Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara
Facultad de Ingeniería, UNAM
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• Tema 1.4 Obtención de campos eléctricos
originados por distribuciones discretas y continuas
de carga (Carga puntual, segmento de línea,
superficie infinita, línea infinita).
• Objetivo: Determinar la expresión matemática del
campo eléctrico en
distribuciones discretas y
continuas de carga (Carga puntual, segmento de
línea, superficie infinita, línea infinita).
•
Calcular el campo eléctrico resultante por efecto de
las distribuciones discretas y continuas de carga.
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• Campo producido por un segmento de línea.
• Distribución lineal de carga λ y el campo eléctrico.
q C 
     x
 m 
 
q
 q  x
x

dE A 

dE A 
dq   dx
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1
dq
4  0 r
1
2

r
 dx
4  0 r
2

r
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• Línea con carga negativa distribuida
uniformemente
• Diferencial de carga dq
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• Campo producido por
un segmento de línea.
 
a
2
r2
Eje Y
dq   dx
4  0 r
ř
r1
 dx
λ
dq
 q  x
1
dx
- - - - - - - - - - - - - ---------------------
x

dE A 
l
x1
q C 
     x
 m 
q
x2
ÊA

r
θ1
θ2
A
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Eje X
x

EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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
dE A 
 dx
1
4  0 r
2

r

Componentes
1
 dx x
y

dE A 
( i
j)
del vector
2
4  0 r
r
r
unitario
Integrando el 
EA 
campo

1
 dx x
4  0 r
2
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(
r
i
y
r
j)

EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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Integrando el
componente
en x
Sustituyendo
en integrando
en los límites.
Integrando el
campo en Ax y
dividir 2/2
E Ax 
E Ax 

4  0
1

4  0 2
E Ax 
1

xdx

x2

x1
3
r
2 xdx
a
a
2
4  0 2
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2
x
2

1
x
 1

r  a x
3
2 
2

3
2
x2
x1
2
2
2

3
2

EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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Sustituyendo
límites y
considerando el
signo (-)
Recordando la
expresión
trigonométrica.
Expresado por
componentes de
los ángulos y
multiplicando
por a/a
E Ax 
r 
1
4  0

1
a
2
 x1
2
a  x  sen  
2
2

1
2
a
r
E Ax 
1

4  0 a
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

1
a
2
 x2
2

2

1
2
a
a
2
x
 sen  2  sen  1 
1
2


EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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Definir la sustitución trigonométrica en la expresión de la
componente en y
tan  
a
 cot  
x
E Ay 
1
x
 x  a cot   dx  a csc d 
2
a
a
4  0 2
x2

x1
dx
a
2
x
2

3
2
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
EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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Integrando la componente en y, por sustitución trigonométrica
E Ay
1 a   2


4   0   1
1 a   2

4   0   1
1
a csc  d 
2
a
3
2
 a cot   2
2
a csc  d 
2
3
[ a csc ] 2
2
d
 2

4   0   1 a csc 
2
2
1 a   2


4   0   1
1 a   2 a csc  d 

3

4   0   1 a 3 csc  
2
1
 2 sen  d 



4   0   1
a
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
a csc  d 
2
3
[ a 1  cot  ] 2
2

2


EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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1
d
 2

4   0   1 a csc 

1
4  0a
1
sen  d 
2



4   0   1

a
1
(  cos  )
4  0a
(cos  1  cos  2 )
Expresando por
componentes
de los ángulos
E Ay 
E Ay 
1

1
4  0 a

4  0 a

cos  1
x2
a
2
 x1
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2

1
2

 cos  2 
x1
a
2
 x2
2

1
2

2
1
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• casos particulares
• A) Si el punto A se encuentra en la mediatriz,
entonces la componente en x es cero
• B) si a es mucho menor que l, (10 veces menor) y el
punto esta en la región media, entonces:
E Ax  E Ay
EA 
E Ay 
1
2
4  0 a
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1
2
4  0 a
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• Campo producido por una línea cargada muy larga a
una distancia a [m] y con una densidad lineal de
carga λ (C/m)
EA 
1
2
4  0 a
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• Campo eléctrico
cargado
z
producido
por
anillo
circular
ds
+
+
Eje Z
+
a
+
+
+
θ°
+
+
+
Eje Y
+
+
dEcosθ
A
y
b
θ°
Ej
e
X
+
r
+
+
x
+
+
+
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dE

EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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El campo en el punto A
del anillo de acuerdo a
diferencial de carga
eléctrica dq, donde Q es
la carga total del anillo

dE 
1
dq
4  0 r
2

r
Los componentes en x y z se cancelan y solo
existe componente en y
EA 
 dE
y

 cos  dE

1
4  0
cos 
r
2
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Q
 dq
0

1
Q cos 
4  0
r
2
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Los componentes en x y z se cancelan y solo existe componente
en y
z
y
x
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
EA 
1
 dx
4  0 r
2

r
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Expresando el coseno
en función de las
componentes de a y b,
Cos  
b
a
2
b
2

1
2
Finalmente el campo en función del radio a y la
distancia b
E Ay 
1
Q
4  0 r
2
b
a
2
b
2

1
2

1
4  0
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Qb
a
2
b
2

3
2
N 
C 
 
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• Casos particulares del campo por un anillo.
• A) En el centro el campo E=0
• B) para un punto lejano del anillo.
E Ay 
1
4  0
a  b
Q N 
2 

b C 
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• Campo producido
cargada
por
una
superficie
circular
+
+
dr
+
r0
r
a
+
Eje Z
+
+
σ
+
+
Eje Y
Ej
e
X
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
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b
dE
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
Se considera que se
tienen
anillos
de
grosor dr y radio r y su
contribución
son
diferenciales
dE
A

1
4  0
bdq
r
2
b
2

3
4
Como el diferencial de
carga esta en una   q  dq   dA   2  rdr
superficie
circular
A
entonces:
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
Sustituyendo dq en la expresión del campo en el punto A
se tiene:
EA 
b
4  0
r0

0
2  r  dr
r
EA 
2
b
b
4 0
2

3
1

4 0
2

r
(
2
r0
b
(
3
b
2 rdr

r
0

2 
3
b
1
2
 1)
2
)
r0
0
2
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
2

3
2

1
4 0

2 0
r0
b

0
b
r
2
b
2 rdr
r
r0
2

1
2
0
2
b
2

3
2
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
Sustituyendo los límites en la expresión del campo en el
punto A se tiene:
E A  (
b
1
2 0
r
2
b
0
EA 

2 0
(1 


1
2 2
r
0
b
2 0
)(

2 0

b
1
2 0
r
0
b
2


1
2 2
N 
) 
C 
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2
b

1
2 2
)
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• Campo producido por una superficie circular
cargada
El campo
punto A es:
en
el
E 
A

2
1 
0
b
r
0
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2
b
2

1
2
N 
 
C 
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• Casos particulares del campo por una superficie.
• A) la distancia b << r0 en el punto A , 1/ r0 tiende a cero
Por lo que se obtiene el campo cuando esta cerca del
centro de la superficie.
•
EA 

2 0
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• Casos particulares del campo por una superficie.
• B) la distancia b >> r0 , la expresión se puede
considerar como una carga puntual.
•
EA 

2 0

r

2
0
b
r
0
2
2

b
1
2
2

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b
1
2
N 
 
C 
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• Desarrollando el binomio.
EA 

2 0
1
1
2
2
r0  b 2  b  b

1
1
2
2
2

r0  b
b



r b

2
b

2
0
EA 

2 0



2



 r02  b 2

2
 b




 2 0

1
2
1




1
2

2 0


r
2
0
b
r
2
2
0

r

 1 

b
2
0
2
2

1
2

 r02
 2  1 

b
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1
1
b

 
 
b
b
 
1
2
2 1 
b
 
b

1
1

1
2

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• Recordando el teorema del binomio, con exponentes
fraccionarios o negativos:
n
a  b  m
n
 am 
n
m
nm
a
m
b
n n  m 
m
2
 2!
n2m
a
m
b 
2
n  n  m  n  2 m 
m 3!
3
n3m
a
m
b  ... 
3
• Sustituyendo los coeficientes r0 y b:
1
2
3
2
2
1
1 2 ( 2 )
1 3 ( 2 )
2
1 2






r
r
11  2 
11  2 1  2 ( 2 ) 
 r0 
 r0 
2
2
 1   0    1  2 1  2  0  
a

1




     ... 
2
3


1!
2 3!
 b  
 b  2  2!

