La unidad im aginaria i
está definida por la
propiedad
i   1.
2
La unidad im aginaria i está definida
por la propiedad i   1
2
E s decir,
i
1
U n núm ero com plejo es uno de la form a
a  ib
donde a y b son núm eros reales e
i
es la unidad im aginaria con la propiedad
i  1
2
U n núm ero com plejo es uno de la form a a  ib
1 ) E l n ú m ero real a es llam ad o la
p arte real
2 ) E l n ú m ero real b es llam ad o la
p arte im ag in aria
U n núm ero com plejo es uno de la form a a  ib
L o s n ú m ero s reales p u ed en ser co n sid erad o s
co m o n ú m ero s co m p lejo s co n la p arte
im ag in aria ig u al a cero .
E s d ecir, el n ú m ero real a es eq u ivalen te al
n ú m ero co m p lejo a  0 i
Si
z  a  ib
es un núm ero com plejo,
la parte real, a ,
se denota com o
R e( z )
y la parte im aginaria, b ,
se denota
Im ( z )
A la totalidad de los núm eros
com plejos de le denota
C
A la totalidad de los núm eros
com plejos de le denota C
N o tese q u e
R C
a  ib  c  id
ac
y
bd
 a  ib    c  id    a  c   i  b  d 
 a  ib    c  id    a  c   i  b  d 
 a  ib   c  id    ac  bd   i  bc  ad 
 a  ib   c  id    a c  b d   i  b c  a d 
 a  ib   c  id  
 a c  ia d  ib c  i b d
2
 a c  ia d  ib c  b d
 ac  bd   ad  bc  i
Si c  0 ó
d  0,
entonces se define
a  ib
c  id
=
ac  bd
c d
2
2
i
bc  ad
c d
2
2
Las leyes de la sum a y de la m ultiplicac ión
son asociativas,
conm utativas y
distributivas,
así que los num eros com plejos son un cam po
z1  z 2  z 2  z1
z1 z 2  z 2 z1
z1   z 2  z 3    z1  z 2   z 3
z1  z 2 z 3    z1 z 2  z 3
z1  z 2  z 3   z1 z 2  z1 z 3
E l cero es 0  0 i y se le denota 0.
E l cero es la identidad aditivia,
el elem ento neutro aditivo:
z  0  ( a  ib )   0  0 i   a  ib  z
La unidad es 1  0 i y se le denota 1.
E l uno es la identidad m ultiplicativa,
el elem ento neutro m ultiplicativo:
1 z  z
D ad o u n n ú m ero co m p lejo z ,
su co m p lejo co n ju g ad o , o
sim p lem en te su co n ju g ad o ,
se o b tien e cam b ian d o el sig n o
d e la p arte im ag in aria.
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o
sim plem ente su conjugado, se obtiene cam biando el signo
de la parte im aginaria.
A l com plejo conjugado de z
se le denota z ó z * .
S i z  a  ib entonces
z  a  ib
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o sim plem ente
su conjugado, se obtiene cam biando el signo de la parte im aginaria.
z1  z 2  z1  z 2
z1  z 2  z1  z 2
z1 z 2  z1 z 2
 z1 
z1


z
 2  z2
z  z
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o sim plem ente
su conjugado, se obtiene cam biando el signo de la parte im aginaria.
z  z   a  ib    a  ib   2 a

Re  z  
z z
2
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o sim plem ente
su conjugado, se obtiene cam biando el signo de la parte im aginaria.
z  z   a  ib    a  ib   2 ib

Im  z  
zz
2i
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o sim plem ente
su conjugado, se obtiene cam biando el signo de la parte im aginaria.
zz   a  ib   a  ib   a  b
2
E s un núm ero real, y verem os
que es el cuadrado de la norm a
del núm ero com plejo.
2
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o sim plem ente
su conjugado, se obtiene cam biando el signo de la parte im aginaria.
z1
z2

z1 z 2
z2 z2

z1 z 2
z2 z2
z  a  ib
E l inverso aditivo
 z   a  ib
existe siem pre y es único.
S e tiene
z  z  0
z  a  ib
S i z  0, el inverso aditivo
z
1

