Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
x4
Ejemplo: la función F(x) = 4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.
x4
También la función G(x) = + 2 es una primitiva de f . Ambas en
4
cualquier intervalo de la recta real.
Integral indefinida
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de todas las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe  f(x) dx, y se lee «integral de f(x)»
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son
de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser
cualquier número real.
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una constante. Se expresa de la siguiente manera:  ex dx = ex + C
Las primitivas se diferencian en una constante

Derivando
Integrando
Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k  R
La derivada de una constante por una
función es el producto de la constante
por la derivada de la función.
II (f  g) ' (x) = f ' (x)  g ' (x)
Propiedades de la integral indefinida
I  k f(x) dx = k  f(x) dx con k  R
Las constantes pueden salir y entrar fuera del
signo de la integral indefinida.
II  [ f(x)  g(x)] dx =
 g(x) dx



f(x) dx 
La derivada de una suma (resta) de dos La integral indefinida de una suma (resta) de
funciones es la suma (resta) de las deri- dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.
vadas de cada una de ellas.
0
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona
primitivas e integrales indefinidas.
a+1
x
1.-  x dx = a+1 + C, si a -1, a  R
a
1
2.-  x dx = ln x + C

3.-


ex dx = ex + C
a
4.- ∫ax =
x
ln a
+ C, si a>0, a 1
5.-


sen x dx = – cos x + C
6.-


cos x dx = sen x + C
7.- 
1
1 x
1
8.-  1 
x
2
2
d x  a rcsen  x   C
d x  arctg  x   C
Integrales inmediatas para funciones compuestas





xr+1
x dx = r + 1 + C, para cualquier constante r  – 1
r




Tipo general
[f(x)] r+ 1
f '(x) [f(x)] dx =
+ C para r  -1
r+1
r
Ejemplo:





1
co s 2 x sen 2 x d x =
2
3




1 sen 4 2x 1
2 cos 2x sen 2x dx =
= sen 4 2x + C
2
4
8
3
Integrales inmediatas para funciones compuestas





1
x dx = ln | x | + C
Tipo general

f '(x )
f (x )
dx
= ln |f(x)| + C
Ejemplo:





– 1  – 3 sen 3 x
1

dx = –
ln |co s 3 x | + C
tg 3 x d x =
3 
co s 3 x
3
Integrales inmediatas para funciones compuestas





x
a
x
a dx =
ln a
+ C , p ara cualq uier a > 0
 P ara a = e se o b tiene




x
x
e dx = e + C




Tipo general
f '(x) a
Ejemplo:





2
x e
x3
1
dx =
3




2
3x e
x3
1 x3
dx = e + C
3
f(x)
a f(x)
dx =
+ C , p ara a > 0
ln a
Integrales inmediatas para funciones compuestas





sen x d x = – co s x + C




Tipo general
f '(x) sen f(x) d x = – co s f(x) + C
Ejemplo:





e
3x
sen (e
3x
+ 5) dx =
1
3




3e
3x
sen (e
3x
+ 5) dx = –
1
3x
cos (e + 5) + C
3
Integrales inmediatas para funciones compuestas





cos x d x = sen x + C




Tipo general
f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
Ejemplo:





e
7x
cos (e
7x
+ 5) dx =
1
7




7 e
7x
co s (e
7x
+ 5) dx =
1
7x
sen (e + 5 ) + C
7
Integrales inmediatas para funciones compuestas


1
1 x
dx  arcsen ( x )  C
2



Tipo
general
g '(x)
dx = arcsen g(x) + C
1 - [g(x)]2
Ejemplo:

 

e
3x
1 – e
6x

dx = 

3x
1
dx = 
3x
3
1 – (e ) 2
e
3e
3x
1
3x
arcsen e + C
3x 2 dx =
3
1 – (e )
Integrales inmediatas para funciones compuestas
1

  1 + x2 dx = arctg x + C

f ( x )
Tipo
general
 1   f ( x )  dx  arctg ( x )  C
2
Ejemplo:
1

1

 

2 dx =
2 dx =
1
+
(
2
x)
 1 + 2x

1 
2

2 dx =
2  1 + ( 2x)
1
2
arctg


2x  C
Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:



f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) –  g(x)f '(x) dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene
poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:



Consejos
u dv = uv –  v du
1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para
g, llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda
que ∫ f g  .
Integración por partes: Ejemplos





