Introduzione …
Anticamente, scienza arte e tecnologia, non erano mai state
separate.
Galileo Galilei, oltre ad essere un noto scienziato, fu anche un
ottimo scrittore; egli, a differenza di altri scrittori dell’epoca che
scrivevano in latino, utilizzava la lingua italiana.
Leon Battista Alberti, noto soprattutto come architetto, era anche
un famoso poeta.
Ricordiamo inoltre Leonardo da Vinci, grande artista, letterato e
scienziato.
La simmetria assiale è una isometria (
Trasformazione che conserva le distanze).
•Definizioni e proprietà
Disegniamo un quadrilatero su di un foglio di
carta e sovrapponiamogli un foglio di carta
trasparente ( Fig. 23 ) riportando su quest’ultimo
il quadrilatero. Ribaltando la carta trasparente
attorno al suo bordo, fino a sovrapporla al foglio
di carta, si ottiene una nuova figura che è un
quadrilatero, con la stessa forma e le stessa forma
e le stesse dimensioni. Le due figure si
corrispondono in una isometria a cui diamo il
nome di simmetria assiale.
Si dice simmetria assiale di asse r la corrispondenza che associa a un punto P il punto
P in modo tale che la sia asse del segmento PP1 ( Fig. 24)
Possiamo osservare che ai punti della retta r corrispondono gli stessi punti della retta r, che
sono quindi uniti nella simmetria assiale di asse la retta r.
Una simmetria assiale trasforma:
•Una retta in una retta
•Un segmento in un segmento uguale
P
r
P1
Rette parallele in rette parallele
Rette che si incontrano sull’asse in rette che si
incontrano nello stesso punto dell’asse
Rette che si incontrano in un punto P in rette che si
incontrano in P1 che risulta il corrispondente di P nella
simmetria
Angoli in angoli di uguale ampiezza
Rette perpendicolari in rette perpendicolari.
La dimostrazione di queste proprietà verrà svolta
mediante le equazioni della simmetria assiale in B.
Una simmetria assiale conserva la distanza fra due punti.
Una simmetria assiale trasforma angoli di uguali
ampiezza.
Una simmetria assiale trasforma rette perpendicolari in
retti perpendicolari.
Se ha pertanto:
•Un segmento ammette come asse di simmetria il suo asse ( Fig. 29 )
•Un angolo ammette come asse di simmetria la sua bisettrice ( Fig. 30 )
•Un triangolo scaleno non ha assi di simmetria ( Fig. 31 )
•Un triangolo isoscele ha una asse di simmetria che è la bisettrice dell’angolo al
vertice ( Fig. 32 )
•Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria che sono le altezze relativi ai lati (
Fig. 33 )
•Una retta ammette come asse di simmetria qualsiasi retta ad essa perpendicolare (
Fig. 34)
•Un parallelogramma non ha assi di simmetria ( Fig. 35 )
•Un trapezio isoscele ammette un asse di simmetria ed è la retta perpendicolare alle
basi nei di mezzo ( Fig. 36 )
•Un rettangolo ha due asse di simmetria che sono le perpendicolari nei punti di
mezzo dei lati opposti (Fig. 37 )
•Un rombo ammette due assi di simmetria e sono le sue diagonali ( Fig. 38 )
•Un quadrato ammette quattro assi di simmetria che sono le due diagonali e le
perpendicolari nei punti di mezzo dei lati opposti ( Fig. 39 )
•Un poligono regolare ha sempre tanti assi di simmetria quanti sono i lati o i vertici;
se il numero dei vertici è dispari sono le perpendicolari dai vertici ai lati opposti, se
invece, il numero dei vertici è pari sono le congiungenti i vertici opposti ( Fig. 40 )
•Una circonferenza ( o un cerchio ) ha infiniti assi di simmetria che sono i diametri (
Fig. 41 )
•Una corona circolare ha infiniti assi di simmetria che sono i suoi diametri ( Fig. 42 )
r
B
A
Fig. 29
Fig. 30
Z
Fig 31
r
Fig. 33
Fig. 32
Fig. 34
Fig. 35
Fig. 36
Fig. 37
Fig. 38
. Fig39
Fig. 40
Fig. 40
Fig. 41
Fig. 42
Sappiamo dalla geometria analitica:
Due punti simmetrici rispetto all’asse delle ascisse hanno la stessa ascissa e ordinata opposta
Due punti simmetrici rispetto all’asse delle ordinate hanno ascissa opposto e la stessa ordinata
da questo segue che le equazioni della simmetria assiale sono:
X1 = -x
Y1= y
( 7.5.2 )
Rispetto all’asse delle ordinate:
X1 = -x
Y1= y
( 7.5.2 )
Verifichiamo, mediante le equazioni ( 7.5.1 ) e ( 7.5.2. ) le proprietà enunciate in A.
