Conjuntos
Trabajo Práctico Nº 2
Conjuntos
1) Escribir simbólicamente
a) R es un subconjunto de T
b) x es un elemento de Y
c) El conjunto vacío
d) M no es un subconjunto de S
e) z no pertenece a A
f) R pertenece a A
2) Escribir por extensión los conjuntos :
i) A = { x : x es vocal }
ii) B = {x es dígito del número 2324}
iii) C = {x : x es una letra de la palabra “fallar”}
iv) D = { x : x2 - 2 = 0 }
v) E = { x : x2 = 9  x - 3 = 5 }
3) a) Escribir por comprensión los siguientes conjuntos :
A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . }
C = { 1, -1 }
B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . }
D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 }
b) Escribir por extensión los siguientes conjuntos definidos por
comprensión :
A = { x / x  N  3  x  10 }
B = { x / x  N  5 / x}
4) Sean
A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 } ;
B = { 2, 4, 6, 8 } ;
C = {1, 3, 5, 7, 9 }
D = { 3, 4, 5 };
E = { 3, 5 }
¿ Cuáles conjuntos son iguales a X ? , si se da la siguiente información :
i) X y B son disyuntos
iii) X  A
pero
A  C
ii) X  D pero X  B
iv) X  C pero X  A
5) Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa :
i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 }
ii) { 3, 1, 2 }  { 1, 2, 3 }
iii) 1  { 1, 2 }
iv) { 4 }  { { 4 } }
v) { 4 }  { { 4 } }
vi)   { { 4 } }
6) Determine si los conjuntos dados son vacíos :
i) X = {x : x2 = 9  2 x = 4 } ii) Y = { x : x  x }
iii) Z = { x : x + 8 = 8 }
7) ¿ Cuales de los conjuntos siguientes son finitos ?
i) Los meses del año
iv) El conjunto Q de los números racionales
ii) {1, 2, 3, . . . ., 99, 100}
v) El conjunto R de los números reales
iii) El número de personas que viven en la tierra.
8) En los siguientes diagramas de Venn, sombree:
i) W - V
ii) Vc  W
iii) V  Wc
V
W
iv) Vc - Wc
V
W
9) Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con
los anteriores, dibujar su diagrama de Venn y rayar las siguientes
zonas :a) A  B
b) A  B
c) (A - C)  B
d) (A - C)  B
e) (A  B  C)  D
10) Sean U= {1, 2, . . . . , 8, 9} ; A ={1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6} . Hallar :
i) Ac
ii) A  C
iii) (A  C)c
iv) A  B
v) (B - C)
11) Señalar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones :
a) A  B  A  ( A  B )
c) C - A = C  A
b) B  A  ( A  B )  A
d) A = B  A  B = A
12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian
únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros idiomas
diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ?
13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ;
45 estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian
matemáticas y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian
ninguna de estas tres materias.
a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres materias.
b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente una
de las tres materias.
14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis,
el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el
30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien
afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis
¿ lo creería ? ; ¿ porqué ?
15) Setenta y cinco niños fueron a un parque de diversiones donde subieron a la
rueda de la fortuna, la montaña rusa y al trencito. Se sabe que 20 de ellos subieron
a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres juegos. Cada juego
cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine el número de niños que no
subió a ninguno de los juegos.
16) Considere el lenguaje especificado por la gramática
G = ( T, N, S0, P ) donde
T = { a, b, c };
N = { S0, A, B };
S0 es símbolo inicial
P = { S0  AB, A  ab, A  a A b, B  c, B  B c }
Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado:
aabbaa
abbc
aaabbbccc
ababcc
17) Sea : L(G) = { an c bn ; n  0 } , encuentre si es posible, una gramática que pueda
generar el lenguaje dado.
Determinación de conjuntos
Para denotar conjuntos utilizaremos letras mayúsculas, y para
especificar los elementos que pertenecen (o no) a los conjuntos
usaremos letras minúsculas.
