INGENIERÍA ECONÓMICA
MODULO II
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• Relación prestamista - prestatario.
• Formas de pago de un préstamo.
• Pago único.
• Serie uniforme.
• Amortización constante.
MODULO II
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• Serie gradiente.
• Serie gradiente porcentual.
• Equivalencias para formas de pago.
RELACIÓN
PRESTAMISTA - PRESTATARIO
• Prestamista: persona natural o jurídica
que concede dinero en préstamo.
• Prestatario: persona que recibe dinero
en préstamo.
Elementos de un préstamo:
 Magnitud o monto.
 Valor de la tasa de interés.
 Plazo.
RELACIÓN
PRESTAMISTA - PRESTATARIO
Forma de pago.
 Garantía o fiador.
 Requisitos de capacidad de pago.
 Periodo de gracia: tiempo durante el cual se
pueden pagar únicamente los intereses o
también puede ser el tiempo durante el cual
los intereses se capitalizan, pero no hay
desembolso alguno por el prestatario.

RELACIÓN
PRESTAMISTA - PRESTATARIO

Amortización del préstamo original: toda
cuota o pago de un préstamo la podemos
descomponer
en
dos
partes:
una
correspondiente a la disminución o abono
que hagamos al préstamo original, la otra
será el componente de interés. La
amortización nunca será negativa y cuando
no hay amortización se entenderá que toda
la cuota corresponde a intereses.
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE UNIFORME:
Se hace un préstamo a
una tasa de interés por
periodo y se paga en
cuotas
exactamente
iguales.
P
1 2 3 4
n
A A A A
A
0
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE DE PAGOS DE
AMORTIZACIÓN
CONSTANTE:
El préstamo se paga en
cuotas periódicas de las
cuales el contenido de
amortización
del
principal siempre es
igual.
P
1
2
3
n
0
A1
A2
A3
An
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE GRADIENTE:
El préstamo de paga en
cuotas
que
pueden
aumentar o disminuir un
monto uniforme cada
periodo
(sucesión
aritmética).
P
1
2
3
n
0
A1
A2
A3
An
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE GRADIENTE
PORCENTUAL:
El préstamo se paga en
cuotas
que
pueden
aumentar o disminuir un
porcentaje cada periodo
(sucesión geométrica).
P
1
2
n
0
A1
A2
An
PAGO ÚNICO
P
1
2
n
0
F
F = P(1+i)n
PAGO ÚNICO
Demostración de la formula de valor
futuro, donde:
P: préstamo
i: tasa de interés
n: plazo
F: pago único
SK: saldo o deuda al final de cualquier
período K
Total intereses: I = Total pagado-Total prestado
I = F-P
(1)
PAGO ÚNICO
F IN D E
P E R ÍO D O
IN T E R E S E S D E L P E R ÍO D O
0
1
0
i.P
2
i.P (1+ i)
3
IP (1 + i)
---K
---n
---------
2
S A L D O A L F IN A L
D E L P E R ÍO D O
P
P + iP = P (1. + i)
P (1 + i) + iP (1 + i)
2
= p(1 + i)
2
2
P (1 + i) + iP (1 + i)
3
= P (1 + i)
---k
S k = P (1 + i) (2)
---n
F = P (1 + i) (3 )
PAGO ÚNICO
EJEMPLO:
Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una
entidad que reconoce el 1% efectivo mensual.
¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el
saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?
Valor futuro:
Para tablas:
Valor futuro 31/12/2003:
Saldo:
Saldo 30/06/2002:
F = P(1+i)n
(3)
F = P(F/P,i,n)
(3´)
1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86
Sk = P(1+i)k
(2)
1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01
SERIE UNIFORME
P
1
2
3
4
n
A
A
A
A
A
0
A=P*
i (1+i)n
(1+i)n -1
SERIE UNIFORME
Demostración de las fórmulas para serie
uniforme, donde:
A: cuota uniforme.
ak: abono o parte de la cuota que amortiza la
deuda.
Ik: parte de la cuota que cubre intereses.
Pk: valor presente equivalente a la cuota del
periodo k.
SERIE UNIFORME
P será equivalente a los pagos efectuados
considerando la tasa i, ello implica que P será
igual a la suma de los valores presentes de las
cuotas.
Pk = A * (1+i)-k
según formula (3)
P =  Pk
por principio N°2
P =  A * (1+i)-k
P = A *  (1+i)-k
P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n}
(1*)
P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)
SERIE UNIFORME
Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja
A.
A=P*
i (1+i)n
(4)
(1+i)n -1
El factor de P en la formula (4) para uso de
tablas se identificará así: (A/P,i,n)
Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n)
(4’)
SERIE UNIFORME
Despejando P de (4) tendremos:
P=
A*
(1+i)n - 1
i (1+i)n
(4’’)
Para las tablas:
P = A * (P/A,i,n)
(4’’’)
SERIE UNIFORME
Saldo o deuda:
P
SK
(n-k)
PENDIENTES
1
2
3
k
4
k+1
n
0
........
A
A
A
A
K
PAGADAS
...
A
A
A
A
SERIE UNIFORME
Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk
será el valor presente de las (n-k) restantes.
Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)
Sk = A
(1+i)n-k -1
i (1+i)n-k
(5)
SERIE UNIFORME
En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y
que parte corresponde a intereses?
ak = Sk-1 - Sk
(6)
Ik = i  S(k-1)
Ik= A- ak
(7)
Comportamiento del saldo (Sk) para
la forma de pago serie uniforme
Sk
P
k
. . . n
En una serie uniforme el comportamiento del
saldo es decreciente siendo cero en el periodo
n.
0 1
2
3
4
SERIE UNIFORME
Ejemplo:
Se hace un préstamo de un millón de
pesos
al 0.5% de interés mensual
efectivo para pagarlo en cuotas iguales de
fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota
mensual?
Solución:
P
1
2
3
A
A
A
24
0
A
A
SERIE UNIFORME
0.005 (1+0.005)24 = $44.320,61
A =1000000 (1+0.005)24 -1
• Resolver el ejemplo anterior si el trabajador
paga a principio de mes.
Solución:
Se debe transladar el préstamo a un periodo
antes con la formula de pago único y luego
aplicamos la formula de A.
SERIE UNIFORME
P
0´
1
2
3
4
23
A
A
A
A
24
0
A
F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87
0.005 (1+0.005)23 = $ 44.100
A = 1000000
(1+0.005)23 -1
SERIE UNIFORME
• Cuál es la deuda del trabajador en el
ejemplo después de haber pagado la cuota
19.
Solución:
$1000.000
i:0.5%
1
2
3
A A
19
(24-19)
24
19
0
A A
S19
....... A
PAGADAS
A
A
A
SERIE UNIFORME
(1+0.005)24-19 -1
S19 = 44.320,61 0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399
• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al
capiltal y que parte es interés?
Solución:
a19 = S18 – S19
(1+0.005)24-18 -1
= $261.331,35
S18 = 44.320,61
6
0.005 (1+0.005)
SERIE UNIFORME
a19=$43.013,9
I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66
• Para ese trabajador ¿cuál es el total de
intereses pagados?
Solución:
I = total de intereses pagados – total pagado
I= n  A-P = $63.644,40
CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
F=?
Interés = i
0
1
A
A: Ahorro
2
A
3
A
n
......
A
Periodos
CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Dados A, i y n se deberá calcular F.
F: será el valor futuro en n equivalente al valor
presente de la serie uniforme.
F = P (1+i)n
Pero:
P=
A
aplicando (3)
(1+i)n - 1
i (1+i)n
aplicando (4’’)
CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Entonces:
(1+i)n - 1
F= A*
i (1+i)n
(1+i)n - 1
F=A*
i
Para el uso de tablas:
F = A * (F/A, i, n)
(1+i)n
(8)
(8´)
CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Ejemplo:
Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al
principio de mes en una entidad que le
reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace
durante 5 años.
¿ Cual es el valor acumulado al final del
ultimo mes?
CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
F=?
i = 2% ef. mensual
0´
0
200.000
1
2
59
60 meses
CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Solución:
F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el
mes 59.
F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60)
F59 = 200.000 (114.051539)
F59 = 22’810.307,8
F = F59 (1.02)1
F = (22’810.307,8) (1.02)
F = 23’266.513,96
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
P
1
2
3
n
0
A1
A2
A3
Ak= i  P 1 - (k - 1) + P
n
n
An
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Demostración de la formulas para
amortización constante, donde:
Ak: cuota al final del periodo k.
Sk: saldo después de pagar la cuota Ak.
Como su nombre lo indica, en esta forma de
pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:
a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n
(9)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
A1 = i  P + (P/n)
Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n)
S1 = P 1 - 1
n
A2 = i  S1 + (P/n)
Entonces:
S2 = P - 2P = P 1 - 2
n
n
iP 1- 1 + P
n
n
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Ak = i  P 1 -(k-1) + P
n
n
(10)
Sk = P 1 - k
n
(11)
Ik = i  P 1 - (k-1)
n
(12)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de un millón de
pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se
paga en 10 cuotas mensuales de
amortización constante,¿cuál es el valor
de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es
el saldo una vez pagada la tercera cuota?
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Solución:
A1=0.031000000 1 - (1- 1) + 1000000
10
10
A1=130.000
A3= 0.031000000 1 - (3 - 1) + 1000000
10
10
A3=124.000
S3 = 1000000 1 - 3 = 7000000
10
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
P
1
2
3
n
0
A1
A2
A3
An
AK = A1 + (K - 1)*g
 i (1  i ) n 
1