Una simmetria assiale trasforma rette in rette.
In una simmetria assiale a due rette r ed s incidenti in un punto P corrispondono due
rette r1 ed s1 incidenti nel punto P1 che risulta il traslato di P.
Esempi di simmetria assiale si hanno quando si pone un oggetto di fronte a uno specchio
piano. Si può notare come in una simmetria assiale, viene scambiato ( Fig. 25 ) il lato destro
con il sinistro.
Gli animali, i fiori, le autovetture ( Fig. 26 ) presentano spesso assi di simmetria.
Alcune lettere maiuscole dell’alfabeto presentano una simmetria assiale: la E ha come asse
di simmetria la retta indicata nella ( Fig. 27 ).
È frequente osservare in opere artistiche simmetrie assiali, ne proponiamo alcuni esempi
nella fotografia.
Assi di simmetria di una figura
Si dice che una figura possiede un asse di simmetria r se tutti i suoi punti si corrispondono a
due a due nella simmetria che ha per asse la retta t.
Dati due punti A e A1 ed un punto O ( Fig. 43 ) la corrispondenza che associa A ad A1 in
modo che
AO = A1O è detta simmetria centrale.
La corrispondente di una figura in una simmetria centrale di centro O è la figura ottenuta
determino i corrispondenti di tutti i suoi punti nella simmetria che ha per centro il punto O
( Fig. 44 ).
Fig 43
Poiché la figura ottenuta è uguale alla figura data, la corrispondenza è un isometria.
Si dice simmetria centrale di centro O la corrispondenza che associa a un punto P il punto P
in modo tale che O sia il punto medio del segmento PP1.
Nella simmetria centrale:
Il centro è l’unico punto unito
Le rette per il centro sono unite.
Una simmetria centrale trasforma:
Una retta in una retta
Un segmento in un segmento uguale
Rette parallele in rette parallele
Rette che si incontrano in un punto P in rette che si incontrano in punto P1, che è il
corrispondente nella simmetria centrale del punto P
Angoli in angoli di uguali ampiezza
Rette perpendicolari in rette perpendicolari.
La dimostrazione di queste proprietà verrà svolta mediante le equazioni della simmetria
centrale in A.
•Si dice che una figura possiede un centro di simmetria O se tutti i suoi punti si corrispondono a due a
due nella simmetria che ha per centro il punto O.
Si ha pertanto:
•Un segmento ammette come centro di simmetria il suo punto medio ( Fig. 49 )
•Una retta ammette come centro di simmetria un qualunque suo punto ( Fig. 50 )
•Un angolo non mette nessun centro di simmetria
•Un triangolo non ammette nessun centro di simmetria
• Un parallelogrammo ammette un centro di simmetria ( Teorema T.3.14 )
•Un trapezio non ammette nessun centro di simmetria
•Un rombo ha un centro di simmetria che è il punto di intersezione delle diagonali ( Fig. 51 )
•Un rettangolo ammette come centro di simmetria il punto di intersezione dei due assi di simmetria (
Fig. 52 )
•Un quadrato ammette un centro di simmetria che il punto di intersezione delle diagonali e degli assi
delle coppie di lati opposti ( Fig. 53 )
•Un poligono con un numero dispari di vertici non ammette centro di simmetria ( Fig. 54 )
•Un poligono regolare con un numero pari di vertici, ha come centro di simmetria il punto di
intersezione dei suoi assi di simmetria ( Fig. 55 )
•Una circonferenza ( o un cerchio ) ha come centro di simmetria il suo centro ( Fig. 56 )
•Una corona circolare ha come centro di simmetria il centro comune alle due circonferenze che la
delimitano ( Fig. 57 ).
In una simmetria centrale una retta r non passante per il centro di simmetria è trasformata in una
retta r1 parallela alla r.
In una simmetria centrale ad una r passante per il centro di simmetria corrispondente la retta stessa.
fig. 49
fig. 50
fig. 51
fig. 52
fig. 53
fig. 54
fig. 56
fig. 55
fig. 57
Sono dati nel piano cartesiano ortogonale 0xy due punti A( x;y ) e A1( x1 y 1) ( Fig. 45 ) che si
corrispondono in una simmetria centrale di centro O.