1
z
existe siem pre y es único.
S e tiene
zz
1
1
S e le llam a tam bién recíproco.
1.- N o existe orden en los com plejos.
2. C osas que aprecen im posibles en
los reales, son posibles en los com plejo s,
com o
e  4
x
ó
sin x  6
x  iy

 x, y 
x  iy

 x, y 
4  i

  4,  1 
6

  6, 0 
8i

 0, 8 
x  iy

 x, y 
z

puntos
z

vectores
Y
z  x  iy
 x, y 
x
y
X
D ado el núm ero com plejo
z  x  iy
se define su m ódulo ó valor
absoluto com o el núm ero real
z 
x  y
2
2
Y
 x, y 
z  x  iy
z
X
1) z
2
 zz
2) z 
zz
3) z1 z 2  z1 z 2
4)
z1
z2

z1
z2
z
2
 z
2

z1  z 2 
 x 2  x1 
2
  y 2  y1 
2
1 .- z1  z 2
2 .- z1  z 2  z 1  z 2
3 .- z1  z 2  z1  z 2
E l valor absoluto es
Y
 x, y 
r  z
r

X
E l argum ento es
Y
 x, y 
  arg  z 
r

X
E l argum ento principal es
Y
  A rg  z  con   (   ,  ]
 x, y 
r

X
x  r cos 
Y
y  r sin 
z  x  iy
x
r

y
X
z  x  iy
Y
 x, y 
z  r  co s   i sin 
r

X

r 
Y
z  a  ib
a
r

b
X
x  y
2
2

 y
 arctan  
x



 y
 arctan    
 x


 y
 arctan    
 
 x




2




2

 in d efin id o

si x  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
S ean
z1  r1  co s  1  i sin  1 
y
z 2  r2  co s  2  i sin  2 
en to n ces
 co s  1 co s  2  sin  1 sin  2

z1 z 2  r1 r2 

  i  sin  1 co s  2  co s  1 sin  2  
z1 z 2  r1 r2  co s   1   2   i sin   1   2  
S ean
z1  r1  co s  1  i sin  1 
y
z 2  r2  co s  2  i sin  2 
co n z 2  0 , en to n ces

r1  co s  1 co s  2  sin  1 sin  2



z2
r2   i  sin  1 co s  2  co s  1 sin  2  
z1
z1
z2

r1
r2
 co s   1   2   i sin   1   2  
S ean
z1  r1  cos  1  i sin  1 
y
z 2  r2  cos  2  i sin  2 
entonces
arg  z1 z 2   arg  z1   arg  z 2 
y
 z1 
arg 
  arg  z1   arg  z 2 
 z2 
z  r  cos   i sin 
S ea
entonces
z r
2
 cos 2
 i sin 2

z r
3
 cos 3
 i sin 3

z r
n
 cos n
 i sin n

2
3
n

z  r  cos   i sin 
S ea

entonces
1
z
2
r
z r
n
2
n
 cos   2   i sin   2  
 cos n
 i sin n

z  r  cos   i sin 
S ea
entonces
z r
n
n
 cos n
con n  Z
 i sin n


z  r  cos   i sin 
S ea

entonces
z r
n
n
 cos n
 i sin n

con n  Z
P ara n  0, tenem os
z 1
0
z  r  cos   i sin 
S ea

entonces
z r
n
n
 cos n
 i sin n

con n  Z
S i z  1, entonces
 cos 
 i sin 

n
 cos n  i sin n
E l núm ero com plejo w
es la raíz n -esim a de un
núm ero com plejo diferente
de cero z si w  z , donde
n
n es un entero positivo.
S upongam os que z  r  cos   i sin 

y w    cos   i sin   .
La ecuación w  z queda com o
n

n
 cos n
 i sin n   r  cos   i sin 

así que
  r y cos n  i sin n  cos   i sin 
n

n
 r
y
cos n  i sin n  cos   i sin 
P o r lo tan to ,
=n r
y
co s n  co s 
y
sin n  sin 
d e ah í q u e
 
  2 k
n
k  0,1, 2, ..., n  1
P o r lo tan to ,  = n r
y
co s n  co s 
d e ah í q u e  
sin n  sin 
y
  2 k
k  0,1, 2, ..., n  1
n
wk 
n

