Curso: Instrumentos de Renta Fija
Medidas de Sensibilidad
Profesor: Miguel Angel Martín Mato
DURACIÓN DE MACAULAY
(Frederik Macaulay 1938)

Es el periodo de tiempo en el que la reinversión de
los flujos futuros de fondos de un instrumento de
renta fija compensa exactamente la variación en el
precio del mismo derivada de una oscilación en los
tipos de interés.
 Toma los supuestos de la TIR


Que las tasas de rendimiento se mantiene
Se realizan reinversiones de los flujos a dicha tasa
 Asume
que los movimientos en la curva de
rendimiento son paralelos
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
Duración de Macaulay


La ecuación de Duración calcula el valor actual de cada uno de los
flujos de efectivo y pondera cada uno por el tiempo hasta que se
reciba.
Todos estos flujos de efectivo ponderados se suman y la suma se
divide entre el precio actual del bono.
n

Duración
de Macaulay

t 1
Flujos  t
(1  r )
Precio
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
t
Duración de Macaulay
Ejemplo:
Bono con cupón del 9% que tiene 4 años de vida, y que paga los intereses
anuales, y que está cotizando al 96,83% y con una TIR de 10%.
9 1
D 
1,1

92
(1,1)
2

93
(1,1)
3

109  4
(1,1)
4
 3 , 52 años
96 ,83
La sensibilidad de este activo a variaciones del tipo de interés es de 3,52 años.
Tienen que pasar 3,52 años para que la reinversión de los cupones compense la
variación en el precio ocasionada por un movimiento en los tipos de interés.
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Similitud con un Bono Cupón Cero

La Duración de Macaulay nos da la equivalencia que
tiene un instrumento de renta fija con un homólogo que
sea cupón cero (es decir, aquel que nos dé todos los
cupones juntos a una determinada fecha).


Un bono a 4 años que cada año paga 9€ y cuesta 96.83€ con un
rendimiento a vencimiento de 10%.
Un bono a 3,53 años que a su vencimiento paga 36€ de cupones y
cuesta también 96,83€, cuyo rendimiento también será de 10%.
9 1
D cupón
9%


1,10
92
(1,10 )
2
93

(1,10 )
3

109  4
(1,10 )
4
 3 , 52 años
96 . 83
136  3 , 52
D
cupón cero
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
(1,10 )
3 , 52
96 . 83
 3 , 52 años
Duración como punto de equilibrio
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América Leasing
TC: 7%(TEA)
Yield: 10%(TEA)
250
200
150
Cupón
100
Nominal
50
0
1
t
N o m in a l
cu p ó n
F lu jo s
VP
2
V P xt
0 .5
200
3 4 .4 1
2 3 4 .4 1
2 2 3 .5 0
1 1 1 .7 5
1
200
2 7 .5 3
2 2 7 .5 3
2 0 6 .8 4
2 0 6 .8 4
1 .5
200
2 0 .6 4
2 2 0 .6 4
1 9 1 .2 5
2 8 6 .8 8
2
200
1 3 .7 6
2 1 3 .7 6
1 7 6 .6 6
3 5 3 .3 3
2 .5
100
6 .8 8
1 0 6 .8 8
8 4 .2 2
2 1 0 .5 5
3
100
3 .4 4
1 0 3 .4 4
7 7 .7 2
2 3 3 .1 5
9 6 0 .1 9
1 4 0 2 .5 0
P re cio
D u r.A ñ o s
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1 .4 6
3
4
5
6
1ª PROPIEDAD

La Duración de Macaulay de un bono es mayor
cuando la tasa de cupón es más baja.
DMac
30
27.5
Bono con un
vencimiento
de 30 años y
con un
rendimiento
de 5%
25
22.5
20
17.5
15
12.5
Cupón
0.05
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0.1
0.15
0.2
2ª PROPIEDAD

La Duración de Macaulay de un bono incrementa
con el tiempo a vencimiento
DMac
Bono con una tasa
de cupón de 5%, un
valor nominal de
1000€ y un
rendimiento 5%
20
15
10
5
A ños
20
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40
60
80
Duración vs. TC vs. Tiempo
40
30
DMac
20
10
0
0.1
0.08
40
30
0.06
20
0.04
T.C.
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10
0.02
0
Tiempo
3ª PROPIEDAD

