Desde los artefactos hasta los
instrumentos del trabajo matemático
Un cuadro teórico para
comprender mejor los
procesos de aprendizaje
de las matemáticas
Luc Trouche
[email protected]
Universités Montpellier-Lyon,
France
Primer seminario internacional de tecnologías en educación matemática
20 a 23 de julio de 2005, Universidad Pedagógica Nacional, Bogota
Tres tópicos
1)
2)
3)
Desde los artefactos hasta los instrumentos
del trabajo matemático
Un panorama de las investigaciones
internacionales y algunas grandes tendencias
Una pregunta clave para el acompañamiento
de los profesores, es la de los recursos
pedagógicos
La palabra instrumento viene del latín instrumentum, que significa
material, utensilio o recurso y que se deriva del verbo instruere.
Este verbo, en francés antiguo enstruire, corresponde a disponer,
utilizar y equipar. Así mismo las palabras instrumento e instruir se
remiten la una a la otra.
Civilizaciones, herramientas y cálculos
Las herramientas
:
herramientas para contar en
la sociedad, herramientas de
calculo para los sabios, han
existido siempre ; estos se
encargan de una parte del
trabajo que ya no se trata de
realizar directamente, sino de
controlar.
El timith, herramienta de ‘calculo
automático del trigo en Alegría (Bourdieu
2003)
« El calculo, se ve, se
hace solo »
Matemáticas, cálculos y herramientas
Une tablette de 10cm x 10 cm,
contenant 250 problemas
(Nippur, - 2000)
El cálculo es un
componente esencial
de las matemáticas en
todos
los
niveles,
inseparable de los
razonamientos que lo
guían o en el sentido
inverso
que
lo
sostienen.
(Kahane 2002)
Herramientas antiguas,
herramientas recientes
El aspecto estructurado de las herramientas y la
combinación de varias herramientas, son dos
características antiguas del calculo
Evoluciones importantes con las herramientas informáticas :
 el agrupamiento de las herramientas en la misma caja ;
 herramientas portátiles ;
 la multiplicación de las imágenes ;
 el cambio de paradigma (de la flecha a la red)
Mayor necesidad de coordinación y control de las
herramientas del trabajo matemático
Una fuerte influencia de las herramientas en
las matemáticas
Efectos en la producción
« La geometría del compás »
Teorema de MohrMascheroni (1798)
« Toda construcción
con regla y compás
puede hacerse con el
compás solo »
« Une recta es tanto mas tangente
a un circulo como mas tenga
puntos comunes con este » .
(Trouche 1996)
Efectos en los programas de
estudio
De la pluma de ganso a la
pluma de hierro (Lavoie
1994)
Efectos en los modos de
trabajo de los estudiantes
El fenómeno de la ‘pesca’
(Artigue 1998)
Efectos en la
conceptualizacion
Acción y conceptualizacion
Y A x is
Un esquema : la
organización invariante de
la conducta para una clase
de situaciones
(Piaget 1936, Vergnaud 1996)
X A xis
Z A x is
« Por aproximaciones sucesivas, la
mano encuentra el gesto justo. La
mente registra los resultados y extrae
poco a poco el esquema eficaz ».
(Tchouang-Tseu, in Billeter 2002)
Contiene :
- metas y anticipaciones ;
- reglas de acción
- invariantes operativas.
Naturaleza instrumentada y
social de los esquemas (Rabardel
1995)
Un antiguo enfoque teórico
Una tradición doble :
el ‘trabajo abstracto’ del pensamiento
(Hegel) ;
- el ‘hacer industrial’ (Descartes,
Diderot, Marx).
“Nec manus, nisi intellectus, sibi permissus,
multum valent : instrumentis et auxiliis res
perfectur”
(Francis Bacon 1600)
« La elipse es una línea curva que vi
dibujar por los jardineros en los
jardines, en donde la describen de
forma bastante burda pero que hace
comprender mejor su naturaleza ».
La Dioptrique, Discours VIII
(Descartes 1637)
« La mano y la inteligencia, sin herramientas
necesarias, siguen siendo incapaces ; lo que
refuerza su poder son las herramientas y las
ayudas que da la cultura ».
