Segmentación
Qué vemos?
• La información visual llega a la retina de
manera local y “discreta”: conos y bastones
sensibles a fotones reflejados por los
objetos.
• Un buen “modelo” son las imágenes
digitales: f(x) R definido en un dominio 
• Modelo más general: datos
multidimensionales.
Pero “vemos”estructura...
• Los “datos”del ingeniero (o del sistema
biológico) son muy distintos de las
imágenes en sentido artístico, semántico o
perceptual.
• Vemos estructura!
Ejemplos de imágenes
•
•
•
•
•
Huellas
madera
arte
lena
etc.
Pregunta
• Cómo pasar de los datos sin estructura a la
imagen perceptual estructurada?
• Los sicólogos de la escuela de la Gestalt
intentaron responder a esta pregunta en los
años 20-30 del siglo pasado.
– Kanisza.ppt
Marr
• Los psicofísicos de los 60 intentaron
responder a esta pregunta: Midieron cuanto
era percibido en los primeros milisegundos
luego de llegar la imagen a la retina.
• En los años 60-70 los ingenieros intentaron
el camino de la “visión artificial”: contexto
de los sensores exteroceptivos.
• Marr.ppt
El problema de la segmentación
• Dada una imagen digital encontrar una
partición en regiones homogéneas y sus
fronteras.
• Se supone que las regiones homogéneas son
objetos perceptualmente significativos y los
bordes sus límites.
Sería una máquina geométrica?
• Los gestaltistas y psicofísicos coinciden en
que:
– El proceso de segmentación funciona en las
primeras etapas de la visión.
– El proceso es independiente de modelos a priori
o de procesos de aprendizaje.
– Aparentemente sería una máquina
geométrica.
Dos aproximaciones...
• Discontinuidad de características:
– líneas, bordes.
• Regularidad de características:
– regiones.
• Son dos aspectos del mismo problema
Parámetros
• Buscamos que el algoritmo tenga “pocos”
parámetros y que sean “intuitivos”.
• Dos parámetros “aceptables”:
– Qué es borde y qué es ruido? -> un umbral
– Escala: qué detalles significativos?
Análisis multiescala
• Dada una imagen u ( x ) definida en un
dominio .
• Generar una secuencia de imágenes
simplificadas u ( x ) cada vez más grosera
conforme aumenta .
• Los detalles y bordes permanece si su
“escala” es mayor que 
0

Propiedades que debe cumplir
• Fidelidad: u ( x )  u ( x ) cuando   0
• Causalidad: s (u ) solo depende de s  ( u 0 )
si   
• Invariancia euclidiana: Si A es una
isometría: s  (u 0  A )  s  (u 0 )  A
• Causalidad fuerte (para detección de
bordes): K  K si   

0

0
1
1
1


1
Aproximación lineal
• Hildreth, Marr, Witkin, Koenderink...
• Marr hablaba del primal sketch (esbozo
primario en bruto).
• Convolucionar la imagen con “detectores
locales de borde”, detectar, filtrar y agrupar
las respuestas.
– Cambio de signo del laplaciano.
– Extremas del gradiente.
Detección de bordes.
• Un borde definido como el límite entre dos
regiones con propiedades diferentes.
• A veces se puede modelar como una
discontinuidad en el nivel de gris (en este
caso la propiedad de cada región está
representada por el nivel de gris).
• La derivada local da cuenta de estas
variaciones.
Imagen
Perfil
1ra. derivada
2da. derivada
Tomado de Gonzales y Wintz. Digital Image Processing.
bordes...
• La primera derivada indica la presencia de
un borde.
• El signo de la 2da.derivada indica si un
pixel pertenece a la parte “oscura” o “clara”
del borde.
• ¿Donde está el borde?
Gradiente
• Operador asociado a la 1ra. derivada.
• El gradiente de una imagen está formado
por un campo de vectores asociados a cada
pixel. El módulo de cada vector da cuenta
de la variación de intensidad y la dirección
da cuenta de la dirección principal de esa
variación.
Aproximar el operador
• Aproximación discreta: Sobel, Prewitt, etc.
• FIR: Canny
• IIR: Deriche
Suavizado previo
• Las derivadas amplifican el ruido.
• La idea es filtrar previamente con un
pasabajos: se suaviza en una dirección y se
deriva en la dirección perpendicular.
Máscaras.
• Se utilizan máscaras que recorren la imagen
ponderando a los vecinos. El valor del pixel
en la imagen de salida es la suma de los
productos de los coeficientes de la máscara
por el valor del pixel homólogo en la
imagen de entrada.
máscara
P(i,j) =
vecinaje 8
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w8
w9
x
j
i
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
Expresado vectorialmente.
• Para una ventanas de orden m, se trabaja
con vectores de dimensión n=2m+1.
• Para cada pixel de la imagen de entrada se
obtiene un valor en la salida según:

