Seminario: Teorías Formales de la verdad
Saul Kripke
“Outline of Theory
Of Truth” J of Phil
Vol. 72 (1975)
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
Lema de diagonalización:
La aritmática formal permite la autorreferencia
P() = P ( «P(«»)»)
Definición: T es un predicado veritativo, para todo 
(T) T(«») = 
Pero,
T(«») = 
(The Liar)
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
Datos:
1.
El concepto de verdad es un concepto universal.
(i) El concepto de verdad es una concepto diagonal.
(ii) El concepto de verdad es autorreferencial.
Teorema de Tarski: límites a la posibilidad de expresar verdad
dentro del mismo lenguaje
a. Autorreferencia
b. L que contenga su propio predicado veritativo
c. Tenga negación clásica.
Prueba: Si valen a, b y c, se pueden expresar dentro de L las paradojas (The
Liar).
Objetivo: encontrar lenguajes que sean consistentes y que permitan
autorreferencia (incluyendo la posibilidad de expresar su propio
predicado veritativo).
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
Crítica al enfoque ortodoxo:
-No hay niveles intrínsecos desde donde se hagan las atribuciones de
verdad, porque
-(i) En el lenguaje natural tenemos un sólo predicado veritativo y no, tal
como Tarski propone, una infinitud de predicados con subíndices.
-(ii) El predicado veritativo no es una expresión ambigua,
-(iii) Los hablantes que no tienen que comprometerse (ni implicitamente)
con la existencia de metalenguajes de nivel apropiado que hagan
posibles sus predicaciones de verdad.
-Un hablante no tiene manera de conocer los “niveles” en los
que presuntamente están realizadas las predicaciones
- Hay atribuciones omniabarcantes
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
El lenguaje natural y su propio predicado veritativo
¿Cómo es posible que un lenguaje que contenga su propio predicado
veritativo no conduzca a contradicción?
(1)
(2)
La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son
falsas
Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero
Juan emite (1) y Nixon emite (2)
Supongamos que (1) es la única afirmación que hace Juan sobre
Watergate
Supongamos que las afirmaciones de Nixon sobre Watergate se
encuentran repartidas por mitades entre la verdad y la falsedad,
excepto por (2)
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
(1)
La mayoría de las afirmaciones de Nixon acerca de Watergate son
falsas
(2) Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero
¿Cuál es el valor veritativo de (1)?
Hay dos alternativas: que sea verdadera o que sea falsa.
Si (1) es verdadera, (2) es falsa Pero, si (2) es falsa, todo lo que Juan
dice sobre Watergate es falso. Pero, lo único que Juan dice sobre
Watergate es (1). Por lo tanto, (1) es falsa y esto se deduce de
haber supuesto su verdad.
Si (1) es falsa, (2) es verdadera. Pero, si (2) es verdadera, (1) es
verdadera, ya que es todo lo que Juan dijo sobre Watergate. Pero,
de suponer que (1) es falsa, se deduce que es verdadera.
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
Idea de fundamentación :
Hay oraciones cuyas condiciones de verdad pueden ser establecidas por
medio de una oración que no contiene el concepto de verdad.
Las condiciones veritativas de estas oraciones dependen del mundo.
Hay otras oraciones cuyas condiciones de verdad no pueden ser
establecidas de esta manera. En el establecimiento de sus
condiciones de verdad no deja de aparecer el concepto de verdad.
Esas oraciones no están fundadas.
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
El lenguaje natural y su propio predicado veritativo
Las oraciones paradójicas resultan ser en la teoría un subconjunto de
las oraciones infundadas. Dado que las oraciones infundadas carecen
de valores de verdad, las oraciones paradójicas poseen la misma
propiedad. Por lo cual, se evita la supuesta contradicción.
Oraciones fundadas
Oraciones Infundadas
Truthteller
Oraciones contextualmente
paradójicas
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Kripke, Paradojas y Revisión
Argumento del aprendizaje:
El proceso de enseñanza del predicado veritativo consiste en
(i)
hacer ver al que aprende cómo usar el mencionado predicado:
cada vez que se sienta en condiciones de afirmar (o negar) una
oración, y sólo en esos casos, se esperará que se sienta en
condiciones de afirmar (o negar) la verdad de esa oración.
(ii) se muestra que lo mismo vale de aquellas oraciones que predican
verdad (o falsedad) de otras.
----- Las oraciones que predican valores veritativos tienen un carácter
riesgoso: en circunstancias empíricas desfavorables (por ejemplo
que antes se hayan o no efectuado otras emisiones) pueden
siempre resultar paradójicas.
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
La teoría de Kripke
- Construcción de una sucesión de lenguajes precisamente definidos, cada uno
de los cuales representa las etapas de la adquisición del uso del predicado
veritativo.
-Cada uno contiene su propio predicado veritativo que se aplica a alguna de sus
oraciones.
