Tema 3:
Probabilidad
Bioestadística
SUCESOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
Cuando realizamos un experimento,
diremos que es:

Determinista: dadas unas
condiciones iniciales, el
resultado es siempre el
mismo.

Aleatorio: dadas unas
condiciones iniciales,
conocemos el conjunto
de resultados posibles,
pero NO el resultado final.
CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD

Un experimento que está sujeto al azar con n posibles
resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la
cantidad de sucesos que presentan la característica A
entonces la probabilidad de que suceda A es:
P(A) = nA/n

Ejemplos:

Con una baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad
de sacar un número menor o igual que 3?
12/40=3/10

Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad
de sacar un número impar?
3/6=1/2
¿Qué hacemos si los sucesos no son equiprobables?
CONCEPCIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces
que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.
CLASIFICACION OMS
CLASIFICACION OMS
NORMAL
Frecuencia
Válidos
Porcentaje
NOR MAL
469
46,9%
OSTEOPENIA
467
46,7%
64
6,4%
1000
100,0
OSTEOPOROSIS
Total
OSTEOPENIA
OSTEOPOROSIS
0

P(Normal)=0,469
 P(Osteopenia)=0,467
 P(Osteoporosis)=0,064
10
20
Porcentaje
¿Y si el experimento no puede repetirse “demasiadas” veces?


30
Control de calidad (tipo destructivo)
Eventos poco frecuentes (asegurar unos juegos alímpicos)
40
50
CONCEPCIÓN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD

Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un suceso.
Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de
apuestas:
Ejemplo: Dos individuos apuestan 5 euros por el equipo A y 12
euros por el equipo B, respectivamente, entonces

La probabilidad de que gane A es 5/(5+12)
 La probabilidad de que gane B es 12/(5+12)
En todas las definiciones nos referimos a sucesos.
Recordemos qué son y qué las operaciones típicas.
Sucesos
E espacio muestral

Suceso es cada posibles resultados de un experimento aleatorio

El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (E)

Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral

Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (ó AC), es
el formado por los elementos que no están en A

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados
experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en
ambos.

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al
formado por los elementos que están en A y B
E espacio muestral
UNIÓN
A
E espacio muestral
INTERS.
A
E espacio muestral
A
A’
E espacio muestral
A
B
B
B
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio
“lanzar un dado” el espacio muestral es
{1,2,3,4,5,6}
Algunos eventos:
 Sacar un número impar: A={1,3,5}
 Sacar un número primo: B={1,2,3,5}
 Sacar un número que no sea impar: A’={2,4,6}

Sacar un número primo no impar: B ∩ A’={2}
Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda
y un dado” el espacio muestral es
{{1,C}, {1,X}, {2,C}, {2,X}, {3,C}, {3,X},
{4,C}, {4,X}, {5,C}, {5,X}, {6,C}, {6,X}}
Algunos eventos:
 Sacar cruz y un número par: A={{2,X}, {4,X}, {6,X}}
 Sacar cara B={{1,C}, {2,C}, {3,C}, {4,C}, {5,C}, {6,C}}
 Sacar un número par
D={{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}}

Sacar cara o un número par
B U C= {{2,C}, {2,X}, {4,C}, {4,X}, {6,C}, {6,X}, {1,C}, {3,C}, {5,C}}

Sacar cara y un número par
B ∩ C= {{2,C}, {4,C}, {6,C}}
Definición axiomática de probabilidad


Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a
cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las
siguientes reglas (axiomas)
E espacio muestral

P(E)=1 (E es el evento seguro)

0≤P(A) ≤1

P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø
 Ø es el conjunto vacío.
100%
E espacio muestral
A
B
Podéis imaginar la probabilidad de un subconjunto como el
tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro)
Probabilidad condicionada

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o
probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B:
E espacio muestral
P(A | B) 
P(A  B)
P(B)

Error frecuentíiiiiiisimo:

A
B
Concepción
clásica:
¿casos
posibles?
¿casos
favorables?
No confundáis probabilidad condicionada con intersección.
 En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…


En P(A∩B) con respecto a P(E)=1
En P(A|B) con respecto a P(B)
Intuir la probabilidad condicionada
A
A
B
B
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,10
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,08
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1
P(A|B)=0,8
Intuir la probabilidad condicionada
A
A
B
B
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0,005
P(A) = 0,25
P(B) = 0,10
P(A∩B) = 0
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05
P(A|B)=0

Los problema de probabilidad pueden
resolverse a partir de los axiomas, pero es
más cómodo si usas algunas reglas de
cálculo:

P(A’) = 1 - P(A)

P(E)=1, P(Ø)=0

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
(Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada)

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

P(A∩B∩C)= P(A) P(B|A) P(C|A∩B)
(Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)

Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la
probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente.
Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente:
P(A)=0,9
P(B)=0,8
P(C)=0,7
P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
= 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956
Ejemplo:
Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A
y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar
¿cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A?
Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A.
P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28)=0,28079
Independencia de sucesos

Dos sucesos son independientes si el que
ocurra uno no añade información sobre el otro.

