LA CIRCUNFERENCIA Y
LA PARÁBOLA
UNIDAD 13
OBJETIVOS
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
Objetivo 2.
Recordarás y aplicarás la definición de
la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.
1. Encuentra la ecuación de la circunferencia
cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2,
4) y B(6, -2)
C(h, k) = punto medio de AB
h
x1  x 2

2  6
k 

2
2
y1  y 2
4

2
4   2 

2
2
2
2
C (2, 1)
1
2
Radio = distancia de C a A
r  d CA 

 2  2 
16  9

2
  4  1
25  5
2
r 5
Cont…ejercicio resuelto 1
Ecuación de la circunferencia:
x  2 
2
  y  1   25
2
x  4 x  4  y  2 y  1  25  0
2
2
x  y  4 x  2 y  20  0
2
2
2. Determina la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo
centro está situado en la recta x  3 y  11  0
Por la definición del lugar geométrico de una
circunferencia con centro en C(h, k): d CA  d CB
h  2  2
h  2  2
h  4h  4  k
2
2
 k  3  
2
h  1 2
 k  1
 k  3   h  1  k  1
2
2
2
2
 6k  9  h  2h  1  k
2
2
 2k  1
 6 h  4 k  11  0
6 h  4 k  11  0 ....................(1)
C(h, k) es un punto de la recta x  3 y  11  0
por lo tanto satisface su ecuación:
h  3 k  11  0 ...............(2)
Cont…..ejercicio resuelto 2.
Se resuelven las ecuaciones (1) y (2)
simultáneas:
6 h  4 k  11  0
h  3 k  11  0
h  3 k  11
6 3 k  11   4 k  11  0
22 k   55
 5
h  3     11
 2
k  
5
2

7
2
5
7
C  , 
2
2
Cont…..ejercicio resuelto 2.
La ecuación de la circunferencia es
2
2
7
5
130


x  y   
2
2
4


o, en la forma general,
x  7x 
2
49
4
 y  5y 
2
25
4

130
4
x  y  7 x  5 y  14  0
2
2
0
3. Encuentra la ecuación de la circunferencia
inscrita en el triángulo cuyos lados son las
rectas: R : 2 x  3 y  21  0
1
R2 : 3x  2 y  6  0
R3 : 2 x  3 y  9  0
 El término “inscrita” indica que la circunferencia
está dentro del triángulo y su centro, el punto
C(h, k), es el punto donde se intersectan las
bisectrices de los ángulos interiores del
triángulo.
 Ver la siguiente figura
Cont….ejercicio resuelto 3
 Ecuación de la bisectriz
(1) del ángulo que
forman las rectas R1 y
R2 :
2 x  3 y  21

2   3 
2
2 x  3 y  21

13
3x  2 y  6

2


3   2 
2
2
 Ecuación de la
bisectriz (2) del
ángulo que forman las
rectas R1 y R3:
2 x  3 y  21

13

2x  3y  9

13
3x  2 y  6

13
2 x  3 y  21  2 x  3 y  9
 2 x  3 y  21  3 x  2 y  6
 5 x  5 y  15  0
x y3 0
 6 y  12  0
Cont…..ejercicio resuelto 3
 Con estas dos bisectrices se
encuentra el punto
=
donde se intersectan las tres, que es el centro de la
circunferencia de coordenadas (h, k):
 De la bisectriz (2):
y
6 y  12  0
12
6
 En la bisectriz (1):
x y3 0
 2= k
x  2  3  1 =
h
 El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas,
por ejemplo a R3:
2   1  3  2   9
r 
2 3
2
13


13
13
2
 La ecuación de la circunferencia es:
 x  1 2
  y  2   13
2
x  2 x  1  y  4 y  4  13  0
2
2
x  y  2x  4 y  8  0
2
2
Índice
Objetivo 3.
Recordarás las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia
y la necesidad de conocer tres constantes
independientes para determinar la
ecuación de esta curva. Utilizarás estos
conceptos para resolver problemas.
Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y
determina si representa una circunferencia real, un
punto o ningún lugar geométrico real.
1.
x  y  8 x  6 y  29  0
2
2
x  8 x  16  y  6 y  9   29  16  9
2
2
x  4 
2
  y  3  4
2
Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.
2.
3x  3 y  6 x  6 y  6  0
2
2
x  y  2x  2 y  2  0
2
2
x  2x  1  y  2 y  1  2  1  1
2
2
 x  1
2
  y  1  4
2
Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.
3. Encuentra la forma canónica de la
ecuación de la circunferencia que pasa por
los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).
1  h 
2
  2  k   r ......................(1)
2
2
5  h 
2
  2  k   r ......................(2)
3  h 
2
  4  k   r ......................(3)
2
2
2
2
Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):
1  h 
2
1  h 
2
  2  k   5  h    2  k 
2
2
2
  2  k   3  h    4  k 
2
2
........(4)
2
........(5)
De (4): 1  2 h  h 2  4  4 k  k 2  25  10 h  h 2  4  4 k  k 2
8 h  24
h 3
Cont….ejercicio resuelto 3
De (5): 1  2 h  h  4  4 k  k  9  6 h  h  16  8 k  k
2
2
4 h  4 k  20
Sustituyendo h:
2
2
hk 5
3k  5
k  2
El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)
2
2
En (1):
2