a  A
el elemento a pertenece al conjunto A, simbólicamente
Podemos escribir :
y solo a ; b ; c y d pertenecen al conjunto A
A = { a, b, c, d }
Hemos definido el conjunto A por extensión,
nominando entre llaves todos y cada uno de los
elementos que lo componen
Una representación visual de los
conjuntos es la de diagramas de Venn
1-2
3
2
s  A
si el elemento s no pertenece al conjunto A, escribimos
Si a  A ; b  A ; c  A ; d  A
1
A
.b
.a
.c
.d
3
Pero también al mismo conjunto A podríamos definirlo por comprensión
A = { x /x es una de las primeras cuatro letras del alfabeto }
Definimos por comprensión un conjunto, enunciando las propiedades (o
características) que son propias de todos los elementos del conjunto y
solamente de ellos
Ejemplo
A = {x / x  N  x  4 }
por comprensión
A = { 1, 2, 3 }
por extensión
B = { -2, -1, 0, 1, 2 }
1
por extensión
B = {x / x  Z  x   2 }
por comprensión
Cuando el conjunto es infinito, como el conjunto de los números naturales;
acudiendo a un abuso de notación puede proponerse una determinación por
extensión aparente como:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . . . . . . . . . . . }
Si un conjunto no tiene elementos decimos que está vacío
Simbólicamente A = 
1-2
3
6
2
6
3
Multiconjuntos
Puede suceder que en un conjunto algunos
elementos no sean diferentes (se repiten), este
es el caso de un multiconjunto
Por ejemplo:
el conjunto de los nombres de los jugadores de un equipo de fútbol
1
Entre los 11 jugadores pueden haber algunos cuyos nombres sean los
mismos. Por ejemplo: 3 se laman Juan; 2 se llaman Alberto; y los 6
jugadores restantes tienen nombres diferentes.
2
3
Cada jugador es un elemento, aunque hay elementos que tienen el mismo nombre
Sea el conjunto A = { a, a, a, b, c, c }
Conformado por 6 elementos de
los cuales 1 se repite tres veces,
otro dos veces y el tercero
aparece una sola vez
Decimos que : la multiplicidad del elemento a
en el conjunto A
la multiplicidad del elemento b
en el conjunto A
es
1
la multiplicidad del elemento c
en el conjunto A
es
2
1-2
3
es
3
Puede suceder que todos los elementos de un conjunto, pertenezcan
también a otro conjunto.
Por ejemplo:
A = { x/x es alumno de la carrera Lic. en Sistemas }
4
B = { x/x es alumno de FACENA }
5 i-iii
5 iv-vi
Es obvio que todos los alumnos de la carrera de Licenciatura en Sistemas son
alumnos de la Facultad de Ciencias Exctas y Naturales y Agrimensura
Entonces decimos que:
A está incluído en B
Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 1, 2, 3, 4 }
en diagramas de Venn
Todos los elementos de B
pertencen al conjunto A
entonces
A  B
A
B  A
Recordá siempre que
entre elemento y conjunto la relación es de pertenencia
entre conjuntos la relación es de inclusión
B
1
3
2
4
5
1a) Si decimos R es un subconjunto de T
Simbólicamente escribimos
R T
R
.b
.a
b) Si decimos x es un elemento de Y
Simbólicamente escribimos
T
Y
.x
x  y
A
c) El conjunto vacío simbólicamente es A =  también A = { }
d) Si decimos M no es un subconjunto de S
Simbólicamente escribimos
.a
M  S
z  A
f) r pertenece a A
Simbólicamente escribimos r  A
.r
A
.b
ó bien
.b
.a
e) z no pertenece a A
Simbólicamente escribimos
M S
.b
M
A
.b .a
S
.c
2) i) A = { x : x es vocal } por extensión se escribe :
A = { a, e, i, o, u }
ii) B = { x : x es dígito del número 2324 } por extensión se escribe
B = { 2, 2, 3, 4 }
con cardinalidad 2 para el elemento 2,
si lo tomamos como multiconjunto
al tomarlo
como conjunto
B = { 2, 3, 4 }
iii) C = {x : x es una letra de la palabra “fallar”} por extensión se escribe
con cardinalidad 2 para los elementos
“a” y “l”, si es multiconjunto
C = { f, a, a, l, l, r }
iv) D = { x : x2 - 2 = 0 }
x2 = 2
 x1=
2
9 3 
x2= 
C = { f, a, l, r }
se buscan los valores de x que verifican la ecuación
 x2= 
v) E = { x : x2 = 9  x - 3 = 5 }
x1=
al tomarlo
como conjunto
9  3
2
entonces:
D ={ 2 , 2 }
se buscan los valores de x que verifiquen
ambas condiciones
y
x1-2 = 8
Los valores que verifican una de las
condiciones, no verifican la otra y viceversa
en consecuencia
E=
por comprensión, son números naturales que
3) a) A = { 1, 2, 4, 8, 16, . . . . }
comienzan en 1 y luego se suceden como el