Heredero de esta tradición, Vygotski
sitúa todo aprendizaje en un mundo de
cultura en donde los instrumentos
(materiales y sicológicos) juegan un
papel esencial.
Un enfoque teórico actualizado
(Rabardel 1995)
Génesis instrumental
Artefacto
Instrumento
Del artefacto a un instrumento
Una distinción fundamental entre el
artefacto, que esta dado, y el
instrumento, que lo construye el
usuario
Los artefactos son proposiciones
para la acción, que el usuario
empleara o no
Los instrumentos son entidades
mixtas, compuestas de una parte de
artefacto y de esquemas de utilización
Dos procesos duales
- instrumentación ;
- instrumentalización.
Los procesos de instrumentación en los
aprendizajes matemáticos
Artefacto
Instrumento
« Tener un limite infinito supone, para
una función, ser creciente a partir de un
momento dado »
Un artefacto instrumenta al
sujeto, pre-estructura,
relativamente, su actividad,
influye en los esquemas
que va a construir
Comprender ese proceso
supone el estudio de las
limitantes del artefacto,
ligadas a las limitaciones
materiales y a las
selecciones del disenador
Analizar las limitaciones de los artefactos
P ro g ramme
i nt Cal cer cl e2pt s( obj et pt r pt )
{
x1=pt - >const i t s[ 0] - >p_val [ 0] . p_vpoi nt . h- pt . . .
Debe tomar en cuenta
transposición informática :
la
« Es el trabajo sobre el conocimiento que
permite una representación simbólica y la
aplicación por un dispositivo informático »
(Balacheff 1994)
Debe analizar las limitaciones :
- limitaciones internas ;
- limitaciones de comando ;
- limitaciones de organización (cf. las
calculadoras ‘graficas’)
Los procesos de instrumentalizacion en los
aprendizajes matemáticos
Instrumento
Artefacto
La instrumentalizacion es un
proceso de diferenciación de
los artefactos
Ejemplo
de
calculadoras
:
almacenamiento de juegos, de teoremas,
dibujos, modificación de la barra de
menús…
Puede considerarse como un
desvió,
o
como
una
contribución del usuario al
proceso mismo de diseño del
instrumento
Hacia sistemas de instrumentos
Artefacto
Eso depende de las praxeologias
(Chevallard)
:
organizaciones
matemáticas instituidas en la clase
Diferentes artefactos presentes
Papel/lápiz, calculadoras, etc.
Instrumento
Génesis instrumental
1 artefacto  1 instrumento ?
ambiente(s)
Artefactos y instrumentos
Esquemas sociales
Los esquemas se construyen
con frecuencia en varios
ambientes a considerar (la clase,
los compañeros…)
Los sistemas de instrumentos
Un reto didáctico
Las consecuencias de este
enfoque teórico
Génesis instrumental
Artefacto
Dos consecuencias mayores :
1) La necesidad de un análisis
preciso de los artefactos
(comprender, anticipar una parte de los
procesos de instrumentación, concebir
los situaciones de aprendizaje)
Instrumento
Artefactos y instrumentos
2) La necesidad de un análisis
de sus usos (legitimar, o no, los
procesos de instrumentalizacion de los
estudiantes, enriquecer los instrumentos
en construcción en la clase, concebir
artefactos nuevos)
Una complejidad
cada vez mayor de las herramientas
Un mismo objeto,
diferentes
representaciones
Un control complejo a ejercer…
Una dispersión cada vez mayor de los
modos de trabajo de los estudiantes
Calcular la derivada enésima de…
Poder introducir los datos
Saber analizar la información
Saber organizar la información
Saber coordinar y comparar
Saber recurrir a conocimientos
previos
Saber inferir
Saber probar
Saber controlar un resultado
Un reto para el sistema educativo
Artefactos mas complejos,
cual es la evolución de los
instrumentos ?
* Desarrollo de los
instrumentos, enriquecimiento
y articulación...
* … o debilitamiento de los
instrumentos.