n
i0
wi xi
Detección de puntos aislados.
-1
-1
-1
-1
8
-1
-1
-1
-1
• En zona homogénea = 0.
• Centrado en un punto aislado > 0.
• Definición de un umbral.
Prewitt
Máscaras para calcular Gx y Gy:
-1
-1
-1
-1
0
1
0
0
0
-1
0
1
1
1
1
-1
0
1
Prewitt
• Filtro pasabajos promediador: Pasamos una
máscara en cada fila 1/3(1 1 1)
• Derivada por columnas1/2 (-1 0 1)
Gx 
1
2
Gy 
1
2
(
(
x 7  x8  x9

x1  x 2  x 3
3
3
x3  x6  x9
x1  x 4  x 7
3

3
)
)
Sobel
Máscaras para calcular Gx y Gy:
-1
-2
-1
-1
0
1
0
0
0
-2
0
2
1
2
1
-1
0
1
Sobel
• Filtro pasabajos más suave: Pasamos una
máscara en cada fila 1/4(1 2 1)
• Derivada por columnas1/2 (-1 0 1)
Gx 
1
2
Gy 
1
2
(
(
x 7  2 x8  x9

x1  2 x 2  x 3
4
4
x3  2 x6  x9
x1  2 x 4  x 7
4

4
)
)
Gradiente
 f 
 x  G x 
G  f  x , y       
f
  G y 
  y 
Magnitud
Direccion
del gradiente
: G  f  x , y  
del gradiente
Gy

:  (x, y) = tan 

G
x 

Gx  Gy  Gx  Gy
2
-1
2
Operadores que implementan el
gradiente
Operadores que implementan el
gradiente
Operadores que implementan el
gradiente
Operadores que implementan el
gradiente
Qué hacer con el gradiente?
• Tengo en cada punto una aproximación de
la dirección y el módulo del gradiente.
• Qué es ruido y qué información?
– Relación con el soporte de la estimación del
gradiente.
• Bordes cerrados? Bordes contínuos?
La posición de los
bordes está definida
por el pasaje por cero
de la segunda derivada.
Laplaciano
• Operador asociado a la 2da. derivada.

2
f
x ,
y 

2
f
x2


2
f
y2
Laplaciano
• Los bordes están en el cruce por cero del
resultado de aplicar el operador.
• Curvas cerradas.
• No hay parámetro de cuan fuerte es el
borde!
• Muy sensible al ruido.
• No da dirección.
Laplaciano
• La máscara más común:
 I ( x, y )  4 z5  ( z 2  z 4  z 6  z8 )
0
1
0
1
-4
1
0
1
0
2
Laplaciano
-1 -1 -1
-1 + 8 -1
-1 -1 -1
0 -1 0
-1 4 -1
0 -1 0
Laplaciano de la gaussiana
2
• Suavizar con una gausiana g ( x , y )  e
• Pero:  ( I  g )  I   g
• Se usa máscara basade en:
2
2
 
2
g ( x, y ) 
  x  y
2

2
4
2

e

2
2
2

x y
2
2
2
Bordes en otras dimensiones...
• En 3D: discontinuidades en todas
direcciones: superficies en vez de bordes.
• 2D+t: discontinuidades entre 2 imágenes
sucesivas en el eje del tiempo por ejemplo.
• Etc...
Detectores de bordes: Canny.
• Modelo de borde: un escalón más ruido:
i  x   Au 1  x   n  x 
• Los bordes serían los máximos del resultado
de la convolución del borde ruidoso con una
función antisimétrica f(x).
 x 0  

 I x  f x

0
 x dx
Criterios de Canny.
• Buena detección: Baja probabilidad de no
detectar un punto de borde y baja
probabilidad de marcar como borde un
punto que no lo es. Maximizar la relación
señal a ruido.
Buena detección.
• Llamemos f(x) a la respuesta impulsional
del filtro y llamemos G(x) al borde centrado
en x = 0. La respuesta del filtro al borde en
su centro es:
W
HG 
 G  x  f  x dx
W
• Para la clase de borde escalón:
0 , x  0;
u
x