-Este proceso se inicia con un lenguaje (punto mínimo) en donde se asigna el
conjunto vacío como extensión y como antiextensión del predicado veritativo y
culmina cuando se llega a un lenguaje (un punto fijo) cuyo predicado veritativo se
aplica a todas las oraciones a las que intuitivamente hablando cabria de esperar
que se aplicase (respetando la fundamentación de esas oraciones).
-Este es el punto fijo mínimo (cuando el proceso se inicia asignando el conjunto
vacío como extensión y antiextensión).
-En los casos interesantes aparecerán oraciones que no son ni verdaderas ni
falsas.
-Una oración fundada será aquella que tenga valor veritativo en el punto fijo
mínimo. Carecer de valor veritativo en ese punto es equivalente a ser paradójica.
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
Teoría de los Puntos Fijos.
Objetivo: construir un lenguaje que permita la autorreferencia y que
contenga su propio predicado veritativo.
La teoría de la verdad como punto fijo es una de las herramientas más
importantes en la semántica contempóranea para el tratamiento de la
autorreferencia en lenguajes que contengan su propio predicado
veritativo.
En el enfoque de Kripke, se utiliza un tercer valor de verdad (“indefinido”)
para extender el aparato teórico y permitir el tratamiento de las
paradojas.
La verdad como un punto fijo:
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Teoría de los Puntos Fijos.
Esto conduce a la idea de contruir el predicado veritativo en pasos.
Paso 0
Paso 1
Primo (5)
T(«Primo(5)»)
Primo (5)
Paso 2
T(« T(«Primo(5)») »)
T(«Primo(5)»)
Primo (5)
La verdad como un punto fijo:
Kripke, Paradojas y Revisión
-Punto fijo: interpretación en la cual la extensión de los
predicados veritativos no crece (las extensiones están
saturadas).
Es una asignación de valores veritativos bajo la cual todas las
oraciones fundamentadas reciben un valor de verdad.
-
-En un punto fijo puede haber oraciones que no reciban valores de
verdad (de hecho, las oraciones paradójicas no lo reciben), pero si se
construye una nueva interpretación con los procedimientos
mencionados, las extensiones no cambiarán.
-Una oración fundamentada tiene el mismo valor de verdad en todo
punto fijo.
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Sea M0 una interpretación
Para todo i  N, sea Mi + 1 = la interpretación Mi excepto en
que T(«») Mi+1 =  Mi
Una secuencia de interpretaciones M0, M1 , M2 M3 … un punto fijo Mi si Mi
= Mi+1 (la secuencia estabiliza en i).
Sea Mi+1 = la interpretación Mi excepto en que T(«») Mi+1 =  Mi
Supongamos que Mi es un punto fijo para algún i. Entonces Mi+1= Mi, esto
es,
T(«») Mi =  Mi
Lo que muestra que T es el predicado veritativo.
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Tablas de verdad trivalentes:
V
T
F
I
t
t
t
t
f
t
f
i
La negación fuerte se pierde.
i
t
i
i

t
f
i
f
t
i
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Supongamos que en L tenemos a
el mentiroso
T(«») M0 =  M0
En el proceso de ir definiendo la extensión y la antiextensión de T, hasta
llegar a un punto fijo, el mentiroso nunca llega a ser ni verdadero ni falso.
¿Qué sucede con la oración “La mayoría de lo que dice Nixon acerca de
Watergate es falso”?
Depende de la información empírica inicial representada en M0
La verdad como un punto fijo:
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-Nótese que si un objeto (por ejemplo, Watergate fue un escándalo) no
pertenece ni a la extensión ni a la antiextensión de un predicado (por
ejemplo, es verdadero), la oración correspondiente (digamos, Watergate
fue un escándalo es verdadera) no resulta ni verdadera ni falsa.
- Las oraciones paradójicas no recibirán valores de verdad en ninguna
interpretación In.
Esto es así, ya que si continuamos construyendo nuevas interpretaciones a
partir de las interpretaciones ya definidas de acuerdo con las reglas ya
mencionadas, una interpretación In asignará un valor veritativo a una oración
paradójica sólo si In-1 asignó a la misma oración el mismo valor de verdad.
-Pero, In-1 hará tal cosa sólo si In-2 lo hizo. Pero, ya que Io no asigna a
ninguna de estas oraciones valor de verdad alguno, tales oraciones nunca
recibirán un valor de verdad.
-
La verdad como un punto fijo:
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- Con respecto al carácter potencialmente paradójico de (1) y (2), eso
depende de la información empírica con la que fijemos la interpretación
de los predicados 'ser un escándalo' y 'no ser inocente' .
-En una situación distinta, desde el punto de vista empírico, una misma
oración puede no resultar paradójica y recibir un valor de verdad.
-Lo que garantiza la teoría de Kripke es que en las circunstancias
empíricas desfavorables esas oraciones carecen de valor de verdad.
-La interpretación Io es una que representa una situación empírica
desfavorable para (1) y (2).