   2 k 
   2 k
r  cos 
  i sin 
n
n




k  0,1, 2, ..., n  1



w  z
n
wk 
n

   2 k 
   2 k
r  cos 
  i sin 
n
n




k  0,1, 2, ..., n  1



La unidad im aginaria i
está definida por la
propiedad
i   1.
2
La unidad im aginaria i está definida
por la propiedad i   1
2
E s decir,
i
1
U n núm ero com plejo es uno de la form a
a  ib
donde a y b son núm eros reales e
i
es la unidad im aginaria con la propiedad
i  1
2
U n núm ero com plejo es uno de la form a a  ib
1 ) E l n ú m ero real a es llam ad o la
p arte real
2 ) E l n ú m ero real b es llam ad o la
p arte im ag in aria
D ad o u n n ú m ero co m p lejo z ,
su co m p lejo co n ju g ad o , o
sim p lem en te su co n ju g ad o ,
se o b tien e cam b ian d o el sig n o
d e la p arte im ag in aria.
D ado un núm ero com plejo z , su com plejo co njugado, o
sim plem ente su conjugado, se obtiene cam biando el signo
de la parte im aginaria.
A l com plejo conjugado de z
se le denota z ó z * .
S i z  a  ib entonces
z  a  ib
Y
z  x  iy
 x, y 
x
y
X
E l valor absoluto es
Y
 x, y 
r  z
r

X
E l argum ento es
Y
 x, y 
  arg  z 
r

X
E l argum ento principal es
Y
  A rg  z  con   (   ,  ]
 x, y 
r

X
x  r cos 
Y
y  r sin 
z  x  iy
x
r

y
X
z  x  iy
Y
 x, y 
z  r  co s   i sin 
r

X

z  r  cos   i sin 
S ea
entonces
z r
n
n
 cos n
con n  Z
 i sin n


z  r  cos   i sin 
S ea

entonces
z r
n
n
 cos n
 i sin n

con n  Z
S i z  1, entonces
 cos 
 i sin 

n
 cos n  i sin n
E l núm ero com plejo w
es la raíz n -esim a de un
núm ero com plejo diferente
de cero z si w  z , donde
n
n es un entero positivo.
w  z
n
wk 
n

   2 k 
   2 k
r  cos 
  i sin 
n
n




k  0,1, 2, ..., n  1



w  z
n
wk 
n

   2 k 
   2 k
r  co s 
  i sin 
n
n







k  0,1, 2, ..., n  1
S i k  0, o b ten em o s la raíz p rin cip al
w0 
n

 

r  co s    i sin 
n
n




E scribe en form a polar
el núm ero com plejo
i
E scribe en form a polar el núm ero com plejo i
i  0  1i

 0,1 
E scribe en form a polar el núm ero com plejo i
i  0  1i

 
 
i  cos    i sin  
 2
 2
 0,1 
E scribe en form a polar el núm ero com plejo i
i  0  1i

 
 
i  cos    i sin  
 2
 2
 5 
 5 
i  co s 
  i sin 

 2 
 2 
 9 
 9 
i  co s 
  i sin 

 2 
 2 
 1 3 
 1 3 
i  co s 
  i sin 

 2 
 2 
 0,1 
w i
3
wk 
n

   2 k 
   2 k
r  cos 
  i sin 
n
n




i  cos

 i sin
2



k  0,1, 2, ..., n  1

2

wk 
3

  / 2  2k 
  / 2  2 k
1  cos 
  i sin 
3
3




k  0,1, 2



w i
3
wk 
3

  / 2  2k 
  / 2  2k  
1  cos 

i
sin



3
3





 
 
w 0  cos    i sin  
 6 
 6 
 5 
 5 
w1  cos 
  i sin 

 6 
 6 
 3 
 3 
w 2  cos 
  i sin 

 2 
 2 
k  0,1, 2
w i
3
wk 
3

  / 2  2k 
  / 2  2k  
1  cos 

i
sin



3
3





k  0,1, 2
3
1
 
 
w 0  cos    i sin   
i
2
2
 6 
 6 
3
1
 5 
 5 
w1  cos 
i
  i sin 

2
2
 6 
 6 
 3 
 3 
w 2  cos 
  i sin 
  i
 2 
 2 
w i
3
wk 
3

  / 2  2k 
  / 2  2k  
1  cos 

i
sin



3
3





3
1
 
 
w 0  co s    i sin   
i
2
2
 6 
 6 
3
1
 5 
 5 
w1  co s 
i
  i sin 
 
2
2
 6 
 6 
 3 
 3 
w 2  co s 

i
sin


  i
 2 
 2 
k  0,1, 2
E scribe en form a polar
el núm ero com plejo
 3i
E scribe en form a polar el núm ero com plejo 
r   3i 
 3 
2
1 
2
31  2
1
 1  
  arctan 

