Ensino Superior
Lógica Matemática e Computacional
4 – Siligismo Categórico
Amintas Paiva Afonso
Lógica
 Ciência
dos argumentos; tem por
objeto de estudo os argumentos,
procurando elaborar procedimentos
que permitam distinguir os argumentos
válidos daqueles que não são.
Vantagens e utilidade da lógica
Clarificar e analisar o pensamento e a
linguagem;
 Assegurar a eficácia demonstrativa do
pensamento;
 Garantir a correção formal do raciocínio e
a coerência do discurso,
 Definir conceitos, ordenar as noções,
obter conclusões formalmente rigorosas

Verdade/Validade
Matéria de um raciocínio é o conteúdo das
afirmações, aquilo que elas significam e é a
seu respeito que falamos de verdade ou
falsidade.
 Forma é o modo como as afirmações são
encadeadas, independentemente da matéria
que possamos exprimir, e é a este respeito
que falamos de validade.

Raciocínio

Três tipos:
a) Dedutivo
b) Indutivo
c) Analógico
Tipos de raciocínio ou argumentação



Dedutivo

Toda mulher gosta de chocolate

Regina é mulher

Logo, Regina gosta de chocolate.
Indutivo

O cobre é condutor de calor

O cobre é um metal

Todo metal é condutor de calor
Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo)

Sofisma- intenção de enganar o interlocutor,
paralogismo-erro, equívoco.)
Premissas
Conclusão Validade
Verdadeiras Verdadeira
Válido
Verdadeiras
Falsa
Inválido
Falsas
Verdadeira
Válido
Origem

Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de
argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são
válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de
“falácias” ou “sofismas”. Exemplos:
 Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira
e morreu com 87 anos.
 Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50
anos bebiam água, logo…

Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando
apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu
significado. Exemplos:

“Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem
insetos” ou “Alguns pássaros comem insetos”.

“Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou
“Alguns índios não são carecas”
Origem

Para julgar a validade ou não de um argumento, é
necessário que a sentença que os constituem não tenham
mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se
enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos:

Todos os brasileiros são técnicos de futebol.

Nenhum gato sabe latir.

Algumas pessoas gostam de comer fígado.

Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.

As sentenças assim formuladas foram
chamadas de proposições categóricas e,
segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos:
Afirmação Universal
Negação Universal
Todos os atletas são saudáveis
Nenhum atleta é saudável
Afirmação Particular
Negação Particular
Alguns atletas são saudáveis
ou
Existem atletas saudáveis
Alguns atletas não são saudáveis
ou
Existem atletas não-saudáveis
Tipos de Proposição
Universal Afirmativa (A)

Todos os homens são
mortais
Universal Negativa (E)

Nenhum aluno é
inteligente
Particular Afirmativa (I)

Algumas alunas são
extravagantes
Particular Negativa (O)

Alguns alunos não
gostam de estudar


Tipos de proposições e exemplos:

A: afirmação universal (todo homem é mortal);

E: negação universal (nenhum homem é mortal);

I: afirmação particular (algum homem é mortal);

O: negação particular (algum homem não é mortal).
Relacionamento entre proposições:

A e E são ditos contrários; se a proposição A é
verdadeira então E é falsa;

A e O e também E e I são contraditórios: não podem
ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;

I e O são sub-contrários: não podem ser ambos
falsos;

I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é
verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então O
também o é.
Relacionamento entre proposições

A existência de quatro tipos de proposições não
é coincidência: representam as quatro relações
possíveis entre as extensões dos termos gerais;

O matemático Euler representou as quatro
relações lógicas na forma de diagramas de
conjuntos (diagramas de Venn-Euler).