n
A1  P 
  g 

n
n
(
1

i
)

1
i
(
1

i
)

1




SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Esta forma de pago se compone por la suma de dos
series, una que se comporta de manera uniforme y otra
que sufre un cambio aritmético para cada periodo.
Demostración de la formula para serie
gradiente, donde:
g : aumento aritmético de la cuota.
Ak seria:
A 1 = A1
A2 = A1 + g
A3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g
AK = A1 + (k - 1)  g (en funciòn de A1)
(13)
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
La parte gradiente
se transforma en una
serie
equivalente
uniforme que se
llama Ag, entonces,
la serie gradiente
original
será
equivalente a la
suma de las dos
series uniformes.
P
1
0 A1
+
Ag
2
3
n-1
n
...
...
At=A1+Ag
(14)
A1:serie parte uniforme.
Ag:serie uniforme equivalente a parte
gradiente.
At :serie uniforme total equivalente a la serie
gradiente original.
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Ag se halla
aumentos (g,
sumandolos,
distribuye en
obtendría:
Ag
llevando cada uno de los
2g, 3g,...) al presente y
después esta sumatoria se
una serie uniforme y se
1

n
 g 

n
 i (1  i )  1 
Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n)
(15)
(15’)
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
De (14) tenemos: A1= At - Ag
 i (1  i ) n 
A1  P 

n
 (1  i )  1 
1

n
g 

n
 i (1  i )  1 
(16)
Por tabla seria:
A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n)
(16’)
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Partiendo de (16) se obtiene:
 i (1  i ) n 
1

