PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es utilizado por mucha
gente. Frecuentemente se escuchan preguntas
como las que se mencionan a continuación:
¿Cuál es la probabilidad de que me saque la
lotería?.
¿Qué probabilidad hay de que me ocurra un
accidente automovilístico?.
¿Qué probabilidad hay de que hoy llueva para
llevar mi paraguas?.
¿Existe alguna probabilidad de que repruebe el
primer parcial?.
Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan
como respuesta, una medida de confianza
representativa o práctica de que ocurra
determinado suceso o bien una forma sencilla de
interpretar la probabilidad.
PROBABILIDAD
Fenómenos Aleatorios y
Fenómenos Determinísticos.
Fenómeno Aleatorio.
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo
que va a ocurrir, están relacionados con el
azar o probabilidad.
Fenómeno Determinístico.
Es el fenómeno en el cual de antemano se
sabe cual será el resultado.
PROBABILIDAD
Experimento aleatorio.
Acción que se realiza con el propósito de
analizarla. Tiene como fin último determinar
la probabilidad de uno o de varios
resultados.
Se considera como aleatorio, si sus
resultados no son constantes.
Puede ser realizado cualquier número de
veces
esencialmente
en
las
mismas
condiciones.
PROBABILIDAD
Un experimento es aleatorio si se verifican
las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en
las mismas condiciones.
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el
resultado que se va a obtener.
3. El resultado que se obtenga, pertenece a un
conjunto conocido previamente de resultados
posibles.
PROBABILIDAD
Ejemplos:
Tirar dardos en un blanco determinado
Lanzar un par de dados
Obtener una carta de una baraja
Lanzar una moneda
PROBABILIDAD
Otros ejemplos de sucesos:
A: que al nacer un bebe, éste sea
niña
B: que una persona de 20 años,
sobreviva 15 años más.
C: que la presión arterial de un
adulto se incremente ante un
disgusto.
PROBABILIDAD
Se presentan dos candidatos al cargo de la
presidencia del Club Deportivo de
estudiantes y se desea determinar si el
candidato A puede ganar.
Población de interés: Conjunto de respuestas
de los estudiantes pertenecientes al club
que votarán el día de las elecciones.
Criterio para ganar: Si obtiene más del 50%
de los votos.
PROBABILIDAD
Suponga que todos los estudiantes del Club
Deportivo van a las urnas y se elige de manera
aleatoria una muestra de 20 estudiantes.
Si los 20 estudiantes apoyan al candidato A,
¿Qué concluye respecto a la probabilidad que tiene
el candidato A de ganar las elecciones?.
PROBABILIDAD
OPCIONES:
1.- EL CANDIDATO A GANARÁ
2.- EL CANDIDATO B GANARÁ
3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA
PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO A GANARÁ
GANAR IMPLICA OBTENER MÁS DEL 50%
Y
COMO
LA
FRACCIÓN
QUE
LO
FAVORECE EN LA MUESTRA ES DEL
100%, ENTONCES LA FRACCIÓN QUE LO
FAVORECERÁ EN LA POBLACIÓN SERÁ
IGUAL DE MAYORITARIA.
¿ ES CORRECTA ESTA GENERALIZACIÓN?.
PROBABILIDAD
1.- EL CANDIDATO A GANARÁ
SERÍA “IMPOSIBLE” QUE 20 DE LOS 20
VOTANTES
DE
LA
MUESTRA
LO
APOYARAN, SI EN REALIDAD MENOS
DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARÍA
VOTAR POR ÉL.
¿ ES CORRECTA ESTA APRECIACIÓN ?.
NO.
PROBABILIDAD
SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20
VOTANTES A FAVOR DE A EN UNA
MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE
MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES
ESTÉ A FAVOR DE ÉL, AÚN CUANDO SEA
MUY POCO PROBABLE.
PROBABILIDAD
TOME UNA MONEDA DE CURSO LEGAL Y
LÁNCELA 20 VECES ANOTANDO LOS
RESULTADOS.
LLAME C: SI SALE CARA
S: SI SALE SELLO.
¿ CUÁL ES LA FRACCIÓN DE CARAS Y
CUÁL LA DE SELLOS ?.
PROBABILIDAD
Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados
de interés de un experimento aleatorio dado y se
le denota normalmente mediante la letra S .
Ejemplos:
1.-Experimento aleatorio(E): Se lanza una moneda.
S: total de formas de cómo puede caer la
moneda es decir, dos formas de interés, que
caiga cara o sello. (Si cae de canto no es de
interés y se repite el lanzamiento).
S = { c, s }
PROBABILIDAD
2.- E: Se lanza un dado.
S : total de caras en que puede caer el dado es
decir, seis formas de interés:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
PROBABILIDAD
Los sucesos aleatorios se denotan normalmente
con las letras mayúsculas A, B, C, ...
y son subconjuntos de S, esto es: A, B, C,…,  S
Los sucesos aleatorios son conjuntos que pueden
contener un solo elemento, una infinidad de
elementos o también no contener ningún elemento.
PROBABILIDAD
Sucesos aleatorios que aparecen con gran
frecuencia en el cálculo de probabilidades:
Suceso seguro.- Siempre se verifica después
del experimento aleatorio, son los mismos del
espacio muestral S.
Suceso imposible.- Es aquel que nunca se
verifica como resultado del experimento
aleatorio. No tiene elementos de interés para su
fenómeno. Es un subconjunto de S y la única
posibilidad es que el suceso imposible sea el
conjunto vacío.
øS
PROBABILIDAD
Suceso contrario a un suceso A: También se
denomina suceso complemento de A y es el
suceso que se verifica si, como resultado del
experimento aleatorio, no se verifica A.
Ya que los sucesos son conjuntos, este suceso se
denota con el símbolo Ac o bien Ā y se define
como:
A   s   tal que s  A 
c
PROBABILIDAD
Ejemplo:
E: Lanzar una moneda.
n = 3(veces que E se realiza)
S = { (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S), (C,C,S), (C,S,C),
(S,C,C), (C,C,C) }
Suceso simple:
A: Que salgan tres sellos; A = { (S,S,S) }
Suceso compuesto:
B: Que salgan al menos dos sellos;
B = { (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S) }
Suceso imposible: ø (conjunto vacío) = { }
PROBABILIDAD
Operaciones Básicas con Sucesos Aleatorios
Ya
que
los
sucesos
aleatorios
son
subconjuntos del conjunto S o espacio
muestral, se pueden aplicar las conocidas
operaciones con conjuntos a los sucesos como
son la unión, la intersección y la diferencia de
sucesos.
PROBABILIDAD
OPERACIÓN
EXPRESIÓN DESCRIPCIÓN
UNIÓN
AB
Unión de sucesos originales: es el
suceso que ocurre si y sólo si A
ocurre o B ocurre o ambos ocurren
INTERSECCIÓN
AB
Intersección de los sucesos
originales, es el suceso que ocurre
si y sólo si A y B ocurren
simultáneamente.
DIFERENCIA
A-B
La diferencia de los sucesos
originales A y B, es el que ocurre
sólo en A pero no en B.
PROBABILIDAD
Gráficamente estas operaciones se pueden
representar a través de los diagramas de Venn.
Sea S el espacio muestral, A y B sucesos tal que
A, B  S gráficamente se puede expresar como:
S
A
B
Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.
PROBABILIDAD
S
A
B
Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.
PROBABILIDAD
De acuerdo a lo indicado en los diagramas
Venn anteriores, la unión de dos sucesos
presenta de dos formas diferentes: cuando
sucesos son mutuamente excluyentes (que
tienen elementos en común) y cuando entre
sucesos hay elementos comunes.
de
se
los
no
los
Definición.- Se dice que dos sucesos A y B son
mutuamente excluyentes, cuando no pueden
ocurrir simultáneamente es decir, A  B = , lo
que se observa en el primer diagrama de Venn
PROBABILIDAD
Ejemplo:
E: Se lanza un dado.
S = total de caras en que puede caer el dado o seis
formas de interés:
S = { 1,2,3,4,5,6 }
Sean A, B y C los sucesos:
A: Que caiga un número impar… A = { 1, 3, 5 }
B: Que caiga un número mayor a 2 y menor que 5…
B = { 3, 4 }
C: Que caiga un número par… C = { 2, 4, 6 }
PROBABILIDAD
S
A
1
B
3
4
5
C
2
6
A
A
B
A




