(h); l(l); (B+b)(h)/2; respectivamente.
Las dos últimas las dejaremos para después.
Lo primero que necesitamos hacer es: convertir las
velocidades de km/h a m/s
v (m/s)
v (km/h)
T(S)
Kimi R Fernando A. Kimi R
Fernando A
0
0
0
0
0
1
30
33
8,3
9,2
2
48
58
13,3
16,1
3
57
78
15,8
21,7
4
69
92
19,2
25,6
5
81
106
22,5
29,4
6
93
120
25,8
33,3
7
104
129
28,9
35,8
8
111
140
30,8
38,9
9
121
147
33,6
40,8
10
129
153
35,8
42,5
Para convertir se hace así:
30km 1000 m 1 h = 30000 m
h
1 km 3600 s
3600 s
= 8.3 m/s
Lo mismo se hace en los demás
casos.
Grafiquemos por separado el tiempo vs la velocidad de
cada uno de ellos.
Tiempo vs velocidad de
Fernando Alonso
Tiempo vs Velocidad de Kimi
Raikkonen
40
45
35.8
35
33.6
30.8
30
19.2
29.4
25.6
21.7
20
15.8
15
42.5
35.8
25
22.5
40.8
33.3
30
25.8
20
38.9
35
28.9
25
40
16.1
15
13.3
10
9.2
10
8.3
5
5
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
El tema 1.1 es área bajo la curva
¿Qué relación tiene el área bajo la curva con respecto a
la distancia de ventaja de los corredores?
Si nos regresamos a la pregunta #2 y la relacionamos con la
respuesta de la pregunta #6, notaremos que el área de un
rectángulo es semejante en cuanto a la forma de
representarlo. Observa:
v…..
h….
d = v(t)
A = b(h)
t
b
Esto nos lleva a concluir que si conocemos el área bajo la
curva, entonces podremos conocer la distancia que recorrió
cada uno de ellos.
Pero, ¿Cómo calcular el área bajo la curva, sino es una
figura regular?
No te preocupes, no es difícil, lo que tenemos que hacer
es dividir el área bajo la curva con figuras geométricas
que conoscas.
¿Cuál crees que sea la figura geométrica más
adecuada para cubrir el área?
si usamos el círculo nos quedarían muchos espacios
vacíos.
Su utilizamos el triángulo nos complicaríamos con la ley
de los senos y los cosenos en los lugares donde no se
pueda aplicar el triángulo rectángulo.
Correcto, el más sencillo para trabajar es el rectángulo.
Observa:
Tiempo vs Velocidad de Kimi
Raikkonen
Área
Cálculo
unidades
1
8,3
m
2
13,3
m
3
15,8
m
4
19,2
m
5
22,5
m
6
25,8
m
7
28,9
m
8
30,8
m
9
33,6
m
Total
198,3
m
40
35
30
25
20
15
10
5
A3
A2
A1
A5
A4
A9
A8
A7
A6
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ahora, calcula el área de cada
uno de los rectángulos.
Recuerda:
Área = b(h) pero la base es el
tiempo y la altura es la
velocidad, =>
A= t(v) = distancia.
10
¿Éste resultado es exacto?
Justifica.
No, porque la distancia recorrida
por Kimi R. es TODA el área bajo
la curva y faltan espacios.
Tiempo vs velocidad de Fernando
Alonso
45
40
35
30
35.8
33.3
40.8
38.9
29.4
25.6
25
20
21.7
16.1
15
10
5
9.2
A1
0
A5
A4
A3
A2
A7
A6
A8
A9
42.5
Área
Cálculo
unidades
1
9,2
m
2
16,1
m
3
21,7
m
4
25,6
m
5
29,4
m
6
33,3
m
7
35,8
m
8
38,9
m
9
40,8
m
Total
250,8
m
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Haremos lo mismo que
hicimos que con Kimi
Raikkonen.
9
10
Sucede lo mismo; la distancia
no es TODA la recorrida por
Fernando Alonso.