doble del anterior
x1 = 20 = 1; x2 = 21 = 2; x3 = 22 = 4; x4= 23 = 8 . . . . . . . . . . xn = 2n-1
cualquiera sea i  0
A = { x / x  N  x = 2i, i  0 }
entonces:
B = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . . }
por comprensión son números naturales impares
B = { x / x  N  x es impar }
C = {1, -1}
ó
B = { x / x  N  x = 2h - 1, h  1 }
por comprensión son números enteros, opuestos
(de igual valor absoluto)
C = { x / x  Z  x= 1 }
D = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 }
por comprensión son números que resultan de elevar
al cuadrado cualquier natural menor que 7
D= { x / x  N  x = n2, con n  N, n  7 }
b) A = { x / x  N  3  x  10 } =
B={x/xN5x} =
A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B = { 5, 10, 15, 20, 25, . . . . . . }
4) Representamos en diagrama de Venn
A = { 1, 2, . . . . ., 8, 9 }
C
A
B = { 2, 4, 6, 8 }
C = {1, 3, 5, 7, 9 }
E
2
D = { 3, 4, 5 }
8
E = { 3, 5 }
i) Si X
D
B
4
1
9
3
5
7
6
y B son disyuntos
en el diagrama se aprecia que
ii) Si X  D
pero
iii) Si X  A
pero
iv) Si
X B
XC
XC
pero
entonces
X = C
entonces
X = E
entonces
X = B
XA
X = 
ó
X = E
Esto es imposible, porque en este caso
todos los conjuntos dados están
incluídos en el conjunto A
5) i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 }
Es verdadero
porque los elementos de los dos conjuntos son los mismos y si
dos conjuntos tienen los mismos elementos, son iguales
ii) { 3, 1, 2 }  { 1, 2, 3 }
Es verdadero
los elementos de los dos conjuntos son los mismos
podemos decir: A = B y B = A entonces A = A
iii) 1  { 1, 2 }
Todo conjunto está incluido
en sí mismo
Es verdadero
Al establecerse una relación de
pertenencia
Negamos que se establezca una relación de inclusión
1  { 1, 2 } porque es un elemento del conjunto
Mas precisamente 1 no está incluido en { 1, 2 } , sino que pertenece a { 1, 2 }
5 iv-vi
Es verdadero
5) iv) { 4 }  { { 4 } }
{ 4 } es un elemento del conjunto { { 4 } }
v)
La relación que se establece
entre elemento y conjunto
es de pertenencia
Es falso
{4}{{4}}
Es verdadero
vi)   { { 4 } }
 es un conjunto, no es un elemento
(en este caso)
 está incluido en cualquier conjunto
Recuerde siempre que:
la pertenencia relaciona elementos con conjuntos
la inclusión relaciona conjuntos entre sí
el conjunto vacío está incluido en todos los conjuntos
6) Determine si los conjuntos dados son vacíos :
i)
X = {x : x2 = 9  2 x = 4 }
El conjunto X está conformado por elementos que verifican las dos
ecuaciones dadas en la definición por comprensión, pero debe verificar
ambas por que los que vincula las ecuaciones es una conjunción
x1 = 3
2
x  9
x   9
Entonces:
ii)
X=
Y={x:xx}
x2 = - 3
2x=4

x 
4
2
2
En ningún caso coinciden x1 o x2 con x = 1/2
El conjunto Y estará conformado por elementos x que
sean distintos de sí mismos . . . .
Esto contradice el primer principio de la lógica clásica
“todo objeto es idéntico a sí mismo” (P. de Identidad)
Entonces :
Y=
iii) Z = { x : x + 8 = 8 }
Entonces :

Z
x=8–8=0
Z={0}
Si un conjunto tiene un número determinado de elementos,
decimos que es un conjunto finito
Formalmente, dado un conjunto A (de n elementos)
x1
x2
x3
xn
A
a
b
c
n
B
si es posible establecer una
correspondencia biunívoca (uno a uno)
entre los elementos de A con los
elementos de un conjunto B de
cardinalidad n
7 i-iii
7 iv-v
B es un conjunto finito de n elementos
Un conjunto es infinito, si no es finito.
Si es posible establecer una relación biunívoca entre los elementos de un
conjunto C cualquiera, con los elementos de N (conjunto de números naturales)
Tenemos en C un conjunto infinito contable o numerable
o lo que es lo mismo, podemos decir que la cardinalidad
de C es infinita contable
7) i) El conjunto de “los meses del año” es un conjunto finito de doce
elementos
A = { enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto,
septiembre, octubre, noviembre, diciembre }
Es un conjunto finito
ii) B = {1, 2, 3, . . . ., 99, 100}
son los cien primeros números naturales
Es un conjunto finito
iii)
C = El conjunto de personas que viven en la tierra
este es un conjunto que a priori suele ser
pensado como infinito, o en el mejor de
los casos infinito contable . . .