B
C
C
B
= { 1,
= { 1,
= { 3,
 C =
3, 5 }  { 3, 4 } = {1,3,4,5}
3, 5 }  { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6} = S
4 }  { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}
{ 1, 3, 5 }  { 3, 4 }  { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6} = S
PROBABILIDAD
S
B
A
3
4
C
A  B = { 1, 3, 5 }  { 3, 4 } = {3}
A  C = { 1, 3, 5 }  { 2,4,6 } = { } = ø
B  C = { 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {4}
(A  B)  C) = { 1, 3, 5 }  { 3, 4 })  { 2,4,6 } = {3}  { 2,4,6 } = { } = ø
(A  (B  C) = { 1, 3, 5 }  ({ 3, 4 }  { 2,4,6 }) = { 1, 3, 5 }  {4} = { } = ø
PROBABILIDAD
S
A
1
B
3
5
C
A – B = { 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }
A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A
B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }
PROBABILIDAD
S
A
1
B
3
4
5
C
2
6
Ac = { 2, 4, 6} = C
Bc = {1, 2, 5, 6 }
Cc = {1, 3, 5 } = A
PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica y Frecuentista
Probabilidad frecuentista y regularidad
estadística
Las frecuencias relativas de un suceso
tienden a estabilizarse cuando el número
de observaciones se hace cada vez mayor.
Ejemplo: La regularidad estadística en el
experimento del lanzamiento de una
moneda, indica que las frecuencias
relativas del suceso: que salga cara (c), se
tiende a estabilizar aproximadamente en
0,5 = 1/2.
PROBABILIDAD
Probabilidad clásica.
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un suceso
de ese espacio. Se define la probabilidad P del
suceso A, como:
P ( A) 
NCF
NCP
Donde:
NCF: número de casos favorables
NCP: número de casos posibles
(1)
PROBABILIDAD
Probabilidad frecuentista.
La probabilidad de un suceso A, denotada por P(A),
es el valor en el que se estabilizan la frecuencia
relativa del suceso A, cuando el número de
observaciones del experimento se hace cada vez
mayor.
PROBABILIDAD
Esto es:
P ( A) 
N ( A)
N ( )
(2)
Donde:
N(A) = número de elementos del suceso A
N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.
PROBABILIDAD
Ejemplo:
E: Se lanza una moneda
n=1
Suceso A que al lanzar una moneda caiga cara.
Calcular la probabilidad de A:
Ω = { c, s}
A={c}
P ( A) 
N ( A)
N ( )

