2. DISTRIBUCIÓN
NORMAL MULTIVARIANTE








Introducción
Normal bivariante
Normal multivariante
Distribución 2
Muestreo en poblaciones normales
Distribución de Wishart
Lema de Fisher multivariante
Teorema central del límite
1
Introducción: distribución normal univariante
X ~ N (  ,  ), donde
2
  E(X )

2
 V (X )
con función de densidad
f ( x) 
x


2
1

2

e
1 (x )
2

2
2
0
68%
95%
-2
-

+
+2
NORMAL MULTIVARIANTE
2
Normal multivariante
X ~ N p (  ,  ),
donde
1

  

 p


;


 definida
positiva,
con función de densidad:
1
f ( x) 
x
( 2 )
p/2

1/ 2
 1

1
exp   ( X   )'  ( X   ) 
 2

p
NORMAL MULTIVARIANTE
3
Normal bivariante
Ejemplo
p 2
 1 
    ;
 2 
Desarrollar
  11
  
  12
 12 
 22
 ;

 12 
 12
 11 22
f ( x1 , x 2 )
NORMAL MULTIVARIANTE
4
Normal bivariante
X ~ N 2 (  ,  ),
donde
 1 
    ;
 2 
  11
  
  12
 12 
 22
 ,

con función de densidad
2
2











1
1
x


x


x


x



 1 1    2 2   212 1 1  2 2 
f (x1, x2 ) 
exp
2 
2
   
    
2
(
1


2 1122(1 12) 
12)  11 
22


 11  22 


NORMAL MULTIVARIANTE
5
EJEMPLOS
6
EJEMPLOS
7
Normal bivariante
Propiedades
12 =0  f(x1 ,x2)=f(x1)f(x2)  X1, X2 independientes
 (,e) autovalor y autovector de   (1/ ,e)
autovalor y autovector de -1
NORMAL MULTIVARIANTE
8
Normal bivariante
Representación gráfica
f(x1,x2)
x2
y1
c2
c1
e 1 e2
y2
c2
x1
x2

x1
1
f ( x1 , x 2 )  c  ( x   )'  ( x   )  c
2
2
 1,  2 autovalore s de 
e1 , e 2 autovector es de 
NORMAL MULTIVARIANTE
9
Normal bivariante
Ejemplo
Hallar las elipses de densidad constante para
x ~ N 2 ( ,  )
 11   22 ;
  11
  
  12
 12 

 11 
NORMAL MULTIVARIANTE
10
Normal multivariante
Propiedades
 a1

(i ) X ~ N p (  ,  ) ; a   

ap


. Entonces :


a ' X ~ N 1 (a '  , a '  a )
 a   , a ' X normal  X normal
p
p - variante
NORMAL MULTIVARIANTE
11
Normal multivariante
( ii ) X ~ N p (  ,  ) ; A qxp
 a11

 

 a q1
a 12



aq2

a1 p 

 

a qp 
AX ~ N q ( A  , A  A ' )
 d1

d  

dp


; X  d ~ N q (   d ,  )


NORMAL MULTIVARIANTE
12
Normal multivariante
( iii )
 X (1 ) 
X ~ N p (  ,  ); X   ( 2 ) 
X 


  (1 ) 
   ( 2 )  ;
 
  11
  
  21
 12 

 22 
Entonces :
X
(1 )
~ N (
(1 )
X
(2)
~ N (
(2)
,  11 )
,  22 )
NORMAL MULTIVARIANTE
13
Normal multivariante
( iv )
X
(1 )
X

X

X
,X
(2)
independie ntes  cov( X
   (1 )    11

 ~ N 
, 
(2) 
   (2)   

  21

(1 )
(1 )
,X
(2)
(1 )
,X
(2)
)   12  0
 12  
 
 22  
son indepe ndientes   12  0
NORMAL MULTIVARIANTE
14
Normal multivariante
Ejemplo
4

X  N 3 ( ,  1
0

1
3
0
0

0 )
2 
NORMAL MULTIVARIANTE
15
Normal multivariante
(v )
X
(1 )
~ N q1 (  1 ,  1 )
X
(2)
~ N q 2 (  2 ,  2 ) independi entes 
   (1 )    1
 X (1 ) 

 ~ N q 1 q 2  
, 
(
2
)
(
2
)
X

    0


 

0 
 
 2  
NORMAL MULTIVARIANTE
16
Normal multivariante
( vi )
Sea
X

X

   (1 )    11

 ~ N 
, 
(2) 
   (2)   