A es independiente de B
 P(A|B) = P(A)
 P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Recuento
Ejemplo (I)
MENOPAUSIA
NO
CLASIFICACION
OMS
Total
NORMAL
189
280
469
OSTEOPENIA
108
359
467
6
58
64
303
697
1000
OSTEOPOROSIS
Total

SI
Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento
de elegir a una mujer de una población muy
grande. El resultado está en la tabla.
 ¿Cuál
es la probabilidad de que una mujer tenga
osteoporosis?

P(Osteoporosis)=64/1000=0,064=6,4%

Coincide con la noción frecuentista de probabilidad

P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No menopausia)

Es la probabilidad marginal (de la ostporosis. respecto de la
menopausia) ó probabilidad total.
Recuento
Ejemplo (II)
MENOPAUSIA
NO
CLASIFICACION
OMS


189
280
469
OSTEOPENIA
108
359
467
6
58
64
303
697
1000
¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?
 P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0,531

Son sucesos disjuntos

Osteopenia ∩ Osteoporosis=Ø
¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia?
 P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0,703


Total
NORMAL
OSTEOPOROSIS
Total
SI
No son sucesos disjuntos
¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia?
 P(Normal)=469/1000=0,469
 P(Normal)=1-P(Normal’)=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0,531=0,469
Recuento
Ejemplo (III)
MENOPAUSIA
NO
CLASIFICACION
OMS
189
280
469
OSTEOPENIA
108
359
467
6
58
64
303
697
1000
Total
Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis?


Total
NORMAL
OSTEOPOROSIS

SI
P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098
¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis?

P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000=0,058

Otra forma:
P ( Menop  Osteoporos is )  P ( Menop )  P ( Osteoporos is | Menop ) 

697
1000

58
697
 58 / 1000  0 , 058
Recuento
Ejemplo (IV)
MENOPAUSIA
NO
CLASIFICACION
OMS
Total
NORMAL
189
280
469
OSTEOPENIA
108
359
467
6
58
64
303
697
1000
OSTEOPOROSIS
Total

SI
¿Son independientes menopausia y osteoporosis?

Una forma de hacerlo


P(Osteoporosis)=64/1000=0,064
P(Osteoporosis|Menopausia)=58/697=0,098


La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la
menopausia. Añade información extra. ¡No son independientes!
¿Otra forma?


P(Menop ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058
P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) x (64/1000) = 0,045

La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No
son independientes.
Partición disjunta del espacio muestral
Es una colección de sucesos
A1
A2
A1, A2, A3, A4…
tal que la unión de todos ellos forman
el espacio muestral, y sus intersecciones
son disjuntas.
¿Recordáis cómo formar intervalos en tablas
de frecuencias?
A1
A3
A4
Suceso
seguro
A2
A3
A4
Divide y vencerás
A2
A1
Todo suceso B, puede ser descompuesto en
sus componentes respecto de la partición
disjunta
B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )
B
A1
A3
A4
Descomponemos el problema B en
subproblemas más simples.
Suceso
seguro
B
A2
B
A3
B
A4
B
Teorema de la probabilidad total
A2
A1
Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las
componentes de una partición disjunta del espacio
muestral, entonces…
… podemos calcular la probabilidad de B.
P(B|A1)
B
P(A1)
A1
P(B|A2)
A3
A4
Suceso
seguro
P(A2)
P(A3)
P(A4)
A2
A3
A4
P(B|A3)
B
B
B
P(B|A4)
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4)
= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)
B
Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De
ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el
20%. Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta
Fuman

Mujer
Hombre
0,1
¿Qué porcentaje de fumadores hay?

P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)
= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
Mujer
0,7
Fuma
0,9
No fuma
Estudiante
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2
0,2
0,3
= 0,13 =13%
Fuma
Hombre
0,8
•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.
•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.
No fuma
Teorema de Bayes
A2
A1
Si conocemos la probabilidad de B en
cada una de las componentes de una
partición disjunta del espacio muestral,
entonces…
…si ocurre B, podemos calcular la
probabilidad (a posteriori) de ocurrencia
de cada Ai.
B
P(A i |B) 
A3
A4
P(B
Ai)
P(B)
donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )
= = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)
Ejemplo (II): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres.
De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son
fumadores el 20%.
Fuman
Mujer
Hombre

0,1
Se elije a un individuo al azar y es… fumador
Mujer
¿Probabilidad de que sea un hombre? 0,7
Fuma
0,9
No fuma
P(H | F ) 
P(H  F )

P(H )  P(F | H )
P(F )


P (H )  P(F | H )  P(M )  P(F | M )
0, 3  0, 2  0, 7  0,1
Estudiante
P(F )
P(H )  P(F | H )
0, 3  0, 2


0, 3  0, 2
0,13

 0, 46
0,2
0,3
Fuma
Hombre
0,8
No fuma
¿Qué hemos visto?

Álgebra de sucesos


Unión, intersección, complemento
Probabilidad

Definiciones






Clásica
Frecuentista
Subjetiva
Axiomática.
Probabilidad condicionada
Reglas de cálculo

Complementario, Unión, Intersección

Independencia de sucesos
 Particiones disjuntas del espacio muestral


Teorema probabilidad total.
Teorema de Bayes
http://www.bioestadistica.uma.es/baron/ap
untes/ficheros/estad_uma_04.ppt
 http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/perso
nas/icascos/esp/presentacion_probabilida
d.pdf

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Tema 4: Introducción a la probabilidad