1
2
 .5
PROBABILIDAD
Leyes de la Probabilidad
Las relaciones que se dan entre los sucesos al
ser aplicadas las operaciones que se
presentaron, se facilitan y comprenden mejor
haciendo uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma: Es una verdad evidente que no requiere
demostración.
Teorema: Es una verdad que requiere ser
demostrada.
PROBABILIDAD
Axioma 1. Sea S un espacio muestral cualquiera y
A un suceso, tal que A  S, entonces se cumple
que:
0  P(A)  1
esto significa que la probabilidad de cualquier
suceso no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama suceso
seguro y cuando es cero se llama suceso
imposible.
P(A)
__________________________
-2
-1
0
1
2
PROBABILIDAD
Axioma 2. La probabilidad del espacio muestral Ω es un
suceso seguro, es 1:
P(Ω) = 1
Ejemplo.
E: Se lanza un dado
Si A = Ω es decir si el suceso A coincide o es igual al
espacio muestral, entonces.
P ( A) 
N ( A)
N ( )

N (S )
N ( )
1
Teorema 1. Si
ø
probabilidad de
PROBABILIDAD
es el conjunto vacío, entonces la
ø es igual a 0
P ( ) 
N ( )
N ( )
0
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional,
pero no compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado
Que una persona viva 250 años
En estos casos los sucesos son vacíos
PROBABILIDAD
Axioma 3. Sea S un espacio muestral cualquiera
y sean A y B dos sucesos tales que:
A  Ω, B  S y A  B = , es decir, dos
sucesos mutuamente excluyentes, entonces:
P(A  B) = P(A) + P(B).
A
B
PROBABILIDAD
Ejemplo:
E: Se lanzan dos monedas
S = { ss, cc, sc, cs}
Sean:
A: el suceso de que al lanzar un par de monedas caigan
dos caras exactamente
B: el suceso de que al lanzar un par de monedas caiga un
sello exactamente.
Los elementos de A y B son
A = { cc }
B = {cs, sc}
Se puede ver que A  B = , no hay elementos en
común, por lo que los sucesos son mutuamente
excluyentes o disjuntos, por tanto:
P(A  B) = P(A) + P(B)
PROBABILIDAD
P ( A) 
P(B) 
N ( A)
N ( )
N (B)
N ( )

