IN4301
Análisis y Matemáticas
Financieras
Contenidos Optimización

Objetivo

Momento óptimo de reemplazo

Momento óptimo para liquidar una inversión

Momento óptimo para iniciar el proyecto

Tamaño óptimo de la inversión
Objetivo
Maximizar el aporte a la riqueza de un proyecto en
particular seleccionando las mejores alternativas de
inicio, tamaño, localización y momento óptimo de
liquidar la inversión, reemplazo de equipos, selección de
proyectos dentro de una cartera con restricciones de
capital, proyectos independientes e interdependientes.
CRITERIO GENERAL:
VAN = VAN1- VAN0
MAX VAN (t)
VAN/  t = 0   VPN = 0
Momento Óptimo de
Reemplazo
Hay que maximizar el VAN
de un proyecto que se repite
indefinidamente, lo que es equivalente (ver capítulo X) a maximizar el
Beneficio Anual Uniforme Equivalente (BAUE), o minimizar el CAUE si
los beneficios no dependen del ciclo óptimo de reemplazo.
Es decir se debe elegir como momento óptimo de reemplazo:
N *  n / Max
N *  n / Min
n
n

 BAUE


 CAUE

(1  r ) * r
n
n

(1  r )  1
n
(1  r ) * r
n
n

(1  r )  1
n
n
*
t 1
n
*
t 1

t 
(1  r ) 
Ft

t 
(1  r ) 
Ct
APLICACIONES: REEMPLAZO DE
EQUIPOS
C.A.E
Costos
operación
anualizados
de
Inversión anualizada
Años ("n")
APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO
PARA LIQUIDAR UNA INVERSIÓN




Hay inversiones que tienen implícita una
determinada tasa de crecimiento del stock del
capital invertido (plantaciones de árboles,
añejamiento de vinos, cría de animales, etc.)
Surge el problema de determinar entonces
cual es el momento óptimo para liquidar la
inversión.
Analicemos a través de un ejemplo numérico.
Supongamos que la tasa de interés del
mercado es del 5% y que la inversión inicial
es de $ 100 para comprar un bosque que
crecerá a una tasa Ki% por año.



Se puede demostrar que:
La riqueza del inversionista se
maximiza
cuando
la
tasa
de
crecimiento del valor del producto se
iguala con la tasa de descuento.
Si el inversionista reinvierte sus
fondos en el mismo proyecto el
momento óptimo de liquidar el
proyecto
cambia
(proyecto
repetible).
Año
Valor de Venta del
Bosque si se
cosecha en t
0
100
1
106
2
112,35
3
123,59
4
139,65
5
153,85
6
167,7
7
181,12
8
191,98
9
201,58
10
210,65
11
218,79
12
225,22
¿Cuándo se debería vender el bosque si el proyecto no
es repetible? (momento óptimo de liquidar la
inversión).
¿Cada cuántos períodos es más conveniente repetir el
proyecto?
Para tomar la decisión de cortar el
bosque debemos maximizar el VAN
VPN t  VB 0 
VB t
t
1, 05
Ki=ritmo al
Valor de Venta del cual crece
Bosque si se
el bosque VAN en el TIR en el
cosecha en i
en el año i
año i
año i
Año
0
100
1
106
6,00%
0,95
6,0%
2
112,35
5,99%
1,90
6,0%
3
123,59
10,00%
6,76
7,3%
4
139,65
12,99%
14,89
8,7%
5
153,85
10,17%
20,55
9,0%
6
167,7
9,00%
25,14
9,0%
7
181,12
8,00%
28,72
8,9%
8
191,98
6,00%
29,94
8,5%
9
201,58
5,00% 29,94
8,1%
10
210,65
4,50%
29,32
7,7%
11
218,79
3,86%
27,92
7,4%
12
225,22
2,94%
25,41
7,0%
TIRMg
t

VB t
VB t  1
1
1
 VB t
TIR t  
 VB 0
t
  1

Luego, el
momento
óptimo de
cortar el
bosque es
en el año 9,
donde el
VAN es
máximo,
eso sucede
cuando
TIRMg=r
¿Qué pasa si el valor de reventa es
reinvertido en plantaciones forestales?,
es decir se continúa en el negocio.

En este caso estaríamos hablando de un proyecto
repetible, por lo tanto podemos utilizar el BAUE.
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ki=ritmo al
Valor de Venta cual crece
del Bosque si el bosque VAN en el
se cosecha en i en el año i
año i
100
106
6,00%
0,95
112,35
5,99%
1,90
123,59
10,00%
6,76
139,65
12,99%
14,89
153,85
10,17%
20,55
167,7
9,00%
25,14
181,12
8,00%
28,72
191,98
6,00%
29,94
201,58
5,00%
29,94
210,65
4,50%
29,32
218,79
3,86%
27,92
225,22
2,94%
25,41
(1  r ) * r
t
BAUE
TIR en el
año i
BAUE en el
año i
6,000%
5,995%
7,315%
8,708%
8,998%
8,999%
8,856%
8,494%
8,100%
7,735%
7,377%
7,000%
1
1,024390244
2,48295004
4,199269163
4,745492879
4,953082591
4,963143672
4,632312417
4,212298324
3,79718122
3,36149642
2,866997843
t
 VPN
t
(1  r )  1
t
Además se
cumple que
en el año 6, la
TIR es
máxima e
igual a TIRMg
APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO
PARA INICIAR UNA INVERSIÓN


