Guía para la Presentación
de Resultados en
Laboratorios Docentes
Prof. Norge Cruz Hernández
http://www.personal.us.es/norge/
Bibliografía
Bibliografía:
An introduction to uncertainty in measurement using the GUM
(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement).
Autores: Les Kirkup y Bob Frenkel.
Disponible en la Biblioteca de la Escuela Politécnica de la Universidad
de Sevilla.
Bibliografía empleada en la elaboración de este material:
- Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes.
Octubre de 2012.
-Documentación adicional en:
http://www.personal.us.es/norge/
Los experimentos de física en los laboratorios están dirigidos a
determinar el valor de alguna magnitud física o de parámetros de alguna
ley física. Para ello se miden una, o varias veces magnitudes que son
sometidos luego a un procesamiento matemático, que en algunos casos
pueden incluir algún gráfico.
En este procesamiento resulta de tanta importancia el cálculo del
valor de interés como la incertidumbre con la cual se determina el
primero. Este valor no negativo llamado incertidumbre indica cuanto de
confiable es nuestro experimento.
Centraremos nuestro interés en los elementos que intervienen en
la medición (directa o indirecta) de una magnitud, así como en la
determinación de su incertidumbre.
Al medir la masa de una manzana lo que hacemos es
comparar su masa desconocida con la de un cuerpo conocido.
Vamos a suponer que medimos una magnitud usando un
instrumento de laboratorio.
Magnitud: Propiedad de un fenómeno, cuerpo o sustancia, que puede
expresarse cuantitativamente mediante un número y una referencia
(habitualmente una unidad de medida).
Definición de errores
Error aleatorio: Componente del error de medida que, en mediciones
repetidas, varía de manera impredecible.
Error sistemático: Componente del error de medida que, en mediciones
repetidas permanece constante o varía de manera predecible.
Corrección: Compensación de un efecto sistemático estimado. Puede
ser: aditiva, multiplicativa, o deducirse de una tabla.
Medición directa
Error sistemático: Componente del error de medida que, en mediciones
repetidas permanece constante o varía de manera predecible.
(
).
Definición de errores
a  M  M
M
M
Error absoluto: Si al medir una magnitud, se encuentra una magnitud
distinta a la reportada como referencia, a la diferencia se denomina
error absoluto. El error absoluto puede ser positivo o negativo y tiene
las mismas dimensiones que la magnitud que se mide.
Nunca podemos conocer su valor !!!!
(
).
Definición de errores
M
M
Error relativo: Se define como:
r 
nos ofrece mayor idea de la dimensión del
error absoluto, al compararlo con el valor de
la magnitud medida.
a
M
exactitud y precisión
Exactitud: Proximidad entre el valor medio y el valor verdadero de una
medida.
Precisión: Proximidad entre las indicaciones o los valores medidos
obtenidos en mediciones repetidas de un mismo objeto, o de objetos
similares bajo condiciones especificadas.
Poco exacto y poco preciso
Muy exacto pero poco preciso
Muy preciso pero poco exacto
Muy exacto y muy preciso
Incertidumbre de medida
¿Qué valor tiene el diámetro de
esta esfera?
Podemos decir que su diámetro
es mayor que 16 mm y menor
que 17 mm.
Incertidumbre (uncertainty): Es un parámetro no negativo asociado al
resultado de una medición, que caracteriza el intervalo de los valores
que podrían ser atribuidos a una medida.
D (
16 ,5

0 ,5
incertidumbre
) mm
Intentaremos medir la distancia que hay
desde el centro de la diana hasta el punto
donde impacta el proyectil.
Repetimos el experimento muchas veces
para reducir el error aleatorio.
R 
1
n
R

n
i
i 1
u R  
n
R

n n  1
1
R
2
i
i 1
desviación típica experimental de la medida
Incertidumbre típica: Incertidumbre del
resultado de una medición, expresada en
forma de desviación típica.
valor medio de
nuestras mediciones

A
 n 1
número de grados
de libertad
R 
1
n
R

n
i
i 1
u R  
n
R

n n  1
1
R
2
i
i 1
Incertidumbre típica relativa: Se llama así al valor:
u r R  
u R 
R
Incertidumbre típica relativa: El número así calculado nos indica una
forma de comparación porcentual del valor de la incertidumbre típica
con el valor de la medida.
Clasificación de incertidumbres
Tipo A: Aquellas que se evalúan por métodos estadísticos. Están
relacionadas con magnitudes estimadas a partir de un determinado
número de observaciones repetidas e independientes, y como
incertidumbre típica de dicha estimación se toma la desviación típica
experimental de la medida.
Tipo B: Aquellas que se evalúan por otros medios. Están relacionadas
con magnitudes cuyo método de estimación no ha sido a partir de
observaciones repetidas.
 resultados de mediciones anteriores
 experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y
las propiedades de los materiales e instrumentos utilizados
 especificaciones del fabricante
 incertidumbres asignadas a valores de referencias o constantes
naturales procedentes de libros y manuales
resolución de un instrumento
Se le llama resolución a la mínima variación de la magnitud medida
que da lugar a una variación perceptible de la indicación
correspondiente.
La
resolución
de
nuestro
instrumento de medida es de:
  1 mm



D   D0  , D0  
2
2

D 0  16 ,5 mm
u B D  
1
12

D  D0 

U 

2
2
Incertidumbre típica, tipo B, debido a
la resolución del instrumento
número de grados
B  
de libertad
Instrumento para medir las
dimensiones de un objeto.
  0 , 05 mm
  0 , 01 mm
Instrumento para medir las
dimensiones de un objeto.
Instrumento para medir magnitudes
relacionadas con la corriente eléctrica.
 
