TÉCNICAS DE CONTEO
Bernardo F. Marco A. G.
En algunos experimentos pueden aparecer
un número muy grande de resultados que
dificultan la contabilización directa de los
mismos. En esta parte se presentaran
algunas técnicas que se conocen como
Análisis Combinatorio para calcular el
números de posibles resultados de un
experimento.
El principio fundamental de la multiplicación,
que es la base para desarrollar las Técnicas de
Conteo, requiere de un producto sucesivo de
números enteros positivos, en forma creciente
o decreciente, denominado factorial de un
número , y se explica a continuación.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Bernardo F. Marco A. G.
La palabra factorial proviene de factor, que se
refiere a los elementos de la multiplicación.
Factorial de un número es el producto
consecutivo de todos los números enteros
desde el uno al número dado n inclusive, se
representa por n!, donde n debe ser real, entero
y positivo, calculándose de la forma siguiente:
n!=1x2x3x4x5x…..x(n-2)x(n-1)xn.
Tomando en cuenta que el orden de los
factores no altera el producto, podemos
invertir su orden, de tal manera que n!= nx(n1)x(n-2)x…..x5x4x3x2x1
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Bernardo F. Marco A. G.
Considerando la propiedad asociativa de la
multiplicación y la propia definición de
factorial, se puede llegar a la expresión
siguiente: n!=n(n-1)!, llamada Fórmula
Fundamental del Factorial.
La definición del Factorial carece de sentido
para n= 0, sin embargo, para aplicarla en forma
general se considera que 0!=1, tomando en
cuenta que 1!=1, por lo que al aplicar la
fórmula fundamental del factorial n!=n(n-1)!
para n=1, tenemos que 1!=1(1-1)! =1x0!, por lo
tanto 0!=1.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Bernardo F. Marco A. G.
Conocido también como Principio
Fundamental de la Multiplicación, dice lo
siguiente: Si un hecho puede realizarse de n1
formas distintas y si para cada una de éstas
puede efectuarse un segundo acto de n2 formas
diferentes, entonces ambos actos pueden
realizarse de n1xn2 formas distintas, lo anterior
puede extenderse a más actos, entonces un
secuencia de k actos puede realizarse de
n1xn2xn3xn4x…..xnk-1xnk formas distintas.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Bernardo F. Marco A. G.
Ejemplo: Un ingeniero adquirió un terreno
para un proyecto inmobiliario, el permiso
oficial para llevarlo a cabo requiere que el
predio esté a su nombre ante el Registro
Público de la Propiedad. Para los trámites
correspondientes de la escrituración el
ingeniero necesita los servicios profesionales
de un abogado y un notario público. En la
región hay cinco abogados y tres notarios
públicos. ¿Cuántas diferentes parejas abogadonotario, en ese orden , puede elegir el
ingeniero para la escrituración?
Solución: Como n1=5 y n2=3, ns=5x3=15 pares
PERMUTACIONES
Bernardo F. Marco A. G.
Se denominan permutaciones a los arreglos de
n elementos considerados, tomados estos de r
a la vez, ya sea agrupados todos o parte de ellos
(r ≤ n). Cuando los arreglos tienen al menos un
elemento diferente o con elementos iguales,
pero difieren en el orden, se dice que son
permutaciones diferentes.
Para determinar el número de arreglos
diferentes que se pueden formar al tomar r
objetos dentro de los n dados, dividimos el
problema en varios eventos.
PERMUTACIONES
Bernardo F. Marco A. G.
1) Se escoge el primer objeto (orden=1). Hay n
maneras diferentes, n-(orden-1)=n-(1-1)=n.
2) Se escoge el segundo objeto (orden=2). Hay
n-1 maneras diferentes, n-(orden-1)=n-(2-1)=n-1.
Así sucesivamente, se escoge el résimo-1 objeto.
r-1) Se escoge el résimo-1 objeto (orden=r-1). Hay
n-r+2 maneras diferentes, n-[(r-1)-1]=n-r+2.
r) Se escoge el résimo objeto (orden=r). Hay n-r+1
maneras diferentes, n-(r-1)=n-r+1.
Las permutaciones se representan mediante
n
P r , donde n es el número de objetos
disponibles y r el número de objetos que se
toman para formar los arreglos.
PERMUTACIONES
Aplicando el principio fundamental del conteo,
n
tenemos: P r=nx(n-1)x(n-2)x……x(n-r+2)x(n-r+1).
y que factorial de n-r es
(n-r)!=(n-r)x(n-r-1)x(n-r-2)x……x5x4 x3x2x1.
Bernardo F. Marco A. G.
Considerando que factorial de n es
n!=nx(n-1)x(n-2)x…..x5x4x3x2x1
El número de arreglos diferentes buscado se
puede obtener dividiendo el factorial de n
entre el factorial de n-r, por lo tanto
n
P r=n!⁄(n-r)!=nx(n-1)x(n-2)x……x(n-r+2)x(n-r+1).
EJERCICIOS
I) Para ir del punto A al B existen tres caminos,
y para ir del punto B al C existen dos caminos
diferentes, como se nuestra en la figura.
B
C
Bernardo F. Marco A. G.
A
1) ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir
de A a C pasando por B?
2) ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir
de A a C pasando por B y regresar a B?
3) ¿De cuántas maneras diferentes se puede
hacer un viaje redondo de A a C, si no se
permite usar cada camino más que una vez?
EJERCICIOS
Bernardo F. Marco A. G.
II) Calcular cuántos números diferentes
mayores de 246 se pueden formar con los
dígitos 1, 2, 3, y 4 si no se permite repetir
dígitos en un mismo número formado.
1) Números de tres cifras.
2) Números de cuatro cifras.
III) Cuantas filas de seis hombres se pueden
formar de un grupo de diez, si tres de los
hombres siempre deben estar juntos, aparezcan
o no en la fila.
IV) Cuantas placas para vehículo particular se
pueden formar en el Distrito federal.
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