Se S é o termo sujeito e se P é um predicado
então as proposições correspondem aos
diagramas a seguir...
4 relações lógicas de Euler




P
Proposição A: inclusão total
(todo S é P)
Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P)
S
P
Proposição I: inclusão parcial de S em P
(algum S é P)
Proposição O: exclusão parcial de S em P
(algum S não é P)
S
S P
S
P
4 relações lógicas de Euler
1. Proposição A: inclusão total
(todo S é P)
“Todos os atletas são saudáveis”
2. Proposição E: exclusão total
(nenhum S é P)
“Nenhum atleta é saudável”
P
S
P
S
4 relações lógicas de Euler
3. Proposição I: inclusão parcial de S em P
(algum S é P)
S P
“Alguns atletas são saudáveis”
4. Proposição O: exclusão parcial de S em P
(algum S não é P)
P
S
“Alguns atletas não são saudáveis”
Exercício 1
Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o
conjunto dos países exportadores de petróleo e
admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar:
R
E
a) o conjunto dos países que não são ricos;
b) o conjunto dos países que não são exportadores de
petróleo;
c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de
petróleo;
d) o conjunto dos países que são ricos e que não são
exportadores de petróleo;
e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo,
mas não são ricos.
Respostas
a)
d)
R
E
b)
R
E
R
E
e)
R
E
R
E
c)
Exercício 2
Construa diagramas de Euler que
representam as seguintes proposições:
a) Todos os poetas são pobres.
b) Todos os franceses são europeus.
c) Nenhum europeu é asiático.
d) Existem árvores que são verdes.
e) Há livros que não são caros.
Exercício 3
Sendo N o conjunto de todos os seres que
nadam, Construa diagramas de Euler que
representam as seguintes proposições:
a) Todos os patos nadam.
b) Alguns gorilas nadam.
c) Nenhum gato nada.
d) Alguns homens não nadam.
Exercício 4
Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o
conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representação para a
relação existente entre A e B:
A
B
Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos
conjuntos assinalados a seguir:
a)
b)
A
B
c)
R
E
A
B
Exercício 5
Sabe-se que “nenhum amigo meu é amigo seu” e
que “alguns amigos dele são seus amigos”, assim,
pode-se afirmar, corretamente:
a) Alguns de meus amigos são amigos dele.
b) Alguns amigos dele são meus amigos.
c) Nenhum amigo meu é amigo dele.
d) Alguns amigos dele não são meus amigos.
e) Nenhum amigo dele é meu amigo.
Exercício 6
Considerando “todo livro é instrutivo” como uma
proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição
proposição necessariamente verdadeira.
Exercício 7
Considerando “todo livro é instrutivo” como uma
proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição
verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição
proposição necessariamente verdadeira.
Negação (~)
Chama-se negação de uma proposição p a proposição
representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é
falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.
Dada uma proposição p, sua negação será denotada por
~p (não p).
Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa.
Ex: p = Bia está usando tênis preto.
~p = Bia não está usando tênis preto.
p = Esta frase possui cinco palavras.
~p = Esta frase não possui cinco palavras.
Algumas observações
sobre a negação

A negação de “sempre” é
Algumas observações
sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
Algumas observações
sobre a negação


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é
Algumas observações
sobre a negação


A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
Algumas observações
sobre a negação



A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é
Algumas observações
sobre a negação



A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
Algumas observações
sobre a negação




A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
A negação de “p ou q” é
Algumas observações
sobre a negação