1) Cuanto más complejo es el ambiente, más importante es
la separación entre los instrumentos
2) Gran sensibilidad de los modos de trabajo en ciertos
dispositivos didácticos instituidos por el profesor
Algunas preguntas
1)
2)
3)
4)
Cuales son los avances actuales en la
enseñanza en los diferentes ambientes
(software de geometría, hojas de calculo, etc.)
Cual es la evolución de las investigaciones
didácticas a nivel internacional ?
Como ayudar las génesis instrumentales de los
estudiantes,
como
acompañar
a
los
profesores ?
Cuales son las evoluciones, necesarias y
efectivas, de los programas ?
Un programa de seminario muy intenso y
completo…
Referencias útiles
[email protected]
Trouche L. 2002, actividads mathématiques et entornos calculatrice : ouvertures et
fermetures, Mathématiques et pédagogie, 17-44
Trouche L. 2004, entornos informatisés et mathématiques : quels usages pour
quels apprentissages, Educational Studies in Mathematics 55, 181-197
Trouche L. 2004, Managing complexity of Human/Machine Interactions in
Computerized Learning Environments, International Journal of Computers for
Mathematical Learning 9, 281-307
Guin D., Ruthven K. & Trouche L. (eds.) 2004, The Didactical Challenge of
Symbolic Calculators, Turning a Computational Device into a Mathematical
Instrument, SpringerVygotski L.S., 1934, Pensée et langage. Editions Sociales
(1985)
Rabardel P., 1995, Les hommes et les technologies, approche cognitive des
instruments contemporains. http://ergoserv.psy.univ-paris8.fr
Desde los artefactos hasta los
instrumentos del trabajo matemático
Un panorama de las investigaciones
internacionales y algunas grandes
tendencias
Luc Trouche
[email protected]
Universités Montpellier-Lyon,
France
Primer seminario internacional de tecnologías en educación matemática
20 a 23 de julio de 2005, Universidad Pedagógica Nacional, Bogota
Segundo topico
1)
2)
3)
Desde los artefactos hasta los instrumentos del
trabajo matemático
Un
panorama
de
las
investigaciones
internacionales y algunas grandes tendencias
Una pregunta clave para el acompañamiento de
los profesores, es la de los recursos
pedagógicos
Los herramientas juegan un rol muy importante en la práctica, en la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Comprender su influencia
requiere de diferenciar el artefacto (el objeto material) y el instrumento,
construido por el usuario en el desarrollo de su actividad.
La construcción de instrumentos, individual y socialmente, combina dos
procesos : un proceso de instrumentación, dirigido al individuo, y un
proceso de instrumentalización, dirigido al artefacto.
Un estado del arte (Francia-España 2004)
Un importante contraste entre la difusión en la
sociedad de la tecnología y su integración
escolar, algunos indicadores :
100
Oui
80
Non
60
Non
réponse
40
20
0
Accessibilité
Familiarité
Utilisation
chez soi
Au lycée sans
les élèves
Avec les
élèves
La resistencia de los profesores
Herramientas más y más presentes
Herramientas más y más complejas
« Para el profesor
formado en el rigor de la
disciplina matemática, la
introducción de la regla
de calculo en educación
media puede constituirse
en un autentico dilema ».
Aristo, Boletín de
información para los
profesores (Bieber 1971)
Una apropiación rápida por los estudiantes
Las dificultades de los profesores
… : herramientas secundarias
Esporádica, transitorias,
Bien integradas
1970 : herramientas ausentes
‘matemáticas modernas’
Periodo de transición
1980 : herramientas prescritas
Plan Informática por Todos
Irrupción de los calculadoras
Aceleración tecnológica, Introducción en las
clases por los estudiantes
Mas dificultades
Las preguntas generales
Como las TIC (Tecnologías de la Información y de
la Comunicación) son utilizadas en la enseñanza de
las matemáticas ?
Lo que cambia :
- la naturaleza, los contenidos y las modalidades de
los aprendizajes ?
- el conocimiento adquirido, las actitudes y las
relaciones con el saber de los estudiantes y
profesores ?