 3 6

arg  z  
5
 2 k
k  0,1, 2, ...
3
6

 5

 5

z  2  cos 
 2  k   i cos 
 2 k  
 6

 6


3i
S aca las raices quintas
del núm ero com plejo
 3i
Saca las raices quintas del núm ero com plejo 

 5
z  2  cos 
 2 k
 6


 5
 2 k
  i cos 

 6
3i




 5 
 5  
z  2  cos 
  i cos 

 6 
 6 

wk 
wk 
5
n

   2 k 
   2 k
r  cos 
  i sin 
n
n







k  0,1, 2, ..., n  1

2 k 
2 k  


2  cos  
  i sin  

6
5
6
5





k  0,1, 2, 3, 4
Saca las raices quintas del núm ero com plejo 
wk 
5

2 k 
2 k  


2  cos  
  i sin  

6
5
6
5





w1 
5
w2 
5
w3 
5
w4 
5
w5 
5

 

2  co s    i sin 
 6 
 6





 1 7 
 1 7  
2  co s 
  i sin 

3
0
3
0






 2 9 
 2 9  
2  co s 
  i sin 

3
0
3
0






 4 1 
 4 1  
2  co s 
  i sin 

3
0
3
0






 5 3 
 5 3  
2  co s 
  i sin 

3
0
3
0





3i
k  0,1, 2, 3, 4
Saca las raices quintas del núm ero com plejo 
wk 

2 k 
2 k  


2  cos  
  i sin  

6
5
6
5





5
w1 
5
w2 
5
w3 
5
w4 
5
w5 
5

 

2  co s    i sin 
 6 
 6


 = 

5

 1 7 
 1 7  
2  co s 

i
sin



3
0
3
0






 2 9 
 2 9  
2  co s 
  i sin 

 30 
 30  


 4 1 
 4 1  
2  co s 

i
sin



3
0
3
0






 5 3 
 5 3  
2  co s 
  i sin 

3
0
3
0





3i
k  0,1, 2, 3, 4
 3
1
2
i 
 2

2


Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto
L a se rie d e T a ylo r d e u n a fu n ció n re a l f  x 
in fin ita m e n te d ife re n cia b le , d e fin id a e n u n
 a  r , a  r , e s
in te rv a lo a b ie rto
d e p o te n cia s


n0
f
n
a
n!
x  a
n
la se rie
f  x  f a 
df
dx
3

1 d f
3! dx
x  a
xa
x  a
3
3
f x
1 d f
 n ! dx
n 1
x  a
n
xa
2 ! dx
 ... 
x  a
2
n
2

xa
1 d f
n ! dx
xa
n
1 d f
n
ó

2
x  a
n
xa
n
 ...
exp : R  R
y  exp  x   e
x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
y  ex p  x   e
ex p : R  R
x
H acer el d esarro llo d e T aylo r alred ed o r d el 0 .
d


dx
d
e
2
dx
d
3
x
x0
e
x
 
e
x
e
x
x0
n
dx
x0
 
e
x
1
x0
1
x0
3
dx
d
2
e
x
n
 
e
1
x
x0
x0
1
y  exp  x   e
exp : R  R
x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
e  1 x 
x
1
2

