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Problemas de Satisfacción de
Restricciones (CSP)
Contenidos:
 Definición
del problema de satisfacción de
restricciones (CSP). Áreas de aplicación.
 Especificación de un problema CSP:
variables, dominios y restricciones.
 Tipología de restricciones (discretas y
continuas, fuertes y débiles, restricciones
lineales, disyuntivas, etc.).
CSP
2
“Constraint Satisfaction is a
simple but powerful idea”
Rina Dechter,
In 'Constraint Processing'
Morgan Kaufmann Pub. (2003)
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EJEMPLOS 1
• Variables: s,e,n,d,m,o,r,y
• Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y{0,…,9}
• Restricciones
Objetivos
• Consistencia
send
+more
money
• Soluciones
103(s+m)+102(e+o)+10(n+r)+d+e=104m+103o+102n+y
Coloreado de Mapas
• Variables: x,y,z,w
• Dominios: x,y,z,w :{r,v,a}
• Restricciones: binarias
x  y, yz, z  w, ...
x
y
w
z
El Problema de
las 8 Reinas…
4
EJEMPLOS 2
Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes
(Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad
donde nació.
Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del
que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en
Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que
nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres
que comienzan por la misma letra.
Donde nació y vive cada uno?
EJEMPLOS 3
5

"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o
en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30
minutos) o en metro (40-50 minutos).
Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis
llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos
que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de
que Luis saliera de casa“

Cuestiones:

– ¿Esta información es consistente?
– ¿Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el
Metro?
– ¿Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber
salido de casa?, etc.
EJEMPLOS 4
6
h (altura de la viga)
viga
Vibraciones
Canto del
forjado
No Vibraciones
Conductos atravesando las
vigas
4
Conductos por debajo de las vigas
3
Refuerzos
Conexiones de
ángulo doble
2
Conexiones de lámina simple
1
0
Conductos por Conexiones de Conexiones de
Conductos
Suelo fexible para evitar
atravesando las vigas debajo de las vigas ángulo doble lámina simple
vibraciones
-c-d-b-e-a-
W (longitud de la viga)
• Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado
• Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10]
• Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc.
• Consistencia
Objetivos
• Intervalos de tolerancia
• Soluciones
• etc
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CSP
Problemas de Satisfacción de Restricciones
CSP
Metodología de Resolución de problemas
INTELIGENCIA ARTIFICIAL
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Definición de CSP
Un Problema de Satisfacción de Restricciones (CSP)
se puede representar como:
• Un Conjunto de Variables: X={x1, x2, ..., xn}
• Dominios de Interpretación (D = <D1,…,Dn> ) para las
variables: xiDi
• Un Conjunto de Restricciones entre las variables:
C ={c1, c2, ..., cm}
Modelización CSP
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1)
MODELACIÓN
CSP
Variables
Dominios
Restricciones
(EXPRESIVIDAD)
2)
RESOLUCIÓN
CSP
Técnicas Resolución
CSP
(EFICICIENCIA)
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Modelización 1
• Variables: s,e,n,d,m,o,r,y
• Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,…,9}
send
• Restricciones
+more
money
Especificación
CSP
• Variables: s, e, n, d, m, o, r, y
• Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9}
• Restricciones:
• Todas Diferentes,
• 103(s+m) + 102(e+o) + 10(n+r) + d + e= 104m + 103o + 102n + 10e+y
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Modelización 2
• Variables: s, e, n, d, m, o, r, y
• Dominios: s, e, n, d, m, o, r ,y : {0,…,9}
• Restricciones:
send
+ more
money
• se, sn, sd, sm, so, sr, sy, en, ed, em,…..
• d+e = y+10c1
• c1+n+r = e+10c2
• c2+e+o = n+10c3
• c3+s+m = 10m+o
12
Resolución
MODELACIÓN
CSP
s end
+ more
money
RESOLUCIÓN
CSP
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Objetivos

Consistencia del problema (existe solución).

Obtener una o todas las soluciones del
problema.

Obtener los dominios mínimos.