Poner en evidencia algunas condiciones nécesarias de
viabilidad de las TIC en la ensenanza de las matematicas
Necesidad de dar un paso atrás
« Sobre las preguntas educativas, la cantidad
de trabajos producidos los 30 anos anteriores
es muy considerable, y por tanto, su
interacción y su visibilidad son muy
imperfectos, es en este punto que los
investigadores y los administradores tiene la
impresión de estar trabajando siempre las
mismas preguntas »
La Recherche, 1998, Preguntas en educación
Estudio en dos tiempos : las experiencias francesas,
después un estudio de las investigaciones internacionales
Las experiencias francesas
Calculadoras graficas, hipótesis
Las ilusiones iniciales :
Producto amigable, de rápido acceso, manipulación directa
Libera de tareas técnicas (calculo, elaboración de graficas)
Favores un nuevo trabajo interno en el registro grafico y un
trabajo acerca del cambio de registro (Duval 94)
Permite acceder à situaciones mas complejas y entrar en
un enfoque experimental
Una idea implícita en el discurso internacional : ver permite
comprender
Ilusiones que se basan en muchas experiencias, realizadas
por profesores voluntarios entusiastas
Las experiencias francesas
Calculadoras graficas,
algunos resultados
Desilusiones, debidas a una toma de conciencia
progresiva :
El aprendizaje del uso se sale de las manos del profesor
Una idea muy fuerte: lo que se ve es la realidad
Influencia del movimiento en la conceptualizacion
Poca conciencia de las contradicciones internas
Poca conciencia de las contradicciones con el entorno de
papel y lápiz
Estas preguntas surgen al mismo tiempo que la
generalización del uso de las calculadoras debido a las
prescripciones de los programas (ya no es únicamente un
asunto de profesores pioneros…)
Las experiencias francesas
Geometría dinámica, hipótesis
Una ayuda a la actividad geométrica de los
estudiantes
Producto más amigable, de acceso rápido
Acceso à la noción de clase de figuras por medio de la
manipulación (invariante durante el desplazamiento)
Acceso à situaciones más complejas y entrada en una
practica experimental
Se modifica el estatuto de la figura: se pone el acento en
la manipulación
Modificación del contrato didáctico : un cuadrado se
considera como tal únicamente si se conserva al arrastrar
los puntos
Las experiencias francesas
Geometría dinámica,
algunos resultados
Nuevas condiciones para las actividades geométricas
Se favorece la actividad geométrica
Dificultades debidas a las representaciones internas de los objetoos
(puntos de base/puntos dependientes, transferencia de medidas)
Búsqueda paso à paso : dificultad para encontrar la construcción
geométrica
La validación empírica hace inútil la validación matemática
Dificultad de gestión de la articulación entre las diferentes fases
(exploración, demostración, institucionalización)
Una necesidad de repensar el tiempo de aprendizaje
y las situaciones matemáticas
Las experiencias francesas
Derive (SCS), hipótesis
Un entorno que libera de las tareas técnicas
Un enfoque mas experiméntale
Problemas mas ricos, mas complejos
Adaptado al funcionamiento individual del sujeto
Compensa las dificultades técnicas de los estudiantes débiles
(‘muleta’)
Posibilidad de centrarse en un funcionamiento mas reflexivo y
conceptual
La visualización favorece la conceptualizacion
Experimentación en colaboración entre el Ministerio de
Educación de Francia, un equipo de investigación de
didáctica de las matemáticas y los IREM (1996-1998)
Las experiencias francesas
Derive (SCS), algunos resultados
Fenómenos debidos a la coexistencia Derive/papel y
lápiz:
La doble-referencia, debida a la doble interpretación de las tareas
La pseudo-transparencia, debida a la diferencia entre lo que el
estudiante escribe y lo que aparece en la pantalla.
Un nueva economía del trabajo matemático (Artigue)
Atomización de la resolución en acciones elementales sin coherencia
Dificultad de la gestión de la articulación entre las diferentes fases
(exploración, demostración, institucionalización)
Una disociación técnico/conceptual imposible en la construcción de
conceptos
Fenómenos que llaman la atención sobre la transformación
de los conocimientos y de los modos de trabajo
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
Una repuesta al Ministerio de Educación
La solicitud del Ministerio :
Como se usan las TIC en el sistema educativo?