=
n0
x
n
n!
x 
2
1
6
x  ... 
3
1
n!
x  ...
n
1 x 
x
2
x

2

x

x

x

13

12
15
1307674368000
17
355687428096000
x

19
121645100408832000
20
x

21
51090942171709440000
22
x

1124000727777607680000

40320
x

87178291200
x

8
479001600
18
x
x
x
14
x
7
5040
39916800
2432902008176640000




x
x
11
16
x
6
720
x
x
6402373705728000



20922789888000

x
120
3628800
x
5
10
6227020800

4
24
9
x
x
6
362880

3
2 5 8 5 2 0 1 6 7 3 8 8 8 4 9 7 6 64 0 0 0 0
24
620448401733239439360000
23

x
25
1 5 5 1 1 2 1 0 0 4 3 3 3 0 9 85 9 8 4 0 0 0 0 0 0
 O(x
26
)
y  exp  x   e
exp : R  R
ix
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.

e
ix


n0

n!
n
2n
2 n 1
 ix 
 ix 
  2 n  !    2 n  1 !
n0
n0
2n

  1  x 
  2n !
n0


 ix 
n

2 n 1
  1  x 
 i
 2 n  1 !
n0

n
sin : R  R
y  sin x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
sin : R  R
y  sin x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
sin 0  0
co s 0  1
 sin 0  0
 co s 0   1
y se rep ite
sin : R  R
y  sin x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
0,1, 0,  1, 0,1, 0,  1, 0,1, 0,  1, 0,1, 0,  1, ...
sin x  x 
x
3
3!

x
5
5!

  1 x
 ...  
7!
n  0  2 n  1 !
x
7

n
2 n 1
cos : R  R
y  cos x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
cos : R  R
y  cos x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
co s 0  1
 sin 0  0
 co s 0   1
sin 0  0
y se rep ite
cos : R  R
y  cos x
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
1, 0,  1, 0,1, 0,  1, 0,1, 0,  1, 0,1, 0,  1, 0,1, 0,  1, 0, ...
cos x  1 
x
2
2!

x
4
4!

  1 x
 ...  
6!
 2n !
n0
x
6

n
2n
y  exp  x   e
exp : R  R
ix
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.

e
ix


n0

n!
n
2n
2 n 1
 ix 
 ix 
  2 n  !    2 n  1 !
n0
n0
2n

  1  x 
  2n !
n0


 ix 
n

2 n 1
  1  x 
 i
 2 n  1 !
n0

n
y  exp  x   e
exp : R  R
ix
H acer el desarrollo de T aylor alrededor del 0.
  1  x 

 2n !
n0

e
e
ix
ix
n
2n
2 n 1
  1  x 
 i
 2 n  1 !
n0

n
 cos x  i sin x
e
ix
 cos x  i sin x
E u ler ' s form u la , nam ed after Leonhard E uler,
is a m athem atical form ula in com plex ana lysis
that establishes the deep relationship b etw een
the trigonom etric functions and the com p lex
exponential function.
e
ix
 cos x  i sin x
T he physicist R ichard Feynm an called
E uler ' s form ula " our jew el " and
" one of the m ost rem arkable, alm ost
astounding (asom brosa), form ulas
in all of m athem atics."
2
m
d r
dt
2
 F
2
m
d x
dt
x t  0  0
;
2
  kx
v t  0  
dx
dt
 v0
t0
2
d x
m
dt
x t  0  0
2
d x
dt
2

v t  0  
;
k
dt
 v0
t0
m
x t   e
t
k
 e
dx
x0
t
2
  kx
2

e
t
0
m
 
2
k
0
m
  
k
m
 i
k
m
  i
2
m
d x
dt
x t  0  0
x t   e
x1  t   e
t
;

  kx
2
v t  0  
  i
dt
k
 v0
t0
  i
m
x2  t   e
i t
x t   Ae
dx
i t
 Be
 i t
 i t
2
m
d x
dt
x t  0  0
x t   e
t
2
  kx
v t  0  
;

dx
dt
k
  i
 v0
t0
  i
m
x t   Ae
i t
 Be
 i t
x 0  0  A  B  B   A
x t   Ae
e
i t
e
 i t
i t
 Ae
 i t
 A e
i t
e
 i t

 co s  t  i sin  t   co s  t  i sin  t   2 i sin  t
x  t   2 iA sin  t
2
m
d x
dt
x t  0  0
x t   e
t
;
2
  kx
v t  0  

dx
dt
k
  i
 v0
t0
  i
m
x t   Ae
i t
 Be
 i t
x  t   2 iA sin  t
dx
 2 iA co s  t
dt
dx
dt
 2 iA  v 0  A   i
t0
x t  
v0