La solución que optimiza una función objetivo
o multi-objetivo.
Objetivos
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Objetivo de un CSP:
• Tiene solución?  Consistencia.
• Obtener una solución. Obtener todas las soluciones.
• Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución,
medida por alguna función objetivo (función de evaluación).
Algoritmos para CSP:
• Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución,
guiados por heurísticas.
• Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las
consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del
problema.
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Conceptos básicos
Dado un CSP (X, Di, C),
• Una instanciación (o asignación) de las variables X es una
asignación de valores a las variables en sus dominios:
x1=v1, x2=v2, ..., xn=vn / viD
• Una solución del CSP es una instanciación consistente de las
variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del
problema.
• Un valor v es un valor consistente (o posible) para xi si existe
una solución del CSP en la cual participa la asignación xi=v.
• Un CSP es consistente sii tiene al menos una solución.
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Conceptos básicos
Variables
• Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables son
discretas, es decir, toman valores en dominios discretos.
• Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son
continuas, es decir, tienen dominios continuos.
• Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas.
• Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a
los sumo dos variables respectivamente.
• Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restricciones
tienen más de dos variables.
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Conceptos básicos
Restricciones
• Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos.
• Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos.
• Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables.
• N-arias: son restricciones en las que participan N variables (N>2).
• Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible.
• Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible.
• Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia.
• Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de
restricciones.
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N-reinas
Definición: posicionar n reinas en un tablero de
ajedrez n x n, de forma que no se ataquen.
Formulación: 1 reina por fila
• variables: reinas, Xi reina en la fila i-ésima
• dominios: columnas posibles {1, 2, . . . , n}
• restricciones: no colocar dos reinas en
– la misma columna
– la misma diagonal
Características:
• CSP binario, discreto y finito
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Coloreado de Grafos
Definición: Dado un grafo,
• n nodos
• m colores,
asignar un color a cada nodo de forma que no haya
dos nodos adyacentes con el mismo color.
Formulación:
• variables: nodos
• dominios: colores posibles
• restricciones:  nodos adyacentes
Características:
• CSP binario, discreto y finito
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Crucigrama
Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construir
un crucigrama compatible.
Formulación:
• variables: grupo de casillas para una palabra (slots)
• dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada
• restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras
Características:
• CSP binario, discreto y finito (dominios grandes)
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Restricciones Temporales
Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurren
en intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal
consistente.
"Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o
en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30
minutos) o en metro (40-50 minutos).
Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis
llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además,
sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos
después de que Luis saliera de casa"
Formulación:
• variables: sucesos
• dominios: intervalo temporal para cada suceso
• restricciones: distancia temporal permitida entre
sucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc.
Características:
• CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas
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Problema de diseño
Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un
puente que debe constar de pocos arcos siendo preferible que
los pilares no toquen el agua y los pilares sean lo más bajos
posibles.
Formulación:
• variables: partes y elementos del diseño
• dominios: valores permitidos para cada
parte y elemento
• restricciones: propiedades que las partes
deben satisfacer.
Características:
• CSP no binario, mixto, con restricciones
hard, soft y difusas.
a) Solución por defecto para los arcos dados:
b) Versión teniendo en cuenta aspectos estéticos
y geotecnológicos:
c) Bases para diseñar los detalles de los pilares:
?
?
Backtracking sobre
los detalles de
diseño de los pilares
d1) Pilares
demasiado
cerca
e) Diseño final:
d2) Pilares
sobre el
peralte
d3) Pilares
en el agua
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CSPs binarios & n-arios
Binario
Un CSP binario se suele representar mediante un grafo,
donde:
Nodos: Variables
Arcos: Relaciones binarias entre las variables.
X4
X2
X1 R12
x3 R35
x1 R15
x4 R42
x4 R45
x2 R25
x2
x5
x5
x2
x5
x5
X1
X5
X3
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CSPs binarios & n-arios
No Binario
Un CSP no binario no se suele representar mediante un
grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la
funcionalidad existente sobre la teoría de grafos.
donde:
Nodos: Variables
Arcos: Relaciones binarias entre las variables.
C123
X1
X2
X3
C24567
X4
X5
X6
X7
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Consistencia: Niveles
1-consistencia
Consistencia de nodo (1-consistencia)
Un nodo (xi) es consistente si al menos un valor en su dominio es
consistente con la restricción unaria del nodo:
10xi 15, D(Xi):{0, 10}
Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes:
"xiCSP, $viD / (xi ci0) se cumple para xi=vi (ie: Dci0{
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Consistencia: Niveles
2-consistencia
Consistencia de arco (2-consistencia):
Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en
su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se
satisface.
Por ejemplo el arco:
xi
[3,6]
Cij

xj
[8,10]
es consistente, pero no lo sería si cij en vez de  fuese 
Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes.
"cij CSP, "vidi $vjdj / (xi cij xj) se cumple para xi=vi, xj=vj
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Backtracking: ejemplo
28
Backtracking: ejemplo
29
Backtracking: ejemplo
30
Backtracking: ejemplo
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Modelos y Técnicas para Problemas de Satisfacción de Restricciones