Las TIC modifican la naturaleza de los contenidos et les modalidades de los
aprendizajes al igual que sus conocimientos, la relación con el Saber et las
actitudes de los estudiantes, y de los profesores ?
Una respuesta que implica todos los equipos franceses que trabajan
en ese campo
Grenoble (Cabri), Paris (Derive), Montpellier (calculadoras), Le Mans (tutorials)
Un método
El análisis de un vasto corpus de artículos de investigación (538)
consagrados a esta pregunta en un conjunto de revistas internacionales
significativas, publicados durante un periodo dado (1992-1998)
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
La repartición de los artículos por tipo de
tecnología
Calculatrices
80 (12 %)
Numériques et
scientifiques : 11
Graphiques : 26
Symboliques : 43
Logiciels
321 (50 %)
Géométrie : 106
Micromondes : 50
Tableurs : 39
Calcul formel et
grapheurs : 138
Autres Technologies
137 (21 %)
Tutoriel : 12
EIAO : 26
Internet : 15
Multimedia : 23
Hypermedia : 17
Una cantidad importante de artículos sobre los
calculadoras simbólicos durante el periodo elegido
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
Primeras ideas
Primera etapa, para todos los artículos, realización de una ficha
de identificación :
Precisando el tipo de articulo (descripción de una experiencia; presentación de un
producto; investigación) la presencia o no de marcos teóricos, de una problemática,
de una validación de las hipótesis enunciadas
Conclusiones :
Los marcos teóricos están a menudo implícitos o solo se evocan
brevemente problemáticas vagas, hipótesis optimistas y poco validadas
Predominio de los enfoques cognitivos (con un poder de visualización
poco cuestionado)
Pero también evoluciones sensibles durante el ultimo periodo y la
emergencia de nuevos enfoques teóricos, que manifiestan una perdida de
neutralidad de las herramientas y una concepción de las relaciones
dialécticas entre percepción y conceptualizacion
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
Análisis mas detallado de
una parte de los artículos
Para las problemáticas del sub-corpus Calculo Simbólico (146
artículos) :
ausencia total de problematisacion : 53%
innovaciones argumentadas : 9%
trabaos basados en hipótesis de mejoras : 12%
trabaos centrados en un cuestionamiento : 31%
trabaos centrados en la integración : 7%
Visiones optimistas, validaciones ‘a la ligera’, pero una
evolución hacia hipótesis y preguntas y algunos trabajos
recientes centrados en la incorporación
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
Resultados globales
Las TIC son concebidas al servicio del aprendizaje
El profesor; un actor muy poco problematizado (en el análisis de sus interacciones
con los estudiantes, en el análisis de su trabajo; en el estudio de sus procesos de
desarrollo y de formación)
Las mejoras que aportan las TIC, pregunta o postulado ?
Una variable que separe claramente dos tipos de trabajo
Perspectivas diferentes según el tipo de tecnología
Por un lado : las calculadoras, los sistemas de calculo simbólico y las hojas de
calculo, que no han sido concebidas para la enseñanza. Son objetoo de
cuestionamiento, y la idea dominante es que su uso podría hacer ganar tiempo
Por otro lado, los programas de geometría, que fueron concebidos para la
enseñanza. La idea dominante es que permiten ganar en comprensión, pero no en
tiempo
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
Un evolución clara en el tiempo
De 1992 a 1998, a nivel internacional, une sensibilidad
creciente :
a las preguntas de orden semiótico et à la consideración de las herramientas ;
a las preguntas de transposición informática del saber ;
al carácter contextualizado de los conocimientos (lo que se aprende en un
contexto no se transfiere automáticamente a otros contextos) ;
à la necesidad de concebir situaciones que tengan en cuenta los ambientes
tecnológicos;
à la complejidad del rol del profesor y a la inadecuación de las practicas de
formación.