1
4

2
4
P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) 
1
4

2
4

3
4
PROBABILIDAD
Axioma 4.
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An sucesos mutuamente
excluyentes:
P(A1  A2  A3  A4, ...  An) =
P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
sucesos mutuamente excluyentes dos a dos(que no
tienen elementos en común), es igual a la suma de
sus probabilidades.
Si los sucesos no son mutuamente excluyentes entonces
para n sucesos sería:
P ( A1 A2 ... An )  P ( A1 )  P ( A2 )  ...  P ( An ) 
n
 P(A
i j
n
i
Aj) 

i jk
P ( Ai
Aj
Ak )  ...  P ( A1 A2 ... Ak )
PROBABILIDAD
Ejemplo:
E: Se lanza un dado
Sean A: que al lanzar un dado salga 2 ó 4
B: que al lanzar un dado salga un número mayor
a 4
C: que salga el 1 ó 3
Los elementos de A, B y C son:
A = {2, 4}
B = {5, 6}
C = {1, 3}
PROBABILIDAD
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya
que A  B = ø
AC=ø
y
BC=
ø
Por el Axioma 4:
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)
P ( A) 
P(B) 
P (C ) 
N ( A)
N ( )
N (B)
N ( )
N (C )
N ( )

2
6

2
6

2
6
P ( A  B  C )  P ( A )  P ( B )  P (C ) 
2
6

2
6

2
6

6
6
1
PROBABILIDAD
Teorema 2: Ley Aditiva de la Probabilidad
Sean A y B dos sucesos no excluyentes, A  B  ,
entonces
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
A B
PROBABILIDAD
Diferencia.
Sean A y B dos sucesos:
A-B = { x | x  A y x  B }
A
B
A-B
PROBABILIDAD
Ejemplo.
E: Se lanza un dado y una moneda simultáneamente
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c}
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 ó 3 con sello
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sello
A = { 2s, 3s }
B = { 2s, 4s, 6s }
A  B = { 2s }
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
= 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3
PROBABILIDAD
Teorema 3. Sea A un suceso cualquiera y S un
espacio muestral, tal que AS,
complemento
del
suceso
A,
si Ac es el
entonces
la
probabilidad de Ac es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)
PROBABILIDAD
E: Se lanza un dado y una moneda simultáneamente
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }
A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el
número 2 ó 3 con sello
B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan
números pares con sello
A = { 2s, 3s }
B = { 2s, 4s, 6s }
Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c }
P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12
Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional:
Sea A un suceso arbitrario de un espacio
muestral S, con P(B) > 0. La probabilidad
de que un suceso A ocurra una vez que B ha
ocurrido o en otras palabras, la
probabilidad condicional de A dado B, se
define como:
P( A / B) 
P( A  B)
P(B)
Eventos Independientes:
PROBABILIDAD
Se dice que los sucesos A y B son independientes
si se cumplen:
P ( A / B )  P ( A)
P ( B / A)  P ( B )
P ( A  B )  P ( A) P ( B )
Si no se cumplen, se dice que los sucesos son
dependientes.
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional:
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (AB) = (BA) y despejamos a P(AB),
se tiene que la probabilidad de la intersección
es:
P( A / B) 
P( A  B)
P(B)
P ( B / A) 
P ( B  A)
P ( A)
P( A  B)  P( A / B)P(B)
 P( B/A ) P( A )
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional:
Si A y B son independientes:
P ( A  B )  P ( A / B ) P ( B )  P ( A) P ( B )
 P( B/A ) P( A )  P(B)P(A)
P( A / B) 
P ( B / A) 
P( A  B)

P ( A) P ( B )
P(B)
P(B)
P ( B  A)
P ( B ) P ( A)
P ( A)