2
2
x
x
x e dx = x e –




2
x
x
e 2x dx = x e – 2
u = x2  du = 2x dx
dv = ex . dx  v = ex
x
u = x  du = dx
dv = ex . dx  v = ex
x
= x e – 2[xe –









x
dv
x
2
e dx ] = e (x – 2x + 2) + C
sen(ln x) . dx = x . sen (ln x) –
u
x
x e dx =
u dv
u dv
2








cos (ln x) . dx =
u
dv
u = sen (L x)  du = cos(L x) . (1/x) . dx u = cos (L x)  du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx  v = x
dv = dx  v = x




= x . sen(ln x) – x cos(ln x) – sen(ln x) . dx




. Despejando la integral buscada queda:
1
sen(ln x) . dx = x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
2
Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) = F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Que con la notación de integrales se escribe:

 f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C

Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. Con esta sustitución se tiene



f(u) du = F(u) + C
Integración por sustitución: Ejemplos I
Para calcular una integral por cambio de variable:
•
Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
•
Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial
mediante.
du = g'(x) dx
Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
•

 

1
1
 1

u .
dx =  u . e du = 
du = ln | u | + C =
x ln x
 u
 e u
ln | ln x | + C
deshacer el cambio
Cambio ln x = u  dx / x = du  dx = x. du = et du

x = eu
Integración por sustitución: Ejemplos II





x
3
1
3
x + 2 d x =  4 x
4
4
1
x + 2 d x = 
4
4
1/2
1
1 u
4
3
u du =
=
(x + 2) + C
+C
4
41
+1
2
Cambio x4 + 2 = u  4x3 . dx = du
deshacer el cambio





1
sen 2 x co s 2 x d x =
2
3
.




t
3 .
4
1
1 t
4
=
sen 2 x + C
dt =
+ C
8
2 4
Cambio sen 2x = t  2 cos 2x . dx = dt
deshacer el cambio
Integración de funciones racionales
 P (x)
P retendem os obtener 
 Q (x)
dx en donde P (x) y Q (x) son polinom ios tales que
grad[P (x)] = m y grad[Q (x)] = n
Caso 1: m  n.
Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
Como m  n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
P(x)
Q(x)
P (x)
R (x)
 P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)  Q (x) = C (x) + Q (x)
R(x) C(x)
con grad[R(x)] < grad[Q(x)]
En donde la primera

 P (x)
 R (x)
integral es inmediata y la
P or tanto: 
dx =  C (x) .dx + 
dx

segunda corresponde al
 Q (x)
 Q (x)
Caso 2
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.
Descomposición en fracciones simples I
 P(x)
Pretendemos obtener  Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la
ecuación Q(x) = 0.
• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene:
• Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1).
• Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2).
• Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que
son necesariamente conjugadas).
• El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
1 
P (x)
 P (x)

dx = 
dx =
.
2 .
2
a o  (x – x 1 ) (x – x 2 ) (x + bx + c)
 Q (x)
Descomposición en fracciones simples
II
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
A
P (x)
+
=
2 .
2
x – x1
(x – x 1 ) (x – x 2 ) (x + bx + c)
.
B
C
Mx + N
+ 2
2 +
(x – x2)
x – x2
x + bx + c
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una
identidad polinómica.
• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes
indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
• Resolver el sistema.
Descomposición en fracciones simples: ejemplo
2
x +x+1
D escom poner en fracciones sim ples: 5
4
x –x –x+1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
2
x + x+ 1
A
=
5
4
x – x – x+ 1 x + 1
B
C
+
+
2
(x – 1 )
x– 1
Mx + N
+
2
x + 1
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
x
2
2
2
2
2
+ x + 1= A (x–1) (x + 1) + B (x+ 1)(x + 1) + C (x–1)(x+ 1)(x + 1) + (M x+ N ) (x+ 1)(x–1)
2
x= 1  B = 3 /4

x= – 1  A = 1 /8

x= 0  – C + N = 1 /8
 Y d e aq uí: A = 1 /8 ; B = 3 /4 ; N = – 1 /4 ; C = – 3 /8 ; M = 1 /4
x= 2  5 C + 2 M + N = – 1 3 /8 