Possiamo determinare il punto corrispondente di A nella simmetria assiale di asse l’asse delle ascisse e lo
denotiamo con S; applicando alle coordinate di A le equazioni ( 7.5.1) si ottiene S(x; -y). Consideriamo il
punto A1 corrispondente, nella simmetria assiale di asse l’asse delle ordinate, di S; applicando alle coordinate
di S le equazioni ( 7.5.2 ) si ha A1 ( -x; -y ).
Si può allora affermare che le equazioni della simmetria centrale sono:
X1 = -x
Y1= - y
( 7.6.1 )
Ovvero :
x = - X1
y = - Y1
( 7.6.2 )
Viene lasciata esercizio la dimostrazione dei seguenti Teoremi, in analogia a quanto fatto nel paragrafo 7.5
punto B.
T. 7.12 una simmetria centrale trasforma rette.
T. 7. 13 in una simmetria centrale a rette parallele corrispondono rette parallele.
T. 7.14 in una simmetria centrale a due rette r ed s incidenti in un punto P corrispondono due r 1 ed s1
incidenti nel punto P1 che risulta il simmetrico di P nella simmetria centrale.
T. 7.15 una simmetria centrale conserva la distanza fra due punti.
Da questo Teorema deriva che la simmetria centrale è una isometria in quanto conserva le distanze.
T. 7. 16 una simmetria centrale trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza.
La dimostrazione di questo Teorema richiede conoscenze di trigonometria, pertanto non verrà svolta in questa
sede. Dal Teorema T. 7. 16 segue il Corollario:
C. 7.3 una simmetria centrale trasforma rette perpendicolari in rette perpendicolari.
Il triangolo equilatero è una figura dotata di simmetria. Cosa significa questa
affermazione? In cosa consiste la sua simmetria?
Consideriamo un triangolo equilatero in un piano. Nella figura 1 sono disegnate gli
assi di simmetria del triangolo, che sono le rette r, s, t, ed il centro di simmetria del
triangolo, che è il punto B. La proprietà del triangolo equilatero di avere 3 assi di
simmetria ed 1 centro di simmetria non è comune a tutte le figure del piano.
Quanti assi di simmetria e quanti centri di simmetria possiedono un triangolo isoscele, un
triangolo scaleno, un quadrato, un rettangolo, un cerchio, una retta del piano?
Cosa significa che la retta r è un asse di simmetria del triangolo equilatero della
figura 1? Possiamo rispondere dicendo che per ogni punto P del triangolo, se
indichiamo con P1 il punto del piano simmetrico a P rispetto alla retta r, allora P1
appartiene al triangolo. In modo equivalente, possiamo interpretare la legge che ad
ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P1 rispetto a r come un movimento
rigido del piano in sé, ossia un movimento che conserva le distanze. Chiamiamo questa
movimento rigido la riflessione rispetto alla retta r, ed r il suo asse. La riflessione
rispetto ad una retta determina il suo asse, e viceversa. Concludiamo allora che gli
assi di simmetria – del triangolo equilatero, ed in generale di ogni figura del piano –
sono gli assi delle riflessioni che mandano in sé la figura data.
______________________________
( 1 ) ciò significa chese P appartiene a r allora P1= P, mentre se P non appartiene a r
allora il
segmento PP1 è ortogonale a r ed interseca r nel suo punto medio.
Figura 1: Assi e centro di simmetrie di un triangolo equilatero
1.In modo analogo ci possiamo chiedere cosa significhi che il punto B è un centro di
simmetria del triangolo equilatero. Una risposta può essere che la rotazione del piano di
centro B dell’angolo di 2П/3 radiante ( 180° ) in senso ( per esempio ) orario manda in sé il
triangolo. Anche una rotazione di un piano rispetto ad un suo punto è un movimento
rigido, poiché conserva le distanze tra i punti. Possiamo in conclusione definire
simmetriche del triangolo equilatero tutti i movimenti rigidi – riflessioni e rotazioni – che lo
mandano in sé ( 2 ).
