OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO
Amortiguamiento – Resonancia
Fernando Hueso González
Laboratorio de Mecánica y Ondas
Campus de Burjassot - Valencia
2º Física – UVEG
9 de marzo de 2009
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
d 
2
 Ecuación diferencial OAS
 Solución:  t  ~ Ae rt
2
 0   0
2
dt
  t   A sin  0 t  

 Multitud de fenómenos físicos oscilantes (ideales)
– Movimiento circular
– Muelle ideal (Ley de Hooke)
– Tubo en U de agua
– Circuitos eléctricos LC
  1  sin    

3
 ...  
3
 Aproximación pequeñas oscilaciones
– Péndulo simple
2
– Potenciales
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO
 Término disipativo (fuerza viscosa)
d 
 Amplitud: decaimiento exponencial
2
 t   Ae
 t
sin  ' t  

2
 2
dt
2
2
 '  0  
d
dt
2
 0   0
2
2   1 /
 Amortiguamiento sobreamortiguado, crítico, infraamortiguado
– Sobreamortiguado β>ω0
– Amortiguado críticamente β=ω0
– Infraamortiguado β<ω0
3
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO
d 
2
 Término inhomogéneo periódico
dt
2
 2
d
dt
  0   f (t / T )
2
 Solución homogénea (transitoria) y particular (permanente)
 Forzamiento armónico:
 t    h t   
D  F  
t  
p
f t / T   F sin  F t 
Ae
 t
sin  0 t     D sin  F t  
F

2
0
 F

2 2
 2  F

2
tan   F
  

2  F
0  F
2
2
– Para t largos sólo la solución particular (ω=cte)
– No depende de condiciones iniciales, F y δ determinados por sistema oscilante
– Curva lorenciana  Resonancia (D)
 Control de fenómenos físicos
– Circuito RLC
4
– Osciladores micromecánicos
 R  0  2
2
2
2
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIA
D   
 Función lorenciana (asimétrica)
 Coeficiente de amortiguamiento

  D max /

F

2
0

2

2
   
2
2  2
 Factor de calidad
E sis

Q  2
 2
 
E dis
T
1,4
ciclo
1,2
D
1,0
D
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
5
0
5
10
15
20
TÉCNICA EXPERIMENTAL
DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
 Oscilador armónico forzado
– Péndulo físico  Pares de fuerzas
– Imán amortiguador
– Muelles
– Motor
 Control mediante generador tensión variable, interfaz y ordenador
– Frecuencia y amortiguamiento regulables
– Desviación angular ‘vs’ tiempo  θ(t)
 Péndulo físico
d 
2
M  I
dt
d 
2
I
dt
6
2
M
2
d 
2
b
dt
2
p
  mgh sin 
M
 mgh sin   M ext t / T    
sin   
 0  mgh / I
2
D  M
ext
/I
d 
r
 b
2
dt
2
 2
  b / 2I
d
dt
d
dt
 0   D
2
TÉCNICA EXPERIMENTAL
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
 Estudiar amortiguamiento – Decaimiento exponencial
• Desplazar respecto a posición de equilibrio
 t    0 e
• Registrar θ(t)
 t
sin  ' t  