La Duración de Macaulay es más alta cuando la tasa
de rendimiento es más baja
DMac
un bono que
tiene 30 años,
una tasa de
cupón de 5% y
un nominal de
1000€
20
18
16
14
12
10
8
Rend
0.05
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0.1
0.15
0.2
Duración vs. Rendimiento vs.
Tiempo
20
15
DMac
10
5
0
0.02
30
0.04
20
0.06
Rend
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
10
0.08
0.1
Tiempo
Relación de la Tasa de Cupón vs.
Rendimiento

Según la primera propiedad a mayor tasa de cupón menor es la
duración, y según la tercera propiedad a menor tasa de
rendimiento mayor es la duración. Ahora va a analizarse como
confluyen los dos efectos, el de la tasa de cupón y el del
rendimiento sobre la Duración de Macaulay.
30
25
DMac
20
15
10
0
0.02
0.05
0.04
0.1
T.C.
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0.06
0.15
0.2
0.08
Rend
0
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Duración:
Elasticidad-Precio

La duración Modificada mide la variación que tiene el
precio del bono ante movimientos de la yield.
Dur. Modificada

-
F t
Dur. Macaulay
(1  r )
-
1
(1  r )

 (1  r )
t
P
La Duración se puede expresar como la negación de la
elasticidad–precio del bono con relación a un cambio en
el factor de descuento.
DP
P
DD(1  r )
(1  r )
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DP  - D
D (1  r )
(1  r )
P
La Duración es la Tangente al
precio del bono
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La Duración de una cartera de
bonos

La Duración de una cartera de bonos vendrá dada por la
suma de las duraciones ponderadas de los activos que la
componen.
D C  D 1 w1  D 2 w 2  D 3 w 3    D n w n
n
DC 
D
i
wi
i 1
D C  w 1
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
 D1 


wn  


 D n 
Convexidad
T a sa d e C u p ó n
V e n c im ie n to
Bo n o A
10%
3 0 añ os
Bo n o B
3%
1 4 añ os
R e n d im ie n to
10%
D u ra c ió n
1 0 .3 añ os
D%P
Bono A línea
gruesa
0.6
0.4
Bono B línea
delgada
0.2
DR
- 0.04
- 0.02
0.02
- 0.2
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0.04
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Principios de la convexidad

Existen dos principios básicos de la convexidad:
 Aspecto 1: Al igual que la unidad de medida de la
duración es en años, la unidad de medida de la
convexidad es en años al cuadrado.

Es lógico porque se aprecia en la fórmula de cálculo que
cada flujo es ponderado por t*(t+1), lo que hace que la
dimensión de la Convexidad sea en años al cuadrado.
 Aspecto
2: La Convexidad es siempre positiva. Esta
propiedad es debida a que la tasa de variación del
precio respecto al rendimiento se da una tasa
creciente.
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
bono a 14 años con una tasa de cupón de 3% y un
rendimiento de 10%, siendo su nominal 1000€
(1)
Tiempo
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)
(3)
tx(t+1)
2
6
12
20
30
42
56
72
90
110
132
156
182
210
Flujo
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
30
1030
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(4)
F. Descuento
1/(1+r)^t
0.909
0.826
0.751
0.683
0.621
0.564
0.513
0.467
0.424
0.386
0.350
0.319
0.290
0.263
(3)x(4)
27.273
24.793
22.539
20.490
18.628
16.934
15.395
13.995
12.723
11.566
10.515
9.559
8.690
271.231
(2)x(3)x(4)
54.55
148.76
270.47
409.81
558.83
711.24
862.11
1007.66
1145.06
1272.29
1387.96
1491.19
1581.57
56958.55
Total
484.332
67860.04
1ª PROPIEDAD

Cuanto mayor sea el tiempo que tiene un bono hasta
su vencimiento mayor es la Convexidad.

La Convexidad es una medida cuadrática del tiempo ya es
una media ponderada de t*(t+1), lo que implica que a mayor
sea el t mayor será la Convexidad
Cvx
bono con tasa de
cupón y tasa de
rendimiento de 5%
y un valor nominal
de 1000
350
300
250
200
150
100
50
Tiempo
5
10
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
15
20
25
30
2ª PROPIEDAD
La tasa de cupón tiene una fuerte incidencia en la
Convexidad, pero en este caso la relación es
inversa. A mayor tasa de cupón menor es la
Convexidad

Cvx.
bono con un
rendimiento de 5%,
un vencimiento de 30
años y un valor
nominal de 1000
800
700
600
500
400
300
Cupón
0.05
0.1
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
0.15
0.2
Tasa de cupón con duración fija