La menor lectura que
puede tener el instrumento.
u res V  
1

12
En muchos instrumentos de medición
eléctrica, la incertidumbre típica viene
dada por un manual, y dependiendo
del valor que estemos midiendo.
R 
n
1
R

n
i
i 1
u A R  
n
R

n n  1
1
R
2
i
i 1
  1 mm
La incertidumbre típica asociada a la
determinación de R se calcula como:
u
2
R   u R   u R 
u R  
2
A
2
B
u A R   u B R 
2
2
u B R  
1

12
¿ efec ?
número de grados
de libertad
Fórmula de Welch-Satterthwaite
u
4
R 
 efec
 efec 

u
4
A
R 
A
u
u
4
A
4
R 
A
4
B
u

R 
B
R 

u
4
B
R 
B
número de grados de
libertad efectivos
incertidumbre expandida (incertidumbre) y factor de cobertura
Incertidumbre expandida (incertidumbre): Magnitud que define un
intervalo en torno al resultado de una medición, y en el que se espera
encontrar una fracción importante de la distribución de valores que
podrían ser atribuidos razonablemente a la medición. Habitualmente a
la incertidumbre expandida de la medida se le denota U(x).
R  R  U R 
Factor de cobertura: Factor
numérico
utilizado
como
multiplicador de la incertidumbre
típica combinada, para obtener la
incertidumbre expandida.
R  R  U  R , R  U  R 
¿con que confiabilidad?
U  R   ku  R 
Se debe indicar la confiabilidad.
R 
1
n
R

n
i
 7 , 0 mm
i 1
u A R  
n
R

n n  1
1
 R   0 ,1 mm
2
i
i 1
u B R  
u R  
R  7 , 00 mm
1
  0 , 29 mm
12
u
2
A
R   u R 
u  R   0 , 31 mm
2
B
R  7 , 00 mm
u  R   0 , 31 mm
u A  R   0 ,1 mm
u B  R   0 , 29 mm
 efec 
u
u
4
A
4
R 
A
R 

u
4
B
R 
B

A
 n 1  9
B  
 efec  831
¿Cómo calculamos el valor del factor de cobertura?
R  R  U R 
U  R   ku  R 
 efec  831
APÉNDICE I (t-Student)
Grados de
libertad
9
20
100

p  95 %
p (%)
68,27
1,06
1,03
1,005
1,000
90
1,83
1,72
1,660
1,645
k  1,96
95
2,26
2,09
1,984
1,960
95,45
2,32
2,13
2,025
2,000
99
3,25
2,85
2,626
2,576
U  R   0 , 61 mm
99,73
4,09
3,42
3,077
3,000
R  7 , 00 mm
U  R   0 , 61 mm
Debemos expresar el resultado de la forma:
El valor de R ha sido (7,00±0,61)mm, con un factor de cobertura de
k=1,96 que representa el 95% de confiabilidad.
Elementos que determinan el valor de una magnitud física y su
incertidumbre.
Objeto de la
medición, o
mensurando
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Objeto de la
medición
Instrumento
de medición
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Instrumento de medición: aquellos mediante los cuales se operan las
mediciones directas (determinados por la magnitud a medir y las
características del objeto de la medición).
Velocímetro con unidades en km/h y en millas/hora.
Equipos
auxiliares
Objeto de la
medición
Instrumento
de medición
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Equipos auxiliares: aquellos que forman el sistema experimental y
aseguran su correcto funcionamiento para poder realizar la medición
(soportes, cables, poleas, alambres conductores, conectores eléctricos,
sistemas de lentes, etc…).
El objeto de medición es la corriente eléctrica a través de un circuito, el
instrumento de medición es el polímetro, los instrumentos auxiliares son
los cables del polímetro.
En este experimento los instrumentos auxiliares son todos los soportes
del péndulo, para el que medimos el período de las oscilaciones y
posteriormente un valor de la gravedad.
Equipos
auxiliares
Condiciones
externas
Objeto de la
medición
Instrumento
de medición
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Condiciones externas: condiciones ajenas al sistema de medición, pero
que influyen sobre él (temperatura, presión, humedad, iluminación,
corrientes de aire, voltaje de la línea, radioactividad ambiental, etc.)
Equipos
auxiliares
Objeto de la
medición
Instrumento
de medición
Condiciones
externas
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Observador
Observador: el experimentador/ora (grupo de experimentadores) que
lleva a cabo los ajustes del sistema y hace las mediciones.
Equipos
auxiliares
Objeto de la
medición
Instrumento
de medición
Condiciones
externas
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Observador
Gráficos
Gráficos: se construyen a partir de las mediciones directas realizadas y
permiten calcular parámetros geométricos (pendientes e interceptos de
rectas, potencias, constantes, puntos extremos, etc.) que determinan la
magnitud de interés.
I 
1
V
R
A partir del gráfico podemos obtener
la pendiente de la recta, que es la
inversa de la resistencia.
Equipos
auxiliares
Objeto de la
medición
Instrumento
de medición
Condiciones
externas
Valor de la
magnitud y de su
incertidumbre
Observador
Medición
directa
Gráficos
Medición
indirecta
Medición directa
Error
sistemático.
Puede ser
corregido
Incertidumbre
Tipo A
Incertidumbre
Tipo B
Estadística
-Valor medio.
-Desviación típica de la
media.
u x  
Incertidumbre
u
2
A
x   u x 
2
B
Medición indirecta
Ecuaciones.
y  f  x1 , x 2 ,..., x n 
Medición
indirecta
Medición
directa
Ecuaciones: se usan para calcular la magnitud de interés a partir de las
magnitudes medidas directamente y de los parámetros gráficos que
obtenemos de dichas mediciones.
Las ecuaciones no constituyen fuente de error (a menos que
correspondan a una teoría o hipótesis falsa).
Medición indirecta
Ecuaciones
y  f  x1 , x 2 ,..., x n 
Incertidumbre típica
combinada
Incertidumbre típica combinada: Incertidumbre típica del resultado de
una medición, que se obtiene a partir de los valores de otras magnitudes.
uc  y  
n