-La oración (2) tiene un cuantificador universal y (1) un cuantificador que
expresa la mitad + 1.
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¿Hay un único punto fijo?
- No. Hay más de uno. El punto fijo mínimo no es el único punto fijo.
Para probar esta idea es necesario prestar atención al siguiente ejemplo:
en el punto fijo mínimo, la oración
-
Esta oración es verdadera (Truthteller)
tiene el valor de verdad indeterminado. Pero consistentemente, esa
oración puede ser verdadera o puede ser falsa. Habrá entonces otros
puntos fijos, distintos al punto fijo mínimo, donde las oraciones fundadas
del lenguaje reciban iguales valores de verdad, pero alternativamente la
oración en cuestión (truthteller) resulte verdadera o resulte falsa.
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Kripke, Paradojas y Revisión
Tipos de puntos fijos:
Un punto fijo es mínimo si en esa asignación de valores veritativos las
únicas oraciones que reciben valores de verdad determinados (y sólo
ellas) son las oraciones fundadas.
Un punto fijo es maximal si en esa asignación de valores veritativos
reciben valores de verdad determinados tantas oraciones del lenguaje
como sea posible. Además de las oraciones fundadas reciben valores de
verdad determinados tantas oraciones como sea posible (sin caer en
contradicción). Si se tiene una intuición contraria a la tesis de la
superveniencia se argumentará en favor de la idea de que la extensión
del predicado veritativo no se establece en el punto fijo mínimo.
Un punto fijo es intrínseco si en esa asignación de valores veritativos
reciben el valor de verdad verdadero las oraciones del lenguaje que son
intrínsecamente verdaderas.
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No toda oración que es intrínsecamente verdadera es una oración
fundamentada. Por esa razón, el punto fijo minimo y el punto fijo
intrínseco mas grande son distintos, ya que en este último reciben
valores de verdad determinados todas las oraciones intrínsecamente
verdaderas (aún las que no están fundamentadas).
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La verdad y el fisicalismo:
Tesis de la superveniencia semantica: cada vez que los hechos
empíricos son establecidos, los hechos semánticos quedan establecidos
también. Para Gupta esto se lee como "No hay hechos semánticos".
Todos los que sostienen la tesis de la superveniencia semántica
sostienen que la extensión del predicado veritativo queda establecida en
el punto fijo mínimo.
Tesis de Kremer: No es posible sostener al mismo tiempo que todo
punto fijo es aceptable como interpretación del predicado veritativo
(concepción de la verdad como punto fijo) y que para todas asignación
de valores veritativos hay a lo sumo una interpretación aceptable del
predicado veritativo (tesis de la superveniencia). Hay que sostener la
primera y rechazar la segunda.
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Argumento:
Sostener la superveniencia es sostener que hay exactamente una
interpretación correcta del predicado veritativo. Un defensor de este
punto de vista debería explicar cuál es la interpretación correcta y por
qué lo es. Los mejores candidatos son el punto fijo mínimo y el más
grande punto fijo intrínseco. Ambos tienen la ventaja de no involucrar
ningún tipo de arbitrariedad. Dada una oración truth-teller, parecería
arbitrario declararla verdadera o declararla falsa. Pero, ninguna de las
dos alternativas parece correcta.
Una oración es paradójica si en todo punto fijo recibe el valor de verdad
indeterminado.
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Preguntas:
1.- ¿Son siempre las oraciones que predican valores veritativos
oraciones infundadas?
-No. Por ejemplo, decir: 'la oración '2 + 2 = 4' es verdadera' es decir una
oración perfectamente fundada, ya que hay una circunstancia (que 2 + 2
sea igual a 4) que funda en última instancia esa atribución de verdad.
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2.- ¿Por qué hay que asignar al conjunto vacío como extensión del
predicado veritativo?
Porque esto garantiza que en el principio del proceso de
aprendizaje todas las atribuciones o rechazos de verdad carecen de
valores de verdad.
Aquellas oraciones que no contengan el predicado veritativo serán
evaluadas intuitivamente como verdaderas o falsas. Las que resulten
verdaderas constituirán la estensión del predicado veritativo en el
próximo nivel. Las falsas la antiextensión.
De esto se sigue que mas oraciones serán evaluadas como verdaderas
(o falsas) en el nivel 1 respecto del nivel 0. El proceso continua hasta la
transfinitud.
Las extensiones (y antiextensiones) son barridas en un punto fijo. Un
punto en el cual todas las oraciones que pertenecerán a la extensión del
predicado veritativo siempre lo hacen (y las que pertenecen a la
antiextensión también).
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3.- ¿Por qué las oraciones infundadas no pueden transformarse en
fundadas usando (T) que permite eliminar las apariciones de las
expresiones veritativas?
Porque si aplicamos (T) al Truthteller no podemos eliminar nunca el
predicado veritativo.
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Definición de verdad usando puntos fijos (Kripke)