sin  t
v0
2
2
m
d x
2
dt
x t  0  0
;
  kx
v t  0  
x t  
v0

sin  t
dx
dt
 v0
t0
2
m
d x
dt
2
  kx

x t  
v0

sin  t
Y
3
2
1
6
4
2
2
1
2
3
4
6
X
E 

0
E  
B
t
B  0
  B   0 J   0 0
E
t
E  0
E  
B
t
B  0
  B   0 0
E
t
E  

B
t

    E   


B
t
 E  E  
2

 B
t

E 
   0 0

t 

2
0 E  
t
 E
2
 E   0 0
2
t
2
0

  B   0 0

E
t

    B   0 0 


E
   B   B   0 0
2
t

 E
 1 B 


 c t 
2
0   B   0 0
t
 B
2
 B   0 0
2
t
2
0
t

E  0
B  0
E  
B
t
  B   0 0
 E
2
 E   0 0
2
t
2
 B
0
2
 B   0 0
2
t
2
0
E
t
 f
2
 f   0 0
2
 f  x, y, z, t 
2
x
2
 f  x, y, z, t 
2

y
2
t
2
 f  x, y, z, t 
0
2

z
2
 f  x, y, z, t 
2
  0 0
t
2
0
E ( r , t )  eˆ1 E 0 e
B ( r , t )  eˆ 2 B 0 e




i k r   t
i k r   t
E ( r , t )  eˆ1 E 0 e

i k r   t

B ( r , t )  eˆ 2 B 0 e
kˆ  eˆ1  0
kˆ  eˆ 2  0
kˆ  eˆ1  eˆ 2
kˆ  eˆ 2 =  eˆ1

i k r   t
L o s vecto res ( eˆ1 , eˆ 2 , kˆ ) co n stitu yen u n a b ase
o rto n o rm al

kˆ
Z
eˆ1
eˆ 2
Y
X
Desplazamiento
Distancia
  Longitud de la onda
y  Am plitud de la onda
y  A m plitud de la onda
  Longitud de la onda
k  E l núm ero de onda 
2

  La frecuencuencia angula  2 
  La frecuencia 
1
T
T  P eriodo
•La longitud de la onda (ó la frecuencia)
determina el color de la luz
•La amplitud de la onda es la intensidad de
la luz
•La dirección de oscilación de los campos
determina la polarización
•Es una onda transversal
E scrib e el n ú m ero co m p lejo
 2  3i 
5
en la fo rm a a  ib .
E scribe el núm ero com plejo
r  s
 2  3i 
5
n
 2  3i 
5
en la form a a  ib .
 n  nk k
  r
s
k 0  k 
n
k
5
 5  5 k
5  3 k
k
5
  2
 3i   2      i
k 0  k 
k 0  k   2 
5
2
3
4
5


5
5
5
5
5
5












3
3
3
3
3










5
2
3
4
5
 2       i     i     i     i     i 
2 2 
3 2 
4 2 
5 2 
  0   1   2 


3
9
 27 
 81   243  
 2  1  5   i  10    10 
i  5

 i
2
4
 8 
 16   32  

5
15
45 135
405 243 
5 
 2 1 
i

i

i
2
2
4
16
32 

 61 597 
2 

i   122  597 i
32 
 16
5
E scribe el núm ero com plejo
 2  3i 
5
en la form a a  ib .
 2  3i 
5
 122  597 i
E scribe el núm ero com plejo
 2  3i 
5
en la form a a  ib , pero ahora
usando la form a polar para
hacer la potencia.
E scribe el núm ero com plejo  2  3 i  en la form a a  ib ,
5
pero ahora usando la form a polar para ha cer la potencia.