n
P
  A1  g  

n
n
 i (1  i )  1 
 (1  i )  1 
(17)
Para uso de tablas:
P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n)
(17’)
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
P
Sk = ?
1
0
2
3
4
.
k pagados
k
.
k-1
n-k
Pendiente
s
.
.
Ak
.
.
Ak + 1
An
Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k
cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en
An. Sk será el valor presente en k de esas
cuotas pendientes.
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Utilizando (17) con "A1" = Ak+1
Y remplazando en (13) tenemos:
Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde
"A1" = A1 + kg
De lo anterior:
Sk 
A1  k  g  g ( A / g , i , n  k )
( A / P , i, n  k )
(18)
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una
tasa de interés anual del 30% para pagarlo
en 5 cuotas anuales que se incrementan
200 pesos . Cuàl es el valor de la primera
y la ùltima cuota?
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Solución:
A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5)
A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031)
A1 =112.519
A5 = A1 + (5 - 1)*$200
A5 =112.519+ 4*$200
A5 = 912.519
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
• Para los datos del ejemplo, calcular el
saldo despuès de pagada la tercera cuota.
Solución:
P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519
S3 
112 . 519  3  200  200 ( A / g ,30 %, 5  3 )
S3 = 1.088,05
( A / P ,30 %, 5  3 )
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
PARA LA SERIE GRADIENTE
DECRECIENTE SE UTILIZAN
LAS MISMAS FÓRMULAS QUE
EN LA CRECIENTE, PERO SE
REEMPLAZA g POR -g.
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
P
1
2
n-1
n
0
A1
A2
An-1
An
Ak = A1 (1+ ig)k-1
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Demostración de la formula para serie
gradiente porcentual, donde:
ig :incremento porcentual en las cuotas.
A 1 = A1
A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig)
A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2
A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3
Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1)
(19)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Para obtener Al se debe llevar el valor de cada
cuota al presente (Pk) y después realizar la
sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.
k n
P 

Pk
pero Pk = Ak (1+i)-k
k 1
Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos:
Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k
k n
P 

k 1
A1 (1  i g )
k 1
(1  i )
k
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
k n
P  A1  (1  i g )
k 1
(1  i )
k
k 1
Expandiendo la sumatoria:
P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)
+ (1+iG)n-1 (1+i)-n
(1*)
Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1
tendremos:
P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)2 (1+i)-3 +...+
(1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)n (1+i)-n-1
(2*)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar
para obtener:
A1


i  ig

 P
n
1  i g 

1 


 1 i 








(20)
El factor del corchete solo será válido para
iig, pues el denominador no puede ser cero.
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
De la fórmula (20) podemos despejar P:

1  i g 
1  

1

i



P  A1 
i  ig



n







(20’)
iig
Partiendo de esta fórmula se puede hallar
Sk.
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
El saldo (Sk) será el valor presente en k de
las cuotas pendientes (n-k).
P
Sk = ? n-k cuotas
Pendientes
1
2
k
k+1
n
0
A1
A2
k Pagadas
Ak
Ak+1
An
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando
en (19) tenemos:
Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde
"A1" = A1(1+ig)k
De lo anterior:
S k  A1 (1  i g )
k

 1  ig
1  
 1 i



i  ig







nk







(18)
iig
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5
años para pagarlo en 5 cuotas que se van
incrementando el 20% anual. Si la tasa
de interés anual es del 30%, ¿cuál es el
valor de la primera y ultima cuota?.
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Solución:
A1


0 .3  0 .2

 1 . 000
5

 1  0 .2 
1  

1

0
.
3






  $ 303 . 19




A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
• Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una
vez pagada la tercera cuota?
Solución:
ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19
S3
53

1

0
.
2


1




 1  0 .3 
3 
 303 ,19 (1  0 . 2 )

0 .3  0 .2





  $ 775 , 018




Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Análisis de los tres intervalos.
Intervalo I:
El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P
No hay amortización: ak = 0
La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik
La cuota es inferior a los intereses generados
en el período: Ak = Ik < i. Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Intervalo II:
El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1
No hay amortización: ak = 0
La cuota es intereses: Ik = Ak
La cuota paga intereses acumulados e
intereses del período: Ak = Ik > i  Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Intervalo III:
El saldo es decreciente pero inferior a P:
P > Sk-1 > Sk
Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk
Los intereses contenidos en la cuota son:
Ik = A k - a k
Como no se pagan intereses acumulados,
entonces: Ik = i  Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Cuando eventualmente se pase del intervalo
II al intervalo III:
Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización
contenida en Ak será: ak = P - Sk
Recordemos que se amortiza sólo lo que
abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak
No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik
EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE
PAGO
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