• donde:

1, x  0;
1

G x   A u 1 x 
Buena detección.
0
• Lo que resulta en: H   Af  x dx
• La relación señal a ruido puede ser
expresada como la relación entre la
respuesta del filtro al borde y su respuesta al
ruido:
G
W
W
SN R 
 f  x dx
A
W
0
W

W

f
2
 x dx
A
0

Buena localización.
• Buena localización: Los puntos marcados
por el operador deben estar ubicados lo más
cerca posible del centro del borde. El
recíproco de la distancia media cuadrática
del borde marcado respecto al centro del
verdadero borde.
L 
f  0 
A
0
W

W
f 
2
 x dx

A
0

Respuesta única.
• Respuesta única a un borde. El detector
debe dar una sola respuesta a un borde
único.
• Limitar el número de picos en la ventana
[-W,W]: la distancia media entre máximas
adyacentes es el doble de los cruces por
cero en la salida del operador.
Respuesta única.
• Utiliza una expresión del valor medio de la
distancia entre cruces por cero de la
respuesta de una función al ruido gaussiano
para llegar a:


X  KW  2
f 
2
 x dx
f 
2
 x dx




Canny
• Maximisar el producto   bajo la
exigencia de que el número de máximas
locales sea fijo.
0
 f  x d x
 f

W
W

W
f
2
 x d x
  f  
f  0 
W

W
f 
2
 x dx
Canny
• Obtuvo una forma teórica del filtro óptimo
h(x)  e
 x
( a sin  x  a
1
2
cos  x )  e
x
(a
3
sin  x  a
4
cos  x ) ñ 
• Con valores de performance: k
0
.
5
8


1
.
1
2
• Observando la forma de ese filtro notó su
similitud con la forma de la primera
derivada de una gaussiana:
f x   
x

2
x
e
2
2
2
k

0
.
5
1
   0.9 2

2
Suavizado?
• Se suaviza previamente con una gaussiana.
G ( x)  e

x
2
2
: desviación standard
• Se puede convolucionar con la derivada de
la gaussiana:
 ( I  G )  I   G
 ( I  G )  I   G
2
2
Deriche
• Canny trabajó con filtros a respuesta
impulsional finita. Deriche continuó el
análisis para filtros a respuesta impulsional
infinita y obtuvo un filtro de la forma:


x
f
x


c
x
e


• Los índices de performance son:
 
2
 
2

k  0 .44
  2
Deriche
• Este operador es mejor que el de Canny y
presenta un sólo parámetro  que controla
el ancho del filtro. Su ajuste permite jugar
con la localización o la SNR. El máximo de
f(x) esta en x  1. Al aumentar  aumenta
la localización y baja la SNR.
Deriche. Implementación.
• 5 multiplicaciones y 5 adiciones por punto
independientemente de la talla del filtro
fijado por el parámetro.
y
y

n   x n  1  b 1 y  n  1  b2 y  n  2 
n  1,  , N

n   x n  1  b1 y  n  1  b2 y  n  2 
n  N ,  ,1

y n   a y

n  
y

n 
n  1,  , N
1  e 

a   ce

b1   2 e

b2  e
2
c 
e

2
Deriche. Implementación 2D.
• Se trata de un filtro IIR separable con un
número fijo de operaciones por punto
independientemente de la talla del filtro.
• Se filtran las imágenes por los filtros Ox y
Oy para obtener los gradientes Gx y Gy.
• Se calcula el módulo y la dirección del
gradiente.
• Segmentación por 2 umbrales con
histéresis.
Deriche. Implementación 2D.
y
y

m , n   x m , n  1  b1 y  m , n  1  b 2 y  m , n  2  n  1 N C , m  1 N L

m , n   x m , n  1  b1 y  m , n  1  b 2 y  m , n  2  n  N C  1, m  1 N L

G y m , n   a y
r


m , n   y  m , n 
n  N C 1, m  1 N L
m , n   a 0 y m , n   a 1 y m  1, n   b1 r  m  1, n   b2 r  m  2 , n 
n  1 N C , m  1 N L
r

m , n   a 2 y m  1, n   a 3 y m  2 , n   b1 r  m  1, n   b 2 r  m  2 , n 
n  1 N C , m  N L  1
G x m , n   r

m , n   r  m , n  n  1 N C , m  1 N L
Deriche. Implementación 2D.
G m , n  

G x  m , n   G y m , n 
2
G  m , n   arctg a n
c=
1 - 2e
-
e
a   ce

cos   e

a2  a1 - c2 b1
 G x m , n   G y m , n 
G y m , n 
G x m , n 
2
sin 
sin 
2
a 0 = c2
a 3   c2 b2
c1 
k