la cantidad de elementos que posee (personas
que viven sobre la tierra) nos impacta.
debemos reconocer que, si tomamos un instante determinado, la limitación para poder
contar los elementos es solo técnica. En el futuro podríamos empadronar a cada una de las
personas que viven sobre la tierra
establecer una relación biunívoca entre el conjunto C y un conjunto
de números naturales cardinalidad n (nº de personas que viven
sobre la tierra)
Es un conjunto finito
7 iv-v
7 iv)
Q = { x / x  Q }
R : conjunto de los números racionales
Para explicar mejor el problema, analizaremos un intervalo cualquiera
de los racionales, por ejemplo el intervalo [0, 1]
Intentamos establecer una correspondencia biunívoca entre los
racionales de [0, 1] (conjunto A) y algún conjunto B de cardinal n
A
B
0
1/16
1/8
1/4
1
6
5
4
3
1/2
1
2
a 0 le corresponde 1
a 1 le corresponde 2
tomamos el valor medio del intervalo [0, 1]
a 1/2 le corresponde 3
Entre cualquier
tomamos el valor medio entre 0 y 1/2
par de valores de
a 1/4 le corresponde 4
Racionales, puede
insertarse
tomamos el valor medio entre 1/4 y 0
siempre uno mas
a 1/8 le corresponde 5
tomamos el valor medio entre 1/8 y 0
a 1/16 le corresponde 6
siempre es posible establecer en A un nuevo número intermedio entre 0
y la última fracción al que le va a corresponder algún elemento de B
la cardinalidad de B así no puede determinarse Entonces A es un conjunto infinito
En el conjunto de los
Como A  Q resulta que Q es conjunto infinito
Reales habrán también
números irracionales. .
7 v) R = { x / x  R }
R es conjunto infinito
R: conjunto de los números reales
8 i
Operaciones de Conjuntos – Operaciones en Diagramas de Venn
Unión
8 ii
La unión del conjunto A con el conjunto B queda determinada
con todos los elementos que pertenecen al conjunto A
y también por los los elementos que pertenecen al conjunto B
8 iii
8 iv
9 c-d
9 a-b
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
Intersección
10 i-ii
A  B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
La intersección del conjunto A con el conjunto B queda
determinada con los elementos que pertenecen al conjunto A
y al conjunto B (solo a ambos conjuntos)
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
8
9-10
10 iii-iv
AB={3}
9 e
10 v
8 i
Diferencia
La diferencia del conjunto A “menos” el conjunto B
queda determinada con todos los elementos del
conjunto A que no pertenecen al conjunto B
8 ii
8 iii
8 iv
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
Diferencia
simétrica
A - B = { 1, 2 }
9 c-d
9 a-b
10 i-ii
10 iii-iv
La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B queda
determinada con todos los elementos que pertenecen solamente
al conjunto A ó al conjunto B (pero no a ambos simultáneamente)
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
8
9-10
A  B = { 1, 2, 4, 5 }
9 e
10 v
8 i
Conjunto Universal ó Universo
8 ii
Es un conjunto que contiene todos los elementos del universo
en el cual están contenidos los restantes conjuntos
B = { x/x  N impares }
Por ejemplo: A = { x/x  N pares }
U = {x/x  N }
Otro ejemplo:
Universal = todos los números naturales
B
Si algunos
alumnos estudian
las dos carreras
8
9-10
8 iv
9 c-d
9 a-b
10 i-ii
10 iii-iv
A = { alumnos de Lic. en Sistemas}
U = { alumnos de FACENA }
B = { alumnos de Bioquímica }
U A
8 iii
U
A
B
Si ningún alumno
estudia las dos
carreras
U
A
B
Si todos los alumnos de
Bioquímica también
estudian Licenciatura
9 e
10 v
8 i
El complemento del conjunto A está formado por los elementos
que son del Universal pero que no pertenecen al conjunto A
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
8 iii
8 iv
U
A
A = { 1, 2, 3 }
B = { 3, 4, 5 }
8 ii
7
B
1
2
3
4
6
9 c-d
9 a-b
10 i-ii
10 iii-iv
5
A´ = U – A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } – { 1, 2, 3 } =
Al conjunto universal le quitamos los elementos del conjunto A
A´ = { 4, 5, 6, 7 }
A´ también puede escribirse Ac ; -A ; A
8
9-10
9 e
10 v
8)
i)
W - V
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos V y W
Luego sombreamos con azul el conjunto W
U
y con verde el conjunto V
unión intersección
El resultado es la región sombreada en azul
(W) que no fue afectada por la sombra verde
W – V =
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V  W
W - V
sombreamos con azul el conjunto W
U
y con verde el conjunto V
El resultado sigue siendo la región sombreada
