Prueba de hipótesis
2011 - 0
Introducción



Involucra una suposición elaborada sobre uno o más
parámetros de una o más poblaciones.
Usando la información muestral se verificará la
suposición sobre los parámetros estudiados.
La hipótesis que se contrasta se llama hipótesis nula
(H0).
Decisión
Conclusión
Se rechaza H0
Se puede afirmar que H1 es verdadera
No se rechaza H0
No se puede afirmar que H1 es verdadera
Tipos de errores

Se pueden cometer dos tipos de errores:
Decisión
Población
Ho es verdadera
Ho es falsa
No rechazar Ho
Decisión correcta.
Error tipo II
Rechazar Ho
Error tipo I
Decisión correcta.
a = Pr(Error Tipo I) = Pr(Rechazar H0 / H0 es verdadera)
b = Pr(Error Tipo II) = Pr(No rechazar H0 / H0 es falsa)
Tipos de prueba de hipótesis

Prueba bilateral o de dos colas:
H 0 :  0
H1 :  0
Tipos de prueba de hipótesis

Prueba unilateral derecha:
H 0 :  0
H1 :  0

Prueba unilateral izquierda:
H 0 :  0
H1 :  0
Prueba de hipótesis para m
Caso 1: s 2 conocida


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: m ≥ m0
H0: m  m0
H0: m ≤ m0
H1: m < m0
H1: m  m0
H1: m > m0
Estadístico de prueba:
Zc 
X  m0
s
n
~ Z
Prueba de hipótesis para m
Caso 1: s 2 conocida
Ejemplo: Una empresa eléctrica fabrica focos cuya
duración se distribuye de forma aproximadamente
normal con media de 800 horas y desviación estándar
de 40 horas. Pruebe la hipótesis que la duración
promedio es diferente de las 800 horas si una muestra
aleatoria de 28 focos tiene una duración promedio de
790 horas. Utilice un nivel de significación de 0.05.
Prueba de hipótesis para m
Caso 2: s 2 desconocida


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: m ≥ m0
H0: m  m0
H0: m ≤ m0
H1: m < m0
H1: m  m0
H1: m > m0
Estadístico de prueba:
Tc 
X  m0
S
n
~ t n 1
Prueba de hipótesis para m
Caso 2: s 2 desconocida
Ejemplo: Se sabe que el rendimiento promedio de un
proceso químico es 12. Sin embargo últimamente se
han observado muchos valores menores. Para probar
que efectivamente el rendimiento promedio ha
disminuido, se toma una muestra aleatoria de un lote de
materia prima y se registran las siguientes
observaciones:
9.7
11.7
12.8
10.7
8.7
8.1
13.4
9.1
Use un nivel de significación del 5%.
8.3
10.5
Prueba de hipótesis para s 2


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: s 2 ≥ s 20
H0: s 2 = s 20
H0: s 2 ≤ s 20
H1: s 2 < s 20
H1: s 2 ≠ s 20
H1: s 2 > s 20
Estadístico de prueba:
 
2
c
 n  1 S
s
2
0
2
~ 
2
n 1
Prueba de hipótesis para s 2
Ejemplo: En un proceso de fabricación de filamentos
se desea verificar que la varianza del grosor de los
filamentos es 4 milímetros2. Para ello se toma una
muestra de 28 filamentos que arroja una varianza
muestral de 3.5 milímetros2. Realice la prueba
respectiva con 5% de nivel de significación. Asuma
normalidad en el grosor de los filamentos.
Prueba de hipótesis para p


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: p ≥ p0
H0: p = p0
H0: p ≤ p0
H1: p < p0
H1: p ≠ p0
H1: p > p0
Estadístico de prueba:
Zc 
p p0
p 0 1  p 0  n
 Z
Prueba de hipótesis para p
Ejemplo: Un fabricante sostiene que más del 95% de
los equipos que envió a una fábrica está acorde con las
especificaciones técnicas. Una revisión de una muestra
de 200 piezas enviadas a la fábrica reveló que 18 eran
defectuosas pues no estaban acorde con las
especificaciones técnicas. Pruebe la afirmación del
fabricante al nivel de significación del 1%.
Prueba de hipótesis para dos varianzas

Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: s 21 ≥ s 22
H0: s 21 = s 22
H0: s 21 ≤ s 22
H1: s 21 < s 22
H1: s 21 ≠ s 22
H1: s 21 > s 22
2

Estadístico de prueba:
Fc 
S1
S
2
2
~ Fn1 1, n 2 1
Prueba de hipótesis para dos varianzas
Ejemplo: Estos son los tiempos de secado (minutos) de
10 y 8 hojas cubiertas de poliuretano bajo dos
condiciones ambientales diferentes:
Cond 1 50.4 54.3 55.6 55.8 55.9 56.1 58.5 59.9 61.8 63.4
Cond 2 55.6 56.1 61.8 55.9 51.4 59.9 54.3 62.8
¿Existe heteregoneidad de varianzas? Use un nivel de
significación de 2%.
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 1: s 21 y s 22 conocidas