  21

(1 )
 12  
 
 22  
 22  0
1
1
X 1 | X 2  x 2 ~ N (  1   12  22 ( x 2   2 ),  11   12  22  21 )
NORMAL MULTIVARIANTE
17
Normal multivariante
Ejemplo
Dada (X1, X2), obtener la distribución de X2
condicionada por X1 =x1
NORMAL MULTIVARIANTE
18
Normal multivariante
(vii) Distribución de combinación lineal de normales
X 1 , X 2 ,..., X n indep.
n
X i ~ N p (  i ,  ) ; U  c1 X 1    c n X n 
cX
i
i
.
i 1
n
Entonces
n
U ~ N p (  c i  i , (  c i )  ).
2
i 1
i 1
NORMAL MULTIVARIANTE
19
Normal multivariante
(viii) Distribución conjunta de normales
n
Si, además,
V 
bX
i
i
i 1
 n
  n 2
   ci  i   ( ci ) 
U 
 ,  i 1
entonces :    N 2 p   i n1

 
V 
   bi  i   ( b ' c ) 
 
  i 1
Por tant
o, U y V son independi

(b ' c )   

n

2
(  bi )   
i 1

entes  b ' c  0
NORMAL MULTIVARIANTE
20
Normal multivariante
Ejemplo
4

X 1, X 2 , X 3 , X 4  N 3 (i ,  1
2

2
 3 
 


1   0   2   0   3 
1
  1
 


1
9
3
1
 
1
0
 
2 

 3 )
25 
4
indep .
 0 


  0 
  1


NORMAL MULTIVARIANTE
21
Normal multivariante
 1


 0 
c
 2


 1 


Ejemplo
n
(i )
cX
i
con
i
i 1
( ii )
 n

  ci X i 
 i 1

n


  bi X i 
 i 1

n
( iii )
cX
i
Dar
con
n
i
,
i 1
( iv )
0
 
1
b 
2
 
0
 
bX
i
i
independie ntes ?
i 1
una
combinació n
linealment e
independie nte
NORMAL MULTIVARIANTE
22
Distribución 2
 1  Z 1 , donde Z 1  N ( 0 ,1)
2
2
n

Zi  n ,
2
2
i 1
donde Z i  N ( 0 ,1) independi entes , i  1 ,...,n .
NORMAL MULTIVARIANTE
23
Distribución 2
Propiedades
Sea
(i )
X  N p ( ,  ) y
  0 . Entonces
1
:
( X   )'  ( X   )   p

( ii ) PX x 
p
2
1

: ( x   )'  ( x   )   p ,  1  
2

2p,
NORMAL MULTIVARIANTE
24
Muestreo en poblaciones normales
X ~ N p (  ,  );
X 1 , X 2 ,  , X n i.i.d .
Estimadores de máxima verosimilitud para  y 
NORMAL MULTIVARIANTE
25
Muestreo en poblaciones normales
Derivando parcialmente con respecto a todas las
variables e igualando a cero, se obtiene:
ˆ  X
ˆ 
1
n
(X

n
i 1
i
 X )( X i  X )' 
n 1
n
S n 1  S n
NORMAL MULTIVARIANTE
26
Muestreo en poblaciones normales
Propiedades
(i )
X
y S n estadísticos suficientes para  y 
n
( ii ) En una dimensión, ( n  1) S 
2
 ( X i  X )   n 1 
2
2
2
i 1
  ( Z 1    Z n 1 ) 
2
2
2
 (  Z 1 )    ( Z n  1 )
2
donde Z
i
2
son normales independientes
y  Z i ~ N ( 0 ,  ).
2
NORMAL MULTIVARIANTE
27
Distribución de Wishart
Sean
Z i ~ N p ( 0 ,  ) independientes,
m
entonces :
W m ( ) 
ZZ '
i
i 1
i
Wishart con m
grados de libertad
Propiedades
(i )
 A 1~ W m1 (  )
indep.

 A 2~ W m 2 ( )
( ii )
 A ~ W m ( )
 CAC ' ~ W m ( C  C ' )

 C pxp
 A1  A 2 ~ W m 1 m 2 (  )
NORMAL MULTIVARIANTE
28
Lema de Fisher multivariante
X ~ N p (  ,  ); X 1 ,  , X n i.i.d.
Entonces :
1
(i )
X ~ N p ( ,  )
n
( ii )
( n  1) S n  1 ~ W n  1 (  )
( iii ) X y S n 1 son independientes
NORMAL MULTIVARIANTE
29
Teorema Central del Límite
Dado
(i)
EX   ; VX   ; X 1 ,  , X n i.i.d.
X con
X es asintóticamente normal
n
1/ 2
d
(X  )
X  N p ( ,
1
N p (0,  )
)
n
(ii) X es consistente:
c.s.
X n 
P

n
(iii)
S
(iv)
n ( X   )' S
1
(X  )
d
n
p
2
NORMAL MULTIVARIANTE
30
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Distribucion Normal Multivariante