Esta evolución internacional va de la mano con la integración de las
TICE en las clases ‘ordinarias’ con profesores ordinarios (saliendo de
los dispositivos experimentales)
Un estudio del estado de las investigaciones internacionales
Procesos aun embrionarios
Tres preguntas muy poco estudiadas :
Cual es el lugar oficial, legitimo que debe darse a las técnicas basadas en la
utilización de las TIC, cual es la articulación que debe darse con las técnicas
« tradicional » ?
La integración de las TIC se traduce en una ganancia o en una perdida de tiempo,
como se modifica el tiempo del estudio ?
Que dispositivos de enseñanza, como se modifica el espacio de la clase ?
Un comprensión del integración de las TIC dentro de una red compleja de
interacciones (estudiantes, saber, profesores) y una percepción de la dificultad de
tener en cuenta esa complejidad.
La aparición de nuevos marcos teóricos para analizar esa
complejidad, en especial el enfoque instrumental
Próximo tema
Me gustaría retomar estas tres preguntas :
Cual es el lugar oficial, legitimo que debe darse a las técnicas basadas en la
utilización de las TIC, cual es la articulación que debe darse con las técnicas
« tradicional » ?
La integración de las TIC se traduce en una ganancia o en una perdida de tiempo,
como se modifica el tiempo del estudio ?
Que dispositivos de enseñanza, como se modifica el espacio de la clase ?
Desde los siguientes puntos de vista :
Como concebir nuevos recursos pedagógicos para la enseñanza de las matemáticas
en los nuevos entornos (software, Internet) ? Que nuevas practicas profesionales ?
Que tipo de organización de la clase?
Referencias útiles
[email protected]
Archivos
electrónicas
disponibles
Lagrange J.-B., Artigue M., Laborde C. &
Trouche L. 2003 Technology and Mathematics
Education: a Multidimensional Study of the
Evolution of Research and Innovation, in A.
Bishop, M.A. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick
& F.K.S. Leung (eds.), Second International
Handbook of Mathematics Education, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht, pp. 239-271
Drijvers P., Barzel B., Maschietto M. &
Trouche L. (eds.) 2005 Tools and Technologies
in Mathematical didactics, Working Group on
Technologies in Mathematics Teaching,
CERME 4 (European Research on Math
Education)
Desde los artefactos hasta los
instrumentos del trabajo matemático
Una pregunta clave para el
acompañamiento de los profesores, es
la de los recursos pedagógicos
Luc Trouche
[email protected]
Universités Montpellier-Lyon,
France
Primer seminario internacional de tecnologías en educación matemática
20 a 23 de julio de 2005, Universidad Pedagógica Nacional, Bogota
Tercer tópico
1)
2)
3)
Desde los artefactos hasta los instrumentos
del trabajo matemático
Un
panorama
de
las
investigaciones
internacionales y algunas grandes tendencias
Una pregunta clave para el acompañamiento de
los profesores, es la de los recursos
pedagógicos
La construcción de los instrumentos del trabajo matemático, a partir de los
artefactos disponibles en el entorno del estudio, es un proceso complejo para
los estudiantes ; guiar esta construcción es una tarea difícil para los profesores.
Supone un reacondicionamiento del espacio y del tiempo del estudio.
Cuáles situaciones matemáticas concebir ? Cual dispositivos implementar en
la clase ? Como suscitar y integrar las iniciativas de los estudiantes y de los
profesores ?
Dos preguntas mas
¿Mediante que estrategia
han logrado que los
profesores cambien sus
estructuras mentales y se
motiven a utilizar las TIC en
el aula?
Pr Hector
Las nuevas generaciones de
maestros pueden tener un
mayor conocimiento,
aceptación y uso en el aula
de las TIC.
¿ Como lograr que el
maestro de la educación
básica trascienda la
utilización de las TIC y
genere una reflexión teórica
acerca de su actividad con
las TIC?
Pr Armando
Integración y viabilidad
de los objetos informáticos…
… el problema de la ingeniería didáctica (Chevallard 1992)
La integración de las TIC supone un trabajo importante sobre las condiciones de
esta integración.
Un peligro : la atención exclusiva hacia a la renovación de los contenidos
matemáticas
Tres niveles para tener en cuenta esta integración :
El hardware didáctica (es decir el material, los software, los modos de utilización)
El software didáctica (es decir las situaciones matemáticas)
El sistema de explotación didáctico, que permite la implementación de las
situaciones en un entorno dado.