 3 
13  cos  arctan     i sin
 2 


2  3i 
 2  3i 
5


13

 122.0  597.0 i
5

 3 
 arctan    
 2 



 3 
 cos  5 arctan     i sin
 2 



 3  
 5 arctan    
 2  

E scrib e el n ú m ero co m p lejo
1  i 
32
en la fo rm a a  ib .
E scribe el núm ero com plejo 1  i 
32
en la form a a  ib .
T en em o s q u e
1  i 
2
 1  2i  i  1  2i  1  2i
2
asi q u e
1  i 
32
  (1  i ) 
2
 2
16
i 
2
 6 5, 5 3 6
8
16
  2i 
 2
16
16
  1
8
 2
16
¿C uál de estos dos núm eros com plejos
está m ás cerca del origen?
10  8 i
11  6 i
¿C uál de estos dos núm eros com plejos está
m ás cerca del origen?: 10  8 i y 11  6 i
10  8 i 
10  8 
11  6 i 
11    6  
2
2
164  2 41  12.80
2
2
121  36 
1 1  6i
157  12.53
¿C uál de estos dos núm eros com plejos
está m ás cerca del origen?
10  8 i
11  6 i
8
6
4
2
2
2
4
6
4
6
8
10
D escribe el conjunto de puntos
del plano com plejo que satisfacen
la ecuación
Im  z
2
2
D escribe el conjunto de puntos del plano com plejo
que satisfacen la ecuación Im  z
2
2
z  x  iy
z  x  y  2 ixy
2
2
Im  z
2
2
  Im  x
2
 y  2 ixy   2 xy  2
2
xy  1
C    x , y  xy  1
¿Q ué es?
D escribe el conjunto de puntos del plano com plejo
que satisfacen la ecuación Im  z
C    x , y  xy  1
2
2
4
2
0
2
4
4
2
0
2
4
E ncontrar las soluciones de la
ecuación
z z  2i
E ncontrar las soluciones de la ecuación z  z  2  i
E scrib ien d o z  x  iy y su stitu yen d o
en la ecu ació n , o b ten em o s
x  y  x  iy  2  i
2
2
ó b ien
x  y x2
2
y  1
2
R eso lvien d o
x 1  x  2
2

1  4  4x

x 1  2  x

2

4x  3  0

x 1  4  4x  x
2
x
3
4
z 
3
4
i
2
S u p o n g am o s q u e z  co s   i sin  .
S i n es u n n ú m ero en tero , evalu ar
z z
n
n
y z z
n
z  cos n  i sin n
n
z z
n
 2 cos n
z z
n
 2 i sin n
n
n
n
z
n
 cos n  i sin n
E scribe una ecuación que relacione
el argum ento de z con aquel de
1
.
z
z  x  iy
1
z

1 z
z z


 y
arg  z   arctan  
 x 
x  iy
x  y
2
2
1
 y
 y
arg    arctan      arctan  
 z
 x 
 x 
1
arg     arg  z   2  k
 z
D em u estra q u e las n raices n -esim as
d e la u n id ad so n
1 
1/ n

n
1  co s
2 k
k  0,1, 2, ..., n  1
n
 i sin
2 k
n
D em u estra q u e las n raices n -esim as d e la u n id ad so n
1 
1/ n

n
1  co s
2 k
 i sin
2 k
n
n
wk 
n
k  0,1, 2, ..., n  1

   2 k 
   2 k  
r  co s 

i
sin



n
n





k  0,1, 2, ..., n  1
1  cos 0  i sin 0

1 
1/ n

n
1  cos
2 k
n
 i sin
2 k
n
k  0,1, 2, ..., n  1
1 
1/ n
1 

n
1  cos
2 k
 i sin
n
1/ 2

2 k
k  0,1, 2, ..., n  1
n
1  cos  k  i sin  k
S on
cos 0  i sin 0  1
y
cos   i sin    1
k  0,1
1 
1/ n

n
1  cos
2 k
 i sin
n
1 
1/ 3

3
1  cos
2 k
k  0,1, 2, ..., n  1
n
2 k
 i sin
2 k
3
3
S on
cos 0  i sin 0  1
cos
cos
2
 i sin
2

1
3
3
2
4
4
1
3
 i sin
3

2
i
3
2
i
3
2
k  0,1, 2
1 
1/ n

1  cos
n
2 k
 i sin
n
1 
1/ 4

4
1  cos
k
 i sin
S on
cos 0  i sin 0  1
cos
2
 i sin

i
2
cos   i sin    1
cos
3
2
 i sin
3
2
k  0,1, 2, ..., n  1
n
2

2 k
 i
k
2
k  0,1, 2, 3
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