2

c2 
2
a 1 = -c 2 cos   c 1 sin  e
b 1  2 e

cos 
k

2

-
b2  e
2 
2
NMS e histéresis
• Canny propuso criterios para diseño de un
filtro óptimo (y para comparar detectores de
borde!)
• Propuso también un “método de selección
de los pixels del borde”
Supresión de no máximos
• Guardar puntos que sean máxinios locales
en la dirección del gradiente.
I i 1 , j  1
I i 1 , j
I i 1 , j  1

I i, j  1
I i 1 , j  1
I i 1 , j
I i, j  1
I i 1 , j  1
Histéresis
• Elegir una escala  y obtener Gx y Gy.
• Obtener la magnitud del gradiente
• Suprimir los puntos no máximos en la
dirección del gradiente (normal al borde)
• Guardar ptunos con    h
• Agregar puntos conexos y con   
L
Modelo lineal
• Hildreth, Marr, Witkin, Koenderink...
• Convolucionar la imagen con “detectores
locales de borde”, detectar, filtrar y agrupar
las respuestas.
– Cambio de signo del laplaciano.
– Extremas del gradiente.
Ecuación del calor
• Koenderink propuso la ecuación del calor
como una forma de análisis multiescala:
I t ( x, y, t )  I ( x, y, t )
I ( x , y ,0 )  I 0 ( x , y )
• La solución es convolución con gaussianas
de sigma variable.


I t ( x, y, t )  Gt  I 0
Gt 
1
4 t
e

2
x y
2
4t
Difusión Isotrópica
Ix, y , t   I 0 x, y  * Gx, y , t 
• I0(x,y): imagen original con ruido
• G(x,y,t): Kernel gaussiano de varianza t
• I(x,y): imagen filtrada.
Interpretación:
Al variar t, la imagen de salida es la observación
de la imagen original a una resolución dada.
Difusión Isotrópica
Espacio de Escalas
• Procesar la imagen con un banco de filtros
con t creciente.
• Al aumentar t : suavizo más, difundo
detalles, imagen a escala más gruesa.
• Köenderink y Witkin
Espacio de Escalas
Detector de borde aplicado
sobre imagen con distintos
grados de difusión
isotrópica
Ecuación del calor
Ix, y , t   I 0 x, y  * Gx, y , t 
Interpretación: I(x,y,t) es una familia
paramétrica que se puede obtener como la
solución de aplicar la ecuación del calor a la
imagen.
I( x, y , O )  I 0 ( x, y )
I t x, y , t    Ix, y , t   I xx  I yy
2
Ecuación del calor
• Permite resolver el problema de suavizado
gaussiano con herramientas conocidas para
la resolución de ecuaciones en derivadas
parciales.
Y los criterios?
• En general los modelos lineales cumplen los
criterios 1, 2 y 3 del análisis multiescala
pero fallan en el 4to criterio: la causalidad
fuerte.
• Basta mirar que a diferentes escalas los
bordes “se mueven”.
• Esto es cierto incluso para el filtro “optimo”
en el sentido de Canny.
Difusión anisotrópica
• Nuevo enfoque para la eliminación de ruido
y por tanto para la detección de fronteras:
Encontrar “ecuaciones del calor” con
coeficiente de conducción variable.
Difusión anisotrópica
• Objetivo:
– mejorar la imagen sin destruir bordes
– suavizar dentro de las regiones limitadas por los
bordes pero no a través de ellos.
• Ecuación de difusión anisotrópica:
I t x, y, t   c( x, y, t )I x, y, t 
• c(x,y,t) = cte, difusión isotrópica
Difusión anisotrópica
I t x, y , t   c( x, y , t )Ix, y , t 
• Objetivo: Comportamiento distinto si estoy
en una región uniforme o en un borde:
c= 1 dentro de la región
c=0 en los bordes
Estimación de bordes
• Problema: No conozco la posición de los
bordes a cada escala. Necesito estimar.
• Necesito un descriptor de la presencia de un
borde.
• Elección razonable: modulo del gradiente
c( x, y, t )  g Ix, y , t  
Elección del coeficiente
c( x, y, t )  g Ix, y , t  
s
g (s )  0
s0
g(s )  1
Detectores de bordes
g  I   e
• Detector de Leclerc:
k