Entre bonos que tienen la misma duración de
Macaulay a menor tasa de cupón la Convexidad es
menor.
Cupón
Vencimiento
Duración
Convexidad
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
Bono A
0
16.14 años
16.14 años
250.92 años2
Bono B
5
30 años
16.14 años
350.46 años2
Bono A cupón cero
a 16.14 años con
un rendimiento de
5%
Bono B a 30 años
con tasa de cupón
de 5% y un
rendimiento
también del 5%
3ª PROPIEDAD

A mayor tasa de rendimiento, la Convexidad decrece
Cvx
bono de 30 años
con una tasa de
cupón de 5% y un
valor nominal de
1000
500
400
300
200
100
Rend
0.05
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
0.1
0.15
0.2
Aplicación del T. De Taylor
D % P ( Efecto Duración)

Efecto Convexidad
1
 DMod  D r
 Convexidad
 (Dr )
2
2
Convexidad


1
(1  r )
2
Efecto Total  DMod  D r 
(1  r )
t
P
1
2
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F  t  ( t  1)
 Convexidad
 (Dr )
2
D%P
Efecto
Duración
0.75
0.5
Efecto
Convexidad
0.25
Dr
- 0.04
- 0.02
0.02
0.04
- 0.25
- 0.5
- 0.75
bono a 30 años con
una tasa de cupón de
5% y con un valor
nominal de 1000
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Aproximación por la Exp. De Taylor
D%P
Variación
Real
1.5
1
0.5
Efecto Total
Exp. Taylor
Dr
- 0.04
- 0.02
0.02
- 0.5
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0.04
Convexidad Vs Tasa de Cupón y Tiempo a
Vencimiento
800
600
Cvx 400
200
0
30
0
0.025
20
0.05
Cupón
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
10
0.075
0.1
Tiempo
0
Limitaciones
Duración

Modified Duration
Effective Duration
Asume que cambios en el
rendimiento no varían los
cash flow esperados
Reconoce que cambios en
el rendimiento pueden
cambiar los cash flow
esperados
Effective Duration
 Utiliza variaciones promedio de los precios
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Inmunización de carteras


Una de las formas más simples de inmunización es
adecuar la Duración de Macaulay de una cartera al
horizonte planeado de inversión.
Un inversor tiene una riqueza de 1000€ y desea
invertir en bonos durante 7 años
Bono A
Bono B
Bono C
T asa de C upón
9%
9%
9%
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V e n c im ie n to
7 años
10 años
15 años
R e n d im ie n to
9%
9%
9%
D u ra c ió n
4 .2 a ñ o s
7 años
10 años
Inmunización

Capital que se espera obtener
Riqueza

Cupones
y
reinversio
nes
Final 

Precio de

Venta
7
 90  (1.09)
t0
t
1000  (1 . 09 )  1828 . 04
7
 8
90
1000 
 


t
8 
(1 . 09 ) 
 t 1 (1 . 09 )
828 . 04  1000  1828 . 04
Resultados si el rendimiento sube a 11%
S i R =11%
Bono A
Bono B
Bono C
P recio d e
C u p o n es y
R iq u eza
V en ta
1000.00
951.13
897.08
rein versio n es
880.49
880.49
880.49
F in al
1880.49
1831.62
1777.57
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
V ariació n
52.45
3.58
-50.47
Inmunización
Riqueza
Final
2,050
1,950
Bono A
Bono B
Bono C
1,850
1,750
1,650
3%
5%
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
7%
9%
11%
13%
Rendimiento
15%
Medidas de dispersión

Tratar de minimizar el riesgo de inmunización al que
se ve expuesta esa cartera.
 Asume que los cambios en la curva de rendimientos
no son paralelos (Twist Risk)
 M => Periodo pla
n

M
k

t 1
Ft
(1  r )
n

t 1
Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín
t
 m - t k
Ft
(1  r )
t
Cálculo de la dispersión
t
Ft
1
70
2
70
3
70
4
70
5
70
6
70
7
70
8
1070
Suma
M
2

VP(Ft)
66.67
63.49
60.47
57.59
54.85
52.24
49.75
724.22
1129.26
6458 . 58
1129 . 26
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(m-t)^2
25
16
9
4
1
0
1
4
 5 . 719
VP(Ft)x(m-t)^2
1666.67
1015.87
544.22
230.36
54.85
0.00
49.75
2896.87
6458.58
bono tiene 8
años y pagos
anuales de
cupón a razón
de una tasa de
7% y un
rendimiento de
5%
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