Puede ocurrir que un proyecto tenga VAN positivo,
pero aun siendo rentable hoy convenga postergar su
inversión.
Ejemplo de esto puede ser una carretera cuya
evaluación depende del número de vehículos que
circulan y estos son función del tiempo.
Benef.
años
APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO
PARA INICIAR UNA INVERSIÓN




Supongamos un proyecto de vida útil infinita y
que no cambia el monto de la inversión
independiente de cuando se realice.
Sea una inversión de I, una tasa de descuento r y los
beneficios aumentan 1 cada año:
Si invierto ahora el VAN del proyecto será:
VANo = -I + F1/(1+r) + F2/(1+r)2 + ……….
(1)
Si postergo 1 año la inversión el VAN será:
VAN1 = -I/(1+r) + F2/(1+r)2 + F3/(1+r)3 + …….. (2)

La ganancia de VAN de postergar la inversión se
obtiene restando (2) menos (1).
APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO
PARA INICIAR UNA INVERSIÓN

(2) - (1) se obtiene:
VAN1 - VANo = I - (I+F1)/(1+r)

De esto se desprende que el resultado seguirá siendo
positivo hasta que Bi = r * I. En este punto la
diferencia de VAN se hace 0.

Por lo tanto en el caso de un proyecto de vida útil
infinita que no cambia el monto de su inversión debe
realizarse cuando los beneficios del primer año son
iguales al costo de capital de la inversión
comprometida en el proyecto.
Ejemplo:
Supongamos que la construcción de la carretera requiere una inversión
de I=$200, que existe una tasa de descuento del 10%, que los beneficios
dependen únicamente del tiempo, que la inversión dura
permanentemente. Supongamos también que los beneficios anuales
crecen a razón de 1$ por año indefinidamente, o sea, año 1:F1=1; año 2:
F2=2,...…; año n: Fn=n
Comparemos en VAN de invertir hoy con el de invertir mañana. El VAN de
invertir hoy es:
VAN
0
  200 
1
2

1,1
1,1
2

3
1,1
3
 .....
n
1,1
n
El VAN de invertir en un año más:
VAN
1
 
200
1,1

2
1,1
2

3
1,1
3
 .....
n
1,1
n
 .....
 .....
La ganancia en VAN de invertir en un año más versus hoy:
 VAN  VAN 1  VAN
0
 200 
200  1
1,1
Claramente el resultado es positivo; seguirá siendo positivo hasta
que Ft=$20=r*I
APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO
PARA INICIAR UNA INVERSIÓN


Supongamos ahora que el proyecto tiene vida
útil finita y que no cambia el monto de la
inversión independiente de cuando se realice. Se
asume que la vida útil del proyecto no cambia si
se posterga la inversión.
Si invierto ahora el VAN del proyecto será:
VANo = -I + B1/(1+r) + B2/(1+r)2 + ...Bn/(1+r)n
(1)


Si postergo 1 año la inversión el VAN será:
VAN1 = -I/(1+r) + B2/(1+r)2 +…..+Bn+1/(1+r)n+1
(2)
La ganancia de VAN de postergar la inversión se
obtiene restando (2) menos (1).
APLICACIONES: MOMENTO OPTIMO
PARA INICIAR UNA INVERSIÓN

(2) - (1) se obtiene:
VAN1 - VANo = (r * I - B1)/(1+r) + Bn+1/(1+r)n+1


El momento óptimo de inversión se produce cuando el
delta VAN es igual a 0
Surgen otras variantes a analizar para este caso como
son:



La inversión tiene una vida útil finita y los beneficios son
función del tiempo y del momento en que se realiza la
inversión
El período de construcción dura más de un año ( caso de
proyectos eléctricos por ejemplo)
El monto de inversión cambia dependiendo del momento
en que se realice.
APLICACIONES: TAMAÑO OPTIMO DE
LA INVERSIÓN



El problema surge en este caso para aquellos
proyectos en que sus beneficios dependen de la
inversión que se realice.
Nuevamente el problema lo resolvemos planteando el
problema para dos tamaños diferentes y haciendo la
diferencia.
El VAN para una inversión I1 es:
VAN1 = -I1 +  BNi1/(1+r)i

El VAN para una inversión I2 es:
VAN2 = -I2 +  BNi2/(1+r)i

El tamaño óptimo se obtiene cuando VAN2 - VAN1 = 0
Un apoyo al análisis: Ecuaciones
de escala.
α : Factor de escala
Costo 1/Costo 2 = (capacidad 1/capacidad 2)
ONUDI:
Sector
Minería, agricultura
Tecnologías de Información
y comunicaciones
Normativas y seguridad
α
0,5 – 0,6
0,61 – 0,67
0,55 – 0,6
α
En general: Ajuste de
Potencias


La técnica de ajuste de potencias, o modelo
exponencial, se utiliza con frecuencia para
desarrollar estimaciones de inversiones de
capital para plantas y equipos industriales.
Supone que el costo varía en función del
cambio de capacidad o tamaño, elevado a
una potencia.
C2
 S2 

 C 1 

 S1 
X
Ci: costo de la planta i
Si: tamaño de la planta i
X: factor de capacidad
de costo




X depende del tipo de planta o equipo.
Si X<1, existen economías de escala (cada unidad
cuesta menos que la anterior)
Si X>1, existen deseconomías de escala. (cada
unidad cuesta más que la anterior)
Si X=1, existe una relación lineal entre costo y
capacidad.
Priorización de inversiones con
restricción de capital



Solución para evitar el análisis combinatorio:
IR = VP de beneficios netos / Inversión
Se utiliza indicador equivalente al IR
denominado IVAN = VPN / I
Solución exacta del problema de
optimización: Solver (Excel)
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momento optimo para iniciar una inversión - U