P ( A)
 P ( A)
 P(B)
PROBABILIDAD
Ejemplo:
E: Lanzar un dado.
A: que al lanzar el dado caiga 3
B: que al lanzar un dado salga impar
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un
dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un
impar.
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {3}
B = { 1,3,5}
(AB) = {3}
P(A) = 1/6
P(B) = 3/6
P(A/B) = P(AB)/ P(B)
= 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)
= 6/18 = 1/3
PROBABILIDAD
Probabilidades condicionales:
P(A/B)
P(B/A)
P(A/Bc)
P(B/Ac)
P(Ac/B)
P(Bc/A)
= P(A  B)/P(B)
= P(A  B)/P(A)
= P(A  Bc)/P(Bc)
= P(Ac  B)/P(Ac)
= P(Ac  B)/P(B)
= P(A  Bc)/P(A)
PROBABILIDAD
Ejemplo.
En cierta ciudad, las mujeres representan el
50% de la población y los hombres el otro 50%.
Se sabe que el 10% de las mujeres y el 2,5% de
los hombres están sin trabajo. Un economista
estudia la situación de empleo, elige al azar una
persona desempleada. Si la población total es
de 8000 personas,
¿Cuál es la probabilidad de que la persona
escogida sea
PROBABILIDAD
a)
b)
c)
d)
e)
Mujer?
Hombre?
Mujer dado que está empleada?
Desempleado dado que es hombre?
Empleada dado que es mujer?
Sean los eventos:
M: Que sea Mujer
H: Que sea Hombre
D: Que sea Desempleado
E: Que sea Empleado
Tabla número de elementos de los sucesos M, H, D, E y S
Desempleados Empleados
D
E
Total
Mujeres
M
800
3200
4000
Hombres
H
200
3800
4000
1000
7000
8000
Total
Tabla de probabilidades
D
E
Total
M
800/8000 = 0,100
3200/8000= 0,400
4000/8000= 0,500
H
200/8000= 0,025
3800/8000= 0,475
4000/8000= 0,500
Total
1000/8000= 0,125
7000/8000= 0,875
8000/8000= 1,000
PROBABILIDAD
P(M) = 0,500
P(H) = 0,500
P(E) = 0,875
P(D) = 0,125
P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0,400/0,875 = 0,457
P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0,025/0,500 = 0,050
P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0,400/0,500 = 0,800
P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0,100/0,125 = 0,800
P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0,025/0,125 = 0,200
PROBABILIDAD
Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que
P(M) = 0,500
P(H) = 0,500
P(E) = 0,875
P(D) = 0,125
P(ME) = 0,400
P(M) P(E) = 0,438
P(DH) = 0,025
P(D) P(H) = 0,063
P(MD) = 0,100
P(M) P(D) = 0,063
P(EH) = 0,475
P(E) P(H) = 0,438
PROBABILIDAD
Por tanto los sucesos:
son dependientes.
MyE
DyH
MyD
EyH
Ley general multiplicativa para n
sucesos
P ( A1
A2
A3
...
Ak )  P ( A1 ) P ( A2 \ A1 ) P ( A3 \ A1
A2 )... P ( Ak \ A1
A2
...
INDEPENDENCIA DE n EVENTOS
P ( A1
A2
A3
...
Ak )  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( Ak )
Ak  1 )
PROBABILIDAD
Probabilidad total.
Sean A1, A2, A3 ..., An sucesos disjuntos
(mutuamente excluyentes), que forman una
partición de S. Esto es Ai  Aj =  para
toda i y toda j, además:
S = A1  A2  A3  An
A2
A5
A3
A1
A4
A6
An
PROBABILIDAD
Y sea B otro suceso, tal que B  S y B  Ai  
A2
A5
A3
A1
A4
B
A6
An
PROBABILIDAD
Entonces:
B = S  B = (A1  A2 A3 An)  B
= (A1  B) (A2  B) (A3 B)
 (An B)
Al aplicar la función de probabilidad a ambos
sucesos, se tiene que:
P(B) = P(AıB) + P(A2B) +P(AзB) ++P(An B)
Ya que (Ai  B) es ajeno a (Aj  B) para i ≠ j
PROBABILIDAD