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: m1 – m2 ≥ k
H0: m1 – m2 = k
H0: m1 – m2 ≤ k
H1: m1 – m2 < k
H1: m1 – m2 ≠ k
H1: m1 – m2 > k
Estadístico de prueba:
Zc 
X
1
X
s1
2
n1
2
k
s2
2

n2
~ Z
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 1: s 21 y s 22 conocidas
Ejemplo: Para comparar dos métodos de enseñanza de
las matemáticas, se aplicaron a 200 alumnos elegidos al
azar el método tradicional y a otra muestra de 250
alumnos el método nuevo resultando las calificaciones
promedio de 13 y 15 respectivamente. Suponga que las
varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16. Usando
un nivel de significación del 5%, ¿podemos afirmar que
el método nuevo es superior al método antiguo?
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 2: s 21 = s 22 desconocidas


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: m1 – m2 ≥ k
H0: m1 – m2 = k
H0: m1 – m2 ≤ k
H1: m1 – m2 < k
H1: m1 – m2 ≠ k
H1: m1 – m2 > k
Estadístico de prueba:
Tc 
X
1
 X
2
k
 1
1 
S 


n
n
 1
2 
2
p
~ t n1  n 2  2
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 2: s 21 = s 22 desconocidas
( n1  1) S 1  ( n 2  1) S 2
2
donde:
S
2
p

2
n1  n 2  2
Ejemplo: Se desea determinar si un proceso de
fabricación, que se efectúa en un lugar antiguo se puede
establecer localmente, a esta conclusión se llega si las
lecturas de voltaje en ambos lugares son, en promedio,
iguales. Se instalaron dispositivos de prueba en ambos
lugares y se tomaron las lecturas de voltaje. Los datos
resumidos se muestran a continuación.
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 2: s 21 = s 22 desconocidas
Muestra
Media
Varianza
Lugar antiguo
Lugar nuevo
12
9.931
0.4776
9
9.634
0.3950
Asuma que las lecturas de voltaje tienen comportamiento
normal. Con 2% de nivel de significación, ¿se puede
afirmar que las lecturas de voltaje, en promedio,
presentan diferencias significativas en ambos lugares?
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 3: s 21 ≠ s 22 desconocidas


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: m1 – m2 ≥ k
H0: m1 – m2 = k
H0: m1 – m2 ≤ k
H1: m1 – m2 < k
H1: m1 – m2 ≠ k
H1: m1 – m2 > k
Estadístico de prueba:
Tc 
X
1
X
S
2
1
n1

2
k
S
2
2
n2
~ t
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 3: s 21 ≠ s 22 desconocidas
S
S 



n2 
 n1
2
1
donde:
 
2
2
2
2
2
S 
S 




n
n
 1 
 2 

n1  1
n2  1
2
1
2
2
Ejemplo: Los siguientes datos resumidos corresponden a
la resistencia a la compresión a los 28 días (en kg/cm2)
reportados por dos laboratorios:
Prueba de hipótesis para dos medias
Caso 3: s 21 ≠ s 22 desconocidas
Laboratorio 1 Laboratorio 2
Muestra
Media
Varianza
15
317.41
25.5937
18
324.25
10.9124
Con 10% de nivel de significación, ¿se puede afirmar que
el laboratorio 2 reporta en promedio 2 kg/cm2 más en
sus resultados en comparación al laboratorio 1? Asuma
poblaciones normales.
Prueba de hipótesis para dos proporciones


Hipótesis:
Unilateral
izquierda
Bilateral
Unilateral
derecha
H0: p1 – p2 ≥ 0
H0: p1 – p2 = 0
H0: p1 – p2 ≤ 0
H1: p1 – p2 < 0
H1: p1 – p2 ≠ 0
H1: p1 – p2 > 0
Estadístico de prueba:
Zc 
p1  p 2
 1
1 

p 1  p 

 n1 n 2 
 Z
Prueba de hipótesis para dos proporciones
donde:
p
n1 p 1  n 2 p 2
n1  n 2

k1  k 2
n1  n 2
Ejemplo: Un estudio reciente, en la que participaron
15 empresas del sector industrial, reveló que 184 de
616 adultos trabajan utilizando con regularidad una
computadora personal en su trabajo. Se seleccionó
otra muestra de 450 adultos, de 10 empresas del
sector salud, y se obtuvo que 105 adultos utilizan
con regularidad una computadora personal.
Prueba de hipótesis para dos proporciones
¿Existen diferencias significativas entre los
porcentajes de adultos de las empresas del sector
industria y salud que utilizan con regularidad una
computadora personal en su trabajo? Use un nivel
de significación del 5%.
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Estadística y Probabilidad I