Tercer nivel se menciona pocas veces en las actividad propuestas,
como si fuera obvio. Sin embargo es mas complejo.
Etapa 1
Concebir situaciones matemáticas
Todo conocimiento matemático se puede modélizar por una
situación dada (Brousseau)
Esta situación constituye un reto para les estudiantes, su estudio se
realiza bajo la forma de un juego, con reglas precisas
Resolver este problema necesita que los estudiantes construyan este
conocimiento, que es la clave de la resolución optima
Es una paradoja : se les pide a los estudiantes resolver un problema, y
esta resolución supone disponer de un conocimiento que los
estudiantes no tienen…
Pero la paradoja es la base del constructivismo : los
verdaderos conocimientos son los que uno mismo construye,
para contestar preguntas que uno realmente se planta…
Etapa 1
Concebir situaciones matemáticas, un ejemplo
para la proporcionalidad
3 cm
B
A
La situación : construir un nuevo rompecabeza , similar a este, con AB = 5 cm
Primera idea : añadir 2 cm a todas las
dimensionas… Resultado : malo, el
rompe-cabeza … ya no es uno .. !
Segunda idea : arreglar un poco las
cosas, por que las piezas puedan
juntarse… Resultado : el nuevo rompecabeza no se parece al antiguo ! Etc…
En cada etapa, los estudiantes pueden
ellos mismos validar sus métodos.
Poco a poco aparece la noción de proporcionalidad, como
una necesidad por resolver el problema.
Etapa 1
Concebir situaciones en
entornos informatizados…
Hay que concebir de ahora en adelante situaciones
que tenga en cuenta dos elementos :
el conocimiento matemático buscado ;
las limitaciones y las potencialitas del software
utilizado.
Ejemplo 1 : el estudio de los limites comparados de la función
exponencial y de las functións potencias, con el software Derive
  




 
Ejemplo 2 : el introducción de la translación con el software Cabri, a partir del
cubrimiento del plano por cuadriláteros cualquiera

Etapa 2
Escribir las instrucciones para los estudiantes
ficha estudiante
ficha profesor
El profesor va a escribir una ficha
estudiante, con las instrucciones
que describen el trabajo por
hacer
Es una etapa esencial, hay que preparar la
transferencia del problema a los
estudiantes, de tal manera que lo
consideren como el suyo
El profesor va a escribir también
una ficha profesor :
Elementos que el profesor quiere conservar (pistas para
soluciones, referencias teóricas, etc.) para el-mismo, o para
compartir con colegas
Etapa 3
Describir el organización
del trabajo en la clase
ficha estudiante
ficha profesor
libreto de utilización
Como para una película, a partir de
una historia (el problema a
resolver), hay que prever un libreto
de utilización
Cual será la forma de cortar en varias
secuencias el tiempo de trabajo ?
En cada secuencia, cuales serán las
responsabilidades del profesor y de los
estudiantes ?
Como serán organizados los estudiantes,
entre ellos y con los diferentes artefactos
disponibles, lo que yo llamo la orquestration
de este entorno ?
Esta libretization es siempre útil para preparar la clase, se
vuelve indispensable en un entorno complejo
Etap4 3
En los libretos, las orquestrations
Professeur
Tableau
Ecran
Tablette de
rŽtroprojection
Cahier
TI-92
El•ve sherpa
Escoger una orquestration, es escoger un ordenamiento didáctico de los estudiantes
y de los artefactos. Entre los ordenamientos posibles, es útil de privilegiar los que
permiten seguir los procesos de instrumentalizacion de los estudiantes.
Etapa 4
Permitir la evolución del recurso
ficha estudiante
ficha profesor
libreto de utilización
informe de
experimentación
La realización del actividad por
los estudiantes causa siempre
sorpresas
 a veces la tecnología tiene reacciones no
previstas ;
 a veces el libreto parece no adaptado ;
 la realización de un informe de
experimentación permite memorizar estos
elementos para otra oportunidad, o revisar
el libreto de utilización.