en azul (W) (que no fue afectada por la sombra
verde)
8 ii
W – V =
8 iii
8 iv
diferencia –
dif.simétrica
universal
complemento
8 ii) Vc  W
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos V y W
sombreamos con azul el complemento de V (Vc)
lo que no es conjunto V
U
y con verde el conjunto W
Por tratarse de una unión el resultado es la
región sombreada con cualquiera de los dos
colores e incluso con ambos colores
unión intersección
Vc  W =
c
V  W = ( V – W )
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V  W
sombreamos con azul elcomplemento de V (Vc)
y con verde el conjunto W
Por tratarse de una unión el resultado es la
región sombreada con cualquiera de los dos
colores e incluso con ambos colores
U
Vc  W =
Vc  W = U
8 iii
8 iv
c
diferencia –
dif.simétrica
universal
complemento
8 iii) V  Wc
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos V y W
sombreamos con azul el conjunto V
y con verde el complemento de W
(Wc)
Por tratarse de una intersección el resultado
es solamente la región sombreada con los dos
colores
U
unión intersección
diferencia –
dif.simétrica
V  Wc =
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V  W
sombreamos con azul el conjunto V
y con verde el complemento de W
(Wc)
U
Por tratarse de una intersección el resultado
es solamente la región sombreada con los dos
colores que en este caso es vacío
V  Wc = 
8 iv
universal
complemento
8 iv) Vc - Wc
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos V y W
sombreamos con azul el conjunto Vc
y con verde el complemento de W
(Wc)
Por tratarse de una diferencia el resultado es
la región sombreada con azul pero no con
verde
unión intersección
Vc – Wc =
diferencia –
dif.simétrica
universal
Si se trata de la segunda configuración de conjuntos V  W
sombreamos con azul el conjunto Vc
y con verde el complemento de W
(Wc)
Por tratarse de una diferencia el resultado es
la región sombreada con azul pero no con
verde
Vc – Wc =
complemento
9) a) A  B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
U
y con verde el conjunto B
unión intersección
A  B es la región sombreada con cualquiera
de los dos colores e incluso con ambos colores
diferencia –
dif.simétrica
A  B =
universal
9 b) A  B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
y con verde el conjunto B
U
A  B es la región sombreada solamente con
los dos colores
A  B =
9 c-d
9 e
complemento
9 c) (A - C)  B
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
U
y con verde el conjunto C
pintamos el resultado A - C
Por tratarse de una unión pintamos también
todo el conjunto B y así obtendremos que el
resultado final es toda la zona pintada
unión intersección
(A - C)  B =
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
9 d) (A - C)  B
y con verde el conjunto C
diferencia –
dif.simétrica
universal
complemento
U
pintamos el resultado A - C
sombreamos color naranja el conjunto B
Por tratarse de una intersección, pintamos amarillo la zona identificada con
los colores de A-C y de B y así obtenemos que el resultado final
(A - C)  B =
9 e
9 e) (A  B  C)  D
Se resuelve confeccionando el diagrama de Venn
de los conjuntos A ; B ; C y D
sombreamos con azul el conjunto A
con verde el conjunto B
U
y sombreamos color naranja el conjunto C
Por tratarse de una triple intersección, pintamos amarillo la
zona identificada con los colores de A , de B y de C
simultáneamente
A  B  C =
El conjunto D también sombreamos amarillo, para que quede determinado
( A  B  C )  D =
unión intersección
diferencia –
dif.simétrica
universal
complemento
10) Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
10 i) Ac son todos los elementos del conjunto universal, pero no del conjunto A
Dibujamos el universal con todos sus elementos
unión intersección
Identificamos el conjunto A
Sombreamos
Ac
diferencia –
dif.simétrica
= { 5, 6, 7, 8, 9 }
universal
10 ii)
A  C son los elementos del conjunto A y del conjunto C (de ambos)
Dibujamos el universal con todos sus elementos e
identificamos los conjuntos A y C
Sombreamos con azul el conjunto A y con
verde el conjunto C
La región con doble sombras es
A  C = { 3, 4 }
10 iii-iv
10 v
complemento
Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9}
A = {1, 2, 3, 4}
10 iii) Para hallar ( A  C )
y
C = { 3, 4, 5, 6 }
c
Usamos como resultado parcial el ejercicio
anterior A  C = { 3, 4 }