La ventaja que tiene Fernando Alonso con respecto a
Kimi Raikkonen es:
Ventaja = distancia Fernando A. – distancia Kimi R.
V = 250.8 m – 198.3 m = 52.5 metros
Pero podemos concluir que el resultado no es exacto
debido a todas las superficies que se pierden al colocar
los rectángulos.
¿Qué sucede si volvemos a hacer lo mismo, pero ahora
la base de los rectángulos mide 0.5 segundos?
Tiempo vs Velocidad de Kimi
Raikkonen
La distancia recorrida por
Kimi Raikkonen es de:
40
35
30
25
A A A
A A A A
A
A
1 1
A
1 1 1 1
1
1
A
9
1 1
5 6 7 8
A A A
4
A
3
A
2
9 0 1
A A 4 5 6 7 8
a
3
2
1
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
La distancia recorrida por
Fernando Alonso es de:
d = 264.8 metros
Ventaja : 55.6 metros
d = 209.2 metros
Tiempo vs velocidad de Fernando
Alonso
10
45
40
35
30
38.9
35.8
33.3
40.8
29.4
A A
A A A
A
A
A
1 1 1
A A
1 1 1 1
1
8 9
16.1
A
1 1
A A
5 6 7
4
A
3
2
9
A
0 1
7 8
9.2 A
A A 4 5 6
A
2 3
01
25.6
25
20
15
21.7
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
42.5
Tablas para calcular el área con 0.5 segundos de base
Área bajo la curva de Kimi Raikkonen
Rect
áng
ulo
Altura
del
rectán
gulo
Área
Rect
áng
ulo
Altura
del
rectáng
ulo
1
3,8
1,90
11
25,2
2
8,3
4,15
12
3
10,7
5,35
4
13,3
5
Área bajo la curva de Fernando Alonso
Rec
tán
gul
o
Altura
del
rectán
gulo
Área
Rec
tán
gul
o
Altura
del
rectán
gulo
Área
12,60
1
4,2
2,1
11
31,9
15,95
25,8
12,90
2
9,3
4,65
12
33,5
16,75
13
28,1
14,05
3
12,5
6,25
13
35,6
17,8
6,65
14
28,9
14,45
4
16,2
8,1
14
36
18
14,4
7,20
15
30,5
15,25
5
18,6
9,3
15
37,8
18,9
6
15,8
7,90
16
30,8
15,40
6
21,8
10,9
16
39,1
19,55
7
18,1
9,05
17
32,6
16,30
7
23,9
11,95
17
40,7
20,35
8
19,2
9,60
18
33,6
16,80
8
25,8
12,9
18
42,4
21,2
9
21,3
10,65
19
35,5
17,75
9
27,9
13,95
19
42,8
21,4
10
22,5
11,25
TOTAL
209,20
10
29,6
14,8
Área
total
264,8
Ahora, volveremos a hacer lo mismo pero los
rectángulos los colocaremos por arriba de la curva
Tiempo vs Velocidad de Kimi
Raikkonen
La distancia recorrida por
Kimi Raikkonen es de:
40
35
30
25
20
15
10
A1
5
A5
A4
A3
A2
A8
A7
A6
A
10
A9
d = 234 metros
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
La
.. distancia recorrida por
Fernando Alonso es de:
d = 299.1 metros
Ventaja = 65,1 metros
Tiempo vs velocidad de Fernando
Alonso
10
45
40
35
35.8
33.3
30
25
20
38.9
40.8
29.4
25.6
21.7
16.1
15
10
A1
5
0
A4
A3
9.2
A2
A7
A6
A5
A
10
A9
A8
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
42.5
Tablas para calcular el área con rectángulos por arriba de la curva
con base de 1 segundo
Distancia de Kimi Raikkonen
Distancia de Fernando Alonso
Rectángulo
h
A=d
Rectángulo
h
A=d
1
8,3
8,3
1
9,2
9,2
2