Realizar un informe de experimentación, es una garantía para disponer de
recursos pedagógicos vivos, que evolucionan con los usos, es también el medio
para que otros profesores aprovechen de la experiencia.
Etapa 5
Mutualizar !
ficha de identificación
ficha estudiante
ficha profesor
libreto de utilización
informe de
experimentación
ficha técnica
Este trabajo de creación es
imposible para un profesor aislado
 Encontrar una ideé de situación no es fácil
(en los libros, en la Web) ;
 Redactar un libreto, hacerlo evolucionar, es
mas interesan si se comparte con otros ; en
cambio, uno se beneficia de la experiencia y de
los recursos realizados por otros ;
 Surge la idea de un vivero de recursos,
compartidos por comunidades de docentes
Esto supone complementar el recurso con une ficha técnica (dando información
sobre le software utilisizado) y con une ficha de identificación, que describe el
recurso para usuarios potenciales
Una nueva concepción de
los recursos pedagógicos
Concebir los recursos pedagógicos como
artefactos, que se constituyen en instrumentos
dentro comunidades de práctica
Instrumentalización
y instrumentación…
Una comunidad de practica
Un vivero de recursos pedagógicos incluyendo libretos
de utilización y informe de experimentación
que necesita
orquestrations a
otro nivel
(dispositivos de
capacitación, Web
comunidades…)
Una ilustración en Montpellier,
el SFoDEM
Para ayudar los docentes de matemáticas a
integrar las TIC en su enseñanza, el IREM a
creado el SFoDEM (Seguimiento de Capacitación a
Distancia de los Docentes de Matemáticas)
Este dispositivo a reunido cada año desde 2000 un centenar
de docentes, acompañados por una decena de tutores

La formación se hacía barro la forma de practicas, y de un
seguimiento à distancia vía Internet

El objetivo era concebir recursos pedagógicos integrando las
TIC, experimentarlos y hacer los evolucionar en un marco
collaborativo

Este trabajo desemboco en el modelo de
Lecciones mas genérales
Una necesidad de una evolución de las
practicas profesionales en los nuevos entornos
tecnológicos
Una evolución que supone nuevos recursos pedagógicos
 No hay un modele universal para estos recursos, esto depende
de los ambientes tecnológicos, de las prescripciones
institucionales y de la necesidad de cada comunidad de docentes
 Lo importante es que la estructura de los recursos permita su
reutilización, su mutualizacion y su evolución

Esta realización de recursos pedagógicos en matemáticas es un
proceso complejo, que necesita el trabajo de equipos
pluridisciplinarios (informáticos, matemáticos, didácticos) y de
comunidades de docentes bien organizadas (universidades
pedagógicas, estructuras de formación)
Ultimo preguntas para el panel
Cuales son las evoluciones de los curriculos
necesarios para tener en cuenta la evolución de los
ambientes tecnológicos, en la escuela y la sociedad ?
Como acompañar las evoluciones necesarias de las
practicas profesionales ?
Podemos contemplar evoluciones curriculares en
matemáticas sin cambiar les curriculums en las
otras disciplines científicas ?
Un citación como conclusión
Hace muchos anos, yo les decia a mis estudiantes :
« tomen un hoja de papel y dibujen-me un mondo social ».
Casi todos hacían une pirámide. Cada vez mas, para
reempacar une imagen por otra, veo el monde social como un
móvil de Calder, donde habría especies de pequeños
universos que se pasean los unos en relación con los otros en
un espacio con varias dimensiones (Bourdieu)
Referencias útiles
[email protected]
Guin D., Joab M. & Trouche L. 2003, SFoDEM
(Suivi de Formation à Distance pour les
Enseignants de Mathématiques), bilan de la
phase expérimentale, CD-Rom, IREM,
Université Montpellier II
Combes M.-C. & al 2005, ‘Formación a
distancia de los profesores de matemáticas :
hacia nuevas practicas profesionales’, Proyecto
Interreg-Transforma, Barcelona, UOC.
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Desde los artefactos hasta los instrumentos del