Coordenadas Cilíndricas e
Esféricas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
z

P   r , , z 
z

r

x
 r , , 0 
y
Conversão de Coordenadas
(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para
coordenadas retangulares, usamos as equações
y  r s en
x  r cos 
z z
enquanto que para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos
as equações
r  x  y
2
2
2
tg  
y
x
z z
Exemplo 1:
 2 
(a) Plote o ponto com coordenadas cilíndricas  2,
,1 .
3


e determine suas coordenadas retangulares.
(b) Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com
coordenadas retangulares  3,  3,  7  .
Exemplo 2: Descreva a superfície cuja equação em
coordenadas cilíndricas z  r .
Exemplo 3: Determine a equação em coordenadas
2
2
2
cilíndricas para o elipsóide 4 x  4 y  z  1.
Sistema de Coordenadas Esféricas
onde
z


P    , , 
  OP
 é o mesmo ângulo

que em coordenadas
cilíndricas.
O
 é o ângulo entre o

y
eixo positivo z e o

vetor O P .
x
Note que:
 0
0 
Conversão de Coordenadas
(Esféricas - Retangulares)
z



P   x, y, z 
 
z
O

r
Q 
x
y
x
P    , , 

y

P '  x, y, 0 
Do triângulo retângulo O P P ', temos
Do triângulo retângulo O P P ', temos
i
 ii 
cos  
sen  
z

r


z   cos 

r   sen 
Do triângulo retângulo Q O P ,' obtemos
 iii 
cos  
 iv  sen 

x
r
y
r

x  r cos 

y  r sen 
Para
converter
de
coordenadas
esféricas
para
coordenadas retangulares, substituímos  ii  em  iii  para
encontrar a coordenada x e substituímos  ii  em  iv  para
encontrar a coordenada y , daí
z   cos 
y   sen  sen 
x   sen  cos 
também, a distância entre dois nos mostrta que
  OP
2
2
 x  y  z
2
2
2
usamos este resultado para converter de coordenadas
retangulares para coordenadas esféricas.
   
Exemplo 4: O ponto  2, ,  é dado em coordenadas
 4 3
esféricas. Plote o ponto e determine suas
coordenadas retangulares.


Exemplo 5: O ponto 0, 2 3 ,  2 é dado em coordenadas
retangulares. Determine as coordenadas
esféricas desse ponto.
Exemplo 6: Determine uma equação em coordenadas
2
2
2
esféricas para o hiperbolóide x  y  z  1.
Exemplo 7: Determine a equação em coordenadas
retangulares da superfície cuja equação
esférica é   sen  sen  .
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Cilíndricas e Coordenadas esfericas