(A  C)c es precisamente todo lo que es universal
pero no forma parte de (A  C)
que sombreamos color naranja
10 iv)
unión intersección
( A  C )c = { 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 }
Si queremos hallar A  B
universal
complemento
Dibujamos en el Universal
A = { 1, 2, 3, 4 }
diferencia –
dif.simétrica
B = { 2, 4, 6, 8 }
Sombreamos el conjunto A
y también el conjunto B
A  B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
10 v
Si U= {1, 2, . . . . , 8, 9}
10 v)
para hallar
B = { 2, 4, 6, 8 }
y
C = { 3, 4, 5, 6 }
B - C
Sombreamos el conjunto B
y luego borranmos la zona sombreada
en B que es conjunto C
B – C = { 2, 8 }
unión intersección
diferencia –
dif.simétrica
universal
complemento
B
11) a) A  B  A  ( A  B )
Si A  B todos los elementos de A
pertenecen también al conjunto B
en ese caso A  B = A
y como todo conjunto está incluido en sí mismo
A  B  A  ( A  B )
11 b) B  A  ( A  B ) 
A
en ese caso A  B = A
es verdadero
A
Si B  A todos los elementos de B
pertenecen también al conjunto A
B
y como todo conjunto está incluido en sí mismo
B  A  ( A  B )  A
11 c) C - A = C  A
A
es Falso
C - A es quitarle el conjunto A al conjunto C
Lo que tiene resultado diferente de C  A
entonces C - A = C  A
es Falso
11 d) Si A = B  A  B = A
Si A = B los elementos del conjunto A
son los mismos que los elementos que los
del conjunto B
la unión de ambos conjuntos es igual a cualquiera de ellos
Luego: A = B  A  B = A
es Verdad
12) De 400 alumnos que estudian en una escuela de idiomas, 120 estudian
únicamente francés ; 200 estudian francés e inglés y 50 estudian otros
idiomas diferentes. ¿ Cuántos estudian solo inglés ?
El conjunto universal es la totalidad de los alumnos que estudian en la
escuela de idiomas
U = { x / x es alumno de la escuela de idiomas }
 U = U = 400
F = { x/x estudia solamente francés o francés e ingles }
 F = 120 + 200 = 320
La cantidad de alumnos que no estudia francés es el complemento de F ( Fc )
 Fc =  U -  F = 400 – 320 = 80
De estos 80 alumnos que no estudian
francés, hay 50que estudian otros idiomas
que no son francés ni inglés
U
F
 120
Son los que no estudian solamente francés ni
francés e inglés juntos
 O = 50
I = { x/x estudia solamente inglés }
I
 200
 I =  Fc -  O = 80 – 50 = 30
 30
 50
Sean : A = { a, b, c } con  A = 3
B
A
•a
•c
•b
•d
•e
y
B = { b, d, e }
con
B=3
A+B=3+3=6
Pero
 (A  B) = 5
si los conjuntos no son disjuntos
 A +  B   (A  B)
Observe que:  (A  B) =  A +  B -  (A  B) = 3 + 3 – 1 = 5
Porque en dos conjuntos rampantes, al sumar la cantidad de elementos de cada
conjunto, estamos contando dos veces todos los elementos que son comunes a
ambos conjuntos
entonces si
 (A  B) =  A +  B -  (A  B)
 (A  B  C) parece ser  A +  B +  C -  (A  B) -  (A  C) -  (B  C)
pero al escribir
 (A  B  C) parece ser  A +  B +  C -  (A  B) -  (A  C) -  (B  C)
deslizamos voluntariamente un error para que aprecie Ud. que :
si A = { a, b, c }
con  A = 3
B
A
•a
•b
•c
C
•d
AB={b}
B = { b, d, e }
con
B=3
aparece ahora el conjunto C = { b, c, e f }
sería entonces
 A +  B +  C -  (A  B) -  (A  C) -  (B  C) =
•e
•f
y
3+3+4–1–2–2=5
pero ( A  B  C ) = { a, b, c, d, e, f }
A  C = { b, c }
B  C = { b, e }
el elemento c aparece en
dos conjuntos (A y C)
pero se descuenta una
vez en A  C
(ABC)=6
observando minuciosamente vemos que
el elemento e aparece en
dos conjuntos (B y C)
pero se descuenta una
vez en B  C
el elemento b que aparece en los tres conjuntos ( A, B y C) ; se
descuenta tres veces: en (A  B) ; (A  C) y (B  C)
B
A
•a
•b
•c
C
sucede que todos los elementos que se
encuentren en la triple interseción se
descontarán una vez mas que lo que
corresponde, entonces :
•d
•e
•f
a
 A +  B +  C -  (A  B) -  (A  C) -  (B  C)
vamos a sumarle
 (A  B  C)
así tenemos :
 (A  B  C) =  A +  B +  C -  (A  B) -  (A  C) -  (B  C) +  (A  B  C)
A=3
B=3
C=3
 (A  B  C) = 1
 (A  B) = 1
 (A  C) = 2
entonces
 (A  B  C) = 3 + 3 + 3 – 1 – 2 – 2 + 1 = 6
 (B  C) = 2
13) De 100 estudiantes, 32 estudian matemáticas ; 20 estudian física ; 45
estudia biología ; 15 estudian matemáticas y biología ; 7 estudian matemáticas
y física ; 10 estudian física y biología y 30 no estudian ninguna de estas tres
materias. a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres
materias. b)Encuentre el número de estudiantes que estudian exactamente
una de las tres materias.