2
I
2
• Privilegia bordes con alto contraste frente a los de pequeño
• Detector Lorentziano
1
g  I  
• Privilegia grandes regiones sobre las pequeñas
k
2
I
2
1
Detectores de bordes
Y los parámetros?
• La función g es una especie de umbral que
antes estaba en el parámetro de qué tan
fuerte es el módulo del gradiente...
• La escala está dada por el tiempo que dejo
evolucionar la difusión.
Ecuación de Perona -Malik
t
I
  g( I )I 
• Si queremos suavizar ruido de una imagen
necesitamos estimar la condición de parada
de la ecuación. Elegir el t de forma que sea
suficiente para eliminar ruido pero que no
deteriore bordes.
• Existen criterios que permiten estimar la
condición de parada.
Discretización para la ecuación
de difusión anisotrópica
D N I ij  I i 1, j  I i , j
I ij
t 1

c N ij  g D N I ij
t

 I ij   c N D N I  c S D S I  c E D E I  c O D O I ij
t
t
Nitzberg y Shiota
• Propusieron una difusión con gausianas
adaptativas con   1  I y dirección
perpendicular a la dirección del gradiente en
el punto.
Morel propuso
I t  f (  G   I )  I div (
I
I
)
I (0)  I 0
G ( x )  1

c
e
x
2
4
• Un término de difusión normal al gradiente.
• Un término que modula la velocidad de
difusión en función de la fuerza del borde.
Búsqueda de regularidad
• Otro camino es buscar la regularidad de
cierta característica.
• Nivel de gris
• Medidas de otro tipo sobre un soporte dado.
Umbrales
• Se trata de un método para detectar
regiones, es decir continuidad.
• Se busca un valor de umbral T que permita
dividir los elementos de imagen en 2
grupos:
1
g (x, y)  
0
si f ( x , y )  T
si f ( x , y )  T
Detección automática de T
• El histograma permite estudiar algunas
características de la imagen.
• Histograma multi-modal:
T
Iluminación no uniforme
• Puede producir efectos indeseables en una
segmentación por umbrales dado el carácter
global de la misma.
• Soluciones:
– ir a un operador más local
– estimar la iluminación no uniforme y
compensarla.
Cálculo de T óptimo
• Supongamos una imagen con 2 zonas de
brillo. Se trata de estimar la función de
densidad de probabilidad p(z) que es la
mezcla de 2 densidades de probabilidad.
Una para los pixeles claros y otra para los
oscuros.
Umbral óptimo
p ( z )  P1 p 1 ( z )  P2 p 2 ( z )
p( z) 
P1
2  1

e
( z  1 )
21
2
2

P2
2  2

e
( z 2 )
2 2
2
2
P1  P2  1
 1 ,  2 : Valores medios de nivel de brillo
 1 ,  2 : Desviación
standard respecto a la media.
P1 , P2 : Probabilid ades a priori de los dos niveles.
Umbral óptimo
• Si suponemos distribución gaussiana e
iguales varianzas se puede obtener una
expresión del umbral óptimo de la forma:
T 
1   2
2
 p2 


ln 
 1    p1 

2
Segmentación de regiones
• Dividir la escena en n subregiones conexas
tal que:
n
 Ri  R
i 1
R i  R j   para todo i y j, i  j.
P ( R i )  VERDADERO
para i  1, 2 ,..., n
P ( R i  R j )  FALSO para i  j
Regiones
• Las últimas 2 condiciones indican que la
región cumple una propiedad y que los
pixels de 2 regiones son distintas en el
sentido de esa propiedad, que define la
segmentación.
Regiones
• Estructura piramidal (quizas los pixels)
• Un cirterio de aproximación
ui  u0  
• Unir regiones adyacentes si la aproximación es
similar
• Dividir regiones con error de aproximación
grande.
• Subir y bajar en la pirámide buscando bajar la
norma de la aproximación.
– Ojo: relación de la altura en la pirámde con la escala.
Grafo de Adyacencia (RAG)
•
•
Cada región un nodo, con sus propiedades.
Los arcos representan las relaciones entre
regiones con una distancia asociada.
1. Se define el RAG.
2. Unir las regiones (nodos) más cercanas si la
distancia es menor a un umbral.
3. Recalcular el RAG
4. Volver a 2 hasta que no se puedan unir.
ejemplos
• En segmenta.pdf
Un modelo general de
segmentación
• Morel y Solimini en “Variational Methods
in Image Segmentation” proponen que
todos los algoritmos de segmentación
corresponden a un mismo modelo general:
minimizar una “energía de segmentación”,
esencialmente el funcional de Mumford y
Shah
Energía de segmentación
E (u , K ) 