13,3
13,3
2
16,1
16,1
3
15,8
15,8
3
21,7
21,7
4
19,2
19,2
4
25,6
25,6
5
22,5
22,5
5
29,4
29,4
6
25,8
25,8
6
34,4
34,4
7
28,9
28,9
7
36,9
36,9
8
30,8
30,8
8
39,7
39,7
9
33,6
33,6
9
41,9
41,9
10
35,8
35,8
10
44,2
44,2
Total
234
Total
299,1
Ventaja = 65,1 metros
Tablas para calcular el área con rectángulos por arriba de la curva
con base de 0.5 segundo
Distancia recorrida por K. R. con base de o.5 seg
Distancia recorrida por F. A. con base de o.5 seg
Rectán
gulo
h
A=d
Rectán
gulo
h
A=d
Rectán
gulo
h
A=d
Rectán
gulo
h
A=d
1
2,5
1,3
11
25,8
12,9
1
4,2
2,1
11
32
16,0
2
6,7
3,4
12
26,6
13,3
2
9,2
4,6
12
34,4
17,2
3
10,7
5,4
13
28,9
14,5
3
12,7
6,4
13
35,3
17,7
4
12,5
6,3
14
29,7
14,9
4
16,1
8,1
14
36,9
18,5
5
14,7
7,4
15
30,8
15,4
5
19,3
9,7
15
37,6
18,8
6
15,8
7,9
16
32,1
16,1
6
21,7
10,9
16
39,7
19,9
7
17,4
8,7
17
33,6
16,8
7
24,5
12,3
17
41,3
20,7
8
19,2
9,6
18
34,7
17,4
8
25,6
12,8
18
41,9
21,0
9
22,5
11,3
19
35,8
17,9
9
28,1
14,1
19
42,7
21,4
10
23,3
11,7
20
37,1
18,6
10
29,4
14,7
20
44,2
22,1
Total
230,2
Total
288,4
Ventaja = 58,2 metros
Gráficas de distancia con 0,5 seg de base
Tiempo vs Velocidad de Kimi
Raikkonen
40
35
30
25
A A A
A A A
A
A
2
A
A A
1 1 1 1
1
1
1
0
A
1 1 1 3 4 5 6 7 8 9
A A
A
A
9 0 1 2
A A
6 7 8
A
5
4
A
3
2
1
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
La ventaja de Fernando
Alonso con respecto a
Kimi Raikkonen es de:
58.2 metros
9
10
Tiempo vs velocidad de Fernando
Alonso
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
38.9
35.8
33.3
40.8
29.4
A A A A
A A A
A
2
A
1 1 1 1
A A
1
1
16.1 A A A 1 1 1 1
7 8 9 0
4 5 6
A
3
2
A
7 8 9 0 1
9.2A
A A 4 5 6
A
2 3
10
25.6
21.7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
42.5
Resumen
Analicemos los resultados que nos arrojaron las gráficas:
Primer caso.
Ventaja = 52.5 metros
Rectángulos tienen un segundo de base.
Ventaja = 55.6 metros
Rectángulos tienen 0.5 segundos de base.
CONCLUSIÓN:
Al observar los resultados y el procedimiento que me llevó a ellos, se concluye que
mientras más pequeña sea la base del rectángulo, mayor será la aproximación a la
ventaja exacta.
Segundo caso:
Ventaja = 64.1 metros
La base mide 1 segundo.
Ventaja = 58.2 metros
La base mide 0.5 segundos
CONCLUSIÓN:
En éste caso, la ventaja comienza a disminuir cuando la base de los rectángulos
disminuye, si se sigue disminuyendo la base, la ventaja se aproximará a la exacta.
CONCLUSIÓN FINAL:
Analizando ambos casos, llegamos a la conclusión de que la ventaja exacta se
encuentra entre 55.6 metros y 58.2 metros; es decir:
55.6 < Ventaja exacta < 58.2
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ESCENARIO DIDÁCTICO