  b  
  b  
2
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• Como b mucho mayor que r0 , y el cociente r0/b tiende
a cero. De acuerdo al desarrollo del binomio
1
2
2


r
1 r
 1   0    1   0 

2 b 
 b  

2
• El campo de una superficie es:
2


1  r0 
1     1 
 
2 b 

E 
2
2 0 
1  r0  
 1   
2 b  

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• Como b mucho mayor que r0 , y el cociente r0/b tiende
a cero, entonces la unidad es mucho mayor que:
1  r0 
1  
2 b 
2
2


1  r0 
1     1 
 
2 b 

E 
2
2 0 
1  r0  
 1   
2 b  

• El denominador tiende a cero y el campo
superficie es:
  1 r0 
2
E 

2 
2 0  2 b 
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de una
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• Casos particulares del campo por una superficie.
•
La
densidad
superficial de
carga es:
 
Q

A
Sustituyendo en
la ecuación de
campo, para el
caso B
E 
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1
Q
r
2
0
Q
4  0 b
2
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En la figura se muestra una superficie
muy grande coincidente con el plano
“XZ”, una línea muy larga que pasa
por el punto C(0,2,0) [m] paralela al
eje “X” y una carga puntual Q=30[μC]
ubicada en el punto (0,2,3) [m]. Si Q
experimenta la fuerza F=(300 j +500 k
)[N]. Determine:
a) El valor y signo de la densidad
lineal de carga λ .
b) El valor y signo de la densidad
superficial de carga σ.
c) El vector campo eléctrico total en el
punto D (0,2,-1) [m] si λ=8.31x104[C/m] y σ =177[mC/m2 ].
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• Resolviendo para calcular λ.
•

2
E  k
 
rCQ



E Q  E  E  


FQ
EQ 
 ( 300
Q
 rCQ
 E
2k
E  ˆj  E  kˆ
ˆj  500 kˆ )
1
30  10
6
7
 (1 ˆj  1 . 67 kˆ )  10
7  N 
7  N 
E   1  10    E   1 . 67  10  
C 
C 
  E
rCQ
2k
 1 . 67  10
7
3
2  9  10
9
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 2 . 77  10
3
C 
 m  positiva
 
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
b ) E 

2 0
 1 . 77  10
4


c ) E D  E DQ

E DQ 
1
   2  0  2 ( 8 . 85  10
 12
)1  10
 N 
m2 




 E D   E D  ˆj
Q
4  0 rDQ
2
 kˆ   9  10
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9
30  10
4
2
6
 kˆ 
7
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
7  N 
E DQ   1 . 496  10 

C 


N


7
ˆj  1  10
E D 
C 
2 0


 



E D  1 ˆj  1 . 498 kˆ  10
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7
N 
C 


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

E D 
2 0
 
N


ˆj  1  10
C 
 

7


N


7
ˆ
ˆ
E D  1 j  1 . 498 k  10  
C 
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Ing. Catarino Fernando Pérez Lara
Facultad de Ingeniería, UNAM
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• La figura muestra dos alambres muy
largos con carga, coplanares y paralelos
al aje “X”. El alambre 1 posee una
distribución lineal λ1 =- 0.5[ C/m] y cruza
el eje “Z” en el punto M (0,0,3) [cm]; el
alambre 2 con λ2 = 0.5 [ C/m] cruza el eje
“Z” en el punto N(0,0,-3) [cm]. Calcule:
• a) El vector campo eléctrico en el punto O
(0,0,0) [cm].
• b) El vector campo eléctrico en el punto A
(0, 1.5, 0) [cm].
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La figura muestra una carga
puntual q=-2 [nC] situada en el
punto (0,-3,3) [cm], una línea
cargada de longitud infinita
paralela al eje “z” y que pasa
por el punto (0,5,0) [cm].
•Determine:
•a) Si el campo eléctrico total en
el punto B(0,0,3) [cm] es: E = 18.2×10ˆ3 j [N/C] obtener la
densidad de carga λ en la línea.
b) Si λ=4 [nC/m) obtener el
vector de campo eléctrico total
en el origen O (0,0,0).
c) El vector fuerza que actúa
sobre la carga q debido a la
línea
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• Próxima clase: Tema 1.5
definición de Flujo eléctrico.
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concepto
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Tema 1.4