• Medir frecuencia; máximos, θbase; ley exponencial
• Ajustar
ln   ln  0   t
ω’ , β
1
 Oscilador forzado - Curva de resonancia 
1,0
• Registrar θ(t) para cada V 0,5
• Medir θmax, ω
2
R
 0  2
2
2
0,5
• Ajustar a curva de resonancia
0
•  ω0, β
 '  0   2
2
2
0,0
 Cambiar amortiguamiento (+-0,5
comparar)
-0,5
 Comparar valores para cada amortiguamiento
– Valor a partir del ajuste al amortiguamiento
exponencial
-1
-1,0
0
1
0
1
– Valor a partir del ajuste a la curva de resonancia
7
2
3 3
2
t
t
44
55
RESULTADOS
ADQUISICIÓN DE DATOS
 Estudiar amortiguamiento
 Desplazar del equilibrio  decaimiento exponencial amplitud
 Comparar distintos coeficientes, distancia imán
h/2
8
h
θ ± 0,001
t ± 0,1s
θ ± 0,001
t ± 0,1s
0,367
0,1
5,201
0,8
-0,573
1,1
4,363
1,9
-0,995
2,1
3,892
2,9
-1,187
3,0
3,648
3,8
-1,257
∞
3,508
4,7
3,421
∞
RESULTADOS
ADQUISICIÓN DE DATOS
9
V
± 0,1 V
A1+
± 0,001
A1± 0,001
A2+
± 0,001
A2± 0,001
A3+
± 0,001
A3± 0,001
ti
± 0,1 s
tf
± 0,1 s
2,0
0,332
-0,140
0,349
-0,122
0,332
-0,140
0,6
10,0
2,5
0,454
-0,017
0,454
-0,017
0,454
-0,017
1,4
9,4
3,0
0,105
-0,436
0,087
-0,436
0,087
-0,436
0,6
7,4
3,5
0,000
-0,663
0,000
-0,646
0,000
-0,646
1,1
6,4
3,7
0,506
-0,157
0,506
-0,157
0,506
-0,157
0,5
5,6
3,9
0,716
0,000
0,698
0,000
0,698
0,000
0,7
5,6
4,1
0,052
-0,681
0,036
-0,698
0,052
-0,681
1,4
5,9
4,3
0,227
-0,524
0,244
-0,524
0,227
-0,524
0,5
4,8
4,5
0,367
-0,454
0,367
-0,454
0,367
-0,454
0,3
4,4
4,7
0,681
-0,227
0,698
-0,227
0,698
-0,209
0,2
4,1
4,9
0,541
-0,559
0,541
-0,559
0,541
-0,559
0,3
3,9
5,0
0,998
-0,297
0,998
-0,297
0,998
-0,279
0,4
3,8
5,2
0,157
-1,134
0,175
-1,152
0,175
-1,152
0,1
3,6
5,4
2,129
-0,035
2,112
-0,035
2,147
-0,035
0,6
3,8
5,6
2,409
-0,105
2,443
-0,087
2,391
-0,105
0,5
3,6
5,8
1,990
-0,419
1,990
-0,419
2,007
-0,436
0,4
3,4
6,0
2,025
-0,262
2,007
-0,262
1,955
-0,227
0,1
3,0
6,2
0,314
-1,623
0,279
-1,623
0,332
-1,588
0,1
2,9
6,5
1,152
-0,506
1,134
-0,524
1,117
-0,524
0,3
3,0
7,0
0,419
-0,663
0,419
-0,646
0,454
-0,681
0,2
2,7
7,5
0,820
0,000
0,803
0,035
0,803
0,000
0,4
2,7
8,0
0,593
0,000
0,593
0,000
0,611
0,000
0,3
2,5
8,5
0,070
-0,348
0,052
-0,367
0,070
-0,367
0,1
2,0
9,0
0,140
-0,262
0,122
-0,262
0,122
-0,244
0,2
2,1
9,5
0,297
0,000
0,297
0,000
0,297
-0,017
0,5
2,3
10,0
0,122
-0,140
0,122
-0,140
0,122
-0,140
4,0
5,7
RESULTADOS
TRATAMIENTO DE DATOS
 11
A
δ(A)
D
ω (s-1)
δ(ω) (s-1)
A
δ(A)
D
ω (s-1)
δ(ω) (s-1)
0,2358
0,0007
0,21%
2,01
0,04
0,2445
0,0007
0,00%
1,57
0,03
0,2355
0,0007
0,00%
2,36
0,06
0,2530
0,0007
0,00%
2,19
0,05
0,265
0,002
3,40%
2,77
0,08
0,2792
0,0007
0,18%
2,90
0,09
0,326
0,002
2,61%
3,56
0,13
0,3527
0,0081
9,19%
4,19
0,19
0,3315
0,0007
0,00%
3,70
0,14
0,3490
0,0007
0,00%
3,85
0,16
0,352
0,002
2,56%
3,85
0,16
0,3810
0,0023
2,36%
4,28
0,19
0,3666
0,0007
0,07%
4,19
0,19
0,4185
0,0007
0,00%
4,5
0,2
0,378
0,002
2,25%
4,4
0,2
0,4742
0,0044
3,69%
5,0
0,3
0,4105
0,0007
0,00%
4,6
0,2
0,6048
0,0021
1,41%
5,2
0,3
0,457
0,002
1,97%
4,8
0,2
0,9017
0,0023
1,00%
5,5
0,3
0,5500
0,0007
0,00%
5,2
0,3
1,4798
0,0159
4,29%
5,9
0,4
0,645
0,002
1,40%
5,5
0,3
1,3148
0,0044
1,33%
6,5
0,4
0,658
0,005
2,74%
5,4
0,3
1,0590
0,0044
1,65%
7,0
0,5
1,082
0,004
1,62%
5,9
0,4
0,8787
0,0021
0,97%
7,0
0,5
1,257
0,004
1,35%
6,1
0,4
0,5673
0,0088
6,17%
7,5
0,6
1,210
0,004
1,40%
6,3
0,4
0,4042
0,0044
4,33%
8,2
0,7
1,123
0,013
4,67%
6,5
0,4
0,2970
0,0007
0,00%
9,0
0,9
0,960
0,004
1,82%
6,7
0,5
0,2298
0,0043
7,40%
9,9
1,0
0,826
0,002
1,03%
7,0
0,5
0,1862
0,0044
9,40%
9,9
1,0
0,547
0,009
6,40%
7,5
0,6
0,1452
0,0021
5,86%
11,1
1,3
0,399
0,006
6,52%
8,2
0,7
0,1165
0,0023
7,73%
11,8
1,5
0,300
0,002
3,01%
8,6
0,8
0,212
0,002
4,47%
9,9
1,0
0,192
0,005
9,38%
9,9
1,0
0,151
0,002
5,62%
10,5
1,2
0,1310
0,0007
0,00%
11,1
1,3
RESULTADOS
TRATAMIENTO DE DATOS
 Coeficiente de amortiguamiento
0,5
0,5
ln θ0
0,71 ± 0,18
0,0
β (s-1)
1,07 ± 0,10
-0,5
r
0,992
ω’ (s-1)
6,4 ± 0,7
ω0 (s-1)
6,5 ± 0,7
0,0
-0,5
-1,0
ln(
-1,0
-1,5-1,5
-2,0-2,0
-2,5-2,5
0,0
-3,0
 12
0,0
0,5
0,5
1,0
1,0
1,5
1,5
(s)
tt(s)
2,0
2,0
2,5
2,5
3,0
3,0
RESULTADOS
TRATAMIENTO DE DATOS
 Imán alejado (x2)