1.Realizziamo ora concretamente le simmetrie del triangolo equilatero. Ritagliamo i due
triangoli della parte superiore della figura 2, incolliamoli lungo la faccia bianca in modo da
formare un unico triangolo equilatero di carta, i cui 3 vertici di entrambe le faccia sono
colorati di nero verde giallo. Appoggiamo il triangolo di carta sul triangolo disegnato nella
parte inferiore della figura 2. Possiamo farlo in più modi. Se applichiamo una simmetria al
triangolo appoggiato, otteniamo un nuovo modo di appoggiare il triangolo. Le simmetrie del
triangolo equilatero trasformano il modo di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo
disegnato.
Quante sono le simmetrie del triangolo equilatero? Tante quanti i modi possibili di appoggiare il
triangolo di carta sul triangolo disegnato. Questi modi sono determinati dalla posizione dei tre
vertici. Nella parte superiore della figura 3 ritagliamo i tre dischi nero, verde e giallo.
_____________________
2 Si può dimostrare che ogni movimento rigido che manda in sé un triangolo equilatero è una rotazione
oppure una riflessione.
Ogni posizione del triangolo di carta appoggiato corrisponde ad un modo di sovrapporre i 3
dischi colorati ai 3 dischi disegnati. In tutto vi sono 6 modi, quindi 6 simmetrie. Diciamo che il
triangolo equilatero possiede una simmetrie di ordine 6.
Una delle 6 simmetrie del triangolo equilatero lascia inalterato il modo di appoggiare. Essa
corrisponde al movimento rigido che lascia fermi tutti i punti. Chiamiamo questa simmetria
identità.
Due simmetrie date ne generano una terza. Infatti se applichiamo al triangolo appoggiato
nell’ordine la prima e poi la seconda, otteniamo una terza simmetria, che chiamiamo la
composizione delle prime due. Questo fatto fa sì che l’insieme delle simmetrie abbia un suo ordine
interno, che chiamiamo struttura.
È un fatto caratteristico della struttura delle simmetrie del triangolo equilatero che due di esse,
opportunamente scelte, possano generare per mezzo di ripetute composizioni tutte le altre.
Consideriamo, per esempio, le due seguenti:
la riflessione rispetto alla retta r;
la rotazione di 120° in verso orario.
Nella figura 3 esse sono rispettivamente rappresentate da frecce blu e rose.
Disponiamo i 3 dischi colorati sui tre dischi disegnati della parte superiore della figura 3. Muovendole
con le due simmetrie scelte, possiamo in modo concreto vedere come tutte le altre simmetrie vengano
generate, secondo lo schema illustrato nella parte inferiore.
Completare la parte inferiore della figura 3 colorando di nero, verde, giallo, i 5 gruppi di 3 dischi,
seguendo rosse e blu.
Chiamiamo la parte inferiore della figura 3 il grafo della simmetria del triangolo
equilatero – relativo alla scelta delle simmetrie (1) e ( 2 ). Esso dà una
rappresentazione visibile della struttura delle sue simmetrie. Per esempio,
permette di vedere che se al triangolo equilatero di carta appoggiato ( oppure ai
tre dischi colorati ) applichiamo nell’ordine
(1)la riflessione rispetto alla retta r
(2)la rotazione di 120° in verso orario
(1) la riflessione rispetto alla retta r
(2) la rotazione di 120° in verso orario
ritorniamo alla posizione che aveva prima dei quattro movimenti.
Vi sono altre sequenze delle due simmetrie (1) e ( 2 ) che facciano ritornare il triangolo
appoggiato alla posizione iniziale?
Utilizzare il grafo per rispondere a queste domande:
Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che dia la riflessione rispetto
all’asse s. Ve ne è una sola o più d’una?
Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che Allora è possibile
ottenere tutte le 6 simmetrie del triangolo equilatero anche dia la riflessione rispetto
all’asse t. Ve ne è una sola o più d’una?
Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che dia la rotazione di 120°
in verso antiorario. Ve ne è una sola o più d’una?
Il grafo della simmetria dipende dalla scelta delle simmetrie con cui è possibile
generare per composizione tutte le altre. Consideriamo la seguente:
( 3 ) la riflessione rispetto alla retta t.
componendo opportunamente le simmetrie ( 1 ) e ( 3 ).
1.Per concludere, possiamo definire la simmetria del triangolo equilatero come l’insieme delle
sue simmetrie, definite in 1.4 a loro volta a partire dagli assi e dal centro di simmetria.
Abbiamo così dato una risposta alla domanda fatta in 1.1, e visto che la simmetria possiede
una struttura.