2
 u dx 
\K
 ( u  g ) dx  long ( K )
2
\K
– En el dominio sin los bordes:
• Regularidad: aproximación por “trozos”.
• Similitud: con la imagen original
– En los bordes:
• Bordes regulares: El conjunto de discontinuidad de
“longitud” mínima.
• Minimizar la energía.
Introducir información a priori?
•
•
•
•
•
A veces se conoce “algo”.
Cuidado con “ver lo que se quiere ver”...
Buscamos objetos de forma conocida.
Sabemos que hay ciertas clases.
Buscamos bordes con ciertas características.
Información global/local
• En ocasiones la información debe ser
detectada utilizando un operador global:
toda la imagen aporta a la detección.
• La Transformada Hough es un ejemplo de
operador global.
Transformada Hough.
• Obtener el campo de gradientes de la
imagen.
• Crear un espacio de acumulación en función
de los parámetros de la función que se
busca.
• Los máximos en el espacio de acumulación
señalan la existencia de los objetos
buscados.
Transformada Hough. Líneas.
• Una línea es definida como: s

x
c
o
s


y
s
i
n

• La transformada Hough de esa línea es un
s
,


punto en el plano 
.
• Discretizamos el espacio y para cada punto
de la imagen calculamos su representación
s
,


en el plano 
.
s
,


• Los máximos locales en 
son líneas.
Transformada Hough. Líneas.
y
s
s , i  i 
s

x

Transformada Hough
• Círculos r 2  ( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2
– 3 parámetros: 2 para el centro + radio
• Elipses
1
( x  x0 )
r
2
x
2

( y  y0 )
2
2
ry
– 5 parámetros: centro, orientación, ejes mayor y
menor.
• Ballard: Transformada de Hough
generalizada.
Transformada de Hough
• Se trata de una forma de “Pattern Matching”
• Se transforma un una búsqueda global en
una local en el espacio de parámetros.
• Problemas: discretización en el espacio de
los parámetros.
• Discretizar usando información de dirección
en el borde?
Ejemplos Transf. de Hough
• Pardo
Maximo a Posteriori
• En pardo hay ejemplos
Evolución de frentes
• Segmentar con cierta información a priori:
– Curvas cerradas, de espesor 1, contínuas, “más
o menos regulares”
• Hacer evolucionar un frente de modo que
minimice la funcional de Mumford-Shah u
otra “energía de segmentación”:
E (u , K ) 

\K
2
 u dx 
 ( u  g ) dx  long ( K )
2
\K
Evolución de frentes
• Consideremos un frente (curva en 2D,
superficie en 3D, hipersuperficie), que
separa 2 regiones y que se mueve según una

velocidad dada:  (t )  F
t
• La idea es seguir el frente cuando
evoluciona en el tiempo e introducir en F
“lo que buscamos”
Evolución de frentes
• En el caso de una curva plana. Podemos
descomponer F en sus dos componentes:


C t ( s , t )  FT T  F N N
C ( s ,0 )  C 0
• La componente tangencial no cambia la geometría
de la curva. Nos interesa la componente normal.
Siempre podemos parametrizar la curva para que
la componente tangencial sea nula.
Evolución de frentes
• Trabajamos entonces con una velocidad:
t ( s , t )  F ( L , G , I ) N

• Donde:
– L:propiedades locales del frente (Ej: k)
– G:propiedades globales del frente (Ej: forma)
– I: propiedades independientes del frente. Por
ejemplo asociadas a la imagen!
Ejemplo
• La evolución de una curva según la
curvatura local en la dirección normal la
regulariza, va aun círculo, a un punto y
desaparece.

C t ( s , t )  kN
GAC
• Ejemplos en 2D
• Ejemplos en 3D
MAC
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