A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
A negação de “p ou q” é “~p e ~q”
Quais negações das proposições
estão corretas?
1. A resposta 2 é 2 ou 3.
a) A resposta é nem 2 nem 3.
b) A resposta não é 2 ou não é 3.
c) A resposta não é 2 e não é 3.
2. Pepinos são verdes e têm sementes.
a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.
b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.
c) Pepinos são verdes e não têm sementes.
Quais negações das proposições
estão corretas?
3. 2 < 7 e 3 é ímpar.
a) 2 > 7 e 3 é par.
b) 2  7 e 3 é par.
c) 2  7 ou 3 é ímpar.
d) 2  7 ou 3 é par.
Escreva a negação das afirmações a seguir:
4. Se a comida é boa, então o serviço é excelente.
A comida é boa, mas o serviço é ruim.
5. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.
A comida é ruim e o serviço também.
6. Se correr o bicho pega. Assim sendo:
a) Correr é condição necessária para o bicho pegar.
b) O bicho pegar é condição suficiente para correr.
c) Correr é condição necessária para o bicho pegar.
d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.
e) O bicho pegar é condição necessária e suficiente
para correr.
7. “André vai à missa se, e somente se, Ricardo vai ao
cinema.
Sabe-se qua André não vai à missa, logo:
I – Ricardo vai ao cinema.
II – Nada se pode afirmar sobre Ricardo.
III – Ricardo não vai ao cinema.
a) Apenas I é verdadeira.
b) Apenas II é verdadeira.
c) Apenas III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) I e III são verdadeiras.
8. João é atleta ou Maria é estudande, então:
a) Se Maria não é estudante, então João não é atleta.
b) Se João não é atleta, então Maria não é estudante.
c) João é atleta e Maria é estudante.
d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.
e) Se Maria não é estudante, então João é atleta.
9. Todos os aprovados foram alunos do PITÁGORAS,
todos os alunos do PITÁGORAS são inteligentes,
pessoas intelgentes não ficam desempregadas, logo:
a) Pelo menos uma pessoa que fez o PITÁGORAS está
desempregada.
b) Alguns desempregados estudaram no PITÁGORAS.
c) As pessoas empregadas foram aprovadas.
d) Pessoas aprovadas não estão desempregadas.
e) Nem todos inteligentes estão empregados.
10. Considerando que todos os Gringles são Jirnes e que
nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum
Trumps pode ser Gringles é:
a) Necessariamente verdadeira.
b) Verdadeira, mas não necessariamente.
c) Necessariamente falsa.
d) Falsa, mas não necessariamente.
e) Indeterminada.
Lista de exercícios sobre
Operações com Conjuntos.
O silogismo categórico

É uma forma particular de raciocínio
dedutivo, constituída por três proposições
categóricas (que afirmam ou negam algo de
forma absoluta e incondicional):
2 premissas e 1 conclusão.

A conclusão deriva das proposições
(premissas) que apresentam um nexo lógico
explícito.
No silogismo

A conclusão deriva necessariamente das
premissas, pelo que seria contraditório
negar a conclusão, aceitando a verdade
das premissas de que aquela é
consequência necessária.
Três termos:
- Maior (predicado na conclusão)
- Menor (sujeito na conclusão)
- Médio (estabelece o nexo lógico
entre as premissas e aparece em
ambas as premissas, mas não na
conclusão
SILOGISMO
Duas premissas
CATEGÓRICO
Uma conclusão
Regras

Dos termos:

Das proposições:
-
Três termos
-
-
O termo médio está presente
nas premissas e não parece na
conclusão
Não ter duas premissas
negativas
-
Não pode derivar uma
conclusão negativa de duas
premissas afirmativas
-
A conclusão segue sempre
a parte mais fraca
-
Não ter duas premissas
particulares
-
-
O termo médio está distribuído
pelo menos uma vez
Nenhum termo pode ter maior
extensão na conclusão que nas
premissas
Silogismo

Aristóteles tentou sistematizar as regras lógicas e dedicou
atenção especial a um tipo de argumento, com duas proposições
iniciais e uma conclusão. Exemplos:
 Premissas:
 Alguns alemães são loiros.
 Todos os alemães são europeus.
 Conclusão:
 Alguns europeus são loiros.


Premissas:
 Alguns médicos são poliglotas.
 Alguns professores são poliglotas.
Conclusão:
 Alguns médicos são professores.
Silogismo


Premissas:
 Alguns atleticanos não são chatos.
 Todos os atleticanos são fanáticos.
Conclusão:
 Alguns fanáticos não são chatos.
• Aristóteles classificou os silogismos entre os que são válidos e os
que não são válidos. Exemplo de silogismo que não é válido,
portanto, é um sofisma:
• Premissas:
• Todos os alemães são europeus.
• Alguns alemães são loiros.
• Conclusão:
• Nenhum europeu é loiro.
Raciocínios Inválidos
Todos cães são vegetarianos.
 Dálmatas são cães.
 Logo, dálmatas são vegetarianos.