1.Il disegno in figura 2 ha una simmetria di ordine 6 la cui struttura è diversa da quella
della simmetria del triangolo equilatero. Infatti, è possibile
Quante simmetrie possiede in figura 2? e stabilire
Figura 2: Determinare il
grafo della simmetria del
disegno
Analizziamo ora un caso di simmetria tridimensionale. Il tetraedro è il solido regolare
delimitato da 4 triangoli equilateri aventi il lato della stessa lunghezza. Esso è uno dei 5
solidi regolari citati da Platone nel Timeo. Possiamo pensarlo come una generalizzazione
tridimensionale del triangolo equilatero. Vogliamo studiare le sue simmetrie.
2.2 Analogamente a questo visto in 1.4, le simmetrie del tetraedro sono i
movimenti rigidi dello spazio che lo mandano in sé. Questi movimenti rigidi
sono rotazioni attorno a rette, dette assi di simmetria, passanti per il baricentro
B del tetraedro ( 3 ).
2.3 Ritagliare ed incollare lo sviluppo della figura 4, ottenendo un tetraedro
colorato. Utilizzarlo per rispondere alle seguenti domane.
_______________________________
3 Infatti, ciascuno di questi movimenti rigidi dovrà mandare B, che è
equidistante dai 4 vertici, in un punto che verifica la stessa proprietà, quindi
necessariamente in B stesso. Immaginiamo una palla che abbia B come centro.
Ogni movimento rigido dovrà mandarla in sé. Possiamo allora convincerci che
ogni movimento rigido deve essere una rotazione attorno ad una retta passante
per B. Escludiamo le riflessioni perché vogliamo movimenti che si possano
realizzare su oggetti “fisici” dello spazio senza distruggerli.
Figura 3: Ritagliare ed
incollare il triangolo
superiore ed appoggiarlo in
vari modi su quello
inferiore.
Figura 4: Il grafo della simmetria del
triangolo equilatero. Ritagliare i 3 dischi
colorati ed appoggiarli sui 3 dischi
disegnati nella parte superiore.
Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi
della parte inferiore.
Figura 5: Il grafo della simmetria del
triangolo equilatero. Ritagliare i 3 dischi
colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati
nella parte superiore. Muovendoli, colorare,
le 5 terne di dischi e disegnare le frecce
rosse e blu mancanti.
Quanti assi di simmetria possiede un tetraedro? Classificarli da un punto di vista
geometrico in due tipi.
Quali sono gli angoli delle rotazioni attorno agli assi che mandano in sé il tetraedro?
Quante sono le simmetrie del tetraedro, inclusa l’identità?
2.4 Indichiamo con
r l’asse di simmetrie che passa per B e per il vertice comune alle faccia rossa, verde, gialla;
t l’asse di simmetrie che unisce i punti medi dello spigolo rosso-blu e dello spigolo verde-giallo.
Consideriamo le seguenti simmetrie
la rotazione di 120° attorno a r (4 )
la rotazioni di 180° attorno a t.
Nella figura 5 le rotazioni ( 1 ) sono indicate da freccia rosse, mentre le rotazioni ( 2 ) sono date da
freccia blu.
Utilizzare il tetraedro colorato, appoggiato sul triangolo della parte superiore della figura 5, per
completare il grafo delle simmetrie del tetraedro della parte inferiore:
colorare 11 tetraedri;
disegnare le 3 coppie di frecce blu mancanti.
2.5 Per il tetraedro si possono formulare domande analoghe a quelle di 1.10 e 1.11, che studiano la
struttura della sua simmetria.
Determinare alcune sequenze delle simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che facciano ritornare il tetraedro appoggiato
alla posizione iniziale.
Indichiamo con:
r1 l’asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle facce blu, verde, gialla, orientato da
B verso il vertice;
t1 l’asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso- verde e dello spigolo blu - giallo.
_________________________
4Se orientiamo r da B verso il vertice comune alle facce rossa, verde, gialla, la rotazione si intende che
avvenga nel verso opposto a quello dato dall’avanzamento di una vite.
Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che dia la rotazione rispetto all’asse r1 di
120°. Ve ne è una sola o più d’una?
Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e ( 2 ) che dia la rotazione di 180° rispetto all’asse
t1. Ve ne è una sola o più d’una?
Tetraedro
Figura 6: Lo sviluppo del tetraedro.
Ritagliare ed incollare
Appoggiare
Qui
Il tetraedro
Figura 7: Il grafo delle simmetrie
del tetraedro. Colorare, aiutare con
il modello della parte superiore.
Disegnare le frecce blu mancanti.
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