1  3   2  2   r
1  h  2   2  k  2  r 2
2
40 r
Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica
de la ecuación es:
x  3
2
 y  2  4
2
Índice
Objetivo 4.
Recordarás y aplicarás la definición
de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la
forma canónica y en la forma
general.
1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de
la directriz y la longitud del lado recto de la
parábola 3 y 2  8 x
3 y  8x
2
 y 
2
8
3
x  4p 
8
p

2
> 0
3
3
El vértice está en el origen, el eje de la parábola
es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la
parábola tiene:
2 
Vértice en (0, 0)
Foco en  , 0 
3
Directriz
x  
Lado recto
2
Eje de la parábola
3
LR 
8
3

y=0
2. Encuentra la ecuación de la parábola de
vértice en la recta 7 x  3 y  4  0 eje horizontal y
que pasa por los puntos (3, –5) y  3 
Eje horizontal
→
 y  k 2
 4 p x  h 
 ,1 
2 
El punto (3, –5) pertenece a la parábola
 5  k 
3 
El punto  ,1  pertenece a la parábola
2 
2
1  k 
V(h, k) pertenece a la recta
→
→
2
 4 p 3  h 
→
3

 4 p  h 
2

7 h  3k  4  0
Cont….ejercicio resuelto 2
Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se
debe resolver el sistema de ecuaciones:
25  10 k  k  12 p  4 ph  25  10 k  k 2  12 p  4 ph  0
2
1  2 k  k  6 p  4 ph  1  2 k  k
2
2
 6 p  4 ph  0
7 h  3k  4  0
en el que dos de las ecuaciones son de segundo
grado.
Al restar una de otra se pueden eliminar los
términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una
ecuación de primer grado:
Cont……..ejercicio resuelto 2.
k  10 k  12 p  4 ph  25  0
2
k  2k
2
 6 p  4 ph  1  0
12 k  6 p
 24  0
En esta ecuación se puede despejar p en función
de k, y en la tercera ecuación del sistema
original se puede despejar h en función de k:
12 k  6 p  24  0
7 h  3k  4  0
2k  p  4  0
7 h  4  3k
p  2k  4
h
4  3k
7
Cont….ejercicio resuelto 2.
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones
de segundo grado (en este caso en la
segunda) queda: k  2 k  6  2 k  4   4  2 k  4   4  3 k   1  0
2


7
 4  3k 
2
k  2 k  12 k  24   8 k  16  
 1  0
 7 
7 k  14 k  84 k  168  8k  16   4  3k   7  0
2
7 k  98 k  168  32 k  24 k  64  48 k  7  0
2
2
 17 k  114 k  97  0
2
17 k  114 k  97  0
2
k 
 114 
114  4 17   97 
2
34
k  1
y
k   97
17
Cont….ejercicio resueltos 2.
Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:
a)
k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación:
b)
L
k  
97
17
h 
119
2
Ecuación:
359
 y  1 2
4p  
504
17
97 
504 
359 

y
  
x

17 
17 
119 

 8  x  1
3. Encuentra la altura de un punto situado a una
distancia de 8m del centro del arco parabólico
que tiene 18m de altura y 24m de base.
Colocando el arco en el
plano de manera que el
eje x sea la base del
arco y el origen el punto
medio de la base, como
la base mide 24m los
dos puntos en que el
arco cruza al eje x son
(–12, 0) y (12, 0); su
vértice está en (0, 18) y
el punto situado a 8m
del centro del arco tiene
coordenadas (8, 0)
Cont….ejercicio resuelto 3.
La ecuación es de la forma:
 x  h 2  4 p  y  k 
 x  0 2
 4 p  y  18 
x  4 p  y  18 
2
La curva pasa por (12, 0), de modo que
12 
2
 4 p 0  18 
144   72 p
p  2
Ecuación de la parábola: x   8 ( y  18 )
Altura del arco a 8m del centro:
2
8 
2
  8  y  18 
8 y  144  64
y 
80
 10
8
Altura: 10m
Índice
Objetivo 5.
Recordarás y aplicarás las
características de los coeficientes de
una ecuación de segundo grado que
representa a una parábola, y la
necesidad de tres condiciones para
determinar su ecuación.
1. Determina el lugar geométrico que
2
representa la ecuación y  4 x  7
 En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo
tanto representa a una parábola. Como el
término al cuadrado es el de y, su eje es
paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma
canónica es: y 2  4 x  7
y
2
 4 x  7
y  0
de modo que el vértice es:
2
7

  4 x  
4

7 
V  ,0 
4 
Entonces el eje de la parábola coincide con el eje
y.
Índice
Descargar

Presentación. Ejercicios resueltos. La Circunferencia y la Parábola.