x= – 2  5 C + 6 M – 3 N = 3 /8 
Integrales racionales con denominador de grado 2

Mx + N
dx
2
 ax + bx + c
E studio de la integral 
Sea D el discriminante del
denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser
resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario:
Si D  0  la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples.
Si D < 0  la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
•
•
M0
Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador.
Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.
M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado
(cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan
los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado
(sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e
integramos como inmediata tipo arco tangente
Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórmulas trigonométricas fundamentales
Fórmula fundamental de la
sen2px + cos2px = 1
trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px
cos 2px = cos2px – sen2px
1 + cos 2px
2
1 – cos 2px
sen2px =
2
1
1
sen a . cos b = sen (a + b) + sen (a – b)
2
2
1
1
cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
2
2
1
1
sen a . sen b = – cos (a + b) + cos (a – b)
2
2
sen (– px) = – sen px
cos (– px) = cos px
1 + tg2 px = sec2 px;
1 + ctg2 px = csc2 px
cos2px =
Seno y coseno del ángulo
doble.
Fórmulas de reducción de
grado.
Fórmulas de conversión de
productos de senos y
cosenos en suma.
Seno y coseno del ángulo
opuesto.
Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma
(I)
Condiciones Método
n par



sen px dx



cosn px dx
n
n impar
m y n pares
(II) senn px . cosn px dx
Caso particular 
Reducir el grado del integrando por medio de
las fórmulas de reducción de grado (3), según
convenga.
Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia
sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen
integrales inmediatas tipo potencial.
Reducir el grado del integrando aplicando las
fórmulas 3.
De la potencia de exponente impar se saca un
factor, sustituyendo en el resto de la potencia la
m ó n impares relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.
Si m = n
Aplicar la relación (2a) para obtener:
1 
n
n
n

 sen px . cos px dx = n  sen 2px dx

2 
que es del tipo (I).
Integración de funciones trigonométricas: métodos II
Forma
(III)

 sen px.cos qx.dx




sen px.sen qx.dx



cos px.cos qx..dx
Condiciones Método
p y q números
Convertir los productos en sumas mediante la
reales cualesrelaciones 4 según convenga.
quiera
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I
Tipo I. Exponente impar







5
sen 3x.dx =
2
2
(sen 3x) sen 3x.dx =




2
2
(1–cos 3x) sen 3x.dx =


=  sen3x.dx + cos43x sen 3x.dx –2 cos23x sen 3x.dx =
=–
1
2
1
3
5
cos 3x + cos 3x –
cos 3x+ C
3
9
15
Tipo I. Exponente par





x
x  2
 
2
sen dx =   sen 
3
3
 
4

dx = 

1
1
=  1.dx +
4
4





 1 – cos 2x  2
3
1

dx =
2
4


2x
1
cos
dx – 2
3
4
2




cos
2x 
 
2 2x
  1 + cos
– 2 cos  dx =
3
3
 
2x
dx =
3
 1 + cos 4x
3
1
1
3
2x
3x
3
2x
3
4x
= x +
dx – sen
=
– sen
+
sen
+ C
4
4
2
4
3
8
4
3
32
3
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II
Tipo II. Al menos un exponente impar






  cos 4 5x.sen 3 5xdx =  cos 4 5x . sen 2 5x .sen 5x . dx =  cos 4 5x . (1 – cos 2 5x).sen 5x.dx =





cos 5x.sen 5 x.dx –  cos 5x.sen 5 x.d x =

–1
1
5
7
=
cos 5x +
cos 5x + C
25
35
=
4
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
Tipo II. Todos los exponentes pares





4
2
sen 3x .cos 3x.dx =




6
  1 – cos 6x  2 1 + cos 6x

(sen 3x) .cos 3x.dx =  
dx =
2
2

 
2
2
2
1 
2
=  (1 – cos 6x)(1 – cos 6x) dx =
8
1 
1 
2
2
=  sen 6x dx –
 sen 6x .cos 6x.dx =
8
8
3
1  1 – cos 12x
1 sen 6x
= 
dx –
=
8
2
48
3
x
1
1
3
=
–
sen 6x –
sen 12x + C
16
144
192
sen2 6x
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas
en productos

=–




sen 3x.cos 5x.dx =
1
2




sen 8x .dx +
1
2




sen( – 2x) .dx =
1
1
1
1
cos 8x +
cos( – 2x) + C == –
cos 8x +
cos 2x + C
16
4
16
4
Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abcisas x = a, x = b.
Á rea (T rap ecio rectilín eo ) =
f(a) + f(b ) .
=
(b – a)

Á rea (T rap ecio cu rv ilín eo ) 
f(a) + f(b ) .

(b – a)

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