Comparación
1,0
1,0
0,5
ln θ0
0,71 ± 0,18
β (s-1)
1,07 ± 0,10
0,77 ± 0,05
ln θ0
1,33 ± 0,17
0,992
0,993
β (s-1)
0,77 ± 0,05
6,4 ± 0,7
6,4 ± 0,7
r
0,993
6,5 ± 0,7
6,4 ± 0,7
-1
ω’ (s )
6,4 ± 0,7
r
ω’ (s-1)
0,0
0,0
ω0 (s-1)
ln(ln(
-0,5
ω0 (s-1)
-1,0
-1,0
1,33 ± 0,17
6,4 ± 0,7
-1,5
-2,0
-2,0
-2,5
-3,0
 13
00
11
22
33
t (s)
t (s)
44
5 5
RESULTADOS
TRATAMIENTO DE DATOS
 Restar fondo de resonancia (parámetro adicional)  Ajuste
   
1,4
5,0
7 ,8  0 , 7
6 ,35  0 ,03 
2

2

2
1,2
4,0
(rad)
1,0
0,8
0,6
3,0
D
  2 ·0 ,51  0 , 04  
ω0 (s-1)
6,35 ± 0,03
β (s-1)
0,51 ± 0,04
ωR (s-1)
6,31 ± 0,03
θ0 (rad)
0,05 ± 0,03
F (s-2)
7,8 ±0,7
r
0,9898
2,0
0,4
1,0
0,2
0,0
0,0
2
 14
0
4
5
106
15
(s-1)
8
20
10
 0 , 05  0 , 03 
2
25
30
12
RESULTADOS
TRATAMIENTO DE DATOS
 Imán amortiguador más alejado (x2)
1,6
1,4
1,2
(rad)
1,0
ω0 (s-1)
6,30 ±0,04
β (s-1)
0,46 ±0,08
ωR (s-1)
6,27 ± 0,04
θ0 (rad)
0,01 ± 0,05
F (s-2)
9,4 ±1,3
r
0,972
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
 15
2
4
6
(s-1)
8
10
12
RESULTADOS
TRATAMIENTO DE DATOS
 Gráfica comparativa - Amortiguamiento
1,6
ω0 (s-1)
6,35 ± 0,03
6,30 ±0,04
1,4
β (s-1)
0,51 ± 0,04
0,46 ±0,08
1,2
ωR (s-1)
6,31 ± 0,03
6,27 ± 0,04
(rad)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
 16
2
4
6
(s-1)
8
10
12
RESULTADOS
CONCLUSIÓN
h/2
h
Media
ω’ (s-1)
6,4 ± 0,7
6,33 ± 0,03
-1,11%
6,4 ± 0,7
6,28 ± 0,04
-1,86%
6,4 ± 0,7
0,36%
ω0 (s-1)
6,5 ± 0,7
6,35 ± 0,03
-2,36%
6,4 ± 0,7
6,30 ±0,04
-1,59%
6,4 ± 0,7
1,17%
β (s-1)
1,07 ± 0,10
0,51 ± 0,04
52,34%
0,77 ± 0,05
0,46 ±0,08
-10,87%
0,79 ± 0,14
0,62 ± 0,08
22,15%
ωR (s-1)
6,3 ± 0,7
6,31 ± 0,03
0,18%
6,3 ± 0,7
6,27 ± 0,04
-0,64%
6,30 ± 0,7
0,43%
 Poca diferencia en coeficientes de amortiguamiento  Q1 = 4,0 ± 0,8
 Errores
– ¿Ángulos pequeños? ; Pocos puntos
– Estado de los muelles del dispositivo
– Dispersión 2as medidas (frecuencia detección)
 Mejoras
– Medida períodos
– Menor amortiguamiento, más posiciones imán
 17
 Compatibilidad datos  Experimento satisfactorio
Q2 = 5,2 ± 1,5
BIBLIOGRAFÍA
• Guión de prácticas del Laboratorio de Mecánica y Ondas, 2º de
Física – UVEG, 2008 (Ana Cros, Chantal Ferrer, Andrés
Cantarero)
• Apuntes de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008
(Chantal Ferrer)
• Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1
• http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica (Universidad País Vasco)
Dirección de contacto:
Ferhue[a[alumni.uv.es
Página Web:
http://mural.uv.es/ferhue
 18
Descargar

Oscilador armónico forzado - wwwpub.zih.tu