Todos cães comem carne.
 Nenhum cão é peixe.
 Logo, nenhum peixe come carne.

Silogismos e Sofismas

Silogismo: raciocínio formado de três proposições:
premissa maior – premissa menor – conclusão
Pedro é homem. O homem é mortal.: Pedro é mortal

Sofisma: argumento falso, intencionalmente feito para
induzir outrem ao erro.
O cão late. Cão é uma constelação.: A constelação late
Sofisma 1
Deus ajuda quem cedo madruga
Quem cedo madruga, dorme à tarde...
Quem dorme à tarde, não dorme à noite...
Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!!
Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!!!
Sofisma 2
Deus é amor.
O amor é cego.
Steve Wonder é cego.
Logo, Steve Wonder é Deus.
Sofisma 3
Disseram-me que eu sou ninguém.
Ninguém é perfeito.
Logo, eu sou perfeito.
Mas só Deus é perfeito.
Portanto, eu sou Deus.
Se Steve Wonder é Deus, eu sou
Steve Wonder!!!!
Meu Deus, eu sou cego!!!
Sofisma 4
Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem
cheios de buracos.
Quanto mais queijo, mais buracos.
Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo.
Assim, quanto mais buracos, menos queijo.
Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais
buracos, menos queijo.
Logo, quanto mais queijo, menos queijo.
Sofisma 5
Toda regra tem exceção.
Isto é uma regra.
Logo, deveria ter exceção.
Portanto, nem toda regra tem exceção.
Sofisma 6
Existem biscoitos feitos de água e sal.
O mar é feito de água e sal.
Logo, o mar é um biscoitão.
Sofisma 7
Quando bebemos, ficamos bêbados.
Quando estamos bêbados, dormimos.
Quando dormimos, não cometemos pecados.
Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu.
Então, vamos beber para ir pro Céu!
Sofisma 8
Penso, logo existo.
Loiras burras não pensam, logo, loiras burras não
existem.
Meu amigo diz que não é boiola porque namora uma
loira inteligente.
Se uma loira inteligente namorasse meu amigo ela
seria burra.
Como loiras burras não existem, meu amigo não
namora ninguém.
Logo, meu amigo é boiola mesmo.
Sofisma 9
Hoje em dia, os trabalhadores não
têm tempo pra nada.
Já os vagabundos... têm todo o
tempo do mundo.
Tempo é dinheiro.
Logo, os vagabundos têm mais
dinheiro do que os trabalhadores.
Silogismo

Silogismo Categórico é uma forma de raciocínio
lógico na qual há duas premissas e uma
conclusão distinta destas premissas, sendo todas
proposições categóricas ou singulares.

Termo Médio é o termo que se repete nas duas
premissas mas não aparece na conclusão.
Qual o termo médio da expressão?
Todo cachorro é um mamífero
 Todo mamífero é vertebrado
 Logo, todo cachorro é vertebrado

Qual é o termo médio?
Resposta: Mamífero
Silogismo
1) Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio
e menor;
2) Os termos da conclusão não podem ter extensão maior
que os termos das premissas;
3) O termo médio não pode entrar na conclusão;
4) O termo médio deve ser universal ao menos uma vez;
5) De duas premissas negativas, nada se conclui;
6) De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão
negativa;
7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca;
8) De duas premissas particulares, nada se conclui.
Silogismo

Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de seqüências de
proposições geradas por inferências imediatas obtidas da tábua
de oposições.

Um silogismo é um discurso no qual, estando dadas certas
proposições premissas, uma nova proposição conclusão é obtida
necessariamente e unicamente a partir das premissas.