Como (Ai  B) = (B  Ai):
P(Ai  B) = P(B  Ai) = P(B/Ai) P(Ai)
Por lo tanto la probabilidad completa de B es:
P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) +
P(B/A3)P(A3)+...+ P(B/An) P(An)
PROBABILIDAD
Ejemplo.
Una pequeña empresa de tejidos obtiene su
producción con tres máquinas hiladoras: M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y 20% del total de los artículos.
Los porcentajes de productos defectuosos
elaborados por estas máquinas son 3%, 4% y
5%, respectivamente. Si se selecciona un
artículo al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea
defectuoso ?
PROBABILIDAD
Sea D el suceso: que el artículo sea defectuoso.
P(M1) = 0,500
P(D/M1) = 0,030
P(M2) = 0,300
P(D/M2) = 0,040
P(M3) = 0,200
P(D/M3) = 0,050
ND: que el artículo sea no defectuoso
P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +
P(D/M3) P(M3)
= 0,030(0,500) + 0,040(0,300)+ 0,050(0,200)
= 0,037
P(D/M1)=0,03
P(M1)=0,50
M1
P(ND/M1)=0,97
P(D/M2)=0,04
P(M2)=0,30
M2
P(ND/M2)=0,96
P(D/M3)=0,05
P(M3)=0,20 M3
P(ND/M3)=0,95
D P(M1)xP(D/M1)=0,5x0,03=0,015
ND
D
P(M2)xP(D/M2)=0,3x0,04=0,012
ND
D P(M1)xP(D/M1)=0,2x0,05=0,01
ND
P(D) = 0,015+0,012+0,0 1=0,037
PROBABILIDAD
Teorema de Bayes. Suponga que A1, A2, A3,...,An es
una partición de un espacio muestral S. En cada
caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2,
A3,...,An, son eventos mutuamente excluyentes. Sea
E cualquier suceso, entonces para cualquier Ai,
P ( Ai / E ) 
P ( Ai ) P ( E / A I )
P ( A1 ) P ( E / A1 )  P ( A 2 ) P ( E / A 2 )    P ( A n ) P ( E / A n )
PROBABILIDAD
Como la probabilid
ad completa
de E es :
P(E)  P(A 1 )P(E/A 1 )  P(A 2 )P(E/A
entonces
P ( Ai / E ) 
P ( Ai ) P ( E / A I )
P(E)
2
)    P(A n )P(E/A
n
)
PROBABILIDAD
Ejemplo.
En una pequeña empresa de tejidos obtiene su
producción con tres máquinas hiladoras: M1,
M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
30% y 20% del total de artículos.
Los porcentajes de productos defectuosos
elaborados por estas máquinas son 3%, 4% y
5%, respectivamente. Suponga que se
selecciona un artículo al azar y resulta ser
defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que
el artículo haya sido producido por la máquina
Mı?.
PROBABILIDAD
Sea:
D: que el artículo sea defectuoso
ND: que el artículo no sea defectuoso
M1: que haya sido producido por la máquina 1
M2: que haya sido producido por la máquina 2
M3: que haya sido producido por la máquina 3
P(M1) = 0,500
P(M2) = 0,300
P(M3) = 0,200
P(D/M1) = 0,030
P(D/M2) = 0,040
P(D/M3) = 0,050
P(D/M1)=0,03
P(M1)=0,50
M1
P(ND/M1)=0,97
P(D/M2)=0,04
P(M2)=0,30
M2
P(ND/M2)=0,96
P(D/M3)=0,05
P(M3)=0,20 M3
P(ND/M3)=0,95
D P(M1)xP(D/M1)=0,5x0,03=0,015
ND
D
P(M2)xP(D/M2)=0,3x0,04=0,012
ND
D P(M1)xP(D/M1)=0,2x0,05=0,01
ND
P(D) = 0,015+0,012+0,0 1=0,037
Por teorema de Bayes se tiene:
P (M 1 / D ) 

PROBABILIDAD
P (M 1 )P (D / M 1 )
P (M 1 )P (D / M 1 )  P (M 2 )P (D / M 2 )  P (M 3 )P (D / M 3 )
P (M 1 )P (D / M 1 )
P(D )

(. 50 )(. 03 )
 . 4054
. 037
Por lo tanto:
La probabilidad de que el artículo defectuoso haya
sido producido por la M1 es igual a 0,4054
(40,54%)
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Probabilidad II