Extraemos datos de la consigna:
 U = 100
 M = 32
 F = 20
 (M  F) = 7
 (M  B) = 15
 B = 45
 O = 30
 (F  B) = 10
 (M  F  B) =  M +  F +  B -  (M  F) -  (M  B) -  (F  B) +  (M  F  B)
Hacemos pasaje de términos para despejar
 (M  F  B) =  (M  F  B) -  M -  F -  B +  (M  F) +  (M  B) +  (F  B)
 (M  F  B) = 70 – 32 – 20 – 45 + 7 + 15 + 10 = 5
son datos de la consigna:
 U = 100
 M = 32
 F = 20
 (M  F) = 7
 (M  B) = 15
y hemos hallado que
 (M  F  B) = 5
 B = 45
 O = 30
 (F  B) = 10
así :
U
 (M  F) -  (M  F  B) = 7 – 5 = 2
F
M
15
 (M  B) -  (M  F  B) = 15 – 5 = 10
10
 (F  B) -  (M  F  B) = 10 – 5 = 5
B
2
5
25
Solo matemática = 32 – 2 – 5 – 10 = 15
Solo física = 20 – 2 – 5 - 5 = 8
Otras materias = 30
Solo biología = 45 – 10 – 5 - 5 = 25
8
5
30
14) Se sabe que en la Universidad el 60% de los profesores juega tenis,
el 50% juega fútbol ; el 70% corre ; el 20% juega tenis y fútbol ; el
30% juega tenis y corre y el 40% juega fútbol y corre. Si alguien
afirma que el 20 % de los profesores corre y juega fútbol y tenis
¿ lo creería ? ; ¿ porqué ?
planteamos la siguiente situación
Todos los que juegan tenis y fútbol, también
corren; de manera que:
F
10%
20%
30%
0%
20%
10%
10% ?
(F  T) = (F  T  C)
en este caso, si el 40% juega fútbol y corre y tenemos un
20% que además de jugar fútbol y correr, juega tenis;
nos quedan entonces el 20% que únicamente juega fútbol
y corre
Sabemos así, que del 50% que juega fútbol,
T
solo el 10% juega solamente fútbol
un 30% juega tenis y corre, pero ya tenemos un 20% que además de
sabemos así que del
jugar tenis y correr; juega fútbol, nos quedan entonces el 10% que
60% que juega tenis,
únicamente juega tenis y corre
el 30% juega
la suma de los porcentajes de cada una de las regiones del diagrama
solamente tenis
de Venn, arroja que quedarían solamente un 10% de profesores que
solamente corren . . .
Ese resultado arroja un total de 60% de profesores que corre y se
contradice con la consigna donde son el 70% los profesores que corren
C
Los datos son inconsistentes
(erróneos)
15) Si eran 75 niños en total y los juegos eran tres: la rueda de la
fortuna, la montaña rusa y el trencito. Se sabe que 20 de ellos
subieron a los tres juegos y que 55 subieron al menos a dos de los tres
juegos. Cada juego cuesta $ 0,50 y el costo total fue de $ 70. Determine
el número de niños que no subió a ninguno de los juegos.
Los 20 niños que subieron a los tres juegos, gastaron
20 x 3 x 0.50 = $ 30
Si 55 niños subieron al menos a dos de los tres juegos, y sé también que son 20
los niños que subieron a los tres juegos, es evidente que . . . .