Usualmente os silogismos são apresentados da seguinte forma:


Premissa maior

Premissa menor

Conclusão
O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o termo maior (P) é
o predicado da conclusão, e o termo comum às premissas é o
termo médio (M).
Silogismo

Exemplos:
 Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior)
 Todos os homens são mamíferos (premissa menor)
portanto
 Todos os homens são vertebrados (conclusão).

Neste caso o termo menor S é “todos os homens”, o termo
maior P é “vertebrados”, e o termo médio M é “mamíferos”.
MP
Este silogismo tem portanto a forma: SM
SP


Todas as proposições são do tipo A.
Silogismo


Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O)
então há 43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou
seja 256 silogismos no total;
As figuras do silogismo são:
1ª figura
2ª figura
3ª figura
4ª figura
Premissa maior
MP
PM
MP
PM
Premissa menor
SM
SM
MS
MS
Conclusão
SP
SP
SP
SP
Silogismo

Nem todos os silogismos são válidos; o estudo da Lógica por
Aristóteles, e posteriormente na idade média, buscou separar os
silogismos válidos, ou seja, aqueles em que a conclusão segue
necessariamente das premissas;

Pode-se deduzir a validade ou não de um silogismo a partir dos
diagramas de Venn-Euler correspondentes;

Exemplo:
M

Nenhum peixe (M) é mamífero (P) <tipo E>;

Todos os robalos (S) são peixes (M) <tipo A>;
portanto


Nenhum robalo (S) é mamífero (P) <tipo E>.
Ou, esquematicamente:
MP<E>
SM<A>
SP<E>
S
P
Silogismo

Exemplo:

Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>;

Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>;
portanto


Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>.
Esquematicamente:
MP<A>
SM<I>
SP<I>
P
M
S
Silogismo


Em alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam
o inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo,
várias representações geométricas;
Exemplo: MP<E>
M S
P
SM<I>
SP<O>
M
S
M
S
P
P
Silogismo


Verdade e validade (ou correção):
 Um silogismo é válido (correto) se e somente se (sse) a
verdade da conclusão segue necessariamente da verdade
das premissas;
 Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das
premissas à conclusão;
 Esta definição exclui a possibilidade de que um silogismo
válido possa ter premissas verdadeiras e conclusão falsa;
 Isto não exclui a possibilidade de que a conclusão de um
silogismo válido seja falsa; neste caso alguma das premissas
é falsa.
Exemplo:
 Todos os animais marinhos são peixes;
 Todas as baleias são animais marinhos;
portanto
 Todas as baleias são peixes.
Exercícios sobre lógica aristotélica
1) Indique a forma do silogismo (termos, figura, diagrama), e
indique se mesmo é válido ou não:
a) Todos os gregos são homens;
Todos os atenienses são gregos;
Todos os atenienses são homens.
b) Todos os socialistas são marxistas;
Alguns governantes são marxistas;
Alguns governantes são socialistas.
c) Todas as ações penais são atos cruéis;
Todos os processos por homicídio são ações penais;
Todos os processos por homicídio são atos cruéis.
Exercícios sobre lógica aristotélica
d) Alguns papagaios não são animais nocivos;
Todos os papagaios são animais de estimação;
Nenhum animal de estimação é nocivo.
e) Nenhum ator dramático é um homem feliz;
Alguns comediantes não são homens felizes;
Alguns comediantes não são atores dramáticos.
f) Todos os coelhos são corredores muito velozes;
Alguns cavalos são corredores muito velozes;
Alguns cavalos são coelhos.
Exercícios sobre lógica aristotélica
2)
Escreva na forma típica, indique termos, figura, diagrama, e
verifique a validade:
a)
Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio
mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio mercante,
visto que todos os submarinos de propulsão nuclear são
vasos de guerra;
b)
Alguns conservadores não são defensores de tarifas
elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas
são republicanos, e alguns republicanos não são
conservadores;
c)
Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro é
bom professor; portanto, como algumas pessoas bem
informadas são indivíduos obstinados que nunca admitem
um erro, alguns bons professores não são pessoas bem
informadas.
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Silogismo Categórico