i 1
2
 f  2

 u  xi 
 xi 
Medición indirecta
Ecuaciones
y  f  x1 , x 2 ,..., x n 
uc  y  
n

i 1
2
 f  2

 u  xi 
 xi 
Incertidumbre típica
combinada
incertidumbre expandida (incertidumbre)
Y  y  U y
U  y   ku  y 
Fórmula de Welch-Satterthwaite
Ecuaciones
y  f  x1 , x 2 ,..., x n 
u  x1  u  x 2 
n
uc  y  
u xn 

i 1
x
x
1
u
 efec 
n

i 1
4
x
2
y
 y





u
x
i
 x

 i

i
4
2
 f  2

 u  xi 
 xi 
n
u
4
y
 efec
n


i 1
 y





u
x
i
 x

 i

i
Fórmula de
Welch-Satterthwaite
4
Medición indirecta
Ecuaciones
y  f  x1 , x 2 ,..., x n 
Fórmula de
Welch-Satterthwaite
u
 efec 
n

i 1
4
y
 y



 x u  xi 
 i

uc  y  
n

i 1
2
 f  2

 u  xi 
 xi 
Incertidumbre típica
combinada
4
i
Tabla I.1
APÉNDICE I
 efec p  95 % k
U  y   ku c  y 
Y  y  U y
Número de cifras significativas: se define como el número de cifras con
el que se expresa un resultado. Por ejemplo:
2,91 mm tiene tres cifras significativas
3,1416 tiene cinco cifras significativas
0.580 m tiene tres cifras significativas
Se ha realizado un experimento para medir la aceleración de la gravedad
y el resultado ha sido:
( 9 ,821  0 , 02385 ) m
s
2
La forma de expresar el resultado
es INCORRECTO
La incertidumbre debe ser redondeada a DOS cifras significativas.
U  g   0 , 024 m
s
( 9 ,821  0 , 024 ) m
2
s
2
Representaciones Gráficas
V
(102
Línea de
ajuste
Escala
sencilla
mV)
Puntos distribuidos
por toda la gráfica
17
Eje de
16
ordenadas
(v. dependiente) 15
incertidumbres
14
¡Nunca!
13
12
El origen no tiene
porqué ser el (0,0)
1
2
3
4
Eje de abcisas
(v. independiente)
5
6
7
8
Identificación
de los ejes
I (mA)
Ajuste por mínimos cuadrados
La recta que buscamos es: y = m·x + b.
m  Pendiente
b  Ordenada en el origen
Se calculan de la siguiente manera: Teniendo los puntos (x1, y1), (x2, y2), etc.:
n
m 
n  xi y i 
i 1
n
n
i 1
n
n
xy
i
i 1
i 1
 n

x    xi 
 i 1 
i
b
 y
i
 mx i  b 
i 1
yi  m  xi
i 1
2
u b  
i 1
n
 n  2   x i  x 
i 1

n
n
2
i
n
u m  
2
n
2
m  n2
b  n  2
n
 n
2 
2 
   y i  mx i  b     x i 
 i 1
  i 1

n
n  n  2   x i  x 
i 1
2
Coeficiente de correlación (r)
Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.
Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de
bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).
n
r 
n  xi yi 
i 1
n
n
x
i
i 1
yi
i 1
2
2
n
n
n
 n





 
2
2
 n  xi    xi    n  yi    yi  
 i 1    i 1
 i 1  
 i 1
Si el coeficiente de correlación lineal es mayor o igual que 0.9 y menor que
1, siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no
sea 9, redondeándola en su caso:
r = 0,9996714
 0,9997
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