Los que subieron solamente a dos juegos son 55 – 20 = 35 niños
Que subiendo a dos juegos gastaron
Entre los niños que subieron a dos o tres juegos
(55 en total), llevan gastado $ 30 + $ 35 = $ 65
35 x 2 x 0,50 = $ 35
quedan ahora $ 5 y 20 niños que
aún no subieron a juego alguno
los $ 5 que restan son suficientes para 10 tickets, pero los niños son 20
En el caso que reparta 1 ticket por niño, quedarán 10 sin
subir a ningún juego
Una Gramática G que genera un lenguaje L, es un cuádruple
G (T, N, S0, P ) conformado por:
T
conjunto de símbolos terminales
N
conjunto de símbolos NO terminales
S0 símbolo inicial
P
El símbolo inicial S0 es
un No Terminal, que dá
inicio a las secuencias
de producciones
conjunto de Producciones
16
17
Los símbolos terminales son letras minúsculas y tienen el significado que le asigne
cada lenguaje en particular
Los símbolos NO terminales son letras mayúsculas y sirven para componer las
expresiones (cadenas) del lenguaje
Las producciones son las “leyes” que rigen en la composición de las cadenas del lenguaje
T = { a, b }
N = { S0, A }
P = { S0  a A ; A  a A ; A  b }
Así desde el símbolo inicial
S0  a A  a a A  a a b
generamos cadenas como
S0  a A  a a a A  a a a a A  a a a a b
(an no es una expresión
an significa que a puede
algebraica de potencia)
LG = { an b, n  1 }
repetirse n veces
16) Considere el lenguaje especificado por la gramática
G = ( T, N, S0, P ) donde
T = { a, b, c };
N = { S0, A, B };
S0 es símbolo inicial
P = { S0  AB, A  ab, A  a A b, B  c, B  B c }
Determine si las siguientes cadenas pertenecen o no al lenguaje dado:
aabbaa
abbc
aaabbbccc
ababcc
Para saber si una cadena pertenece a un determinado lenguaje, debemos
verificar si es posible formar dicha cadena con la gramática de dicho lenguaje
Así, en el primer caso, la cadena es a a b b a a
De manera que cualquier cadena de este
lenguaje necesariamente comienza en S0  AB
Y la única producción que
involucra al símbolo inicial
es
S0  AB
De observar atentamente el conjunto de producciones, verá Ud. que el
símbolo no terminal B produce únicamente B  c ó B  B c
Entonces cualquier cadena que se inicia con S0  AB debe terminar en c
Luego a a b b a a no es una cadena del lenguaje dado
En el caso de la cadena a b b c
Si G = ( T, N, S0, P ) donde
T = { a, b, c };
N = { S0, A, B };
S0 es símbolo inicial
P = { S0  AB, A  ab, A  a A b, B  c, B  B c }
S0  AB  a b B  a b c
No es la cadena buscada
S0  AB  a A b B  a a b b c
La cadena
a a a b b b c c c
No es la cadena buscada y podemos notar
que cualquier cadena de este lenguaje
contendrá igual cantidad de símbolos a que
de símboloos b al inicio y luego una ó mas c
Luego, a b b c no es una
cadena del lenguaje dado
Se obtiene haciendo
S0  A B  a A b B c  a a A b b B c c  a a a b b b c c c
Usamos A  a A b
y B Bc
Finalmente A  a b
y
B c
Luego, a a a b b b c es una cadena del
lenguaje dado
17) Sea : L(G) = { an c bn ; n  0 } , encuentre si es posible, una gramática
que pueda generar el lenguaje dado.
Para hallar una gramática que genere un lenguaje dado, debemos definir
los conjuibntos que componen el cuádruple que define la gramática, de
manera que esa gramática sea capaz dce generar todas las cadenas del
lenguaje y solamente de él.
En nuestro caso, es evidente que el conjunto de símbolos
terminales T estará conformado por los símbolos
T = { a, b, c }
Al conjunto de símbolos no teminales N le asignamos
un elemento S0 y un no terminal A
N = { S0, A }
Con estos conjuntos proponemos una primera producción
Y una segunda y tercera producción pueden ser:
S0  a A b
AaAb
Ac
Con estas producciones se forman cadenas que tienen igual cantidad de
a y de b al inicio y al final; y en el medio una c
P = { S0  a A b; A  A a B; A  c }
Pero si L(G) = { an c bn ; n  0 } puede suceder que no existan
símbolos a ni b, (n = 0)
Esto nos lleva a reformular las producciones halladas
S0  a A b; A  a A b;
Entonces planteamos
La gramática
Ac
S0  a S0 b;
Porque es fácil advertir que con estas
producciones, siempre estarán a y b al
comienzo y al final respectivamente
S0  c
G = ( T, N, S0, P ) queda conformada con
T = { a, b, c };
N = { S0 };
S0 es símbolo inicial
P = { S0  a S0 b; S0  c }
Queda en evidencia que un mismo símbolo no terminal, puede producir cosas
diferentes, inclusive el símbolo inicial (que es un no terminal)
No es perezoso solo el que no hace nada; sino
también el que pudiendo hacerlo mejor, no lo hace.
Sócrates
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02 Conjuntos - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y